回归教材重难点05二次函数图象性质及其综合应用(原卷版+解析)

回归教材重难点05二次函数图象性质及其综合应用本考点是中考五星高频考点，难度中等及中等偏上，在全国各地市的中考试卷中多有考查。(2023年枣庄市中考数学试卷第16题）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有.（填序号，多选、少选、错选都不得分）分析：由抛物线的对称轴的位置以及与y轴的交点可判断①；由抛物线过点（1，0），即可判断②；由抛物线的对称性可判断③；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可判断④；对称轴可得b＝2a，由抛物线过点（1，0）可判断⑤．【解答】解：∵抛物线对称轴在y轴的左侧，∴ab＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，①正确；∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c＝0，②正确．∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴另一个交点为（﹣3，0），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确；∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，∴y2＞y1＞y3，④错误．∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），∴a+b+c＝0，∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴3a+c＝0，⑤错误．故答案为：①②③．点评：本题考察二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系二次函数图象与性质是初中数学《二次函数》中的重要内容，在中考函数问题中占比也非常大，需要考生掌握的考点有二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等，复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，并做到会读图，识图。本考点是中考五星高频考点，难度中等或中等偏上，在全国各地市的中考试卷中多有考查。技法01：二次函数图象的性质：每个二次函数的增减变化都有两种，要由开口方向、对称轴同时决定。技法02：二次函数图象与系数的关系：a：由开口方向决定，开口向上则a＞0；开口向下则a＜0；b：由a和对称轴同时决定，简称“左同右异”；b=0时，抛物线对称轴为y轴；c：由抛物线与y轴交点的位置确定c的正负，交于y轴正半轴则c＞0，交于y轴负半轴则c＜0.c=0时，抛物线过原点。a、b、c的组合问题多想抛物线对称轴、顶点公式以及点和抛物线的对应关系。技法03：二次函数与一元二次方程、不等式的关系：①用一元二次方程根的判别式判断抛物线与直线的交点个数；②利用解一元二次方程求抛物线与直线的交点；③通过函数图象的上下关系，直接由图象交点的横坐标写出不等式的解集技法04：二次函数图象的简单应用利用二次函数解决生活中的实际问题时，一般先根据题意建议二次函数表达式，并确定自变量的取值范围，然后利用二次函数的图象与性质解决问题【中考真题练】1．(2023•阜新）下列关于二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象和性质的叙述中，正确的是（）A．点（0，2）在函数图象上 B．开口方向向上 C．对称轴是直线x＝1 D．与直线y＝3x有两个交点2．(2023•通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（）A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣13．(2023•郴州）关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（）A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5） C．该函数有最大值，最大值是5 D．当x＞1时，y随x的增大而增大4．(2023•陕西）若二次函数y＝x2+2x+3m﹣1的图象只经过第一、二、三象限，则m满足的条件一定是（）A．m＞ B．m＜2 C．m＜﹣2或m≥﹣ D．≤m＜25．(2023•衢州）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（）A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或46．(2023•朝阳）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（）A．abc＞0 B．3a+c＞0 C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣7．(2023•巴中）函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（）①2a+b＝0；②c＝3；③abc＞0；④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点．A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④8．(2023•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y39．(2023•黔东南州）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝﹣在同一坐标系内的大致图象为（）A．B． C．D．10．(2023•常德）我们发现：＝3，＝3，＝3，…，＝3，一般地，对于正整数a，b，如果满足＝a时，称（a，b）为一组完美方根数对．如上面（3，6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对；②（9，91）是完美方根数对；③若（a，380）是完美方根数对，则a＝20；④若（x，y）是完美方根数对，则点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．(2023•绵阳）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于直线x＝1对称，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点．若﹣2＜x1＜﹣1，则下列四个结论：①3＜x2＜4；②3a+2b＞0；③b2＞a+c+4ac；④a＞c＞b，正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．(2023•南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为s时，小球达到最高点．13．(2023•黔西南州）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则铅球推出的水平距离OA的长是m．