回归教材重难点07圆中的角度与长度计算(原卷版+解析)

回归教材重难点07圆中的角度与长度计算本考点是中考五星高频考点，难度较大，在全国各地市的中考试卷中均有考查。(2023年青海省中考数学试卷第17题）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为m．分析：连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，根据垂径定理的推论得到CD⊥AB，在Rt△AOC中利用勾股定理得到22+（6﹣r）2＝r2，然后解方程即可．【解答】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，∵C是⊙O中弦AB的中点，CD过圆心，∴CD⊥AB，AC＝BC＝AB＝2m，在Rt△AOC中，∵OA＝rm，OC＝（6﹣r）m，∴22+（6﹣r）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半径长为m．故答案为：．点评：本题考查了垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧圆中的计算主要考察的九年级《圆的基本性质》里面的内容，其中，有关角度计算用到的知识点有：圆心角定理、圆周角定理以及相关推论；有关长度的计算用到的考点主要有垂径定理及其推论。在不同问题中还需要熟练掌握圆的基本性质中的考点，做到融会贯通。本考点是中考五星高频考点，难度中等或中等偏上，个别难度较大，在全国各地市的中考试卷中均有考查。技法01：圆中的角度计算①圆中角度计算口诀——圆中求角度，同弧或等弧＋直径所对圆周角是90度圆心角定理、圆周角定理以及其推论为圆中角的计算提供了等量关系，圆中的等角也是解决角度问题中常见的转化关系，所以特别要注意同弧或等弧所对的圆周角相等，以及直径所对圆周角=90°的固定关系②圆中模型“知1得4”由图可得以下5点：①AB=CD；②；③OM=ON；④；⑤；以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。③圆中求角度常用的其他规律：圆内接四边形的一个外角=其内对角折叠弧过圆心→必有30°角以等腰三角形的腰长为直径的圆→必过底边中点圆中出现互相垂直的弦，常作两弦心距→必有矩形（当弦相等，则得正方形）技法02：圆中的长度计算（1）圆中线段计算口诀——“圆中求长度，垂径加勾股”弦长、半径、直径是圆中的主要线段，相关计算主要利用垂径定理及其推论，构造“以半径、弦心距、弦长一半为三边的直角三角形”，通过勾股定理列方程求解；（2）圆中模型“知2得3”由图可得以下5点：①AB⊥CD；②AE=EB；③AD过圆心O；④；⑤；以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。（3）常做辅助线：连半径、作弦心距、见直接连弦长得直径所对圆周角=90°（4）弧长与扇形面积：不规则图形面积想割补法常用公式：【中考真题练】1．(2023•无锡）底面半径为10cm，高为10cm的圆锥的侧面展开图的面积为（）A．200πcm2 B．100πcm2 C．200πcm2 D．100πcm22．(2023•淮安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（）A．80° B．100° C．140° D．160°3．(2023•巴中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，，∠CDB＝30°，AC＝2，则OE＝（）A． B． C．1 D．24．(2023•资阳）如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接AC．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是（）A． B． C． D．5．(2023•丹东）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则的长为（）A．6π B．2π C．π D．π6．(2023•鄂尔多斯）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（）A．4π米 B．6π米 C．8π米 D．12π米7．(2023•西藏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC＝OD，则∠ABD的度数为（）A．90° B．95° C．100° D．105°8．(2023•河池）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（）A．25° B．35° C．40° D．50°9．(2023•营口）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为（）A．4 B．8 C．4 D．410．(2023•青岛）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（）A．30° B．36° C．45° D．60°11．(2023•南京）如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的3个外角∠EAB，∠FBC，∠GCD的度数之比为1：2：4，则∠D＝°．12．(2023•广州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是．（结果保留π）13．(2023•沈阳）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，则的长是（结果保留π）．14．(2023•南京）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，BD＝CE．过A，D，E三点作⊙O，连接AO并延长，交BC于点F．