特训01期中解答压轴题(第16-18章)(原卷版+解析)

特训01期中解答压轴题（第16-18章）一、解答题1．阅读下列材料，解答后面的问题：；；(1)写出下一个等式；(2)计算的值；(3)请求出的运算结果．2．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．(1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；①x2﹣5x﹣6＝0；②x2﹣x＋1＝0；(2)已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值；(3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值．3．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．请选择合适的材料解决下面的问题：(1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______；(2)化简：；(3)已知a为常数（1≤a≤2），点M（，m）且，点是点M的“横负纵变点”，求点'的坐标．4．阅读下列材料：在解一元二次方程时，无论是用直接开平方法、配方法还是用因式分解法，我们都是将一元二次方程转化为两个一元一次方程，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程，可得，，．再如，解无理方程（根号下含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为，解得．（1）解下列方程：①②（2）根据材料给你的启示，求函数的最小值．5．如果方程满足两个实数解都为正整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定：满足．例如有正整数解3和4，所以属于同族方程，所以(1)如果同族方程中有两个相同的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有(2)如果同族方程中的实数q满足如下条件：①为一个两位正整数，y为自然数②交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得差为54，那么我们称这样为同族方程中和谐方程，求所有和谐方程中的G的最小值．6．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式或(其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2+2ab+b2=(a+b)2配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用．例如：①我们可以将代数式a2+6a+10进行变形，其过程如下a2+6a+10=(a2+6a)+10=(a2+6a+9)+10-9=(a+3)2+1∵(a+3)2≥0∴(a+3)+1≥1，因此，该式有最小值1②已知：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0将其变形，a22ab+2ac+b2++2bc+c2=0a2+2a(b+c)+(b+c)2=可得(a+b+c)2=0(1)按照上述方法，将代数式x2+8x+20变形为a(x+h)2+k的形式；(2)若p=-x2+2x+5，求p的最大值；(3)已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，试判断此三角形的形状并说明理由；(4)已知：a=2020x+2019，b=2020x+2020，c=2020x+2021，直接写出a2+b2+c2-ab-bc-ac的值．7．对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x＝n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x2，当x＝0时，代数式等于0；当x＝1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A＝0．（1）代数式x2﹣2的不变值是，A＝．（2）说明代数式3x2+1没有不变值；（3）已知代数式x2﹣bx+1，若A＝0，求b的值．8．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知可取任何实数，试求二次三项式最小值．解：无论取何实数，总有．，即的最小值是．即无论取何实数，的值总是不小于的实数．问题：（1）已知，求证是正数．知识迁移：（2）如图，在中，，，，点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，求的最大值．9．阅读下列三份材料：材料1：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式；类似的，假分式也可以化为带分式．如：；材料2：在学了乘法公式“”的应用后，王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法：解：，∵，∴．当时，的值最小，最小值是1．∴的最小值是1．材料3：由得，；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当a=b时取到等号．例如：已知，求式子的最小值．解：令a=x，，则由，得，当且仅当时，即x=2时，式子有最小值，最小值为4．请你根据上述材料，解答下列各题：(1)已知，填空：①把假分式化为带分式的形式是________；②式子的最小值为________；③式子的最小值为________；(2)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？(3)已知，分别求出分式和的最值．（若有最大值，则求最大值，若有最小值，则求最小值）．10．如果记，并且表示当时的值，即；表示当时的值，即；表示当时的值，即；…（1）计算下列各式的值：__________.__________.