河北省唐山市2024-2025学年高三数学上学期期末考试试题变式题含解析

Page1河北省唐山市2024届高三上学期期末数学试题变式题【原卷1题】学问点交集的概念及运算,详细函数的定义域,解不含参数的一元二次不等式,解不含参数的一元一次不等式【正确答案】B1-1（基础）已知集合，则（）A. B. C. D.【正确答案】B

1-2（基础）设集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】C

1-3（巩固）设集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】A

1-4（巩固）若集合，，则（）．A. B. C. D.【正确答案】C

1-5（提升）设集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】D

1-6（提升）集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】B

【原卷2题】学问点函数奇偶性的定义与推断【正确答案】C2-1（基础）已知是定义在上的函数，则“是上的偶函数”是“都是上的偶函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B

2-2（基础）已知是定义在上的增函数，则（）A.函数为奇函数，且在上单调递增B.函数为偶函数，且在上单调递减C.函数为奇函数，且在上单调递增D.函数为偶函数，且在上单调递减【正确答案】C

2-3（巩固）已知，且是定义在R上的奇函数，，则（）A.是奇函数 B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数【正确答案】B

2-4（巩固）已知f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对随意实数x，y都成立，则函数f（x）是（）A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数，也是偶函数D.既不是奇函数，也不是偶函数【正确答案】A

2-5（提升）若定义在R上的函数满意：对随意，，有，则下列说法肯定正确的是（）A.为奇函数 B.为偶函数C.为奇函数 D.为偶函数【正确答案】C

2-6（提升）记，已知均是定义在实数集上的函数，设，有下列两个命题：①若函数都是偶函数，则也是偶函数；②若函数都是奇函数，则也是奇函数．则关于两个命题推断正确的是（）A.①②都正确 B.①正确②错误 C.①错误②正确 D.①②都错误【正确答案】B

【原卷3题】学问点描述正（余）弦型函数图象的变换过程【正确答案】D3-1（基础）为了得到函数的图象，只要把函数图象上全部的点（）A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度【正确答案】C

3-2（基础）为了得到函数，的图象，只需把函数，的图象上全部的点（）A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）B.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）D.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）【正确答案】C

3-3（巩固）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位长度，再将所得图象全部点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变B.向右平移个单位长度，再将所得图象全部点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C.全部点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度D.全部点的横坐标缩短，纵坐标不变，再向右平移个单位长度【正确答案】D

3-4（巩固）为了得到的图象，只需将的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【正确答案】B

3-5（提升）已知A，B是函数的图像上的两个相邻最高点和最低点，且，为得到的图像，只须要将函数的图像（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移π个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移3个单位长度【正确答案】A

3-6（提升）要得到的图像，只需将的图像（）A.向左平移 B.向右平移C.向左平移 D.向左平移【正确答案】D

【原卷4题】学问点分步乘法计数原理及简洁应用,分组安排问题【正确答案】B4-1（基础）乾隆皇帝欲将4幅不同的字画全部赏赐给刘墉、纪昀、和珅3位大臣，每位大臣至少1幅，共有（）种不同的分法A.24 B.36 C.48 D.72【正确答案】B

4-2（基础）中国空间站的主体结构包括天和核心试验舱､问天试验舱和梦天试验舱，假设空间站要支配甲､乙等5名航天员开展试验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一试验舱的种数有（）A.60 B.66 C.72 D.80【正确答案】C

4-3（巩固）2024年10月16日中国共产党二十大报告中指出“我们经过接续奋斗，实现了小康这个中华民族的千年幻想，打赢人类历史上规模最大的脱贫攻坚战，历史性地解决肯定贫困问题，为全球减贫事业作出了重大贡献”，为进一步了解和巩固脱贫攻坚成果，某县选派7名工作人员到A，B，C三个乡镇进行调研活动，每个乡镇至少去1人，恰有两个乡镇所派人数相同，则不同的支配方式共有（）A.1176 B.2352 C.1722 D.1302【正确答案】A

4-4（巩固）年月日至月日，第届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛在成都实行，组委会支配甲、乙等名工作人员去个不同的岗位工作，其中每个岗位至少一人，且甲、乙人必需在一起，则不同的支配方法的种数为（）A. B. C. D.【正确答案】A

4-5（提升）绿水青山就是金山银山，浙江省对“五水共治”工作落实很到位，效果特别好．现从含有甲的5位志愿者中选出4位到江西，湖北和安徽三个省市宣扬，每个省市至少一个志愿者．若甲不去安徽，其余志愿者没有条件限制，共有多少种不同的支配方法（）A.228 B.132 C.180 D.96【正确答案】B

4-6（提升）2024年遂宁主城区突发“920疫情”，23日凌晨2时，射洪组织五支“最美逆行医疗队”去支援遂宁主城区，将分派到遂宁船山区、遂宁经开区、遂宁高新区进行核酸采样服务，每支医疗队只能去一个区，每区至少有一支医疗队，若恰有两支医疗队者被分派到高新区，则不同的支配方法共有（）A.30种 B.40种 C.50种 D.60种【正确答案】D

【原卷5题】学问点计算古典概型问题的概率【正确答案】D5-1（基础）我国古代有着辉煌的数学探讨成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着特别丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中3部产生于汉、魏晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著均是汉、魏晋、南北朝时期专著的概率为（）A. B. C. D.【正确答案】A

5-2（基础）在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首.北京2024年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领会了中华才智.墩墩同学要从24个节气中随机选取4个介绍给外国的挚友，则这4个节气中含有“立春”的概率为（）A. B. C. D.【正确答案】B

5-3（巩固）我们的祖先创建了一种特别重要的计算方法：筹算.筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的.据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当.即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，如图所示，例如：表示62，表示26，现有5根算筹，据此表示方式表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数大于40的概率为（）A. B. C. D.【正确答案】B

5-4（巩固）《史记》中讲解并描述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.”若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场竞赛，则齐王的马获胜的概率为（）A. B. C. D.【正确答案】A

5-5（提升）孪生素数猜想是数学家希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个：存在无穷多个素数p，使得是素数，素数对称为孪生素数．那么在不超过12的素数中随意取出不同的两个，则能组成孪生素数的概率为（）A. B. C. D.【正确答案】B

5-6（提升）魔方又叫鲁比克方块（Rubk'sCube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克･艾尔内于1974年独创的机械益智玩具，与华容道､独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力嬉戏界的三大不行思议.三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从全部的小正方体中任取一个，恰好抽到中心方块的概率为（）A. B. C. D.【正确答案】A

【原卷6题】学问点抛物线的焦半径公式【正确答案】A6-1（基础）在抛物线上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为ABC的重心，则（）A.6 B.8 C.9 D.12【正确答案】D

6-2（基础）已知抛物线的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，且A，B中点的横坐标为2，则（）A.4 B.5 C.6 D.8【正确答案】C

6-3（巩固）设抛物线的焦点为，点在上，，若，则（）A. B.4 C. D.6【正确答案】A

6-4（巩固）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，过A点作准线的垂线交准线于，若，则（）A. B. C. D.【正确答案】B

6-5（提升）已知点A是抛物线C：上一点，F为焦点，O为坐标原点，若以点O为圆心，以的长为半径的圆与抛物线C的另一个交点为B，且，则的值是（）A. B.6 C. D.7【正确答案】C

6-6（提升）设抛物线的顶点为坐标原点，焦点的坐标为，若该抛物线上两点、的横坐标之和为，则弦的长的最大值为（）A. B. C. D.【正确答案】A

【原卷7题】学问点比较对数式的大小【正确答案】A7-1（基础）已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【正确答案】C