14．(2023•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为元（利润＝总销售额﹣总成本）．15．(2023•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米．16．(2023•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为．17．(2023•荆州）规定：两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为．18．(2023•荆门）如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是．19．(2023•淮安）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；（2）当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？20．(2023•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y＝图象的“2阶方点”．（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y＝图象的“1阶方点”的有（填序号）；（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．21．(2023•攀枝花）第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奥会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角θ＝37°的跳台A点以速度v0沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆，AB＝150m．且sin37°＝0.6．忽略空气阻力，请回答下列问题：（1）求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？（2）以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；（3）若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？22．(2023•黄石）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：y＝，数据如表．时间x（分钟）0123…8x＞8累计人数y（人）0150280390…640640（1）求a，b，c的值；（2）如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数＝累计人数﹣已检测人数）；（3）在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？【中考模拟练】1．（2023•河西区一模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：①m＜﹣2；②x1＝1，x2＝3；③二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（1，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．（2023•白云区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴的交点为（0，﹣1），下列结论正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小 B．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大 C．图象在第三象限内，y随x的增大而增大 D．图象在第四象限内，y随x的增大而增大3．（2023•新都区模拟）如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝acx+b的图象可能是（）A．B．C．D．4．（2023•荆门一模）关于二次函数y＝ax2+4ax﹣5，有下列四个结论：①对任意实数m，都有x1＝﹣m﹣1与x2＝m﹣3对应的函数值相等；②若﹣4≤x≤﹣1时，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于A、B两点，且AB≤6，则a≥1或；④当n＞﹣5时，一元二次方程ax2+4ax﹣5﹣n＝0一定有两个实数根．以上结论，正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①③④5．（2023•西湖区一模）点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）上，存在正数m，使得﹣2＜x1＜0且m＜x2＜m+1时，都有y1≠y2，则m的取值范围是（）A．0＜m≤4 B．1＜m≤4 C．0＜m≤1或m≥4 D．1＜m≤2或m≥46．（2023•锦江区模拟）已知竖直上抛物体的高度h（m）与运动时间t（s）的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．如图是一个竖直向上抛出的物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）的函数图象，下列选项中错误的是（）A．h0＝0 B．物体经过8秒后落地 C．物体抛出时的速度为40m/s D．小球运动过程中的最高点距离地面40m7．（2023•碑林区校级模拟）已知二次函数y＝a（x﹣2）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（）A．或4 B．4或 C．或4 D．或8．（2023•南海区一模）如图，是函数y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（0≤x≤4）的图象，通过观察图象得出了如下结论：①当x＞3时，y随x的增大而增太；②该函数图象与坐标轴有三个交点；③该函数的最大值是6，最小值是﹣6；④当0≤x≤4时，不等式（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＞0的解为1＜x＜2．以上结论中正确的有（）A．1 B．2 C．3 D．49．（2023•衡水模拟）某水利工程公司开挖的沟渠，蓄水之后截面呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为（）A．AB＝24m B．池底所在抛物线的解析式为 C．池塘最深处到水面CD的距离为3.2m D．若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的10．（2023•如皋市一模）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，若墙的最大可利用长度为10m，则这块矩形场地的最大面积为m2．11．（2023•二道区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线y2＝kx（k＞0）交于点O和点A．