（2）当为正整数时，猜想的结果并说明理由；（3）求的值.11．我国南宋时期有个著名的数学家秦九韶提出了一个利用三角形的三边求三角形的面积的公式，若三角形三边为，则此三角形的面积为：同样古希腊有个几何学家海伦也提出了一个三角形面积公式：其中（1）在中，若，，，用其中一个公式求的面积．（2）请证明：12．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点、分别在函数的图像上，且轴，轴．（1）当点的横坐标为6时，求直线的表达式；（2）联结，当时，求点的坐标；（3）联结、，求的值．13．已知在平面直角坐标中，点在第一象限内，且，反比例函数的图像经过点，（1）当点的坐标为时（如图），求这个反比例函数的解析式；（2）当点在反比例函数的图像上，且在点的右侧时（如图2），用含字母的代数式表示点的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，求的值．14．已知正反比例函数的图像交于、两点，过第二象限的点作轴，点的横坐标为，且，点在第四象限（1）求这两个函数解析式；（2）求这两个函数图像的交点坐标；（3）若点在坐标轴上，联结、，写出当时的点坐标15．如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标是4．双曲线上有一动点C（m，n）,.过点A作轴垂线，垂足为B，过点C作轴垂线，垂足为D，联结OC．（1）求的值；（2）设的重合部分的面积为S，求S与m的函数关系；（3）联结AC，当第（2）问中S的值为1时，求的面积．16．如图，在平面直角坐标系中，，轴于点，点在反比例函数的图像上．（1）求反比例函数的表达式；（2）求面积；（3）在坐标轴上是否存在一点，使得以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，简述你的理由．17．如图已知正比例函数图像经过点A(2，3）、B（m，6）.（1）求正比例函数的解析式.（2）求m的值及A、B两点之间的距离。（3）分别过点A与点B作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支分别交于点C、D（点C、D均在点A、B下方），若BD=5AC.求反比例函数的解析式，并求出四边形ACDB的面积。18．已知反比例函数的图像与的图像交于点A、B，A点的坐标是（，-2）（1）求反比例函数解析式；（2）求点B的坐标；（3）在y轴上是否存在点C，使得△ABC的面积是6，若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由。19．如图，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点，且为双曲线上的一点，为坐标平面上一动点，垂直于轴，垂直于轴，垂足分别是、.（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式.（2）当点在直线上运动时，直线上是否存在这样的点，使得与的面积相等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由.20．如图，是反比例函数在第一象限图象上一点，连接OA，过A作轴，截取在A右侧，连接OB，交反比例函数的图象于点P．（1）求反比例函数的表达式；（2）求点B的坐标及OB所在直线解析式；（3）求的面积．21．周末，小丽骑自行车从家出发到野外郊游，从家出发0.5小时到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小丽离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，行驶10分钟时，恰好经过甲地，如图是她们距乙地的路程y(km)与小丽离家时间x(h)的函数图象．（1）小丽骑车的速度为_______km/h，在甲地游玩了_______小时；（2）求小丽游玩一段时间后前往乙地的过程中y与x的函数关系；（3）小丽从家出发多少小时后被妈妈追上?此时距家的路程多远．22．如图①，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°．（1）动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿路线A→B→C→D运动到点D停止．设运动时间为a，△AMD的面积为S，S关于a的函数图象如图②所示，求AD、CD的长．（2）如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线A→D→C运动到点C停止．同时，动点Q从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线C→D→A运动到点A停止．设运动时间为t，当Q点运动到AD边上时，连接CP、CQ、PQ，当△CPQ的面积为8时，求t的值．23．点为平面直角坐标系的原点，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，且．（1）若点的坐标为，点恰好为的中点，过点作轴于点，交的图象于点．①请求出、的值；②试求的面积．（2）若轴，，与间的距离为6，试说明的值是否为某一固定值？如果是定值，试求出这个定值；若不是定值，请说明理由．24．（1）用“＞”、“＝”、“＜”填空：_________，_________，_________（2）由（1）中各式猜想：对于任意正实数a、b，a＋b_________（填“＜”、“＞”、“≤”或“≥”），并说明理由；（3）结论应用：若a＞0，则当a＝_________时，有最小值；若b＞0，有最小值，最小值为_________；（4）问题解决：如图，已知点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，且AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C．四边形ABCD的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值，并写出此时点A的坐标；若不存在，说明理由25．