7-2（基础）若，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【正确答案】D

7-3（巩固）已知，，，则（）A. B. C. D.【正确答案】A

7-4（巩固）若，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【正确答案】C

7-5（提升）已知，则正数的大小关系为（）A. B.C. D.【正确答案】A

7-6（提升）已知，，，则（）A. B. C. D.【正确答案】A

【原卷8题】学问点基本不等式求和的最小值,圆柱表面积的有关计算,多面体与球体内切外接问题【正确答案】B8-1（基础）设直四棱柱的每个顶点都在球O的球面上，底面ABCD为平行四边形，，侧面的面积为6，则球O表面积的最小值为（）A. B. C. D.【正确答案】D

8-2（基础）阳马，中国古代算数中的一种几何体，它是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥.已知在阳马中，平面，且阳马的体积为9，则阳马外接球表面积的最小值是（）A. B. C. D.【正确答案】C

8-3（巩固）已知正三棱柱中，侧面的面积为4，则正三棱柱外接球表面积的最小值为（）A. B. C. D.【正确答案】D

8-4（巩固）四棱锥中，底面为矩形，体积为，若平面，且，则四棱锥的外接球体积的最小值是（）A. B. C. D.【正确答案】D

8-5（提升）直四棱柱的底面是菱形，其侧面积是，若该直四棱柱有外接球，则该外接球的表面积的最小值为（）A. B. C. D.【正确答案】D

8-6（提升）已知三棱柱ABC—A1B1C1的外接球的半径为R，若AA1⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，则三棱柱ABC—A1B1C1的侧面积的最大值为（）A. B. C. D.【正确答案】C

【原卷9题】学问点复数加减法的代数运算,复数代数形式的乘法运算,共轭复数的概念及计算,复数的除法运算【正确答案】AC9-1（基础）下面四个命题正确的是()A.若复数满意，则B.若复数满意，则C.若复数，，满意，则D.若复数，满意，则【正确答案】AC

9-2（基础）设，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【正确答案】ACD

9-3（巩固）对于随意复数，下列说法中正确的有（）A.若，则 B.若，则C. D.若，则【正确答案】AD

9-4（巩固）已知复数，则（）A. B. C. D.【正确答案】ABD

9-5（提升）关于复数，，，下列说法正确的是（）A.若复数，则B.若，则或C.若复数，则D.若复数满意，则复数z对应的点所构成的图形面积为【正确答案】AD

9-6（提升）已知i为虚数单位，以下四种说法中正确的是（）A.是纯虚数 B.若，则复平面内对应的点位于第四象限C.若，则 D.已知复数z满意，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线【正确答案】CD

【原卷10题】学问点切线长,直线与圆中的定点定值问题,直线与圆的位置关系求距离的最值【正确答案】ABD10-1（基础）已知圆C：，直线l：，点P在圆C上，点Q在直线l上，则（）A.直线l与圆C相交B.的最小值为C.到直线l的距离为1的点P有且只有2个D.从点Q向圆C引切线，切线的长的最小值是2【正确答案】BC

10-2（基础）已知圆：，则下列说法正确的有（）A.圆关于直线对称的圆的方程为B.直线与圆的相交弦长为C.若点是圆上的动点，则的最大值为D.若圆上有且仅有三个点到直线的距离等于，则或-3【正确答案】AD

10-3（巩固）过直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为，，则（）A.原点在以为直径的圆内 B.线段的长度可以为C.圆上存在不同两点，，使 D.四边形面积的最小值为【正确答案】ACD

10-4（巩固）圆，直线，点在圆上，点在直线上，则下列结论正确的是（）A.直线与圆相交B.的最小值是1C.从点向圆引切线，切线长的最小值是3D.直线被圆截得的弦长取值范围为【正确答案】BCD

10-5（提升）已知圆，点P是直线l:x+y=0上一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别是A，B，下列说法正确的有（）A.圆M上恰有一个点到直线l的距离为B.切线长PA的最小值为1C.四边形AMBP面积的最小值为1D.直线AB恒过定点【正确答案】BCD

10-6（提升）已知点在圆上，点，，则（）A.点到直线的距离最大值为B.满意的点有3个C.过点作圆的两切线，切点分别为､，则直线的方程为D.的最小值是【正确答案】ACD

【原卷11题】学问点写出简洁离散型随机变量分布列,求离散型随机变量的均值,均值的实际应用,由指数函数的单调性解不等式【正确答案】CD11-1（基础）石榴（Punicagranatum）原名“安石榴”，果实酸甜各异，是温带、亚热带稀有水果之一．自古就有“九州之奇树，天下之名果”、“多籽丽人”的美称．石榴原产伊朗中亚地区，秦汉时期，通过“丝绸之路”引入我国，已有两千多年的栽培历史，我国南北各地均有小流域的栽培，共有100多个品种．金秋十月，怀远石榴成熟．不同品种的石榴价格及某石榴销售点依据以往各种石榴日销量的统计如下表：种类软籽硬籽红玛瑙白花玉石籽红花玉石籽红玛瑙白花玉石籽红花玉石籽售价（单位：元/kg）151818161820日销量（单位：kg）50807080120100此销售点对去年同一时间的20天，每天到该销售点要求订购石榴数量统计如下表：重量范围（单位：kg）0~100101~300301~600601~900901~1500重量（单位：kg）502004508001250天数（单位：天）151031依据以往的阅历，该销售点只有销售额的三分之一作为销售点员工的工资和销售点的利润，其余的费用是其它各项消费．目前该销售点有员工5人，每人每天销售石榴不超过300kg，日工资280元；该销售点正在考虑每日利润的数学期望确定是否将员工裁减1人．以上数据已做近似处理，要求：（1）将频率视为概率；（2）在计算每千克石榴的价格的平均值时，结果精确到元（即精确到个位数）．则（）A.该销售点销售每千克石榴的价格的平均值约为18元B.该销售点将来4天内至少有1天石榴销售重量在101~600kg之间的概率为C.该销售点在不裁减工作人员的状况下，每日利润的数学期望为1350元D.该销售点在裁减工作人员1人的状况下，每日利润的数学期望为1505元【正确答案】ABD

11-2（基础）某城市在天内完成了全城多万人的检测，高效率的隐私在于“混采检测”．某爱好小组利用“混采检测”进行试验，已知只动物中有只患有某种疾病，须要通过血液化验来确定患病的动物，血液化验结果呈阳性的为患病动物，下面是两种化验方案：方案甲：将各个动物的血液逐个化验，直到查出患病动物为止方案乙：先取只动物的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这只动物的血液逐个化验，直到查出患病动物；若不呈阳性，则对剩下的只动物逐个化验，直到查出患病动物．则下列说法正确的是（）A.若利用方案甲，平均化验次数为B.若利用方案乙，化验次数为次的概率为C.若利用方案甲，化验次数为次的概率为D.方案乙比方案甲更好【正确答案】ABD

11-3（巩固）年6月，上海市要求复工复产的相关人员须持小时核酸检测阴性证明方能进入工厂.现有两种检测方式：（1）逐份检测；（2）混合检测：即将其中份核酸样本混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这份核酸全为阴性，假如检测结果为阳性，则须要对这份核酸再逐份检测.假设检测的核酸样本中，每份样本的检测结果相互独立，且每份样本是阳性的概率都为，若，则能使得混合检测比逐份检测更便利的的值可能是（）（参考数据A. B. C. D.【正确答案】AB