若点A的横坐标是3，则﹣kx+2k＞ax2﹣2ax的解集为．12．（2023•玉溪一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数的图象经过点（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1．对于下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＝0；④若（x1，y1）和（x2，y2）均在该函数的图象上，且﹣1＜x1＜x2，则y1＞y2．其中正确的结论有．（填序号）13．（2023•金凤区校级一模）为了防止蚊虫污染饭菜，小丽用细竹篾编了一个罩子保护饭菜（如图1），将罩子开口朝下放在水平桌面上，其截面为抛物线形．小丽测得罩子的跨度为80厘米，高度为32厘米，小丽以罩子左边缘为原点、水平线为x轴建立平面直角坐标系（如图2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）小丽的妈妈想购买一批直径为24厘米高度为2.5厘米的盘子，要使罩子紧贴水平桌面，罩子内一排能放下3个这样的盘子吗？请说明理由．14．（2023•市南区一模）青岛市是远近闻名的“中国蛤蜊之乡”，每年6至8月，总会吸引大批游客前来品尝，当地某商家为回馈顾客，两周内将标价为20元/千克的蛤蜊经过两次降价后变为16.2元/千克，并且两次降价的百分率相同．（1）求蛤蜊每次降价的百分率．从第一次降价的第1天算起，第x天蛤蜊（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示：时间x/天l≤x＜99≤x＜15售价/（元/千克）第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量/千克105﹣3x120﹣x储存和损耗费用/元40+3x3x2﹣68x+300已知蛤蜊的进价为8.2元/千克，设销售蛤蜊第x（天）的利润为y（元）；（2）求y与x（1≤x＜15）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大？（3）问这14天中，有多少天的销售利润不低于930元？请说明理由．回归教材重难点05二次函数图象性质及其综合应用本考点是中考五星高频考点，难度中等及中等偏上，在全国各地市的中考试卷中多有考查。(2023年枣庄市中考数学试卷第16题）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有.（填序号，多选、少选、错选都不得分）分析：由抛物线的对称轴的位置以及与y轴的交点可判断①；由抛物线过点（1，0），即可判断②；由抛物线的对称性可判断③；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可判断④；对称轴可得b＝2a，由抛物线过点（1，0）可判断⑤．【解答】解：∵抛物线对称轴在y轴的左侧，∴ab＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，①正确；∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c＝0，②正确．∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴另一个交点为（﹣3，0），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确；∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，∴y2＞y1＞y3，④错误．∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），∴a+b+c＝0，∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴3a+c＝0，⑤错误．故答案为：①②③．点评：本题考察二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系二次函数图象与性质是初中数学《二次函数》中的重要内容，在中考函数问题中占比也非常大，需要考生掌握的考点有二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等，复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，并做到会读图，识图。本考点是中考五星高频考点，难度中等或中等偏上，在全国各地市的中考试卷中多有考查。技法01：二次函数图象的性质：每个二次函数的增减变化都有两种，要由开口方向、对称轴同时决定。技法02：二次函数图象与系数的关系：a：由开口方向决定，开口向上则a＞0；开口向下则a＜0；b：由a和对称轴同时决定，简称“左同右异”；b=0时，抛物线对称轴为y轴；c：由抛物线与y轴交点的位置确定c的正负，交于y轴正半轴则c＞0，交于y轴负半轴则c＜0.c=0时，抛物线过原点。a、b、c的组合问题多想抛物线对称轴、顶点公式以及点和抛物线的对应关系。技法03：二次函数与一元二次方程、不等式的关系：①用一元二次方程根的判别式判断抛物线与直线的交点个数；②利用解一元二次方程求抛物线与直线的交点；③通过函数图象的上下关系，直接由图象交点的横坐标写出不等式的解集技法04：二次函数图象的简单应用利用二次函数解决生活中的实际问题时，一般先根据题意建议二次函数表达式，并确定自变量的取值范围，然后利用二次函数的图象与性质解决问题【中考真题练】1．(2023•阜新）下列关于二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象和性质的叙述中，正确的是（）A．点（0，2）在函数图象上 B．开口方向向上 C．对称轴是直线x＝1 D．与直线y＝3x有两个交点分析：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；C、根据对称轴公式计算；D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．【解答】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），得y＝6≠2，∴A错误；B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，∵a＝﹣3＜0，∴二次函数的图象开口方向向下，∴B错误；C、∵二次函数对称轴是直线x＝﹣＝，∴C错误；D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，∴﹣3x2+3x+6＝3x，∴﹣3x2+6＝0，∵b2﹣4ac＝72＞0，∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，∴D正确；故选：D．2．(2023•通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（）A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1分析：根据图象的平移规律，可得答案．