背景：点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，分别在射线上取点D，E，使得四边形为正方形．如图1，点A在第一象限内，当时，小李测得．探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请有助小李解决下列问题．(1)求k的值．(2)设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了时“Z函数”的图象．①求这个“Z函数”的表达式．②补画时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．26．“卓越数学兴趣小组”准备对函数图像和性质进行探究，他们制定了以下探究步骤：(1)该小组认为此函数与反比例函数有关，于是他们首先画出了反比例函数y＝的图像（如图1），然后画出了的图像，请在图1中画出此图像（草图）．(2)他们发现函数图像可以由y＝的图像平移得到，请写出平移过程．(3)他们发现可以根据函数图像画出函数的图像，请在图2中画出此图像（草图），并写出其中的两条函数性质．(4)他们研究后发现，方程中，随着a的变化，方程的解的个数也会有所变化，请结合图像，就a的取值范围讨论方程解的情况．特训01期中解答压轴题（第16-18章）一、解答题1．阅读下列材料，解答后面的问题：；；(1)写出下一个等式；(2)计算的值；(3)请求出的运算结果．答案:(1)(2)(3)分析：（1）直接根据前面的等式，仿写出下一个等式即可；（2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可；（3）先分母有理化，然后合并同类二次根式，再利用平方差公式计算即可．（1）解：（2）解：．（3）解：【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式等知识点，在处理二次根式混合运算时，先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．2．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．(1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；①x2﹣5x﹣6＝0；②x2﹣x＋1＝0；(2)已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值；(3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值．答案:(1)①不是“差1方程”，理由见解析；②是“差1方程”，理由见解析(2)或(3)时，的最大值为9分析：（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“差1方程”；（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出的方程，注意有两种情况；（3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果．（1）解：①解方程得：，或，，不是“差1方程”；②，∴，，是“差1方程”；（2）解：方程得：，或，方程是常数）是“差1方程”，或，或；（3）解：由题可得：∴解方程得，关于的方程、是常数，是“差1方程”，，，，，，时，的最大值为9．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义，本题属于中等题型．3．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．请选择合适的材料解决下面的问题：(1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______；(2)化简：；(3)已知a为常数（1≤a≤2），点M（，m）且，点是点M的“横负纵变点”，求点'的坐标．答案:(1)（，）；（，）(2)+(3)（﹣，﹣）分析：（1）根据“横负纵变点”的定义，，即可；（2）根据材料一，双重二次根式的化简，将化为，再根据，即可化简；（3）根据，得；将化简得；根据，得，求出的值，求出的坐标，根据横负纵变点”的定义，，即可求出的坐标．（1）∵∴点（，）的“横负纵变点”为（，）∵∴点（，）的“横负纵变点”为（，）故答案为：（，）；（，）．（2）∴化简得：．（3）∵∴∴∴∴∵∴∴∴点（，）∵∴（，）故的坐标为：（，）．【点睛】本题考查了二次根式的加减，新定义等知识，解题的关键是理解新定义公式，化简最简二次根式．4．阅读下列材料：在解一元二次方程时，无论是用直接开平方法、配方法还是用因式分解法，我们都是将一元二次方程转化为两个一元一次方程，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程，可得，，．再如，解无理方程（根号下含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为，解得．（1）解下列方程：①②（2）根据材料给你的启示，求函数的最小值．答案:（1）①，，；②；（2）分析：（1）①结合题意，首先提取公因式，再结合因式分解法求解，即可得到答案②方程两边平方把它转化为，再通过因式分解法求解一元二次方程，结合二次根式的取值范围分析，即可得到答案；（2）首先将原函数转化成关于x的一元二次方程，分和两种情况，当时，根据一元二次方程判别式的性质计算，即可得到y的取值范围；当时，结合一元一次方程的性质分析，即可得到答案．解析：（1）①∵∴∴，，②∵∴，即∴∴，∵∴∵∴∴（舍去）∴的解为：（2）将原函数转化成关于x的一元二次方程，得，当时，∵x为实数

∴

