2025版高考数学一轮总复习10年高考真题分类题组7.3基本不等式及其应用

.3基本不等式及其应用考点基本不等式及其应用1.(2015福建理,5,5分)若直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于(A.2B.3C.4D.5答案C因为直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以1a+1b=1.所以a+b=(a+b)·1a+1b=2+ab+ba≥2+2a2.(2015湖南文,7,5分)若实数a,b满意1a+2b=ab,则ab的最小值为(A.2B.2C.22D.4答案C依题意知a>0,b>0,则1a+2b≥22ab=22ab,当且仅当1a=2b,即b=2a时,“=”成立.因为1a+2b=ab,所以ab≥22ab,即ab≥3.(2014重庆文,9,5分)若log4(3a+4b)=log2ab,则a+b的最小值是()A.6+23B.7+23C.6+43D.7+43答案D由log4(3a+4b)=log2ab,得3a+4b=ab,且a>0,b>0,∴a=4bb-3,∴a+b=b+4bb-3=b+4(b-3)+12b-3=(b-3)+124.(2014福建,9,5分)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是()A.80元B.120元C.160元D.240元答案C设底面矩形的长和宽分别为am、bm,则ab=4.容器的总造价为20ab+2(a+b)×10=[80+20(a+b)]元,80+20(a+b)≥80+40ab=160(当且仅当a=b时等号成立).故选C.5.(2024江苏,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.

答案9解析本题考查基本不等式及其应用.依题意画出图形,如图所示.易知S△ABD+S△BCD=S△ABC,即12csin60°+12asin60°=∴a+c=ac,∴1a+1∴4a+c=(4a+c)1a+1c=5+c当且仅当ca=4ac,即a=32,c=3时取一题多解1作DE∥CB交AB于E,∵BD为∠ABC的平分线,∴BABC=ADDC=∵DE∥CB,∴ADAC=AEAB=DEBC∴BE=aa+cBA,∴BD=aa+c∴BD2=a∴1=aa+cBA2+ca+cBC2+2·aa∴1=(ac)2(a∴4a+c=(4a+c)1a+1c=5+ca+4ac≥9,当且仅当ca=4ac一题多解2以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,则D(1,0).∵AB=c,BC=a,∴Ac2,3∵A,D,C三点共线,∴AD∥DC,∴1-c2-3∴ac=a+c,∴1a+1∴4a+c=(4a+c)1a+1c=5+ca+4ac≥9,当且仅当ca=4ac6.(2017山东,12,5分)若直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为答案8解析由题设可得1a+2∴2a+b=(2a+b)1a+2b=2+ba+4ab故2a+b的最小值为8.7.(2024天津文,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=4,则(x+1)(答案9解析本题主要考查基本不等式的运用.考查学生对基本不等式及其简洁变形运用条件的驾驭程度,以及学生的推理、运算实力.(x+1)(2y+1)∵x>0,y>0,∴4=x+2y≥2x·2y,解得0<xy≤2,当且仅当x=2y=2,即x=2且y=1时“=”成立.此时1xy≥12,∴2+5xy≥2+52=思路分析首先将分子绽开,并把已知条件x+2y=4代入,则原式化简为2+5xy,留意到x与2y的和为定值,用基本不等式即可求xy的最大值,最终得到原式的最小值,在此应特殊留意基本不等式的运用条件“一正、二定、三相等”,留意等号是否成立8.(2015重庆文,14,5分)设a,b>0,a+b=5,则a+1+b+3的最大值为答案32解析解法一:令t=a+1+b则t2=(a+1+b+3)2=a+1+b+3+2a+1·当且仅当a+1=b即a=72,b=32时,即t的最大值为32.解法二:设a+1=m,b则m,n均