【解答】解：将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣1+1）2+1﹣2，即y＝x2﹣1．故选：D．3．(2023•郴州）关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（）A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5） C．该函数有最大值，最大值是5 D．当x＞1时，y随x的增大而增大分析：通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解．【解答】解：y＝（x﹣1）2+5中，x2的系数为1，1＞0，函数图象开口向上，A错误；函数图象的顶点坐标是（1，5），B错误；函数图象开口向上，有最小值为5，C错误；函数图象的对称轴为x＝1，x＜1时y随x的增大而减小；x＞1时，y随x的增大而增大，D正确．故选：D．4．(2023•陕西）若二次函数y＝x2+2x+3m﹣1的图象只经过第一、二、三象限，则m满足的条件一定是（）A．m＞ B．m＜2 C．m＜﹣2或m≥﹣ D．≤m＜2分析：利用二次函数的性质，抛物线与x轴有2个交点，与y轴的交点不在负半轴上，即Δ＞0，且3m﹣1≥0，然后解不等式组即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x+3m﹣1经过第一、二、三象限，∴Δ＝（2）2﹣4（3m﹣1）＞0且3m﹣1≥0，解得≤m＜2．故选：D．5．(2023•衢州）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（）A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4分析：分两种情况讨论：当a＞0时，﹣a＝﹣4，解得a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，9a﹣a＝﹣4，解得a＝﹣．【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣a），当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，∵y的最小值为﹣4，∴﹣a＝﹣4，∴a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，∴9a﹣a＝﹣4，解得a＝﹣；综上所述：a的值为4或﹣，故选：D．6．(2023•朝阳）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（）A．abc＞0 B．3a+c＞0 C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣分析：根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【解答】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，不正确，不符合题意；B．函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，∵从图象看，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，故不正确，不符合题意；C．∵当x＝1时，函数有最大值为y＝a+b+c，∴am2+bm+c≤a+b+c（m为任意实数），∴am2+bm≤a+b，∵a＜0，∴a2m2+abm≥a2+ab（m为任意实数）故不正确，不符合题意；D．∵﹣＝1，故b＝﹣2a，∵x＝﹣1，y＝0，故a﹣b+c＝0，∴c＝﹣3a，∵2＜c＜3，∴2＜﹣3a＜3，∴﹣1＜a＜﹣，故正确，符合题意；故选：D．7．(2023•巴中）函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（）①2a+b＝0；②c＝3；③abc＞0；④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点．A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④分析：根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得2a+b＝0，由图象可得抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交点在x轴下方，由抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向，对称轴位置和抛物线与y轴交点位置可得abc的符号，求出二次函数y＝ax2+bx+c的顶点式，可得图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点【解答】解：∵图象经过（﹣1，0），（3，0），∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，①正确．由图象可得抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，②错误．由抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上可得a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，③正确．设抛物线y＝ax2+bx+c的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），代入（0，3）得：3＝﹣3a，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为（1，4），∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），∴将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点，故④正确；故选：D．8．(2023•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3分析：首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3，故选：D．9．(2023•黔东南州）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝﹣在同一坐标系内的大致图象为（）A．B． C．D．分析：由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴直线y＝ax+b经过第一，二，三象限，反比例函数y＝﹣图象经过一，三象限，故选：C．10．(2023•常德）我们发现：＝3，＝3，＝3，…，＝3，一般地，对于正整数a，b，如果满足＝a时，称（a，b）为一组完美方根数对．如上面（3，6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对；②（9，91）是完美方根数对；③若（a，380）是完美方根数对，则a＝20；④若（x，y）是完美方根数对，则点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个分析：将（4，12），（9，91）代入验证即可判断①②；将（a，380）代入公式，建立方程可得出结论；若（x，y）是完美方根数对，则满足给出公式，化简可得出结论．