∴且；当时，得：，方程有解（x的值存在）；∴∴．【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的知识，从而完成求解．5．如果方程满足两个实数解都为正整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定：满足．例如有正整数解3和4，所以属于同族方程，所以(1)如果同族方程中有两个相同的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有(2)如果同族方程中的实数q满足如下条件：①为一个两位正整数，y为自然数②交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得差为54，那么我们称这样为同族方程中和谐方程，求所有和谐方程中的G的最小值．答案:(1)见解析(2)分析：（1）根据一元二次方程根的判别式求得，再代入即可得证；（2）先根据题意列出关于x，y的二元一次方程，从而得到，结合已知求得q的值，从而得到三个方程，再结合和谐方程及同族方程的定义得到p的值，最后再求得各方程中G的值，即可求得答案．(1)证明：同族方程中有两个相同的解，，，，，；(2)据题得，，，，，，，或28或17，可得三个方程，，，由和谐方程定义可得的解为或39；或13，此时或；方程的解为或；或；或，此时或或；方程的解为或17，此时；则和谐方程中G的最小值为

方程中G的最小值为

中G的值为

，的最小值为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式的运用，二元一次方程应用，解题的关键是熟练掌握相应知识点，灵活运用．6．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式或(其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2+2ab+b2=(a+b)2配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用．例如：①我们可以将代数式a2+6a+10进行变形，其过程如下a2+6a+10=(a2+6a)+10=(a2+6a+9)+10-9=(a+3)2+1∵(a+3)2≥0∴(a+3)+1≥1，因此，该式有最小值1②已知：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0将其变形，a22ab+2ac+b2++2bc+c2=0a2+2a(b+c)+(b+c)2=可得(a+b+c)2=0(1)按照上述方法，将代数式x2+8x+20变形为a(x+h)2+k的形式；(2)若p=-x2+2x+5，求p的最大值；(3)已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，试判断此三角形的形状并说明理由；(4)已知：a=2020x+2019，b=2020x+2020，c=2020x+2021，直接写出a2+b2+c2-ab-bc-ac的值．答案:(1)；(2)6；（3）等边三角形；（4）3分析：（1）根据材料步骤配方即可；（2）配方后即可求最大值；（3）先配方成几个平方的和为0的形式即可解题；（4）扩大两倍后平方即可.解析：(1)x2+8x+2=(x2+8x)+20=(x2+8x+16)+20-16=(2)p=-x2+2x+5=∵(x-1)2≥0∴因此，该式有最大值6(3)∴∴∴三角形是等边三角形(4)原式∵a=2020x+2019，b=2020x+2020，c=2020x+2021∴a-b=-1,a-c=-2,b-c=-1∴原式=3【点睛】本题考查完全平方公式的运用，熟读阅读材料并理解运用是解题的关键.7．对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x＝n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x2，当x＝0时，代数式等于0；当x＝1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A＝0．（1）代数式x2﹣2的不变值是，A＝．（2）说明代数式3x2+1没有不变值；（3）已知代数式x2﹣bx+1，若A＝0，求b的值．答案:（1）﹣1和2；3；（2）见解析；（3）﹣3或1分析：（1）根据不变值的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再做差后可求出A的值；（2）由方程的系数结合根的判别式可得出方程3x2﹣x+1＝0没有实数根，进而可得出代数式3x2+1没有不变值；（3）由A＝0可得出方程x2﹣（b+1）x+1＝0有两个相等的实数根，进而可得出△＝0，解之即可得出结论．解析：解：（1）依题意，得：x2﹣2＝x，即x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2，∴A＝2﹣（﹣1）＝3．故答案为﹣1和2；3．（2）依题意，得：3x2+1＝x，∴3x2﹣x+1＝0，∵△＝（﹣1）2﹣4×3×1＝﹣11＜0，∴该方程无解，即代数式3x2+1没有不变值．（3）依题意，得：方程x2﹣bx+1=x即x2﹣（b+1）x+1＝0有两个相等的实数根，∴△＝[﹣（b+1）]2﹣4×1×1＝0，∴b1＝﹣3，b2＝1．答：b的值为﹣3或1．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，根据不变值的定义，求出一元二次方程的解是解题的关键．8．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知可取任何实数，试求二次三项式最小值．解：无论取何实数，总有．，即的最小值是．即无论取何实数，的值总是不小于的实数．问题：（1）已知，求证是正数．知识迁移：（2）如图，在中，，，，点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，求的最大值．答案:（1）见解析;（2）当时，有最大值分析：（1）根据题意对进行配方，即可求出最值；（2）先求，再根据题意进行配方即可求得最值．解析：（1）证明：．．．．是正数．（2）解：由题意得：，，．．．．又∵当时，有最大值．【点睛】本题考查利用配方法求最值，正确进行配方是求解本题的关键．9．