（1）求证AF⊥BC；（2）若AB＝10，BC＝12，BD＝2，求⊙O的半径长．15．(2023•徐州）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．【中考模拟练】1．（2023•越秀区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D都是⊙O上的点，若∠CAB＝30°，则∠ADC的度数是（）A．65° B．55° C．60° D．70°2．（2023•苏州模拟）已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其底面圆半径为1，则该圆锥母线长为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023•荆门一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝30°，⊙O的半径为3，点P是⊙O上的一点，且PB＝AB，则PA的长为（）A． B． C． D．4．（2023•衢州一模）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝2cm，DE＝7cm，则AB的长为（）A．4cm B．8cm C．cm D．2cm5．（2023•宁德模拟）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”．若等边三角形ABC的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长等于（）A．2π B． C． D．6．（2023•南沙区一模）如图，在⊙O中，点C是圆上的一点且∠ACB＝120°，弦AB＝12，则⊙O的直径长是（）A． B． C．24 D．127．（2023•镇平县二模）如图，扇形纸片AOB，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，已知，则图中阴影部分的周长为．8．（2023•红旗区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，∠BCA＝30°，以点B为圆心，AB的长为半径作弧，分别交AC，BC于点D，E，则图中阴影部分的面积为．9．（2023•北仑区二模）如图，等腰△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝AC＝8，半径为2的⊙O在射线AC上运动，当⊙O与△ABC的一边相切时，线段CO的长度为．10．（2023•高邮市一模）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，⊙O是△ABC的外接圆，点P在AC的延长线上，PQ⊥AB于点Q，交BC于点E，CD是⊙O的切线，交PQ于点D．（1）判断△DCE的形状，并说明理由；（2）若CD＝AC＝2，求OQ的长度．回归教材重难点07圆中的角度与长度计算本考点是中考五星高频考点，难度较大，在全国各地市的中考试卷中均有考查。(2023年青海省中考数学试卷第17题）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为m．分析：连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，根据垂径定理的推论得到CD⊥AB，在Rt△AOC中利用勾股定理得到22+（6﹣r）2＝r2，然后解方程即可．【解答】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，∵C是⊙O中弦AB的中点，CD过圆心，∴CD⊥AB，AC＝BC＝AB＝2m，在Rt△AOC中，∵OA＝rm，OC＝（6﹣r）m，∴22+（6﹣r）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半径长为m．故答案为：．点评：本题考查了垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧圆中的计算主要考察的九年级《圆的基本性质》里面的内容，其中，有关角度计算用到的知识点有：圆心角定理、圆周角定理以及相关推论；有关长度的计算用到的考点主要有垂径定理及其推论。在不同问题中还需要熟练掌握圆的基本性质中的考点，做到融会贯通。本考点是中考五星高频考点，难度中等或中等偏上，个别难度较大，在全国各地市的中考试卷中均有考查。技法01：圆中的角度计算①圆中角度计算口诀——圆中求角度，同弧或等弧＋直径所对圆周角是90度圆心角定理、圆周角定理以及其推论为圆中角的计算提供了等量关系，圆中的等角也是解决角度问题中常见的转化关系，所以特别要注意同弧或等弧所对的圆周角相等，以及直径所对圆周角=90°的固定关系②圆中模型“知1得4”由图可得以下5点：①AB=CD；②；③OM=ON；④；⑤；以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。③圆中求角度常用的其他规律：圆内接四边形的一个外角=其内对角折叠弧过圆心→必有30°角以等腰三角形的腰长为直径的圆→必过底边中点圆中出现互相垂直的弦，常作两弦心距→必有矩形（当弦相等，则得正方形）技法02：圆中的长度计算（1）圆中线段计算口诀——“圆中求长度，垂径加勾股”弦长、半径、直径是圆中的主要线段，相关计算主要利用垂径定理及其推论，构造“以半径、弦心距、弦长一半为三边的直角三角形”，通过勾股定理列方程求解；（2）圆中模型“知2得3”由图可得以下5点：①AB⊥CD；②AE=EB；③AD过圆心O；④；⑤；以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。（3）常做辅助线：连半径、作弦心距、见直接连弦长得直径所对圆周角=90°（4）弧长与扇形面积：不规则图形面积想割补法常用公式：【中考真题练】1．