【解答】解：将（4，12）代入＝4，＝4，＝4，…，∴（4，12）是完美方根数对；故①正确；将（9，91）代入＝10≠9，＝，∴（9，91）不是完美方根数对，故②错误；③∵（a，380）是完美方根数对，∴将（a，380）代入公式，＝a，＝a，解得a＝20或a＝﹣19（舍去），故③正确；④若（x，y）是完美方根数对，则＝x，＝x，整理得y＝x2﹣x，∴点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，故④正确；故选：C．11．(2023•绵阳）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于直线x＝1对称，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点．若﹣2＜x1＜﹣1，则下列四个结论：①3＜x2＜4；②3a+2b＞0；③b2＞a+c+4ac；④a＞c＞b，正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个分析：根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点以及x＝﹣1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a﹣b+c＜0，即可判断④．【解答】解：∵对称轴为直线x＝1，﹣2＜x1＜﹣1，∴3＜x2＜4，①正确，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴3a+2b＝3a﹣4a＝﹣a，∵a＞0，∴3a+2b＜0，②错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，由题意可知x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，∵a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∴a+c＜0，∴b2﹣4ac＞a+c，∴b2＞a+c+4ac，③正确；∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，∴a＞0，c＜0，∴a＞c，∵a﹣b+c＜0，b＝﹣2a，∴3a+c＜0，∴c＜﹣3a，∴b＝﹣2a，∴b＞c，所以④错误；故选：B．12．(2023•南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为2s时，小球达到最高点．分析：把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．【解答】解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∵﹣5＜0，∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，故答案为：2．13．(2023•黔西南州）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则铅球推出的水平距离OA的长是10m．分析：根据题目中的函数解析式和图象可知，OA的长就是抛物线与x轴正半轴的交点的横坐标的值，然后令y＝0求出相应的x的值，即可得到OA的长．【解答】解：∵y＝﹣x2+x+，∴当y＝0时，0＝﹣x2+x+，解得x1＝﹣2，x2＝10，∴OA＝10m，故答案为：10．14．(2023•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为121元（利润＝总销售额﹣总成本）．分析：利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润＝单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．【解答】解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，故答案为：121．15．(2023•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米．分析：根据已知建立直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把x＝4代入抛物线解析式得出y，即可得出答案．【解答】解：以水面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，由题意可得：AO＝OB＝3米，C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣3，0）代入抛物线解析式得，9a+2＝0，解得：a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2，当x＝4时，y＝﹣×16+2＝﹣，∴水面下降米，故答案为：．16．(2023•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为（﹣5，﹣4）或（0，1）．分析：由抛物线解析式可得A，B，C三点的坐标，则AB＝4，将点D的坐标代入抛物线的解析式可得m的值，确定D的坐标，根据计算的D的坐标分情况画图可得结论．【解答】解：把点D（m，m+1）代入抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5中得：m+1＝﹣m2﹣6m﹣5，解得：m1＝﹣1，m2＝﹣6，∴D（﹣1，0）或（﹣6，﹣5），当y＝0时，﹣x2﹣6x﹣5＝0，∴x＝﹣1或﹣5，∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），当x＝0时，y＝﹣5，∴OC＝OA＝5，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠OAC＝45°，①如图1，D（﹣1，0），此时点D与B重合，连接AD'，∵点D与D'关于直线AC对称，∴AC是BD的垂直平分线，∴AB＝AD'＝﹣1﹣（﹣5）＝4，且∠OAC＝∠CAD'＝45°，∴∠OAD'＝90°，∴D'（﹣5，﹣4）；②如图2，D（﹣6，﹣5），∵点D（m，m+1），∴点D在直线y＝x+1上，此时直线y＝x+1过点B，∴BD⊥AC，即D'在直线y＝x+1上，∵A（﹣5，0），C（0，﹣5），则直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣5，∵﹣x﹣5＝x+1，∴x＝﹣3，∴E（﹣3，﹣2），∵点D与D'关于直线AC对称，∴E是DD'的中点，∴D'（0，1），综上，点D关于直线AC的对称点的坐标为（﹣5，﹣4）或（0，1）．故答案为：（﹣5，﹣4）或（0，1）．17．(2023•荆州）规定：两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4．分析：根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求解．