阅读下列三份材料：材料1：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式”如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式；类似的，假分式也可以化为带分式．如：；材料2：在学了乘法公式“”的应用后，王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法：解：，∵，∴．当时，的值最小，最小值是1．∴的最小值是1．材料3：由得，；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当a=b时取到等号．例如：已知，求式子的最小值．解：令a=x，，则由，得，当且仅当时，即x=2时，式子有最小值，最小值为4．请你根据上述材料，解答下列各题：(1)已知，填空：①把假分式化为带分式的形式是________；②式子的最小值为________；③式子的最小值为________；(2)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？(3)已知，分别求出分式和的最值．（若有最大值，则求最大值，若有最小值，则求最小值）．答案:(1)①；②；③24(2)当长为8，宽为4时，所用篱笆最短16米；(3)有最小值，有最小值分析：（1）①根据已知材料1，将分子改写成x+2-3，进一步计算即可；②根据材料2，将原式化成完全平方式加常数的形式，即可可到答案；③根据材料3，将原式进行改写，即可得到答案；（2）首先设长方形的长为x，然后根据材料3进行计算即可得到答案；（3）根据材料1和材料3，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；（1）①解：；故答案为；②解：，∵，∴，∴当x=-4时，原式的最小值为-1；故答案为-1；③解：∵，设，则：，∴，∴，当仅当时，即x=3时取等号，∴当x=3时，原式的最小值为24；故答案为24；（2）设长为x，宽为y．则xy=32，欲使x+2y最小，∵x＞0，y＞0，∴，当且仅当x=2y时取得等号，由，解得，x=8，y=4，即长为8，宽为4时，所用篱笆最短．最短篱琶为16米．（3）解：，∵，∴，当仅当时取等号，∴，∴，故当时，有最小值；===，∵∴，当且仅当时，即x=2时取等号，∴∴∴∴故当x=2时，有最小值．【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键．10．如果记，并且表示当时的值，即；表示当时的值，即；表示当时的值，即；…（1）计算下列各式的值：__________.__________.（2）当为正整数时，猜想的结果并说明理由；（3）求的值.答案:（1）1；1（2）结果为1，证明过程见详解（3）分析：（1）根据题目定义的运算方式代数计算即可.（2）根据第（1）题的计算结果总结规律，并加以证明.（3）运用第（2）题的运算规律和加法结合律进行将式子中每一项适当分组，再进行计算.解析：解：（1）；.（2）猜想的结果为1.证明：（3）【点睛】本题以定义新运算的形式考查了二次根式的综合计算，遵循新运算的方式，熟练掌握二次根式的计算是解答关键.11．我国南宋时期有个著名的数学家秦九韶提出了一个利用三角形的三边求三角形的面积的公式，若三角形三边为，则此三角形的面积为：同样古希腊有个几何学家海伦也提出了一个三角形面积公式：其中（1）在中，若，，，用其中一个公式求的面积．（2）请证明：答案:（1）；（2）证明见解析分析：（1）将，，代入中计算即可；（2）对和分别平方，再进行整理化简得出，即可得出．解析：解：（1）将，，代入得：（2）===∵，∴==∴∵，，∴．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是理解题中给出的公式，灵活运用二次根式的运算性质进行运算．12．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点、分别在函数的图像上，且轴，轴．（1）当点的横坐标为6时，求直线的表达式；（2）联结，当时，求点的坐标；（3）联结、，求的值．答案:（1）；（2）；（3）1分析：（1）根据自变量的值，可得函数值，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据函数值，可得自变量的值，根据勾股定理，可得OB长，根据AB=OB，可得点A坐标；（3）联立函数解析式，可得方程组，根据解方程组，可得点P坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得点B和点C坐标，根据三角形面积公式，可得答案．解析：（1）解：当时，，∴，设直线AO的解析式为，代入得，∴直线AO的解析式为；（2）由轴，得点B横坐标是4，当时，，∴，，∵，∴，得，∴；（3）直线AO的解析式为，联立，得，解得，∴，如图，作，，当时，，即，当时，，即，，，，，∴，，∴．【点睛】本题考查反比例函数综合题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，根据三角形面积求点坐标的方法，以及利用点坐标表示三角形面积的方法，需要熟练掌握数形结合的思想．13．已知在平面直角坐标中，点在第一象限内，且，反比例函数的图像经过点，（1）当点的坐标为时（如图），求这个反比例函数的解析式；（2）当点在反比例函数的图像上，且在点的右侧时（如图2），用含字母的代数式表示点的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，求的值．答案:（1）（2）（3）分析：（1）过A作AC⊥OB，根据三角形AOB为等腰直角三角形，得到AC=OC=BC=OB，确定出A坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；（2）过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AO=AB，利用AAS得出三角形AOE与三角形ABD全等，由确定三角形的对应边相等得到BD=AE=n，AD=OE=m，进而表示出ED及OE+BD的长，即可表示出B坐标；（3）由A与B都在反比例图象上，得到A与B横纵坐标乘积相等，列出关系式，变形后即可求出的值．