(2023•无锡）底面半径为10cm，高为10cm的圆锥的侧面展开图的面积为（）A．200πcm2 B．100πcm2 C．200πcm2 D．100πcm2分析：先求出圆锥的母线，再根据圆锥的侧面展开图的面积RL列式计算即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为10cm，高为10cm，∴圆锥的母线为＝20（cm），∴圆锥的侧面展开图的面积为×（2π×10）×20＝200π（cm2），故选：A．2．(2023•淮安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（）A．80° B．100° C．140° D．160°分析：先根据圆周角定理求得∠D的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出∠ABC的度数即可．【解答】解：∵∠AOC＝160°，∴∠ADC＝∠AOC＝80°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣80°＝100°，故选：B．3．(2023•巴中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，，∠CDB＝30°，AC＝2，则OE＝（）A． B． C．1 D．2分析：连接BC，根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，再由圆周角定理可得∠A＝∠CDB＝30°，根据锐角三角函数可得AE＝3，AB＝4，即可求解．【解答】解：如图，连接BC，∵AB为⊙O的直径，，∴AB⊥CD，∵∠BAC＝∠CDB＝30°，，∴AE＝AC•cos∠BAC＝3，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴，∴OA＝2，∴OE＝AE﹣OA＝1．故选：C．4．(2023•资阳）如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接AC．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是（）A． B． C． D．分析：根据垂直平分线的性质和等边三角形的性质，可以得到∠COD＝60°，即可求出扇形AOC的面积，再算出△AOC的面积，即可求出阴影部分面积．【解答】解：连接CO，直线l与AO交于点D，如图所示，∵扇形AOB中，OA＝2，∴OC＝OA＝2，∵点A与圆心O重合，∴AD＝OD＝1，CD⊥AO，∴OC＝AC，∴OA＝OC＝AC＝2，∴△OAC是等边三角形，∴∠COD＝60°，∵CD⊥OA，∴CD＝＝＝，∴阴影部分的面积为：＝﹣，故选：B．5．(2023•丹东）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则的长为（）A．6π B．2π C．π D．π分析：先根据圆周角定理求出∠BOC＝2∠A＝60°，求出半径OB，再根据弧长公式求出答案即可．【解答】解：∵直径AB＝6，∴半径OB＝3，∵圆周角∠A＝30°，∴圆心角∠BOC＝2∠A＝60°，∴的长是＝π，故选：D．6．(2023•鄂尔多斯）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（）A．4π米 B．6π米 C．8π米 D．12π米分析：连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，根据等边三角形的判定得出△AO1O2和△BO1O2是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，求出优弧所对的圆心角的度数，再根据弧长公式求出即可．【解答】解：连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，∵等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，∴AO1＝AO2＝BO1＝BO2＝O1O2＝3米，∴△AO1O2和△BO1O2是等边三角形，∴∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，∴优弧所对的圆心角的度数是360°﹣60°﹣60°＝240°，∴花坛的周长为2×＝8π（米），故选：C．7．(2023•西藏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC＝OD，则∠ABD的度数为（）A．90° B．95° C．100° D．105°分析：连接OB，则OC＝OB，由OC⊥AB，则∠OBC＝30°，再由OD∥AB，即可求出答案．【解答】解：如图：连接OB，则OB＝OD，∵OC＝OD，∴OC＝OB，∵OC⊥AB，∴∠OBC＝30°，∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠OBC＝30°，∴∠OBD＝∠ODB＝75°，∠ABD＝30°+75°＝105°．故选：D．8．(2023•河池）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（）A．25° B．35° C．40° D．50°分析：由圆周角定理可求得∠AOP的度数，由切线的性质可知∠PAO＝90°，则可求得∠P．【解答】解：∵∠ABC＝25°，∴∠AOP＝2∠ABC＝50°，∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥AB，∴∠PAO＝90°，∴∠P＝90°﹣∠AOP＝90°﹣50°＝40°，故选：C．9．(2023•营口）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为（）A．4 B．8 C．4 D．