2025版新教材高中数学第三章空间向量与立体几何1空间直角坐标系1.1点在空间直角坐标系中的坐标1.2空间两点间的距离公式课时作业北师大版选择性必修第一册

1．1点在空间直角坐标系中的坐标1．2空间两点间的距离公式必备学问基础练学问点一空间点的坐标1.在空间直角坐标系中，点M(3，0，2)位于()A．y轴上B．x轴上C．xOz平面内D．yOz平面内2．已知点A(－3，1，－4)，B(3，－5，10)，则线段AB中点M的坐标为()A．(0，－4，6)B．(0，－2，3)C．(0，2，3)D．(0，－2，6)3．如图，棱长为eq\r(2)的正四面体ABCD的三个顶点A，B，C分别在空间直角坐标系的坐标轴Ox，Oy，Oz上，则顶点D的坐标为________.学问点二空间中的对称问题4.已知点A(－3，1，4)，则点A关于x轴对称的点的坐标为()A．(－3，－1，－4)B．(－3，－1，4)C．(3，1，4)D．(3，－1，－4)5．空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于z轴对称D．关于原点对称6．已知两点P(3，1，a)，Q(3，b，2)关于坐标平面xOy对称，则a＋b＝________.学问点三空间两点间的距离7.已知空间中点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|＝2eq\r(6)，则实数x的值是()A．6或－2B．－6或2C．3或－4D．－3或48．在空间直角坐标系O­xyz中，O为坐标原点，若点P(1，－2，3)在平面xOz上的射影为点B，则线段OB的长度为()A．eq\r(5)B．eq\r(10)C．eq\r(14)D．eq\r(13)9．若点A(－1，2，－3)关于y轴的对称点为B，则线段AB的长为________.关键实力综合练一、选择题1．设A(1，－1，1)，B(3，1，5)，则AB中点在空间直角坐标系中的位置是在()A．y轴上B．xOy面内C．xOz面内D．yOz面内2．在空间直角坐标系中，已知M(－1，0，2)，N(3，2，－4)，则MN的中点Q到坐标原点O的距离为()A．eq\r(3)B．eq\r(2)C．2D．33．结晶体的基本单位称为晶胞，如图所示的是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为eq\f(1,2)的小正方体积累成的正方体)，其中白点○代表钠原子，黑点●代表氯原子．建立空间直角坐标系O­xyz后，图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是()A．(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，1)B．(0，0，1)C．(1，eq\f(1,2)，1)D．(1，eq\f(1,2)，eq\f(1,2))4.在空间直角坐标系中，点A(2，－2，4)与点B(－2，－2，－4)关于()A．原点对称B．x轴对称C．y轴对称D．z轴对称5．在空间直角坐标系中，全部点P(x，1，2)(x∈R)的集合表示()A．一条直线B．一个平行于面xOz的平面C．平行于面xOy的平面D．两条直线6．[探究题]若两点A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，当|AB|取最小值时，x的值等于()A．19B．－eq\f(8,7)C．eq\f(8,7)D．eq\f(19,14)二、填空题7．在z轴上求一点A，使它到点B(1，1，2)的距离为3eq\r(2)，则点A的坐标是________.8．已知平行四边形ABCD中，A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，－5)，则点D的坐标为________.9．[易错题]在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A(3，－1，2)，其中心M的坐标为(0，1，2)，则该正方体的棱长等于________.三、解答题10．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2.点M在A1C1上，且|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上，且N为D1C的中点，求M，N两点间的距离．学科素养升级练1．[多选题]下列命题中正确的是()A．在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标肯定是(0，b，c)B．在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标肯定是(0，b，c)C．在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0，0，c)D．在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a，0，c)2．已知A(3，5，－7)，B(－2，4，3)，则线段AB在yOz平面上的投影长为________.3．[学科素养——直观想象]已知直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、A1A的中点，求MN的长．1．1点在空间直角坐标系中的坐标1．2空间两点间的距离公式必备学问基础练1．