解析：解：（1）如图1，过A作AC⊥OB，交x轴于点C，∵OA=AB，∠OAB=90°，∴△AOB为等腰直角三角形，∴AC=OC=BC=OB=3，∴A（3，3），将x=3，y=3代入反比例解析式得：3=，即k=9，则反比例解析式为y=；（2）如图2，过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，∵∠OAB=90°，∴∠OAE+∠BAD=90°，∵∠AOE+∠OAE=90°，∴∠BAD=∠AOE，在△AOE和△BAD中，∴△AOE≌△BAD（AAS），∴AE=BD=n，OE=AD=m，∴DE=AE-AD=n-m，OE+BD=m+n，则B（m+n，n-m）；（3）由A与B都在反比例图象上，得到mn=（m+n）（n-m），整理得：n2-m2=mn，即（）2+-1=0，这里a=1，b=1，c=-1，∵△=1+4=5，∴=，∵A（m，n）在第一象限，∴m＞0，n＞0，则=．【点睛】本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及一元二次方程的解法，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．14．已知正反比例函数的图像交于、两点，过第二象限的点作轴，点的横坐标为，且，点在第四象限（1）求这两个函数解析式；（2）求这两个函数图像的交点坐标；（3）若点在坐标轴上，联结、，写出当时的点坐标答案:（1）y=-，y=（2）A（-2，3），B（2，-3）（3）（2，0）或（-2，0）或（0，3）或（0，-3）分析：（1）先根据题意得出，再结合知，再利用待定系数法求解可得；（2）联立正反比例函数解析式得到方程组，解之即可得交点坐标；（3）由“点在坐标轴上”分点在轴上和轴上两种情况，根据利用割补法求解可得．解析：解：（1）如图，∵点的横坐标为-2，且轴，∴，∵，∴，则点，将代入得：，则正比例函数的解析式为；将代入得：，则反比例函数的解析式为；（2）∵∴得：或，∵点在第四象限，∴点坐标为，故答案为.（3）若在轴上，设，∵∴，解得：或，∴点的坐标为或；若在轴上，设，∵∴，解得：或，∴点的坐标为或；综上，点的坐标为或或或．【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及割补法求三角形的面积、分类讨论思想的运用等.15．如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标是4．双曲线上有一动点C（m，n）,.过点A作轴垂线，垂足为B，过点C作轴垂线，垂足为D，联结OC．（1）求的值；（2）设的重合部分的面积为S，求S与m的函数关系；（3）联结AC，当第（2）问中S的值为1时，求的面积．答案:（1）；（2）；（3）.分析：（1）由题意列出关于k的方程，求出k的值，即可解决问题．（2）借助函数解析式，运用字母m表示DE、OD的长度，即可解决问题．（3）首先求出m的值，求出△COD，△AOB的面积；求出梯形ABDC的面积，即可解决问题．解析：（1）设A点的坐标为（4，）；由题意得：，解得：k=8，即k的值为8．（2）如图，设C点的坐标为C（m，n）．则n=m，即DE=m；而OD=m，∴S=OD•DE=m×m=m2，即S关于m的函数解析式是S=m2．（3）当S=1时，m2=1，解得m=2或-2（舍去），∵点C在函数y=的图象上，∴CD==4；由（1）知：OB=4，AB=2；BD=4-2=2；∴S梯形ABDC＝(4+2)×2=6，S△AOB＝×4×2＝4，S△COD＝×2×4=4；∴S△AOC=S梯形ABDC+S△COD-S△AOB=6+4-4=6．【点睛】该题主要考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题；解题的关键是数形结合，灵活运用方程、函数等知识来分析、判断、求解或证明．16．如图，在平面直角坐标系中，，轴于点，点在反比例函数的图像上．（1）求反比例函数的表达式；（2）求面积；（3）在坐标轴上是否存在一点，使得以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，简述你的理由．答案:（1）（2）（3）存在，点P的坐标为（，0）或（，0）或（0，）或（0，）或（0，−6）或（0，−2）．分析：（1）根据点A的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的表达式；（2）由点A的坐标可得出OC，AC的长，利用勾股定理可得出OA＝2＝2AC，进而可得出∠AOC＝30°，结合三角形内角和定理可得出∠B＝∠AOC＝30°，利用30°角所对的直角边为斜边的一半可求出AB的长，再利用三角形的面积公式即可求出△AOB的面积；（3）根据勾股定理可求出OB的长，分OP＝OB，BP＝BO及PO＝PB三种情况，利用等腰三角形的性质可求出点P的坐标，此题得解．解析：（1）把代入反比例函数，得：，所以反比例函数的表达式为；（2），轴于，，，，，∴∠OAC＝60°，，，，，；（3）存在，在Rt△AOB中，OA＝2，AB＝4，∠AOB＝90°，∴OB＝，分三种情况考虑：①当OP＝OB时，如图2所示，∵OB＝，∴OP＝，∴点P的坐标为（，0）或（，0）或（0，）或（0，）；②当BP＝BO时，如图3，当点P在y轴上时，过点B做BD⊥y轴于点D，则OD＝BC＝AB−AC＝3，∵BP＝BO，∴OP＝2OD＝6，∴点P的坐标为（0，−6）；当点P在x轴上时，∵BP＝BO，∴OP＝2OC＝，∴点P的坐标为（，0）；③当PO＝PB时，如图4所示．若点P在x轴上，∵PO＝PB，∠BOP＝60°，∴△BOP为等边三角形，∴OP＝OB＝，∴点P的坐标为（，0）；若点P在y轴上，设OP＝a，则PD＝3−a，∵PO＝PB，∴PB2＝PD2＋BD2，即a2＝（3−a）2＋3，解得：a＝2，∴点P的坐标为（0，−2），综上所述：在坐标轴上存在一点P，使得以O、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为（，0）或（，0）或（0，）或（0，）或（0，−6）或（0，−2）．