难点03二次函数与方程综合问题(原卷版+解析)

难点03二次函数与方程综合问题近几年四川中考看，几乎年年会出现二次函数与的题目，经常以解答题的形式出现，内容主要是二次函数与一次函数联立方程的考法，难度偏下，属于各市中考考查的重点，主要考查学生们的计算能力。含字母的一次函数解析式的求法；二次函数与一次函数联立，韦达定理的熟练应用；两点间距离公式的应用；【中考真题】1．(2023·四川巴中·统考中考真题）如图1，抛物线，交轴于A、B两点，交轴于点，为抛物线顶点，直线垂直于轴于点，当时，．(1)求抛物线的表达式；(2)点是线段上的动点（除、外），过点作轴的垂线交抛物线于点．①当点的横坐标为2时，求四边形的面积；②如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．2．(2023·四川达州·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．(1)求该二次函数的表达式；(2)连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；(3)如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．3．(2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为．(1)当时，求，两点的坐标；(2)连接，，，，若的面积与的面积相等，求的值；(3)试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．4．(2023·四川自贡·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、，交轴于点，点抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接,点是线段上方抛物线上的一动点，于点；过点作轴于点,交于点.点是轴上一动点，当取最大值时．

①.求的最小值；

②.如图2，点是轴上一动点,请直接写出的最小值．5．(2023·四川乐山·统考中考真题）如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，且tan.设抛物线的顶点为，对称轴交轴于点.（1）求抛物线的解析式；（2）为抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，且.①当点在线段(含端点)上运动时，求的变化范围；②当取最大值时，求点到线段的距离；③当取最大值时，将线段向上平移个单位长度，使得线段与抛物线有两个交点，求的取值范围.6．(2023·四川·统考中考真题）如图，已知直线与抛物线：相交于和点两点.⑴求抛物线的函数表达式；⑵若点是位于直线上方抛物线上的一动点，以为相邻两边作平行四边形,当平行四边形的面积最大时，求此时四边形的面积及点的坐标；⑶在抛物线的对称轴上是否存在定点,使抛物线上任意一点到点的距离等于到直线的距离，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.【模拟题】1．(2023·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考模拟预测）抛物线分别交x轴于点，，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且．(1)求抛物线的表达式；(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；(3)在M，N移动的过程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，请写出理由．2．(2023·四川乐山·统考三模）抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点是点D．(1)求抛物线解析式；(2)连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以1个单位每秒的速度向左平移，对应点分别是O'，B'，C′，设S表示O'B'C'与四边形AOCD的重叠部分面积，求S与时间t的函数解析式；(3)如图2，点M（m，n）为抛物线上的任意一点，过M向直线y作垂线，垂足为E，点F为抛物线对称轴上的一点，当ME﹣MF恒等于时，求F点的坐标．3．（2023·四川泸州·统考一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．(1)求该二次函数的表达式；(2)连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；(3)如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．4．(2023·四川成都·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A，点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上一动点，连接AD交BC于点E，若AE＝2ED，求点D的坐标；(3)直线y＝kx﹣2k+1与抛物线交于M，N两点，取点P（2，0），连接PM，PN，求△PMN面积的最小值．5．