湖北省部分重点中学2025届高三数学上学期1月第二次联考试卷含解析

Page25湖北省部分重点中学2024届高三数学上学期1月其次次联考试卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40.0分.在每小题列出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，且，则实数的全部值构成的集合是（）A. B. C. D.【答案】D解析：，因为，所以，当时，，满意要求，当时，只有一个根，若，则，解得：，若，则，解得：，若，则，解得：，实数的全部值构成的集合是.故选：D2.给出下列命题，其中正确命题的个数为（）①若样本数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为6；②回来方程为时，变量与具有负的线性相关关系；③随机变量听从正态分布，，则；④甲同学所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按简洁随机抽样的方法抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】A解析：对于①，若样本数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为，故①错误；对于②，回来方程为，可知，则变量x与y具有负的线性相关关系，故②正确；对于③，随机变量X听从正态分布，，依据正态分布的对称性，所以，故③错误；对于④，依据简洁随机抽样概率均等可知，某校高三共有5003人，抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为，故④错误.故选：A.3.已知函数，则“”是“函数在处有极值”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B解析：解：因为，所以，所以，解得或；当时，，即函数在定义域上单调递增，无极值点，故舍去；当时，，当或时，当时，满意函数在处取得极值，所以，所以由推不出函数在处有极值，即充分性不成立；由函数在处有极值推得出，即必要性成立；故“”是“函数在处有极值”的必要不充分条件；故选：B4.已知圆C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线x＝－1与圆C的位置关系是（）A.相切 B.相交C.相离 D.不能确定【答案】A解析：由已知得C：(x－1)2＋(y－m)2＝4，即圆心C(1，m)，半径r＝2，因为圆C关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以圆心(1，m)在直线l：x－y＋1＝0上，所以m＝2．由圆心C(1，2)到直线x＝－1的距离d＝1＋1＝2＝r知，直线x＝－1与圆C相切．故选：A.5.已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（）A. B.2 C. D.3【答案】D解析：因为的解集为，所以，且，是方程的两根，，得；，即，当时，，当且仅当，即时取等号，令，由对勾函数的性质可知函数在上单调递增，所以，的最小值为3.故选：D．6.已知函数及其导函数的定义域都为，且为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】C解析：因为为偶函数，所以，即，即函数图象关于对称，则，因为为奇函数，所以，即函数图象关于点对称，则，所以，则，所以函数以4为周期，，因为，所以，即，即，也即，令，则有，所以，由得，所以以4为周期，所以，所以，C正确，对于其余选项，依据题意可假设满意周期为4，且关于点对称，，故A错误；，B错误；，D错误，故选:C.7.在长方体中，，，，，分别是棱，，上的点，且，，，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（）A. B.17 C. D.【答案】A解析：以D作坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，设平面MPN的法向量为，则，令，则，故，设，则，因为直线与平面平行，所以，，因为，所以，故，故当时，取得最小值，最小值为.故选：A8.已知是数列的前项和，且，（），则下列结论正确的是（）A.数列为等比数列 B.数列为等比数列C. D.【答案】D解析：由题意得：，，由于，故数列不是等比数列，A错误；则，，，由于，故数列不等比数列，B错误；时，，即，又，故为等比数列，首项为2，公比为3，故，故，，……，，以上20个式子相加得：，C错误；因为，所以，两式相减得：，当时，，，……，，以上式子相加得：，故，而也符和该式，故，令得：，当时，，，……，，以上式子相加得：，故，而也符号该式，故，令得：，综上：，D正确.故选：D二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多个选项符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.设，为复数，则下列四个结论中正确的是（）A. B.是纯虚数或零C.恒成立 D.存在复数，，使得【答案】BC解析：对于A：，令，则，，与不肯定相等，故A错误；对于B：，则，，当时为零，当时为纯虚数，故B正确；对于C：，则，,则，，，故C正确；对于D：设，则，=，故D错误.故选：BD.10.将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则（）A.在上是减函数 B.C.是奇函数 D.在上有4个零点【答案】ACD解析：时，，由于在上单调递减，故在上单调递减，A正确；，，因为，由于与不肯定相等，故与不肯定相等，B错误；，故是奇函数，C正确；令，解得：，，则，则或或或，解得：或或或，共4个零点，D正确.故选：ACD11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.当或时，有且仅有一个零点B.当或时，有且仅有一个极值点C.若为单调递减函数，则D.若与轴相切，则.【答案】AD解析：，令可得，化简可得，设，则，当，，函数在单调递减，当，，函数在单调递增，又，，由此可得函数图象如下：所以当或时，有且仅有一个零点所以当或时，有且仅有一个零点，A对，函数的定义域为，，若与轴相切，设与轴相切与点，则，，所以，，所以，，故D正确；若为单调递减函数，则在上恒成立，所以在上恒成立，设，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，且，，当时，，由此可得函数的图象如下：所以若为单调递减函数，则，C错，所以当时，函数在上没有极值点，B错，故选：AD.12.曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲改变程度的量，已知对于曲线（）上点处的曲率半径公式为，则下列说法正确的是（）A.若曲线上某点处的曲率半径起大，则曲线在该点处的弯曲程度越小B.若某焦点在轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为（半焦距）则该椭圆离心率为C.椭圆（）上一点处的曲率半径的最大值为D.若椭圆（）上全部点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1，则椭圆方程为【答案】ABD解析：对于A，曲线上某点处的曲率半径变大，则曲线在该点处的弯曲程度越小，故A正确；对于B，因，所以，所以，因为，所以，，若某焦点在轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为，可得，解得，故B正确；对于C，由选项B可知，，所以，所以椭圆（）上一点处的曲率半径的最大值为，故C错误；对于D，若椭圆（）上全部点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1，由选项B可得，所以，解得，则椭圆方程为，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小鿒5分，共20分.13.已知向量，，若，则______.【答案】100解析：由题意得：，解得：，故.故答案为：10014.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中个位小于百位且百位小于万位的五位数有个，则的绽开式中，的系数是______.（用数字作答）【答案】解析：用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数中，满意个位小于百位且百位小于万位的五位数有个，即，当时，不妨设，则，所以的系数是.故答案为：2024．15.已知正四面体的棱长为2，在棱上，且，则二面角的余弦值为______；平面截此正四面体的外接球所得截面的面积为______.【答案】①.##②.##解析：在正四面体中，，，，在中，，取AB中点N，连接，如图，，则是二面角的平面角，而，，在中，，所以二面角的余弦值为；令正的中心为，连接，的延长线交CD于点E，则E为CD中点，有，，，明显平面，正四面体的外接球球心O在上，连接BO，则，而，在中，，解得，且，令点到平面的距离为h，由得：，即，解得，因此球O的球心O到平面的距离d有，即，平面截球O所得截面小圆半径为，则，所以平面截此正四面体的外接球所得截面的面积.故答案为：；16.已知双曲线右焦点为，过双曲线上一点（）的直线与直线相交于点，与直线相交于点，则______.【答案】解析：因为在双曲线，即有，又由得，由得，因此，，，则，所以.故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列中，，当时，.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列中是否存在最大项与最小项？若存在，求出最大项与最小项；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）最大项，最小项.1.因为当时，，所以，令，则，，又，所以，，所以数列为等比数列，公比为2，首项为2，所以，所以.2.由（1）知，得，，当时，，，即；当时，，，即，所以数列是先增后减，最大项为，因为当时，且数列是单调递增；当时，所以数列的最小项为．18.从有3个红球和3个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记表示事务“第次摸到红球”，，2，…，6.（1）求第一次摸到蓝球的条件下其次次摸到红球的概率；（2）记表示，，同时发生的概率，表示已知与都发生时发生的概率.（ⅰ）证明：；（ⅱ）求.【答案】（1）（2）（ⅰ）详见解析，（ⅱ）1.，所以第一次摸到蓝球的条件下其次次摸到红球的概率；2.（ⅰ）因为，又因为，所以，即.（ⅱ）++19.请在这三个条件：①；②；③，中任选一个条件补充在下面的橫线上，并加以解答.如图，锐角中，，______，，在边上，且，点在边上，且，交于点.（1）求的长；（2）求及的长.【答案】（1）5（2）,.1.选择①，锐角中，，，由正弦定理得,所以,选择②，因为，所以，在中，由余弦定理得,所以，整理得，解得或（舍），选择③，因为，所以，在中，由余弦定理得,所以，解得.2.由（2）知，选择①，②，③所得结果一样，因此选择②，③也可得，所以，因为，所以，所以，因为，所以，在中，，，，，由，所以，.20.在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是线段上的一动点，.（1）求证：；（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1.由题意可知，，又，所以，连接，如下图所示：由，可知，是正三角形，又点为棱的中点，所以，平面，平面，，所以平面，平面所以.2.由（1）知，，依据二面角定义可知，即为所求二面角的平面角或其补角，在正三角形中，，所以，因为，，所以，又，且，所以平面，而平面，所以，在中，，所以，于是平面与平面所成的二面角的正弦值为21.已知抛物线：的焦点为，直线交抛物线于两点（异于坐标原点），交轴于点（），且，直线，且与抛物线相切于点.（1）求证：三点共线；（2）过点作该抛物线的切线（点为切点），交于点.（ⅰ）试问，点是否在定直线上，若在，恳求出该直线，若不在，请说明理由；（ⅱ）求的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）（ⅰ）点在定直线上；（ⅱ）的最小值为16.1.由题可知，设，又，由得，所以，即，所以直线的斜率为，设，由可得，所以直线的斜率为，又，即，所以，得所以，，即，则三点共线.2.（ⅰ）点在定直线上，理由如下：直线的斜率为，所以直线的方程为即过点的切线斜率为，所以直线的方程为即，交于点，解得因此，点在定直线上.（ⅱ）由（1）知直线的斜率为，方程为，即，联立抛物线方程整理得，所以，所以又因为，所以点到的距离等于点到直线的距离，而到直线的距离为所以而，当且仅当，即时等号成立；所以，即的最小值为16.22.已知函数．