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、勾股定理、三角形的面积公式以及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的关系式；（2）利用直角三角形的性质，求出AB的长；（3）分OP＝OB，BP＝BO及PO＝PB三种情况，利用等腰三角形的性质求出点P的坐标．17．如图已知正比例函数图像经过点A(2，3）、B（m，6）.（1）求正比例函数的解析式.（2）求m的值及A、B两点之间的距离。（3）分别过点A与点B作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支分别交于点C、D（点C、D均在点A、B下方），若BD=5AC.求反比例函数的解析式，并求出四边形ACDB的面积。答案:（1）y=x；（2）m=4；；（3）；四边形ACDB的面积为6.分析：（1）设正比例函数的解析式为：y=kx（k≠0），然后将点A的坐标代入即可求出正比例函数的解析式；（2）将B点坐标代入正比例函数解析式中即可求出m，然后根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式，即可求出AB；（3）设反比例函数的解析式为：（a≠0），根据AC∥BD∥y轴，即可求出C、D的横坐标，根据反比例函数的解析式即可用a表示出C、D的纵坐标，从而求出BD和AC，然后列出方程即可求出a的值，从而求出反比例函数的解析式，然后根据梯形面积公式计算面积即可.解析：解：（1）设正比例函数的解析式为：y=kx（k≠0）将点A(2，3）代入，得：3=2k解得：故正比例函数的解析式为：y=x；（2）将B点（m，6）代入y=x中，得：6=m解得：m=4根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式：AB=；（3）设反比例函数的解析式为：（a≠0）∵AC∥BD∥y轴∴A、C的横坐标相同，即点C的横坐标为:2,B、D的横坐标相同，即点D的横坐标为:4,∴点C的纵坐标为，点D的纵坐标为∴AC=3－，BD=6－∵BD=5AC∴6－=5（3－）解得：a=4∴反比例函数的解析式为：.过点C作CE⊥BD于E∴AC=1，BD=5，CE=4－2=2∴S梯形ACDB==6.【点睛】此题考查的是正、反比例函数的综合应用，掌握用待定系数法求函数解析式、平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式和方程思想求参数值是解决此题的关键.18．已知反比例函数的图像与的图像交于点A、B，A点的坐标是（，-2）（1）求反比例函数解析式；（2）求点B的坐标；（3）在y轴上是否存在点C，使得△ABC的面积是6，若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由。答案:（1）；（2）（-1，2）；（3）（0,6）或（0，-6）分析：（1）将点A坐标代入中，求a的值，然后用待定系数法求反比例函数解析式；（2）根据正比例函数和反比例函数关于原点对称的性质求点B的坐标；（3）设点C的坐标为（0，y），数形结合，根据三角形面积公式列方程求解.解析：解：（1）把A点的坐标（，-2）代入中解得：a=1∴A点的坐标是（1，-2）设反比例函数解析式为：将A点的坐标（1，-2）代入中∴反比例函数的解析式为：（2）∵正比例函数和反比例函数关于原点对称且它们的图像交于点A、B∴点A、B关于原点对称∴B点坐标为：（-1，2）（3）存在，设点C的坐标为（0，y），连接AC，BC∴∴点C的坐标为（0,6）或（0，-6）【点睛】本题考查反比例函数和正比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，数形结合思想解题是本题的解题关键.19．如图，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点，且为双曲线上的一点，为坐标平面上一动点，垂直于轴，垂直于轴，垂足分别是、.（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式.（2）当点在直线上运动时，直线上是否存在这样的点，使得与的面积相等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由.答案:（1）正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）在直线上存在这样的点或，使得与面积相等.分析：（1）用待定系数法进行求解，即可得到正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，假设在直线MO上存在这样的点Q（x，x），使得△OBQ与△OAP面积相等，则B（0，x）．根据三角形的面积公式列出关于x的方程，解方程即可．解析：（1）设反比例函数的解析式为，正比例函数的解析式为.∵正比例函数和反比例函数的图像都经过点，∴，.∴，.∴正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为.（2）当点在直线上运动时，假设在直线上存在这一的点，使得与面积相等，则.∵，∴，解得.当时，.当时，.故在直线上存在这样的点或，使得与面积相等.【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求解.20．如图，是反比例函数在第一象限图象上一点，连接OA，过A作轴，截取在A右侧，连接OB，交反比例函数的图象于点P．（1）求反比例函数的表达式；（2）求点B的坐标及OB所在直线解析式；（3）求的面积．答案:（1）

（2）（9，3）；