(2023·四川眉山·统考二模）如图直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过A，B两点的抛物线与x轴交于点C，且(1)求抛物线和直线的解析式；(2)若M点为x轴上一动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点M的坐标．(3)若点P是抛物线上A，B两点之间的一个动点（不与A，B重合），则是否存在一点P，使的面积最大？若存在求出的最大面积；若不存在，试说明理由．6．(2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考一模）如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（﹣3，0），M（0，﹣1）．已知AM=BC．(1)求二次函数的解析式；(2)证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；(3)在（2）的条件下，设直线l过D且l⊥BD，分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N，求的值；7．(2023·四川广元·统考一模）已知抛物线交x轴于点A，B（A在B点左侧），交y轴负半轴于点C．(1)如图1，当△ABC为直角三角形时，求该抛物线的解析式；(2)如图2，在（1）的条件下，直线交x轴于点D，交y轴于点E，过抛物线上一动点P作PQ⊥DE于Q，过P点作x轴垂线交直线DE于点T，求△PQT的面积的最小值．(3)如图3，抛物线顶点为M，对称轴与x轴交于H，点N为x轴下方抛物线上一动点，直线BN交直线MH于F，直线AN与y轴交于G，猜想线段MF、OG和HM的数量关系，并证明你的结论．8．(2023·四川广元·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线经过点B，两点，且与直线DC交于另一点E．(1)求抛物线的解析式；(2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP．探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．(2023·四川广元·统考一模）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点为抛物线的顶点．（1）点的坐标是______，点的坐标是______；（2）过点作轴于点，若，求的值及直线的解析式；（3）在第（2）小题的条件下，直线与轴交于点，过线段的中点作轴，交直线于点，则直线上是否存在点，使得点到直线的距离等于点到原点的距离？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．10．(2023·四川成都·统考一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与轴交于点，连接、．

（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，连接，点E为第三象限抛物线上的一动点，，直线与抛物线交于点F，设直线的表达式为．①如图①，直线与抛物线对称轴交于点G，若，求k、b的值；②如图②，直线与y轴交于点M，与直线交于点H，若，求b的值．难点03二次函数与方程综合问题近几年四川中考看，几乎年年会出现二次函数与的题目，经常以解答题的形式出现，内容主要是二次函数与一次函数联立方程的考法，难度偏下，属于各市中考考查的重点，主要考查学生们的计算能力。含字母的一次函数解析式的求法；二次函数与一次函数联立，韦达定理的熟练应用；两点间距离公式的应用；【中考真题】1．(2023·四川巴中·统考中考真题）如图1，抛物线，交轴于A、B两点，交轴于点，为抛物线顶点，直线垂直于轴于点，当时，．(1)求抛物线的表达式；(2)点是线段上的动点（除、外），过点作轴的垂线交抛物线于点．①当点的横坐标为2时，求四边形的面积；②如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．答案:(1)(2)①；②是，定值为，理由见解析【详解】（1）解：∵当时，，∴，是的两根，，∴，解得：，抛物线的表达式为：；（2）①把代入得：，．又当，，，线段轴．，，；②设，直线，，因此可得：或，解得：或，直线，．令得，，，，．2．(2023·四川达州·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．(1)求该二次函数的表达式；(2)连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；(3)如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．答案:(1)；(2)或；(3)【详解】（1）解：∵由二次函数，令，则，，过点，，设二次函数的表达式为，将点代入得，，解得，，（2）二次函数的图象经过点，，抛物线的对称轴为，①如图，过点作关于的对称点，，，，，②轴上取一点，使得，则，设，则，，解得，即，设直线CD的解析式为，，解得，直线CD的解析式为，联立，解得或，，综上所述，或，（3）的值是定值，设，，过点作轴于点，则，，，，，，即，，，，，．即的值是定值3．(2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为．