【解答】解：∵函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，∴函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，当k＝0时，函数解析式为y＝﹣2x﹣3，它的“Y函数”解析式为y＝2x﹣3，它们的图象与x轴只有一个交点，当k≠0时，此函数是二次函数，∵它们的图象与x轴都只有一个交点，∴它们的顶点分别在x轴上，∴＝0，解得：k＝﹣1，∴原函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣4＝﹣（x+2）2，∴它的“Y函数”解析式为y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+4x﹣4，综上，“Y函数”的解析式为y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4，故答案为：y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4．18．(2023•荆门）如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是＜t＜1．分析：根据A、B关于对称轴x＝1对称，可知x1+x2＝2，由直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点，可以求出x3的取值范围，进而求出t的范围．【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1，∴当x＝1时函数有最小值为2，x1+x2＝2，由一次函数y＝﹣x+（x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x＝，∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3），∴y1＝y2＝y3＝m，2＜m＜3，∴2＜x3＜，∴t＝＝，∴＜t＜1．故答案为：＜t＜1．19．(2023•淮安）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；（2）当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？分析：（1）A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，根据两次进货情况，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据：利润＝（每台实际售价﹣每台进价）×销售量，列函数关系式，配方成二次函数的顶点式可得函数的最大值；【解答】解：（1）A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，根据题意得，，解得，答：A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；（2）设B品牌粽子每袋的销售价降低a元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，利润为w元，根据题意得，w＝（54﹣a﹣30）（20+5a）＝﹣5a2+100a+480＝﹣5（a﹣10）2+980，∵﹣5＜0，∴当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．20．(2023•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y＝图象的“2阶方点”．（1）在①（﹣2，﹣）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y＝图象的“1阶方点”的有②③（填序号）；（2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；（3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．分析：（1）根据定义进行判断即可；（2）在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．【解答】解：（1）①（﹣2，﹣）到两坐标轴的距离分别是2，，∵2＞1，＜1，∴（﹣2，﹣）不是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；②（﹣1，﹣1）到两坐标轴的距离分别是1，1，∵≤1，1≤1，∴（﹣1，﹣1）是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；③（1，1）到两坐标轴的距离分别是1，1∵1≤1，1≤1，∴（1，1）是反比例函数y＝图象的“1阶方点”；故答案为：②③；（2）∵当x＝3时，y＝ax﹣3a+1＝a（x﹣3）+1＝1，∴函数经过点（3，1），如图1，在以O为中心，边长为4的正方形ABCD中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，由图可知，C（2，﹣2），D（2，2），∵一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，当直线经过点D时，a＝﹣1，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，当直线经过点C时，a＝3，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，综上所述：a的值为3或﹣1；（3）在以O为中心，边长为2n的正方形ABCD中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，如图2，当n＞0时，A（n，n），C（﹣n，﹣n），B（n，﹣n），D（﹣n，n），当抛物线经过点B时，n＝1；当抛物线经过点D时，n＝﹣1（舍）或n＝；∴≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象有“n阶方点”；综上所述：当≤n≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在．21．(2023•攀枝花）第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奥会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角θ＝37°的跳台A点以速度v0沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆，AB＝150m．且sin37°＝0.6．忽略空气阻力，请回答下列问题：（1）求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？（2）以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；（3）若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？