11-4（巩固）已知5只动物中有1只患有某种疾病，须要通过血液化验来确定患病的动物，血液化验结果呈阳性的为患病动物．下面是两种化验方案：（）方案甲：将各动物的血液逐个化验，直到查出患病动物为止；方案乙：先取3只动物的血液进行混合，然后检查，若呈阳性，对这3只动物的血液再逐个化验，直到查出患病动物；若不成阳性，则检查剩下的两只动物中1只动物的血液A.若利用方案甲，化验次数为4次的概率为0.2B.若利用方案甲，平均检查次数为2.8C.若利用方案乙，最多须要检查次数为4次D.若利用方案乙，化验次数为2次的概率为0.6【正确答案】BD

11-5（提升）某企业于近期推出了一款盲盒，且该款盲盒分为隐藏款和一般款两种，其中隐藏款的成本为50元/件，一般款为10元/件，且企业对这款盲盒的零售定价为元/件.现有一批有限个盲盒即将上市，其中含有20％的隐藏款.某产品经理现对这批盲盒进行检验，每次只检验一个盲盒，且每次检验相互独立，检验后将盲盒重新包装并放回.若检验到隐藏款，则检验结束；若检验到一般款，则接着检验，且最多检验20次.记X为检验结束时所进行的检验次数，则（）A.B.C.若小明从这批盲盒中一次性购买了5件，则他抽到隐藏款的概率为0.5094D.若这款盲盒最终全部售出，为确保企业能获利，则【正确答案】ABD

11-6（提升）世界卫生组织在2024年11月26日将新冠病毒变异毒株B.1.1.529列为“须要关注”的变异毒株，并以“奥密克戎”命名．与德尔塔毒株相比，奥密克戎毒株传播速度明显更快．目前我国已有广州、天津、河南等多地有本地病例报告．天津某公司对100位员工是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，已知随机一人的咽拭子核酸检测结果呈阳性的概率为，且每一个员工的咽拭子核酸检测结果是否呈阳性相互独立．假设员工患新冠肺炎的概率是b，员工在患病的状况下，咽拭子核酸检测结果呈阳性的概率为c．现将100位员工进行平均分组，每一组员工咽拭子核酸混合在一起进行检验，若混合核酸检测结果为阴性，则无需再检；若混合核酸检测结果为阳性，则须要将该组每一位员工的咽拭子核酸逐一检验．依据以上信息，可以断定以下说法正确的是（）（参考数据：，）A.某员工患有新冠肺炎且咽拭子核酸检测结果呈阳性的概率是abB.已知某员工的咽拭子核酸检测结果呈阳性，则其被确诊为新冠肺炎的概率是C.若将100位员工平均分成10组，将每一组员工的咽拭子核酸混在一起进行检测，每一组检测次数的均值是D.若，将100位员工平均分成10组改成平均分成5组，则检测的工作量变大【正确答案】BCD

【原卷12题】学问点锥体体积的有关计算,异面直线所成的角的概念及辨析,推断线面是否垂直【正确答案】AB12-1（基础）如图，在菱形ABCD中，AB=2，，将沿BD折起，使A到，且点不落在底面BCD内，若点M为线段的中点，则在翻折过程中，以下命题中正确的是（）A.四面体的体积的最大值为1B.存在某一位置，使得BM⊥CDC.异面直线BM与所成的角为定值D.当二面角的余弦值为时，【正确答案】ABD

12-2（基础）在矩形中，是的中点，将沿翻折，直至点落在边上.当翻折到的位置时，连接，如图所示，则下列说法正确的是（）A.四棱锥体积的最大值为B.设的中点为，当时，二面角的余弦值为C.不存在某一翻折位置，使得D.是的中点，无论翻折到什么位置，都有平面【正确答案】AB

12-3（巩固）如图，正方形的边长为2，为的中点，将沿向上翻折到，连接，，为的中点，在翻折过程中（）A.四棱锥的体积最大值为B.平面C.三棱锥的外接球半径的最大值是D.直线，与平面所成角的正弦值之比为【正确答案】ABD

12-4（巩固）如图，矩形ABCD中，，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE（点A不落在底面BCDE内），若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，以下命题正确的是（）A.四棱锥体积最大值为 B.线段BM长度是定值C.MB∥平面A1DE肯定成立 D.存在某个位置，使【正确答案】ABC

12-5（提升）如图，平面四边形是由正方形和直角三角形组成的直角梯形，，，现将沿斜边翻折成（不在平面内），若为的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（）A.与不行能垂直B.三棱锥体积的最大值为C.若都在同一球面上，则该球的表面积是D.直线与所成角的取值范围为（）【正确答案】BCD

12-6（提升）如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝AC＝2，DA＝DC＝，将四边形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，以下结论正确的是（）A.两条异面直线AB与CD所成角的范围是B.P为线段CD上一点（包括端点），当CD⊥AB时，C.三棱锥D−ABC的体积最大值为D.当二面角D−AC−B的大小为时，三棱锥D−ABC的外接球表面积为【正确答案】BCD

【原卷13题】学问点等差数列通项公式的基本量计算,等比中项的应用【正确答案】413-1（基础）在等差数列中，，，则数列的公差______.【正确答案】2

13-2（基础）已知等差数列中，，，则与的等差中项为__________.【正确答案】8

13-3（巩固）已知正项等差数列中，若，若成等比数列，则等于________．【正确答案】21

13-4（巩固）已知等差数列的公差为，且是和的等比中项，则______.【正确答案】

13-5（提升）已知等差数列满意，则__________.【正确答案】

13-6（提升）设是等差数列，且，，则______．【正确答案】58

【原卷14题】学问点用基底表示向量,数量积的运算律【正确答案】514-1（基础）如图，在四边形ABCD中，，，若是等边三角形，且，E是CD的中点，则的值为______.【正确答案】11

14-2（基础）在四边形ABCD中，，且，，则的值为______．【正确答案】5

14-3（巩固）已知为的外心，，，则___________．【正确答案】或-3.5

14-4（巩固）在中，，点在线段上，点在线段上，且满意，，交于，则___________．【正确答案】或

14-5（提升）已知正方形ABCD的边长为4，中心为O，圆O的半径为1，MN为圆O的直径．若点P在正方形ABCD的边上运动，则的取值范围是_____．【正确答案】

14-6（提升）中，，，是外接圆的圆心，则的最大值为___________.【正确答案】6

【原卷15题】学问点锥体体积的有关计算【正确答案】15-1（基础）若圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的体积为_____．【正确答案】．

15-2（基础）若圆锥的侧面绽开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为___________．【正确答案】

15-3（巩固）将某个圆锥体沿着母线和底面圆周剪开后绽开，所得的平面图形是一个圆和扇形，已知该扇形的半径为，圆心角为，则圆锥的体积是_________.【正确答案】

15-4（巩固）圆锥的母线长为1，母线与轴所成的角为，则该圆锥的体积为__________．【正确答案】或

15-5（提升）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的体积为______.【正确答案】或

15-6（提升）已知圆锥的轴截面是斜边为的直角三角形，则该圆锥的体积为___________.【正确答案】

【原卷16题】学问点依据极值点求参数【正确答案】216-1（基础）已知函数在处取得极值0，则______．【正确答案】11

16-2（基础）已知函数在处取得极值，且极值为0，则______．【正确答案】

16-3（巩固）已知函数的零点恰好是的极值点，则______.【正确答案】

16-4（巩固）已知是函数的极大值点，则的值为______．【正确答案】

16-5（提升）已知函数存在唯一的极值点，则实数的取值范围是__________．【正确答案】

16-6（提升）已知函数有两个不同的极值点，则满意条件的取值范围为___________.【正确答案】

【原卷17题】学问点正弦定理边角互化的应用,余弦定理解三角形,求三角形中的边长或周长的最值或范围【正确答案】17-1（基础）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.1、求角的大小；2、求的取值范围.【正确答案】1、2、

17-2（基础）在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若．1、求B；2、若，求的取值范围．【正确答案】1、；2、.