(1)当时，求，两点的坐标；(2)连接，，，，若的面积与的面积相等，求的值；(3)试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．答案:(1)点的坐标为，点的坐标为(2)或(3)是，【详解】（1）根据题意，得，整理得到，解方程，得，当x=-3时，y=-9；当x=1时，y=-1；∵点在点的左侧，∴点的坐标为（-3，-9），点的坐标为（1，-1）．（2）∵A，B是抛物线图像上的点，设A（m，），B（n，），则（-n，），当k＞0时，根据题意，得，整理得到，∴m，n是的两个根，∴，设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D（0，-3）∴，，∴==，∴3==，∴，∵n≠0，∴，，∴，解得k=或k=-(舍去)，故k=；当k＜0时，根据题意，得，整理得到，∴m，n是的两个根，∴，设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D（0，-3）∴，，∴==，∴3==-，∴-，∵n≠0，∴，，∴，解得k=-或k=(舍去)，故k=-；综上所述，k的值为或．（3）直线A一定过定点（0，3）．理由如下：∵A，B是抛物线图像上的点，∴设A（m，），B（n，），则（-n，），根据题意，得，整理得到，∴m，n是的两个根，∴，设直线A的解析式为y=px+q，根据题意，得，解得，∴直线A的解析式为y=（n-m）x-mn，∵mn=-3，∴-mn=3，∴直线A的解析式为y=（n-m）x+3，故直线A一定过定点（0，3）．4．(2023·四川自贡·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、，交轴于点，点抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接,点是线段上方抛物线上的一动点，于点；过点作轴于点,交于点.点是轴上一动点，当取最大值时．

①.求的最小值；

②.如图2，点是轴上一动点,请直接写出的最小值．答案:(1)；(2)①；②解析：（1）解：将A（-3,0）、B（1,0）代入二次函数得，解之得，∴二次函数的解析式为；（2）①将二次函数配方得，∴M（-1,4）设直线AM的解析式为，将代入直线可得，解得，∴直线AM的解析式为，过E作直线，平行于直线AM，且解析式为，∵E在直线AM上方的抛物线上，∴；当直线与AM距离最大时，EF取得最大值，∴当与抛物线只有一个交点时，EF取得最大值，将直线的解析式代入抛物线得，由题意可得，△=，经计算得，将代入二次方程可得，，∴，即E点的横坐标为-2，将代入抛物线得，∴，又∵⊥轴，∴，将代入直线AM，∴，∵，∴B、C两点关于轴对称，∴，∴，当P、B、D三点不共线时，当P、B、D三点共线时，，∴当P、B、D三点共线时PC+PD取得最小值，在Rt△BHD中，DH=2，BH=3，∴BD=，∴的最小值为；②过点作直线，使，过点作于点，交轴于点，则点为所求点，为最小值，则直线的表达式为：，，故设直线的表达式为：，将点的坐标代入上式并解得：，而直线的表达式为：，故点，由直线的表达式知，与轴负半轴的夹角（设为）的正切值为，则，则，而，则为最小值．5．(2023·四川乐山·统考中考真题）如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，且tan.设抛物线的顶点为，对称轴交轴于点.（1）求抛物线的解析式；（2）为抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，且.①当点在线段(含端点)上运动时，求的变化范围；②当取最大值时，求点到线段的距离；③当取最大值时，将线段向上平移个单位长度，使得线段与抛物线有两个交点，求的取值范围.答案:（1）；（2）①②2③【详解】解：（1）令y=0得：a（x+2）（x-6）=0解得：x=-2或6∴,，在中，且,∴，,将点坐标代入得：，故抛物线解析式为：；（2）①由（1）知，抛物线的对称轴为：x=2，顶点M(2,4)，设P点坐标为（2，m）（其中0≤m≤4），则PC2=22+(m-3)2，PQ2=m2+(n-2)2，CQ2=32+n2，∵PQ⊥PC，∴在Rt△PCQ中中，由勾股定理得：PC2+PQ2=CQ2,即22+(m-3)2+m2+(n-2)2=32+n2，整理得：n==（0≤m≤4），∴当时，n取得最小值为；当时，n取得最大值为4，∴≤n≤4；②由①知：当n取最大值4时，m=4，∴P（2,4），Q（4,0）则PC=，PQ=2，CQ=5，设点P到线段CQ距离为，由，得：故点到线段距离为；③由②可知：当取最大值4时，，线段的解析式为：，设线段向上平移个单位长度后的解析式为：，当线段向上平移，使点恰好在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点此时对应的点的纵坐标为：，将代入得：，当线段继续向上平移，线段与抛物线只有一个交点时，联解得：，化简得：，由，得，当线段与抛物线有两个交点时，.6．(2023·四川·统考中考真题）如图，已知直线与抛物线：相交于和点两点.⑴求抛物线的函数表达式；⑵若点是位于直线上方抛物线上的一动点，以为相邻两边作平行四边形,当平行四边形的面积最大时，求此时四边形的面积及点的坐标；⑶在抛物线的对称轴上是否存在定点,使抛物线上任意一点到点的距离等于到直线的距离，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.答案:⑴；⑵当，□MANB=△=，此时；⑶存在.当时，无论取任何实数，均有.