分析：（1）如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，过点B作BD⊥y轴于点D．解直角三角形求出OD即可；（2）设抛物线的解析式为y＝ax2，求出点B的坐标，代入求出a即可；（3）求出x＝﹣60，y的值即可判断．【解答】解：（1）如图，以A为原点，建立平面直角坐标系．过点B作BD⊥y轴于点D．在Rt△OBD中，OD＝AB•sin37°＝150×0.6＝90（m），答：该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m；（2）在Rt△OBD中，BD＝＝＝120（m），∴B（﹣120，﹣90），由题意抛物线顶点为（0，0），经过（﹣120，﹣90）．设抛物线的解析式为y＝ax2，则有﹣90＝a×（﹣120）2，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2．（3）当x＝﹣60时，y＝﹣22.5，∴他飞行2s后，垂直下降了22.5m．22．(2023•黄石）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：y＝，数据如表．时间x（分钟）0123…8x＞8累计人数y（人）0150280390…640640（1）求a，b，c的值；（2）如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数＝累计人数﹣已检测人数）；（3）在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？分析：（1）根据题意列方程，解方程即可得到答案；（2）根据排队人数＝累计人数﹣已检测人数，首先找到排队人数和时间的关系，再根据二次函数和一次函数的性质，找到排队人数最多时有多少人；8分钟后入校园人数不再增加，检测完所有排队同学即完成所有同学体温检测；（3）设从一开始就应该增加m个检测点，根据不等关系“要在20分钟内让全部学生完成核酸检测”，建立关于m的一元一次不等式，结合m为整数可得到结果．【解答】解：（1）由题意，，解得，；（2）设第x分钟时的排队人数为W，根据题意得：W＝y﹣20x，∴W＝，当0≤x≤8时，W＝﹣10x2+140x＝﹣10（x﹣7）2+490，∴当x＝7时，W最大＝490，当x＞8时，W＝640﹣20x，∵k＝﹣20＜0，∴W随x的增大而减小，∴W＜480，故排队人数最多时有490人；（3）要全部学生都完成核酸检测，根据题意得：640﹣20x＝0，解得：x＝32，所以全部学生都完成核酸检测要32分钟；开始就应该至少增加m个检测点，根据题意得：5×20（m+4）≥640，解得：m≥2.4，∵m为整数，∴m＝3，答：从一开始就应该至少增加3个检测点．【中考模拟练】1．（2023•河西区一模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：①m＜﹣2；②x1＝1，x2＝3；③二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（1，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3分析：根据题目中的方程和求根公式可以判断①；根据题意和方程的知识，可以判断②；根据函数和方程的关系，可以判断③．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+3＝m有实数根x1、x2，且x1≠x2，∴一元二次方程x2﹣4x+3﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（3﹣m）＞0，解得m＞﹣1，故①错误，不符合题意；当m＝0时，x1＝1，x2＝3，当m≠0时，x1的值不是1，x2的值不是3，故②错误，不符合题意；∵二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m，∴当y＝0时，0＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m，0＝x2﹣4x+3﹣m+m，解得x3＝1，x4＝3，即二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（1，0）和（3，0），故③正确，符合题意；故选：B．2．（2023•白云区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴的交点为（0，﹣1），下列结论正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小 B．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大 C．图象在第三象限内，y随x的增大而增大 D．图象在第四象限内，y随x的增大而增大分析：根据函数的图象，采用数形结合思想求解．【解答】解：A：由图象得：当x＞0即y轴右侧时，y随x的增大而增大，故A是错误的；B：由图象得，在第三象限，函数有增有减，故B是错误的；C：由图象得：在第三象限，函数有增有减，故C是错误的；D：由图象得：当x＞0时，y随x的增大而增大，故D是正确的；故选：D．3．（2023•新都区模拟）如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝acx+b的图象可能是（）A．B．C．D．分析：先由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx+b的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意；D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意．故选：B．4．（2023•荆门一模）关于二次函数y＝ax2+4ax﹣5，有下列四个结论：①对任意实数m，都有x1＝﹣m﹣1与x2＝m﹣3对应的函数值相等；②若﹣4≤x≤﹣1时，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于A、B两点，且AB≤6，则a≥1或；④当n＞﹣5时，一元二次方程ax2+4ax﹣5﹣n＝0一定有两个实数根．以上结论，正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①③④分析：二次函数y＝ax2+4ax﹣5的对称轴为，即可判断①；当x＝﹣2时，y＝4a﹣8a﹣5＝﹣4a﹣5，当x＝﹣1时，y＝a﹣4a﹣5＝﹣3a﹣5，当x＝﹣4时，y＝16a﹣16a﹣5＝﹣5，分当a＞0时，﹣4a﹣5≤y≤﹣5，当a＜0时，﹣5≤y≤﹣4a﹣5，进行求解即可判断②；当y＝0时，0＝ax2+4ax﹣5，则Δ＝（4a）2+20a＝16a2+20a＞0，分当a＞0时，Δ＞0，当x＝1时，a+4a﹣5＝5a﹣5≥0，当a＜0时，Δ＞0，当x＝1时，a+4a﹣5＝5a﹣5≤0，求解即可判断③；由Δ＝16a2+（20+4n）a，分情况讨论即可判断④．