17-3（巩固）在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，，1、求角B﹔2、求的范围．【正确答案】1、2、

17-4（巩固）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.1、求B；2、若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.【正确答案】1、；2、.

17-5（提升）的内角，，的对边分别为，，，.1、求；2、若，求周长的最大值.【正确答案】1、；2、9.

17-6（提升）在中，角的对边长分别为，且.1、求；2、若，求的周长.【正确答案】1、2、

【原卷18题】学问点裂项相消法求和,利用an与sn关系求通项或项【正确答案】18-1（基础）已知数列的前项和为，满意，且.1、求数列的通项公式；2、求数列的前项和.【正确答案】1、；2、.

18-2（基础）设数列的前n项积为，且.1、求证数列是等差数列；2、设，求数列的前n项和.【正确答案】1、证明见解析；2、.

18-3（巩固）已知数列{}满意1、求证：数列是等差数列；2、记，求数列{·}的前2024项和；【正确答案】1、证明见解析2、

18-4（巩固）已知数列满意，，.1、求数列的通项公式；2、若，求数列的前项和.【正确答案】1、2、当时，；当时，

18-5（提升）已知数列{an}和{bn}，a1＝2，，，1、证明：是等比数列；2、若，求数列的前n项和Sn.【正确答案】1、证明见解析2、

18-6（提升）已知数列的前n项和为，其中，满意．（1）证明数列为等比数列；（2）求数列的前n项和．【正确答案】（1）证明见解析；（2）．

【原卷19题】学问点锥体体积的有关计算,证明线面垂直,已知面面角求其他量【正确答案】19-1（基础）如图所示，圆锥的高，底面圆的半径为，延长直径到点，使得，分别过点、作底面圆的切线，两切线相交于点，点是切线与圆的切点．1、证明：平面；2、若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求该圆锥的体积．【正确答案】1、证明见解析；2、.

19-2（基础）已知平面四边形，，（如图1所示），现将沿边折起，使得平面平面，点为线段的中点，为线段上一点，（如图2所示）．1、求证：平面；2、若二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．【正确答案】1、证明见解析2、

19-3（巩固）如图，在三棱柱中，平面，四边形为菱形．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若，，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．【正确答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

19-4（巩固）如图所示，在三棱锥中，，为的中点.1、证明：平面；2、若点在棱上，且二面角为，求三棱锥的体积.【正确答案】1、证明见解析2、

19-5（提升）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，G为的重心，M为线段的中点，与交于点F．1、当时，证明：平面；2、当平面与平面所成锐二面角为时，求三棱锥的体积．【正确答案】1、证明见解析2、

19-6（提升）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．（1）证明：平面；（2）若，且二面角的大小为30°，求四棱锥的体积．【正确答案】（1）证明见解析；（2）．

【原卷20题】学问点依据散点图推断是否线性相关,相关系数的计算,非线性回来【正确答案】20-1（基础）应对严峻威逼人类生存与发展的气候改变，其关键在于“控碳”，其必由之路是先实现“碳达峰”，而后实现“碳中和”，2024年第七十五届联合国大会一般性辩论上，习近平总书记向世界慎重承诺：力争在2030年前实现“碳达峰”，努力争取在2060年前实现“碳中和”.近年来，国家主动发展新能源汽车，某品牌的新能源汽车宝鸡地区销售在2024年5月至2024年9月这5个月的销售量（单位：辆）的数据如下表：月份2024年5月2024年6月2024年7月2024年8月2024年9月月份代码：12345销售量：45566468721、依据表中的统计数据，请推断月份代码与该品牌的新能源汽车宝鸡地区销售量（单位：辆）是否具有较高的线性相关程度?（参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算时精确度为0.01.）2、求销售量与月份代码之间的线性回来方程，并预料2024年11月份宝鸡地区的销售量（单位：辆）.（结果保留整数）参考数据：，，，参考公式：相关系数，线性回来方程中，，，其中，为样本平均值.【正确答案】1、具有较高的线性相关程度2、，87辆

20-2（基础）我国北方广阔农村地区、一些城镇以及部分大中城市的周边区域，还在大量采纳分散燃煤和散烧煤取暖，既影响了居民基本生活的改善，也加重了北方地区冬季的雾霾天气．推动北方地区冬季清洁取暖，是重大民生工程、民心工程，关系北方地区广阔群众暖和过冬，关系雾霾天能不能削减，是能源生产和消费革命、农村生活方式革命的重要内容．2017年9月国家发改委制定了煤改气、煤改电价格扶植新政策，从而使得煤改气、煤改电用户大幅度增加．图1所示的条形图反映了某省2024年1~7月份煤改气、煤改电的用户数量．1、在图2给定坐标系中作出煤改气、煤改电用户数量y随月份t改变的散点图，并用散点图和相关系数说明y与t之间具有线性相关性；2、建立y关于t的回来方程（系数精确到0.01），预料11月份该省煤改气、煤改电的用户数量．参考数据：，，．【正确答案】1、答案见解析2、，2.02万户

20-3（巩固）一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本（万元）与该月产量（万件）之间有如下一组数据：x1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.87y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.261、通过画散点图，发觉可用线性回来模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；2、①建立月总成本与月产量之间的回来方程；②通过建立的关于的回来方程，估计某月产量为1.98万件时，产品的总成本为多少万元?（均精确到0.001）.附注：①参考数据：，，，，.②参考公式：相关系数，，.【正确答案】1、与正相关，且相关性很强2、①；②

20-4（巩固）近年来，随着社会对教化的重视，家庭的平均教化支出增长较快，某机构随机调查了某市2015-2025年的家庭教化支出（单位：万元），得到如下折线图.（附：年份代码1-7分别对应2015-2025年）.经计算得，.1、用一元线性回来模型拟合y与t的关系，求出相关系数r（精确到0.01），并说明y与t相关性的强弱；2、建立y关于t的回来直线方程；3、若2024年该市某家庭总支出为10万元，预料2024年该家庭的教化支出.附：①相关系数；②在回来直线方程中，.【正确答案】1、，相关性很强；2、；3、万元.

20-5（提升）依据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩运用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示．1、依据数据的散点图可以看出，可用线性回来模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回来模型拟合）；2、求y关于x的回来方程，并预料当液体肥料每亩运用量为10千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？附：相关系数公式．参考数据：回来方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．【正确答案】1、，说明见解析2、；550千克

20-6（提升）我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2024年到2025年的“十四五”规划．某企业为响应国家号召，汇聚科研力气，加强科技创新，打算增加研发资金．现该企业为了了解年研发资金投入额（单位：亿元）对年盈利额（单位：亿元）的影响，探讨了“十二五”和“十三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额和年盈利额的数据．通过对比分析，建立了两个函数模型：①；②，其中、、、均为常数，为自然对数的底数．令，，经计算得如下数据：262156526805.36112501302.6121、请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？2、依据（1）的选择及表中数据，建立关于的回来方程；（系数精确到0.01）3、若希望2024年盈利额为250亿元，请预料2024年的研发资金投入额为多少亿元．（结果精确到0.01）【正确答案】1、模型的拟合程度更好2、3、约为27.56亿元

【原卷21题】学问点轨迹问题——椭圆,依据直线与椭圆的位置关系求参数或范围,求椭圆中的弦长【正确答案】21-1（基础）在平面直角坐标系中，点，，，点M的轨迹为C.1、求C的方程：2、设点P在直线上，过点P的两条直线分别交C于A，B两点和G，H两点，若直线AB与直线GH的斜率之和为0，证明：.【正确答案】1、；2、证明见解析.