4分析：连接AB，可得△ABC是直角三角形，利用圆周角定理可得∠ABC＝∠ADC＝30°，在Rt△ABC中，AC＝4，利用三角函数可求出BC的长．【解答】解：连接AB，如图所示，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°．∵∠ADC＝30°，∴∠ABC＝∠ADC＝30°．∴在Rt△ABC中，tan∠ABC＝，∴BC＝．∵AC＝4，∴BC＝＝4．故选：A．10．(2023•青岛）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（）A．30° B．36° C．45° D．60°分析：由正六边形的性质得出∠COE＝120°，由圆周角定理求出∠CME＝60°．【解答】解：连接OC，OD，OE，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠COD＝∠DOE＝60°，∴∠COE＝2∠COD＝120°，∴∠CME＝∠COE＝60°，故选：D．11．(2023•南京）如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的3个外角∠EAB，∠FBC，∠GCD的度数之比为1：2：4，则∠D＝72°．分析：根据圆内接四边形的对角互补以及外角的性质可求出∠CDH，再根据平角的定义求出答案．【解答】解：如图，延长ED到H，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝∠BAD+∠BCD＝180°，又∵∠EAB，∠FBC，∠GCD的度数之比为1：2：4，∴∠EAB，∠FBC，∠GCD，∠CDH的度数之比为1：2：4：3，∵∠EAB+∠FBC+∠GCD+∠CDH＝360°，∴∠CDH＝360°×＝108°，∴∠ADC＝180°﹣108°＝72°，故答案为：72．12．(2023•广州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是2π．（结果保留π）分析：连接OD，OE，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠A＝∠COE，再根据切线的性质和平角的定义可得∠DOE＝90°，然后利用弧长公式进行计算即可解答．【解答】解：如图，连接OD，OE，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝∠COE+∠OCE+∠OEC，∴∠A＝∠COE，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∵圆O与边AB相切于点D，∴∠ADO＝90°，∴∠COE+∠AOD＝90°，∴∠DOE＝180°﹣（∠COE+∠AOD）＝90°，∴劣弧的长是＝2π．故答案为：2π．13．(2023•沈阳）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，则的长是（结果保留π）．分析：连接OA、OB，可证∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．【解答】解：连接OA、OB．∵正方形ABCD内接于⊙O，∴AB＝BC＝DC＝AD，∴＝＝＝，∴∠AOB＝×360°＝90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2＝42，解得：AO＝2，∴的长＝＝π，故答案为：π．14．(2023•南京）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，BD＝CE．过A，D，E三点作⊙O，连接AO并延长，交BC于点F．（1）求证AF⊥BC；（2）若AB＝10，BC＝12，BD＝2，求⊙O的半径长．分析：（1）连接AD，AE，根据等腰三角形的性质∠B＝∠C，根据全等三角形的性质得到AD＝AE，根据垂径定理得到，于是得到AF⊥BC；（2）根据等腰三角形的性质得到BF＝CF＝BC＝6，根据勾股定理得到AF＝＝＝8，连接OD，设DO＝AO＝x，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接AD，AE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∴，∴AF⊥BC；（2）解：∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF＝BC＝6，∴AF＝＝＝8，∵BD＝2，∴DF＝4，连接OD，设DO＝AO＝x，∴OF＝AF﹣x＝8﹣x，∵OD2＝OF2+DF2，∴x2＝（8﹣x）2+42，∴x＝5，∴⊙O的半径长为5．15．(2023•徐州）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．分析：（1）由切线的判定定理，可证明；（2由弓形面积公式，可求解．【解答】解：（1）直线AD与圆O相切，连接OA，∵AD∥BC，∴∠D＝∠DBC，∵AD＝AB，∴∠D＝∠ABD，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，∠BAD＝120°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABD＝30°，∴∠OAD＝90°，∴OA⊥AD，∵OA是圆的半径，∴直线AD与圆O相切，（2）连接OC，作OH⊥BC于H，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠BOC＝120°，∴OH＝OB＝3，BH＝OH＝3，∴BC＝2BH＝6，∴扇形OBC的面积为：＝＝12π，∵S△OBC＝BC•OH＝×6×3＝9，∴阴影部分的面积为：12π﹣9．【中考模拟练】1．（2023•越秀区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D都是⊙O上的点，若∠CAB＝30°，则∠ADC的度数是（）A．