解析：由x＝3，y＝0，z＝2可知点M位于xOz平面内．答案：C2．解析：依据线段的中点坐标公式可得线段AB中点的坐标是(eq\f(－3＋3,2)，eq\f(1－5,2)，eq\f(－4＋10,2))，即M(0，－2，3).故选B.答案：B3．解析：将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，由已知AB＝BC＝AC＝eq\r(2)，所以OA＝OB＝OC＝1，所以点D的坐标为(1，1，1).答案：(1，1，1)4．解析：关于x轴对称的点，横坐标相同．纵坐标、竖坐标均互为相反数，所以A(－3，1，4)关于x轴对称的点的坐标为(－3，－1，－4).答案：A5．解析：由A，B两点的坐标可知A，B两点关于y轴对称．答案：B6．解析：∵两点P(3，1，a)，Q(3，b，2)关于坐标平面xOy对称，∴a＝－2，b＝1，∴a＋b＝－2＋1＝－1.答案：－17．解析：已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|＝2eq\r(6)，∴eq\r(（x－2）2＋（1－3）2＋（2－4）2)＝2eq\r(6)，化简得(x－2)2＝16，解得x＝6或x＝－2，∴实数x的值是6或－2.故选A.答案：A8．解析：由题意得点P(1，－2，3)在平面xOz上的射影为B(1，0，3)，则|OB|＝eq\r(12＋0＋32)＝eq\r(10).故选B.答案：B9．解析：∵A(－1，2，－3)关于y轴的对称点为B(1，2，3)，∴|AB|＝eq\r([1－（－1）]2＋（2－2）2＋[3－（－3）]2)＝2eq\r(10).答案：2eq\r(10)关键实力综合练1．解析：因为A(1，－1，1)，B(3，1，5)，所以线段AB的中点坐标为(2，0，3)，该点在xOz面内．答案：C2．解析：∵M(－1，0，2)，N(3，2，－4)，∴MN的中点为Q(1，1，－1)，∴Q到坐标原点O的距离|QO|＝eq\r(12＋12＋（－1）2)＝eq\r(3).答案：A3．解析：设图中最上层中间的钠原子所在位置为B点，以O，B为相对顶点，作出长方体ABCD－EFGO，如图所示．∵平面BFGC经过点B且与x轴垂直，∴点B在x轴上的射影为G点，结合G(eq\f(1,2)，0，0)得B的横坐标为eq\f(1,2)；同理可得点B在y轴上的射影为E点，结合E(0，eq\f(1,2)，0)得B的纵坐标为eq\f(1,2)，点B在z轴上的射影为D点，结合D(0，0，1)得B的竖坐标为1，∴点B的坐标为(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，1).答案：A4．解析：因为点A(2，－2，4)与点B(－2，－2，－4)中，两个点的y值不变，x值与z值分别互为相反数，所以点A(2，－2，4)与点B(－2，－2，－4)关于y轴对称．答案：C5．解析：易知点P的集合为垂直于面yOz的一条直线．答案：A6．解析：∵A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，∴|AB|＝eq\r(（x－1）2＋（3－2x）2＋（3x－3）2)＝eq\r(14x2－32x＋19)＝eq\r(14（x－\f(8,7)）2＋\f(5,7))，∴当|AB|取最小值时，x的值等于eq\f(8,7).答案：C7．解析：设点A的坐标为(0，0，a)，代入空间两点间的距离公式得|AB|＝eq\r(（1－0）2＋（1－0）2＋（2－a）2)＝3eq\r(2)，解得a＝－2或a＝6.所以点A的坐标为(0，0，6)或(0，0，－2).答案：(0，0，6)或(0，0，－2)8．解析：设平行四边形ABCD的两条对角线的交点为P，则点P为AC，BD的中点．由A(4，1，3)，C(3，7，－5)，得点P的坐标为(eq\f(7,2)，4，－1).又点B(2，－5，1)，所以点D的坐标为(5，13，－3).答案：(5，13，－3)9．解析：∵|AM|＝eq\r(（3－0）2＋（－1－1）2＋（2－2）2)＝eq\r(13)，∴体对角线长|AC1|＝2eq\r(13)，设棱长为x，则3x2＝(2eq\r(13))2，解得x＝eq\f(2\r(39),3)，所以该正方体的棱长为eq\f(2\r(39),3).答案：eq\f(2\r(39),3)10．解析：如图，以A为坐标原点，分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．由题意可知C(3，3，0)，D(0，3，0)，因为|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，所以C1(3，3，2)，D1(0，3，2)，因为N为CD1的中点，所以N(eq\f(3,2)，3，1)，因为|MC1|＝2|A1M|，所以M(1，1，2).由两点间的距离公式，得|MN|＝eq\r(（\f(3,2)－1）2＋（3－1）2＋（1－2）2)＝eq\f(\r(21),2).学科素养升级练1．解析：空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a，0，0)，故A错误；B，C，D均正确．答案：BCD2．解析：点A(3，5，－7)，B(－2，4，3)在yOz平面上的投影分别为A′(0，5，－7)，B′(0，4，3)，所以线段AB在yOz平面上的投影长|A′B′|＝eq\r(（0－0）2＋（4－5）2＋（3＋7）2)＝eq