21-2（基础）平面直角坐标系xOy中，点，，点M满意.记M的轨迹为C.1、说明C是什么曲线，并求C的方程；2、已知经过的直线l与C交于A，B两点，若，求.【正确答案】1、C是以点，为左右焦点的椭圆，2、

21-3（巩固）在平面直角坐标系中，已知点，，过点的动直线与过点的动直线的交点为P，，的斜率均存在且乘积为，设动点Р的轨迹为曲线C.1、求曲线C的方程;2、若点M在曲线C上，过点M且垂直于OM的直线交C于另一点N，点M关于原点O的对称点为Q.直线NQ交x轴于点T，求的最大值.【正确答案】1、2、

21-4（巩固）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满意．记M的轨迹为C．1、求C的方程；2、设点P为x轴上的动点，经过且不垂直于坐标轴的直线l与C交于A，B两点，且，证明：为定值．【正确答案】1、2、证明过程见解析

21-5（提升）在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点到，的两点的距离之和为．1、试推断动点的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程．2、已知直线与圆交于、两点，与曲线交于、两点，其中、在第一象限，为原点到直线的距离，是否存在实数，使得取得最大值，若存在，求出和最大值；若不存在，说明理由．【正确答案】1、动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，2、时取得最大值

21-6（提升）设是圆：上的一动点，已知点，线段的垂直平分线交线段于点，记点的轨迹为曲线．1、求曲线的方程；2、过点且斜率为的直线l与曲线交于两点，若线段的垂直平分线交轴于点T，若，求实数的取值范围．【正确答案】1、；2、

【原卷22题】学问点函数单调性、极值与最值的综合应用,利用导数证明不等式【正确答案】22-1（基础）已知函数在处的切线过点，a为常数．1、求a的值；2、证明：．【正确答案】1、2、证明见解析.

22-2（基础）已知函数(为自然对数的底数，为常数)的图像在(0，1)处的切线斜率为.1、求的值及函数的极值；2、证明：当时，.【正确答案】1、，微小值，无极大值2、证明见解析

22-3（巩固）已知函数.1、当时，恒成立，求的取值范围；2、若曲线的一条切线为，证明：当时，恒成立.【正确答案】1、2、证明见解析

22-4（巩固）已知函数（），曲线在点处的切线在轴上的截距为.1、求的最小值；2、证明：当时，.【正确答案】1、的最小值为0.2、详见解析.

22-5（提升）已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直.1、试比较与的大小，并说明理由；2、若函数有两个不同的零点，证明：.【正确答案】1、，证明见解析；2、证明见解析.