理由见解析.【详解】（1）由题意把点（-1，0）、（2，3）代入y=ax2+2x+c，得，，解得a=-1，c=3，∴此抛物线C函数表达式为：y=-x2+2x+3；（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，将点（-1，0）、（2，3）代入y=kx+b中，得，，解得，k=1，b=1，∴yAB=x+1，设点M（a，-a2+2a+3），则K（a，a+1），则MK=-a2+2a+3-（a+1）=-（a-）2+，根据二次函数的性质可知，当a=时，MK有最大长度，∴S△AMB最大=S△AMK+S△BMK=MK•AH+MK•（xB-xH）=MK•（xB-xA）=××3=，∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，S最大=2S△AMB最大=2×=，M（，）；（3）存在点F，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴对称轴为直线x=1，当y=0时，x1=-1，x2=3，∴抛物线与x轴正半轴交于点C（3，0），如图2，分别过点B，C作直线y=的垂线，垂足为N，H，抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=的距离，设F（1，a），连接BF，CF，则BF=BN=-3=，CF=CH=，由题意可列：，解得，a=，∴F（1，）．【模拟题】1．(2023·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考模拟预测）抛物线分别交x轴于点，，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且．(1)求抛物线的表达式；(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；(3)在M，N移动的过程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，请写出理由．答案:(1)(2)，见解析(3)有，最小值为【详解】（1）把点，代入抛物线中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2），理由是：如图1，令，则，即，∵，，∴，，，在中，，，∵，∴，∴，∴，∴；（3）在M，N移动的过程中，有最小值是，理由如下：由（2）知：，∴，即，∴，∴的最小值是的最小值，即D、M、N三点共线时，点D到AC的垂线段DN的长，如图2，抛物线解析式为：；∴对称轴是：，即，∴，在中，，∴，即，∴在M，N移动的过程中，有最小值是．2．(2023·四川乐山·统考三模）抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点是点D．(1)求抛物线解析式；(2)连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以1个单位每秒的速度向左平移，对应点分别是O'，B'，C′，设S表示O'B'C'与四边形AOCD的重叠部分面积，求S与时间t的函数解析式；(3)如图2，点M（m，n）为抛物线上的任意一点，过M向直线y作垂线，垂足为E，点F为抛物线对称轴上的一点，当ME﹣MF恒等于时，求F点的坐标．答案:(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)S(3)（﹣1，）．解析：（1）解：将点A（﹣3，0）和B（1，0）代入y＝ax2+bx+3，得：，解得：，∴抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴顶点D的坐标为：（﹣1，4），设直线AD的函数关系式为：y＝mx+n，则：，解得：，∴直线AD的函数关系式为：y＝2x+6，对y＝﹣x2﹣2x+3来说，当x＝0时，y＝3，即点C的坐标是（0，3），当C′在AD上时，令y＝3，即2x+6＝3，解得：x，①如图1，当0＜t＜1时，由题意得，OC＝O′C′＝3，OB＝O′B′＝1，∴OB′＝1﹣t，∵OCO′C′，∴△O′B′C′∽△OB′M，∴即，解得：OM＝3（1﹣t），S＝S△O′B′C′﹣S△OMB′3×13（1﹣t）2＝；②当1≤t时，如图2，△O′B′C′完全在四边形AOCD内，此时：S1×3；③当时，如图3，设B′C′，C′O′与AD的交点分别为P，Q，过点P作PH⊥C′O′于点H，∵AO＝3，OO′＝t，∴AO′＝3﹣t，O′Q＝AO′tan∠QAO′＝2AO′＝6﹣2t，∴C′Q＝3﹣（6﹣2t）＝2t﹣3，∵PHAB，∴∠HPQ＝∠DAO，∴QH＝HPtan∠HPQ＝2HP，C′H3HP，∴HPC′Q，∴S（2t﹣3）（2t﹣3）；④当3＜t≤4时，如图4，BB′＝t，则AB′＝4﹣t，tan∠DAM＝tan∠PAN2，tan∠PB′N＝tan∠CBO＝3，设NB′＝m，则PN＝3m，AN＝1.5m，∵AB′＝NB′＋AN，∴2.5m＝4﹣t，解得：m（4﹣t），∴PN＝，∴S（4﹣t）•（4﹣t）（t﹣4）2，综上所述：S（3）设点F坐标为（﹣1，h），则MF，MEn，∵ME﹣MF，∴MF＝MEn，∴（m+1）2+（n﹣h）2＝（）2，∴m2+2m+1+h2﹣2nh，将n＝﹣m2﹣2m+3代入上式，整理，得（2h）m2+（4h﹣15）m+1+h2﹣6h0，∴当h时，上式对于任意实数m的值恒成立，∴满足题意的点F的坐标为（﹣1，）．3．（2023·四川泸州·统考一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．(1)求该二次函数的表达式；(2)连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；(3)如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．答案:(1)；(2)或；(3)【详解】（1）解：∵由二次函数，令，则，，过点，，设二次函数的表达式为，将点代入得，，解得，，（2）二次函数的图象经过点，，抛物线的对称轴为，①如图，过点作关于的对称点，，，，，②轴上取一点，使得，则，设，则，，解得，即，设直线CD的解析式为，，解得，直线CD的解析式为，联立，解得或，，综上所述，或，（3）的值是定值，设，，过点作轴于点，则，，，，，，即，，，，，．即的值是定值4．(2023·四川成都·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A，点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上一动点，连接AD交BC于点E，若AE＝2ED，求点D的坐标；(3)直线y＝kx﹣2k+1与抛物线交于M，N两点，取点P（2，0），连接PM，PN，求△PMN面积的最小值．答案:(1)y＝﹣x2+2x+3(2)（1，4）或（2，3）(3)【详解】（1）解：将点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为x＝1，∵B（3，0），∴A（﹣1，0），∴AB＝4，如图，过点D作x轴的平行线交BC于点F，设直线BC的解析式为y＝kx+n，则，解得：，∴直线BC解析式：y＝﹣x+3，设点D（m，﹣m2+2m+3），∴F（m2﹣2m，﹣m2+2m+3），∴DF＝m﹣（m2﹣2m）＝3m﹣m2，∵DF∥AB．∴∠FDE＝∠BAE，∠DFE＝∠EBA，∴△DEF∽△AEB，∴＝，∴DF＝2，∴3m﹣m2＝2，∴m＝1或m＝2，∴D（1，4）或（2，3）；（3）解：∵，∴直线y＝kx﹣2k+1过定点（2，1），记作点Q，∵P（2，0），∴PQ∥y轴，PQ=1，∴，∵直线y＝kx﹣2k+1与抛物线交于M，N两点，∴联立得：，整理得：，∴，∴∴当时，有最小值，∴△PMN面积的最小值为．5．(2023·四川眉山·统考二模）如图直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过A，B两点的抛物线与x轴交于点C，且(1)求抛物线和直线的解析式；(2)若M点为x轴上一动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点M的坐标．(3)若点P是抛物线上A，B两点之间的一个动点（不与A，B重合），则是否存在一点P，使的面积最大？若存在求出的最大面积；若不存在，试说明理由．答案:(1)，(2)(3)存在，8解析：（1）解：∵抛物线过，解得∴抛物线的解析式为∴抛物线与y轴的交点又∵直线过∴，∴∴直线的解析式为：（2）解：∵∴设∵是以为腰的等腰三角形且M点在x轴上当BA=BM时，点M坐标为：，当AB=AM时，点M坐标为：，∴；（3）解：如图连接，过点P作平行于y轴，交直线于D，设点，则∴∴∵∴当时，的面积最大，最大面积为8．6．(2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考一模）如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（﹣3，0），M（0，﹣1）．已知AM=BC．(1)求二次函数的解析式；(2)证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；(3)在（2）的条件下，设直线l过D且l⊥BD，分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N，求的值；答案:(1)y=x2+x-1(2)证明见解析，y=x+(3)解析：(1)∵二次函数y=ax2+x+c的图象经过点B（-3，0），M（0，-1），∴，解得a=，c=-1．