65° B．55° C．60° D．70°分析：由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB＝90°，又由∠CAB＝30°，得出∠B的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得∠ADC的度数．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝30°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝60°，∴∠ADC＝∠ABC＝60°．故选：C．2．（2023•苏州模拟）已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其底面圆半径为1，则该圆锥母线长为（）A．1 B．2 C．3 D．4分析：设该圆锥母线长为l，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2π×1＝，然后解方程即可．【解答】解：设该圆锥母线长为l，根据题意得2π×1＝，解得l＝2，即该圆锥母线长为2．故选：B．3．（2023•荆门一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝30°，⊙O的半径为3，点P是⊙O上的一点，且PB＝AB，则PA的长为（）A． B． C． D．分析：连接OA，OB，OP，根据圆周角定理可得∠APB＝∠C＝30°，再由PB＝AB，可得∠ABP＝120°，再由PB＝AB，可得OB⊥AP，AD＝PD，可证得△AOB是等边三角形，从而得到AB＝OA＝3，在Rt△PBD中，可得到PD的长，即可求解．【解答】解：连接OA，OB，OP，如图，∵∠C＝30°，∴∠APB＝∠C＝30°，∵PB＝AB，∴∠PAB＝∠APB＝30°，∴∠ABP＝120°，∵PB＝AB，∴，∴OB⊥AP，AD＝PD，∴∠OBP＝∠OBA＝60°，∵OB＝OA，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝3，在Rt△PBD中，，∴，故选：A．4．（2023•衢州一模）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝2cm，DE＝7cm，则AB的长为（）A．4cm B．8cm C．cm D．2cm分析：连接OA，如图，先计算出OD＝OA＝5，OE＝2，再根据垂径定理得到AE＝BE，然后利用勾股定理计算出AE，从而得到AB的长．【解答】解：连接OA，如图，∵OE＝2cm，DE＝7cm，∴OD＝5cm，∴OA＝5cm，∵AB⊥CD，∴AE＝BE，在Rt△AOE中，AE＝＝＝（cm），∴AB＝2AE＝2（cm）．故选：D．5．（2023•宁德模拟）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”．若等边三角形ABC的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长等于（）A．2π B． C． D．分析：由弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），求出的长，即可解决问题．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝CA，∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，∴＝＝，∵的长＝＝π，∴“莱洛三角形”的周长等于的长×3＝×3＝2π．故选：A．6．（2023•南沙区一模）如图，在⊙O中，点C是圆上的一点且∠ACB＝120°，弦AB＝12，则⊙O的直径长是（）A． B． C．24 D．12分析：延长BO交圆于D，连接DA，由圆内接四边形的性质得到∠D+∠C＝180°，求出∠D的度数，应用锐角的正弦即可求出圆的直径长．【解答】解：延长BO交圆于D，连接DA，∵四边形DACB是圆内接四边形，∴∠D+∠C＝180°，∵∠C＝120°，∴∠D＝60°，∵BD是圆的直径，∴∠DAB＝90°，∵sinD＝，∴BD＝＝＝8，∴⊙O的直径长是8．故选：A．7．（2023•镇平县二模）如图，扇形纸片AOB，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，已知，则图中阴影部分的周长为+4．分析：由折叠的性质得到AC＝OA，OB＝BC，OC⊥AB，推出△AOC，△OCB是等边三角形，得到∠AOB＝120°，由垂径定理得到AH的长，由锐角的正弦求出OA长，由弧长公式求出的长，即可求出阴影的周长．【解答】解：连接OC，交AB于H，∵扇形纸片AOB沿AB折叠，点O落在上的点C处，∴AC＝OA，OB＝BC，OC⊥AB，∵OC＝OA，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，同理：∠BOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OC⊥AB，∴AH＝AB＝×2＝，∵sin∠AOC＝＝，∴AO＝2，∴AC＝BC＝OA＝2，∵的长＝＝．∴图中阴影部分的周长＝的长+AC+BC＝+4．故答案为：+4．8．（2023•红旗区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，∠BCA＝30°，以点B为圆心，AB的长为半径作弧，分别交AC，BC于点D，E，则图中阴影部分的面积为．分析：连接BD，过点D作DF⊥BC，垂足为F，找出S阴影＝S扇形ABD﹣S△ABD+S△BDC﹣S扇形BDE即可求出答案．【解答】解：连接BD，过点D作DF⊥BC，垂足为F，如图所示，∵∠ABC＝90°，AB＝2，∠BCA＝30°，∴AC＝2AB＝4，，∠BAD＝60°，∵以点B为圆心，AB的长为半径作弧，∴BD