22-6（提升）已知曲线在处的切线方程为．其中a、b均为实数．1、求的值；2、若是函数的微小值点，证明：．参考数据：，，，．【正确答案】1、2、证明见解析

答案解析1-1【基础】【正确答案】B【试题解析】分析:求出函数的定义域化简集合M，再利用交集的定义求解作答.详解:由得：，解得，则有，而，所以.故选：B1-2【基础】【正确答案】C【试题解析】分析:求集合中的函数定义域，得到集合，再与集合取交集.详解:函数有意义，，解得，所以，由，则.故选：C1-3【巩固】【正确答案】A【试题解析】分析:用列举法写出集合，求出集合，再写出与的交集即可.详解:由集合，解得；由，解得，则.故选：A1-4【巩固】【正确答案】C【试题解析】分析:分别解出集合A，B，然后求交集运算即可.详解:，，所以，.故选：C.1-5【提升】【正确答案】D【试题解析】分析:化简集合然后利用交集运算即可求解详解:由可得，解得，故，因为所以，所以，故选：D1-6【提升】【正确答案】B【试题解析】分析:利用集合的运算即可求得.详解:由已知，故，故所以故选：B2-1【基础】【正确答案】B【试题解析】分析:依据偶函数的定义，从是定义在上的偶函数动身去推导的奇偶性，然后再进行反向推理即可.详解:由都是R上的偶函数，得，设，，为偶函数，即“都是R上的偶函数时，则必为偶函数”，反之，“若为偶函数，则不肯定能推出都是R上的偶函数”，例如：取，则是R上的偶函数，而都不具备奇偶性，故“是R上的偶函数”是“都是R上的偶函数”的必要不充分条件.故选：B．2-2【基础】【正确答案】C【试题解析】分析:结合已知条件，利用函数奇偶性定义和其对称性可推断AB；利用奇偶性的定义以及复合函数单调性可推断CD.详解:不妨令，则，且的定义域为，故为偶函数，则的图像关于轴对称，则不行能在上单调，故AB错误；令，则，且的定义域为，故是奇函数，因为是定义在上的增函数，所以由复合函数单调性可知，在上是减函数，故在上是增函数，故C正确，D错误.故选：C.2-3【巩固】【正确答案】B【试题解析】分析:依据函数奇偶性的定义，推断与的关系即可求解.详解:由已知的定义域为R，因为是定义在R上的奇函数，所以，所以，所以为偶函数，又，，又，所以，所以不为奇函数，故选：B．2-4【巩固】【正确答案】A【试题解析】分析:首先求，再通过赋值，结合奇函数的定义，证明函数是奇函数.详解:令x＝y＝0，所以f（0）＝f（0）＋f（0），所以f（0）＝0.又因为f（x－x）＝f（x）＋f（－x）＝0，所以f（－x）＝－f（x），所以f（x）是奇函数.故选：A2-5【提升】【正确答案】C【试题解析】分析:令得，令，得到，依据奇偶性定义即可得答案.详解:对随意，有，令，得.令，，得.整理得，故为奇函数.故选：C2-6【提升】【正确答案】B【试题解析】分析:对于①，依据偶函数的定义推断；对于②，举反例即可.详解:对于①，若函数都是偶函数，则，所以，所以也是偶函数；命题①正确；对于②，若函数都是奇函数，如都是R上的奇函数，而不是定义在R上的奇函数，命题②错误；故选：B.3-1【基础】【正确答案】C【试题解析】分析:依据三角函数图象的平移变换规律，即可推断出答案.详解:因为，故为了得到函数的图象，只要把函数图象上全部的点向右平移个单位长度，故选：C.3-2【基础】【正确答案】C【试题解析】分析:依据三角函数平移和伸缩变换原则依次推断各个选项即可.详解:记，变换后所得函数为，对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D错误.故选：C.3-3【巩固】【正确答案】D【试题解析】分析:由诱导公式与三角函数的图象变换推断，详解:，故只需将函数的图象全部点的横坐标缩短，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，或先向右平移个单位长度，再将所得图象全部点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，只有D满意题意故选：D3-4【巩固】【正确答案】B【试题解析】分析:由函数图像平移的左加右减原则即可求解.详解:设，由得：只需将的图象向左平移个单位长度，即可得到的图象.故选：B3-5【提升】【正确答案】A【试题解析】分析:因为，构造直角三角形，可得，即可求出的值.再用三角函数的平移规则即可解决.详解:由题意因为，构造直角三角形，可得，则函数的最小正周期，∴，∴，∴只需将的图像向左平移个单位长度，即可得到的图像．故选：A3-6【提升】【正确答案】D【试题解析】分析:化简，然后结合三角函数图像变换的学问求得正确答案.详解:，将向左平移得.故选：D4-1【基础】【正确答案】B【试题解析】分析:先将4幅不同的字画分为三组，每组的容量分别为、、，再将这三组字画安排给3位大臣，利用分步乘法计数原理即得.详解:先将4幅不同的字画分为三组，每组的容量分别为、、，再将这三组字画安排给3位大臣，由分步乘法计数原理可知，不同的分法种数为种.故选：B.4-2【基础】【正确答案】C【试题解析】分析:依据分步计数原理结合部分平均分组以及结合间接法运算求解.详解:5名航天员支配三舱，每个舱至少一人至多二人，共有种支配方法，若甲乙在同一试验舱的种数有种，故甲乙不在同一试验舱的种数有种.故选：C.4-3【巩固】【正确答案】A【试题解析】分析:把7名工作人员分别分为三种状况探讨，然后分别计算即可求解．详解:由题可知把7名工作人员分别分为三种状况，把7名工作人员分为1，1，5三组，则不同的支配方式共有：种，把7名工作人员分为2，2，3三组，不同的支配方式共有：种，把7名工作人员分为3，3，1三组，不同的支配方式共有：种，综上，不同的支配方式共有种，故选：A．4-4【巩固】【正确答案】A【试题解析】分析:对甲、乙两人所在的岗位的人数进行分类探讨，利用分组安排的原理结合分类加法计数原理可求得不同的支配方法种数.详解:分以下两种状况探讨：（1）若甲、乙两人所在的岗位只安排了甲、乙两人，则另外有一个岗位须要支配两人，此时，不同的支配方法种数为种；（2）若甲、乙两人所在的岗位安排了三人，则还需从其余四人中抽取一人安排在甲、乙这两人所在的岗位，此时，不同的支配方法种数为种.综上所述，不同的支配方法种数为.故选：A.4-5【提升】【正确答案】B【试题解析】分析:本题分抽取的4人中含甲和不含甲两大类探讨，实行捆绑法分析状况，再利用加法和乘法原理得到全部状况即可.详解:4人去3个省份，且每个省至少一个人则必会有两人去同一省份，若抽取的4人中不含甲，在这四人中随意取两人进行捆绑，则共有种，②若4人中含有甲，则在剩余的4人中抽取3人，共有种，接下来若甲和另1人去同一省份，则共有种，若甲单独一人去一个省份，则共有种，依据加法和乘法原理可得共有，此类状况共有种综上共有种.故选：B.4-6【提升】【正确答案】D【试题解析】分析:先从5支医疗队中选取2支医疗队去高新区，再将剩下的3支医疗队安排到船山区与经开区，最终依据分步乘法原理求解即可.详解:解：先从5支医疗队中选取2支医疗队去高新区，有种不同的选派方案，再将剩下的3对医疗队安排到船山区与经开区，有种不同的选派方案，所以，依据分步乘法原理，不同的支配方案有种.故选：D5-1【基础】【正确答案】A【试题解析】分析:依据古典概型的概率公式计算即可详解:解：从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本领件总数，设A={所选2部专著均是汉、魏晋、南北朝时期专著}则∴故选：A．5-2【基础】【正确答案】B【试题解析】分析:求出从24个节气中选择4个节气的状况，和四个节气中含有“立春”的状况，利用古典概型求概率公式进行求解.详解:从24个节气中选择4个节气，共有种状况，这四个节气中含有“立春”的状况有种状况，故这4个节气中含有“立春”的概率为.故选：B5-3【巩固】【正确答案】B【试题解析】分析:依据5根算筹，分为四类状况：，然后逐一列举所表示的两位数，再依据古典概型概率公式即得.详解:依据题意可知：一共5根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为共四类状况；第一类：，即十位用4根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是4或者8，个位为1，则两位数为41或者81；其次类：，即十位用3根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是3或者7，个位可能为2或者6，故两位数可能32，36，72，76；第三类：，即十位用2根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是2或者6，个位可能为3或者7，故两位数可能是23，27，63，67；第四类：，即十位用1根算筹，个位用4根算筹，那么十位为1，个位可能为4或者8，则该两位数为14或者18，综上可知：全部的两位数有14，18，23，27，32，36，41，63，67，72，76，81共计12个，其中大于40的有41，63，67，72，76，81共计6个，故这个两位数大于40的概率为，故选：B.5-4【巩固】【正确答案】A【试题解析】分析:赛马的基本领件总数是种，用列举法列举出齐王可以获胜的状况，依据古典概型的计算公式求解即可.