【解答】解：（1）二次函数y＝ax2+4ax﹣5的对称轴为，﹣m﹣1﹣（﹣2）＝﹣m+1，（﹣2）﹣（m﹣3）＝﹣m+1，故①正确；当x＝﹣2时，y＝4a﹣8a﹣5＝﹣4a﹣5，当x＝﹣1时，y＝a﹣4a﹣5＝﹣3a﹣5，当x＝﹣4时，y＝16a﹣16a﹣5＝﹣5，当a＞0时，﹣4a﹣5≤y≤﹣5，对应y的整数值有4各，分别是﹣5，﹣6，﹣7，﹣8，∴﹣9＜﹣4a﹣5≤﹣8，∴，当a＜0时，﹣5≤y≤﹣4a﹣5，对应y的整数值有4各，分别是﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，∴﹣2≤﹣4a﹣5＜﹣1，∴，综上，﹣4≤x≤﹣1时，对应的y的整数值有4个，则或；故②错误；当y＝0时，0＝ax2+4ax﹣5，则Δ＝（4a）2+20a＝16a2+20a＞0，当a＞0时，抛物线与x轴交于A、B两点，AB≤6，∴Δ＞0，当x＝1时，a+4a﹣5＝5a﹣5≥0，∴，解得：a≥1，当a＜0时，抛物线与x轴交于A、B两点，AB≤6，∴Δ＞0，当x＝1时，a+4a﹣5＝5a﹣5≤0，∴，解得：∴若抛物线与x轴交于A、B两点，且AB≤6，则a≥1或，故③正确；对于一元二次方程ax2+4ax﹣5﹣n＝0，Δ＝16a2+（20+4n）a，若一元二次方程ax2+4ax﹣5﹣n＝0一定有两个实数根，则当a＞0时，20+4n≥0，即n≥﹣5；当a＜0时，20+4n≤0，即n≤﹣5；故④正确．综上，正确的有①③④，故选：D．5．（2023•西湖区一模）点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）上，存在正数m，使得﹣2＜x1＜0且m＜x2＜m+1时，都有y1≠y2，则m的取值范围是（）A．0＜m≤4 B．1＜m≤4 C．0＜m≤1或m≥4 D．1＜m≤2或m≥4分析：先由二次函数的解析式求得函数的对称轴，然后求得当y1＝y2时，x2的取值范围，再由y1≠y2列出关于m的不等式（组），进而得到m的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0），∴函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，根据二次函数的对称性可得，当﹣2＜x1＜0时，当1×2﹣0＜x2＜1×2﹣（﹣2），y1＝y2，即2＜x2＜4，∴存在正数m，使得﹣2＜x1＜0且m＜x2＜m+1时，都有y1≠y2，∴m≥4或，解得：0＜m≤1或m≥4，故选：C．6．（2023•锦江区模拟）已知竖直上抛物体的高度h（m）与运动时间t（s）的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．如图是一个竖直向上抛出的物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）的函数图象，下列选项中错误的是（）A．h0＝0 B．物体经过8秒后落地 C．物体抛出时的速度为40m/s D．小球运动过程中的最高点距离地面40m分析：根据题意和函数图象中的数据，可以得到h0的值和物体经过8秒后落地，从而可以判断A和B；再根据图象过点（8，0），即可计算出物体抛出时的速度，从而可以判断C；将函数解析式化为顶点式，即可判断D．【解答】解：由图象可得，h0＝0，故选项A正确，不符合题意；物体经过8秒后落地，故选项B正确，不符合题意；∵点（8，0）在该函数图象上，∴0＝﹣5×82+v0×8，解得v0＝40，故选项C正确，不符合题意；∴h＝﹣5t2+40t＝﹣5（t﹣4）2+80，∴小球运动过程中的最高点距离地面80m，故选项D错误，符合题意；故选：D．7．（2023•碑林区校级模拟）已知二次函数y＝a（x﹣2）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（）A．或4 B．4或 C．或4 D．或分析：分两种情况讨论：当a＞0时，﹣a＝﹣4，解得a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，9a﹣a＝﹣4，解得a＝﹣．【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣a），当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，∵y的最小值为﹣4，∴﹣a＝﹣4，∴a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，∴9a﹣a＝﹣4，解得a＝﹣；综上所述：a的值为4或﹣，故选：B．8．（2023•南海区一模）如图，是函数y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（0≤x≤4）的图象，通过观察图象得出了如下结论：①当x＞3时，y随x的增大而增太；②该函数图象与坐标轴有三个交点；③该函数的最大值是6，最小值是﹣6；④当0≤x≤4时，不等式（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＞0的解为1＜x＜2．以上结论中正确的有（）A．1 B．2 C．3 D．4分析：根据图象的性质、特点即可求解．【解答】解：①当x＞3时，y随x的增大而增大，故①正确；②该函数图象与坐标轴有四个交点，故②错误；③函数的取值范围是0≤x≤4，当x＝0时，y＝（0﹣1）（0﹣2）（0﹣3）＝﹣6；当x＝4时，y＝（4﹣1）（4﹣2）（4﹣3）＝3×2×1＝6，该函数的最大值是6，最小值是﹣6，故③正确；④当当0≤x≤4时，不等式（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＞0的解为1＜x＜2或x＞3，故④错误．综上所述，结论正确的有①③2个，故选：B．9．（2023•衡水模拟）某水利工程公司开挖的沟渠，蓄水之后截面呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为（）A．AB＝24m B．池底所在抛物线的解析式为 C．池塘最深处到水面CD的距离为3.2m D．若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的分析：利用建立的坐标系得到抛物线上点的坐标，然后通过待定系数法求出抛物线解析式，对照选项即可．【解答】解：设解析式为y＝ax2+bx+c，抛物线上点A（﹣15，0），B（15，0），P（0，﹣5），代入抛物线解析式中得：，解得：，解析式为．选项A中，AB＝15﹣（﹣15）＝30，故选项A错误，该选项不符合题意；选项B中，解析式为，故选项B错误，该选项不符合题意；选项C中，池塘水深最深处为点P（0，﹣5），水面CD：，﹣1.8﹣（﹣5）＝3.2（米），所以水深最深处为点P到水面CD的距离为3.2米，故选项C正确，该选项符合题意；选项D中，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，由抛物线关于y轴对称可知，抛物线上点横坐标±6，代入解析式算得，即到水面CD距离为米，而最深处到水面的距离为3.2米，减少为原来的．故选项D错误，该选项不符合题意．故选：C．10．（2023•如皋市一模）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，若墙的最大可利用长度为10m，则这块矩形场地的最大面积为32m2．分析：设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析可求出答案．【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）m，∴矩形围栏的面积为