∴二次函数的解析式为：y=x2+x-1．(2)∵二次函数的解析式为：y=x2+x-1，令y=0，得0=x2+x-1，解得x1=-3，x2=2，∴C（2，0），∴BC=5；令x=0，得y=-1，∴M（0，-1），OM=1．又AM=BC，∴OA=AM-OM=4，∴A（0，4）．设AD∥x轴，交抛物线于点D，如图1所示，则，解得x1=5，x2=-6（位于第二象限，舍去）∴D点坐标为（5，4）．∴AD=BC=5，又∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形．即在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形．设直线BD解析式为：y=kx+b，∵B（3，0），D（5，4），∴，解得：k=，b=，∴直线BD解析式为：y=x+．(3)在Rt△AOB中，，又AD=BC=5，∴是菱形．①若直线l∥BD，如图1所示．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC∥直线l，∴，∵BA=BC=5，∴BP=BQ=10，∴．7．(2023·四川广元·统考一模）已知抛物线交x轴于点A，B（A在B点左侧），交y轴负半轴于点C．(1)如图1，当△ABC为直角三角形时，求该抛物线的解析式；(2)如图2，在（1）的条件下，直线交x轴于点D，交y轴于点E，过抛物线上一动点P作PQ⊥DE于Q，过P点作x轴垂线交直线DE于点T，求△PQT的面积的最小值．(3)如图3，抛物线顶点为M，对称轴与x轴交于H，点N为x轴下方抛物线上一动点，直线BN交直线MH于F，直线AN与y轴交于G，猜想线段MF、OG和HM的数量关系，并证明你的结论．答案:(1)yx﹣2(2)(3)或，证明见解析解析：(1)解：令x＝0，则y＝﹣2k，∴C（0，﹣2k）．∵抛物线的开口向上，∴k＞0．∴OC＝2k．令y＝0，则，解得：x1＝﹣1，x2＝4．∴A（﹣1，0），B（4，0）．∴OA＝1，OB＝4．∵∠ACB＝90°，OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB．∴．∴（2k）2＝1×4．∴k＝1．∴该抛物线的解析式为yx﹣2．(2)解：设P（m，m﹣2），则T（m，m﹣3）．∴PT＝（m﹣2）﹣（m﹣3）m+1∵0，∴当m＝1时，PT有最小值．将x＝0，代入得y＝﹣3．∴E（0，﹣3）．∴OE＝3．将y＝0，代入，得x﹣3＝0．解得x＝﹣6．∴D（﹣6，0）．∴OD＝6．∵PT∥OE，∴∠PTQ＝∠OED．∵∠PQT＝∠DOE＝90°，∴△PQT∽△DOE．∴2．设QT＝t，则PQ＝2t，∴PTt．∴的最小值为∵∴△PQT的面积的最小值为．(3)解：线段MF、OG和HM的数量关系为：或．理由如下：①当点N在MH的右侧时，∵ykk，∴M（，k）．∴MHk．设点N（n，），设直线BN的解析式为y＝ax+b，∴，解得：．∴直线BN的解析式为．令x，则．∴．∴．同理可得直线AN的解析式为．令x＝0，则，∴．∴．∵，∴，∴．②当点N在MH的左侧时，同①设点N（n，），设直线BN的解析式为y＝ax+b，可知直线BN的解析式为．令x，则．∴．∴．同理可得直线AN的解析式为．令x＝0，则，∴．∴．∵，∴，∴．综上所述，线段MF、OG和HM的数量关系为：或．8．(2023·四川广元·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线经过点B，两点，且与直线DC交于另一点E．(1)求抛物线的解析式；(2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP．探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案:(1)(2)存在，或或或(3)存在最小值，最小值为，此时点M的坐标为解析：（1）解：∵四边形为正方形，点坐标为∴，A点坐标为∴，∴点坐标为把点的坐标代入抛物线得：解得：∴抛物线的解析式为．（2）解：由（1）中抛物线解析式为，则有抛物线的对称轴为直线∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称∴点坐标为∴由两点距离公式可得设点坐标为，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分