详解:记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C，由题意可知，全部的基本领件有aA，bA，cA，aB，bB，cB，aC，bC，cC，共9种，其中齐王可以获胜的事务有aA，bA，cA，bB，cB，cC，共种，依据古典概型的计算公式，齐王的马获胜的概率.故选：A.5-5【提升】【正确答案】B【试题解析】分析:依据题意列出不超过12的素数，结合孪生素数的定义列出组成孪生素数对的个数，进而利用古典概型的概率公式求解.详解:不超过12的素数有：2,3,5,7,11共5个，随意取出不同的两个素数有：共10对，又素数对为孪生素数，所以不超过12的素数组成的孪生素数有：共2对，所以能够组成孪生素数的概率为.故选：B5-6【提升】【正确答案】A【试题解析】分析:沿等分线把正方体切开，共有27个同样大小的小正方体，然后数出1面有色、2面有色和3面有色的小正方体的个数，可通过古典概型运算公式求得答案.详解:沿等分线把正方体切开，得到27个同样大小的小正方体，1面有色的小正方体有6个，2面有色的小正方体有12个，3面有色的小正方体有8个，所以恰好抽到的是中心方块的概率是．故选：A.6-1【基础】【正确答案】D【试题解析】分析:依据重心的性质可得，然后依据抛物线的定义可知即可求解.详解:解：由题意得：F为ABC的重心故设点A，B，C的坐标分别为，，抛物线，F为其焦点故选：D6-2【基础】【正确答案】C【试题解析】分析:依据抛物线的定义结合已知可求得结果.详解:设，由A，B中点的横坐标为2，可得，所以．故选：C．6-3【巩固】【正确答案】A【试题解析】分析:依据题意，结合焦半径公式得，再计算即可.详解:解：由题知抛物线的焦点为，因为，所以，因为点在上，所以，由焦半径公式得，解得，所以，，.故选：A6-4【巩固】【正确答案】B【试题解析】分析:结合图形，利用抛物线的定义，直角三角形的性质进行求解.详解:因为，依据抛物线定义有：，设与轴的交点为，因为，所以.因为，所以.故A，C，D错误.故选：B.6-5【提升】【正确答案】C【试题解析】分析:，由题意确定为等边三角形，进而表示A点坐标，代入抛物线方程，求得a的值，结合抛物线的焦半径公式即可求得答案.详解:由知：；设，结合圆和抛物线的对称性可得，结合，得为等边三角形，不妨设点A在第一象限，则A的坐标为，因为点A是抛物线C：上一点，所以，所以，得A的坐标为，故，故选：C6-6【提升】【正确答案】A【试题解析】分析:利用三角不等式可求得弦的长的最大值.详解:设点、，则，当且仅当、、三点共线时，等号成立，故弦的长的最大值为.故选：A.7-1【基础】【正确答案】C【试题解析】分析:利用指数、对数函数的单调性即可比较大小.详解:因为,所以,,即,,即,所以,故选:C.7-2【基础】【正确答案】D【试题解析】分析:依据对数函数的单调性以及指数幂的性质即可求解.详解:由于对数函数单调递增，且，故，∴，∵，，∴．故选：D7-3【巩固】【正确答案】A【试题解析】分析:先由三个实数的初值比较大小解除一些答案，在进一步比较，从而得出结果.详解:因为，，所以的值最小，C,D错误，又所以所以故选：A.7-4【巩固】【正确答案】C【试题解析】分析:依据，因此要比较，的大小，作差，通分，利用对数的运算性质，即可求得，的大小；利用对数函数的单调性，可知，然后利用不等式的可乘性，即可得出，的大小.详解:解：，∴，而，∴，即，因此.故选：C.7-5【提升】【正确答案】A【试题解析】分析:依据对数式与指数式之间的互化，以及作商法比较大小，即可比较的大小，由对数函数的单调性以及中间值法即可比较三者的大小.详解:由，得，由，得，因此，即；由，得，于是，所以正数的大小关系为.故选:A.7-6【提升】【正确答案】A【试题解析】分析:解得，又利用对数运算可推断，结合基本不等式可推断与的大小，即可得的大小关系.详解:解：，由于，，取等条件应为，即，而，故，，取等条件为，即，而，故，所以.故选：A.8-1【基础】【正确答案】D【试题解析】分析:先求得球的半径，由此求得球的表面积的表达式，利用基本不等式求得表面积的最小值.详解:因为底面ABCD为平行四边形，且球O是直四棱柱的外接球，所以底面ABCD必为矩形，从而四棱柱为长方体.设，，则，，长方体的体对角线长为，故球的半径为，所以球O的表面积，当且仅当，即时，等号成立，故球O表面积的最小值为.故选：D8-2【基础】【正确答案】C【试题解析】分析:利用阳马的体积，结合外接球的半径，通过长方体体对角线长以及基本不等式求解外接球的表面积的最小值即可.详解:由题意可知阳马的体积为：，设阳马的外接球的半径为R，则，当且仅当时等号成立，所以阳马的外接球的表面积.故选：C.8-3【巩固】【正确答案】D【试题解析】分析:画出图形，设出底面边长和侧棱长，利用面积列出关系式，转化求解外接球的半径的最小值.利用勾股定理和基本不等式可求出半径的最小值，然后代入表面积公式即可．详解:设正三棱柱底面边长为，棱长，则，设球的半径为，外接球的球心为，底面三角形的中心为，由，可得，当且仅当，，即，时等号成立，外接球的半径最小时，其表面积也最小，为。故答案为：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键是找出外接球半径和棱长之间的关系式，从而利用基本不等式求其最小值.8-4【巩固】【正确答案】D【试题解析】分析:设底面长和宽分别为,利用四棱锥的体积求得，结合基本不等式求得外接球直径的最小值，由此求得外接球体积的最小值.详解:设底面长和宽分别为、，，即，四棱锥外接球的直径，当且仅当时，上式取等号，即，故四棱锥的外接球的体积最小值为.故选：D8-5【提升】【正确答案】D【试题解析】分析:依据直四棱柱有外接球可知棱柱为长方体，即可求出球的半径，利用均值不等式求半径最值即可求解.详解:D因为直四棱柱的底面是菱形，菱形的四个顶点在球上，所以底面是正方形.设直四棱柱底面正方形的边长为a，侧棱长为h，由侧面积是，得，即，且该直四棱柱的外接球的半径，所以其外接球的表面积，(当且仪当，即a=，时等号成立).所以其外接球的表面积的最小值为.故选：D8-6【提升】【正确答案】C【试题解析】分析:设三棱柱的高为，底面三角形的边长为，依据勾股定理结合均值不等式得到，再计算侧面积即可.详解:设三棱柱的高为，底面三角形的边长为，如图所示：易知，在直角中：，即，即，当，即时等号成立.侧面积.故选：C9-1【基础】【正确答案】AC【试题解析】分析:设，a,b∈R，，，.依据复数的计算方法和相关概念逐项计算验证即可．详解:设，a,b∈R，，，．对于选项A：，若，则，即为实数，故A正确；对于选项B：，若，则或，若，，则，故B错误；对于选项C：，，，故，故C正确；对于选项D：，若，则，无法得到，故D错误．故选：AC．9-2【基础】【正确答案】ACD【试题解析】分析:利用平方差公式因式分解可推断A；取特值可推断B；依据虚数不能比较大小可推断a、b的值，然后可推断CD.详解:若，则，则，故A正确；取，则，故B错误；记，若，则，所以，，故，C正确；若，则，所以，故，D正确.故选：ACD9-3【巩固】【正确答案】AD【试题解析】分析:依据复数的概念和复数的模以及复数的运算逐项解除.详解:设，即，∴，，故A对；但与无大小，故B错；时，故C错；，∴，，故D对，故选：AD．9-4【巩固】【正确答案】ABD【试题解析】分析:依据复数代数形式的乘法运算法则计算可得.详解:解：因为，所以，所以，所以，故，故D正确；所以，故A正确；，故B正确；，故C错误；故选：ABD9-5【提升】【正确答案】AD【试题解析】分析:利用复数的性质推断A，取特殊值推断B，C，依据复数模的几何意义计算复数z对应的点所构成的图形面积推断D.详解:对于选项A，若复数，则复数，所以，则，故选项A正确；对于选项B，令，满意，故选项B错误；对于选项C，令，，则，此时，故选项C错误；对于选项D，若复数满意，则复数对应的点所构成的图形为半径为和半径为的两个圆所夹的圆环，所以图形面积为，故选项D正确；故选：AD．9-6【提升】【正确答案】CD【试题解析】分析:A.