（3）5分析：（1）直接代入A点坐标课的k的值，进而可得函数解析式；（2）过点A作AC⊥x轴于点C，利用勾股定理计算出AO的长，进而可得AB长，然后可得B点坐标．设OB所在直线解析式为y=mx（m≠0）利用待定系数法可求出BO的解析式；（3）首先联立两个函数解析式，求出P点坐标，过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，连接AP，再确定E点坐标，最后求面积即可．解析：解：将点代入，得：，则反比例函数解析式为：；如图，过点A作轴于点C，则、，，轴，且，点B的坐标为；设OB所在直线解析式为，将点代入得，所在直线解析式为；联立解析式：，解得：可得点P坐标为，过点P作轴，延长DP交AB于点E，连接AP，则点E坐标为，，，，则的面积．【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数和正比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能满足解析式．21．周末，小丽骑自行车从家出发到野外郊游，从家出发0.5小时到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小丽离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，行驶10分钟时，恰好经过甲地，如图是她们距乙地的路程y(km)与小丽离家时间x(h)的函数图象．（1）小丽骑车的速度为_______km/h，在甲地游玩了_______小时；（2）求小丽游玩一段时间后前往乙地的过程中y与x的函数关系；（3）小丽从家出发多少小时后被妈妈追上?此时距家的路程多远．答案:（1）20；0.5；（2）y＝－20x＋40；（3）小丽从家出发1.75小时后被妈妈追上，此时距家25km．分析：（1）根据函数图中的数据，由小丽从家到甲地的路程和时间可以求出小丽骑车的速度；再根据图像BC段求出甲地游玩时间；（2）先求出直线AB的解析式，再根据直线AB∥CD，求出直线CD的解析式；（3）求出直线EF的解析式，联立直线CD和直线EF的解析式，求出交点D的坐标即可．解析：解：（1）由函数图可以得出，小丽家距离甲地的路程为10km，花费时间为0.5h，故小丽骑车的速度为：10÷0.5＝20（km/h），由BC段可得甲地游玩时间1-0.5=0.5h．（2）设直线AB的解析式为：，将点A（0，30），B（0.5，20）代入得：，∵AB∥CD，∴设直线CD的解析式为：，将点C（1，20）代入得：＝40，故＝−20x＋40；（3）设直线EF的解析式为：＝x＋，，将点E，H代入得：＝−60，＝110，∴＝−60x＋110，解方程组，解得．∴点D坐标为（1.75，5），30−5＝25（km），所以小丽出发1.75小时后被妈妈追上，此时距家25km．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键在于读懂题意，根据函数图所给的信息求出合适的函数解析式并求解．22．如图①，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°．（1）动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿路线A→B→C→D运动到点D停止．设运动时间为a，△AMD的面积为S，S关于a的函数图象如图②所示，求AD、CD的长．（2）如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线A→D→C运动到点C停止．同时，动点Q从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线C→D→A运动到点A停止．设运动时间为t，当Q点运动到AD边上时，连接CP、CQ、PQ，当△CPQ的面积为8时，求t的值．答案:（1）AD＝12，CD＝16；（2）t＝或分析：（1）根据函数图象得到CD=16，根据S＝CD•AD＝16×AD＝96，即可求出CD；（2）根据题意得到，只有点P、Q都在AD边上，才有以PQ为底边，CD为高的三角形CPQ，确定t的取值范围为≤t＜，分点P在Q上方和点P在点Q下方两种情况分类讨论并判断是否满足取值范围即可求解．解析：解：（1）由函数图象可知，点M从A出发，从点C到D耗时16秒，即CD＝16，此时S＝CD•AD＝16×AD＝96，解得：AD＝12，∴AD＝12，CD＝16；（2）由题意得，当Q运动到A停止的时间为，而点P运动到D的时间为＝6，故只能有点P、Q都在AD边上，此时有以PQ为底边，CD为高的三角形CPQ，设运动的时间为t，则AP＝2t，DQ＝5t﹣16，而≤t＜，当点P在Q上方时，则PQ＝AD﹣AP﹣QD＝12﹣2t﹣5t+16＝28﹣7t，△CPQ的面积＝PQ×CD＝(28﹣7t)×16＝8，解得：t＝(满足条件)；当点P在点Q下方时，PQ＝DQ﹣(AD﹣AP)＝5t﹣16﹣(12﹣2t)＝7t﹣28，△CPQ的面积＝PQ×CD＝(7t﹣28)×16＝8，解得：t＝(满足条件)；综上，t＝或．【点睛】本题为动点问题与函数图象综合题，综合性较强．第（1）题读懂题意和函数图像是解题关键，第（2）题根据题意确定PQ位置后分类讨论是解题关键．23．点为平面直角坐标系的原点，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，且．（1）若点的坐标为，点恰好为的中点，过点作轴于点，交的图象于点．①请求出、的值；②试求的面积．（2）若轴，，与间的距离为6，试说明的值是否为某一固定值？如果是定值，试求出这个定值；若不是定值，请说明理由．答案:（1）①a=24，b=6②；（2）是定值为．分析：（1）①把代入反比例函数即可求出a，根据点为的中点，求出B点坐标，代入即可求出b；②根据k的几何意义求出△AOP的面积，再连接BP，根据中线的性质即可求解；（2）先分析分别位于的两个分支,分别位于的两个分支；再利用反比例函数系数k的几何意义，表示S△AOB和S△COD，再根据三角形的面积公式，AB与CD之间的距离为6，即求出答案．解析：（1）①把代入反比例函数，得a=6×4=24∵点为的中点，∴B（3，2）把B（3，2）代入反比例函数，得b=3×2=6②∵S△AOP=S△AON-S△NOP==9∵B点是的中点，∴BP是△AOP的中线∴的面积=×9=；（2）如图，当在的第一象限的图像上时，在的第一象限的图像上时轴，，，，则点与点重合，点与点重合即与间的距离为0，分别位于的两个分支,分别位于的两个分支；如图，延长AB、CD交y轴于点E、F，∵点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，a＞b＞0，