由是实数推断；B.化简，再利用复数的几何意义推断；C.由推断；D.令，由求解推断.详解:是实数，故A错误；因为，所以，所以复平面内对应的点位于第三象限，故B错误，若，则，故，故C正确，令，则，所以，化简得，所以，所以z在复平面内对应的点的轨迹为直线，故D正确，故选：CD10-1【基础】【正确答案】BC【试题解析】分析:设圆心C到直线l的距离为d，则，圆的半径.对于A：利用几何法推断直线l与圆C相离；对于B：利用几何法求出的最小值；对于C：利用几何法推断出圆上有2个点到直线的距离为1；对于D：先推断出要使切线长最小，只需最小，即可求解.详解:设圆心C到直线l的距离为d，则，圆的半径.对于A：因为，所以直线l与圆C相离.故A错误；对于B：由圆的几何性质可知：（此时，P在之间）.对于C：设m：到直线l：的距离为1.则，所以.当时，直线m1：，此时圆心C到直线m1的距离为d1，则.此时到直线m1与圆C相离，没有交点；当时，直线m2：，此时圆心C到直线m2的距离为d2，则.此时到直线m1与圆C相交，有2个交点，即圆上有2个点到直线的距离为1.故C正确；对于D：过Q作出圆C的切线QS,连接CS，则.所以切线长.要使切线长最小，只需最小，即时，.所以切线长的最小值为1.故D错误.故选：BC10-2【基础】【正确答案】AD【试题解析】分析:本题主要考查直线与圆的位置关系，对于C选项，依据的几何意义，理解为圆上点到坐标原点的距离就可解决.详解:解：圆标准方程是，，半径为，易得点关于直线对称的点为，故圆的方程为，A正确；点到直线的距离为，弦长为，B错；点到原点的距离为2，表示圆上点到原点的距离，故的最大值为，则的最大值是，C错；当圆上有且仅有三个点到直线的距离等于时，圆心到直线的距离，即，解得或-3，D正确.故选：AD.10-3【巩固】【正确答案】ACD【试题解析】分析:设，则为的中点，且，依据勾股定理、等面积法及锐角三角函数得到，，依据的范围，结合条件逐项分析即得.详解:依题意，即，设，则为的中点，且，所以，所以，，又，所以，，所以，，因为，故B不正确；所以圆上存在不同两点，，使，故C正确；由题可知，，所以原点在以为直径的圆内，故A正确；因为四边形面积为，所以四边形面积的最小值为，故D正确.故选：ACD.10-4【巩固】【正确答案】BCD【试题解析】分析:由圆心到直线的距离可推断，当的值最小时，则，可推断，当时，切线长最小，可推断，可知直线过定点，可推断．详解:圆，，圆心，半径，圆心到直线的距离为：，直线与圆相离，故A错误；当的值最小时，则，的最小值是圆心到直线的距离减去半径，即，故B正确；从点向圆引切线，当时，切线长最小，最小值是，故C正确；直线过定点，所以直线被圆截得的弦长最长时，所截弦长为过点和圆心的圆的直径，即弦长的最大值为8，最短的弦长为垂直与该直径的弦长，和圆心的距离为，最短弦长为，故直线被圆截得的弦长取值范围为，D正确．故选：BCD．10-5【提升】【正确答案】BCD【试题解析】分析:利用圆心到直线的距离可推断A，利用圆的性质可得切线长利用点到直线的距离可推断B，由题可得四边形面积为，可推断C，由题可知点，，在以为直径的圆上，利用两圆方程可得直线的方程，即可推断D．详解:由圆，可知圆心，半径，圆心到直线的距离为，圆上的点到直线的最小和最大距离分别为和，由于圆上有两个点到直线的距离距离为，故A错误；由圆的性质可得切线长，当最小时，有最小值，又，，故B正确；四边形面积为，四边形面积的最小值为1，故C正确；设，由题可知点，，在以为直径的圆上，又，所以，即，又圆，即，两式子相减得：直线的方程为：，即，由，得，即直线恒过定点，故D正确．故选：BCD10-6【提升】【正确答案】ACD【试题解析】分析:对A，求出直线AB的方程，算出圆心到该直线的距离，进而通过圆的性质推断答案；对B，设点，依据得到点P的轨迹方程，进而推断该轨迹与圆的交点个数即可；对C，设，进而得到切线方程MB，NB，再依据点B在两条切线上求得答案；对D，设，设存在定点，使得点在圆上随意移动时均有，进而求出点P的轨迹方程，然后结合点P在圆O上求得答案．详解:对A，，则圆心到直线的距离，所以点P到该直线距离的最大值为．A正确；对B，设点，则，且，由题意，两圆的圆心距为，半径和与半径差分别为，于是，即两圆相交，满意这样条件的点P有2个．B错误；对C，设，则直线MB，NB分别为，因为点B在两条直线上，所以，于是都满意直线方程，即直线MN的方程为．C正确；对D，即求的最小值，设存在定点，使得点在圆上随意移动时均有，设，则有，化简得，∵，则有，即，∴，则，所以，所以D正确．故选：ACD．11-1【基础】【正确答案】ABD【试题解析】分析:依据统计表中数据利用加权平均数计算可推断A；依据石榴日销售量在101~600kg之间的天数听从二项分布，由二项分布概率公式可推断B；列出销售点每日销售量状况并分别计算不裁减工作人员的状况下平均每日利润的期望值可推断C；列出销售点每日销售量状况并分别计算不裁减工作人员的状况下平均每日利润的期望值可推断D.详解:对于A，该销售点销售每千克石榴的价格的平均值为元，故正确；对于B，由题意可得石榴销售重量在101~600kg之间的天数为15天，频率，可估计概率为，明显将来4天中石榴销售重量在101~600kg之间的天数听从二项分布，故该销售点将来4天内至少有1天石榴销售重量在101~600kg之间的概率为，故正确；对于C，该销售点在不裁减工作人员的状况下，则每日销售量的上限为1500kg，销售点每日销售量状况如下;重量范围（单位：kg）0~100101~300301~600601~900901~1500重量（单位：kg）502004508001250天数（单位：天）151031频率0.050.250.500.150.05故平均销售量为，故销售点平均每日利润的期望为元，故错误；对于D，该销售点在裁减工作人员1人的状况下，则每日销售量的上限为1200kg，销售点每日销售量状况如下;重量范围（单位：kg）0~100101~300301~600601~1200重量（单位：kg）50200450800天数（单位：天）15104频率0.050.250.500.20故平均销售量为，故销售点平均每日利润的期望为元，故正确.故选：ABD.11-2【基础】【正确答案】ABD【试题解析】分析:由已知，设方案甲的化验次数为，依据的可能取值列出概率，进而可求平均化验次数，推断出AC选项；对于B，化验次数为次的有种状况，分别求出概率并求和，可推断正误；设利用方案乙的化验次数为，依据的可能取值列出概率，求出平均化验次数与方案甲的平均化验次数比较，推断出选项D．详解:对于A，C，设化验次数为，则的可能取值为，且，，所以方案甲的平均化验次数，A正确，C错误；对于B，化验次数为次，有种状况：①若先取的只均为阴性，则化验次数为次的概率；②若先取的只有阳性，则化验次数为次的概率为，所以化验次数为次的概率为，B正确；对于D，若利用方案乙，设化验次数为，则的可能取值有，所以，，，，所以，又，所以利用方案乙更好，D正确．故选：ABD．11-3【巩固】【正确答案】AB【试题解析】分析:求出混检总次数Y的期望，逐份检测总次数X的期望，再依据给定条件列出不等式求解作答.详解:设混合检测样本须要检测的总次数为，的可能值为1和，的分布列为：121，设逐份检测样本须要检测的总次数为，则，要使得混合检测方式优于逐份检测方式，有，则有，又，即，因此，解得，即，C，D不满意，A，B满意..故选：.11-4【巩固】【正确答案】BD【试题解析】分析:依据方案甲乙不同的检查方法以及离散型随机变量的期望的定义对各个选项进行计算，进而可以求解．详解:对于A，利用方案甲，化验次数为4次的概率为，即A错误；对于B，利用方案甲，一次抽中的概率为，2次抽中的概率为，3次抽中的概率为，所以平均检查次数为，即B正确；对于C，若先取3只动物的血液中包含阳性，只需检查3次，若先取3只动物的血液中不包含阳性，只需检查2次，故C错误；对于D，利用方案乙，化验次数为2次的概率为，即D正确；故选：BD.11-5【提升】【正确答案】ABD【试题解析】分析:依据抽样方式可计算概率，推断A,C,依据概率计算可得分布列，进而得期望，用错位相减法求期望即可推断B，依据成本计算可求解D.详解:解：对于A，记检测到隐藏款的概率为，则，故正确；对于B，由题意得的分布列为且；记,则，两式相减得，所以，故正确对于C，没有抽到隐藏品的概率为，他抽到隐藏款的概率为，故错误，对于D，设总共有件盲盒，则成本为元，则定价才能保证获利，故正确故选：ABD11-6【提升】【正确答案】BCD【试题解析】分析:利用条件概率公式进行计算可推断选项AB，利用期望公式进行计算可推断选项CD.详解:设事务A为“咽拭子核酸检测结果呈阳性”，