冲刺中考数学压轴题真题专项训练（三）解答题【含答案】

冲刺中考数学压轴题真题试卷专项训练

(三)解答题

1.【2020年浙江省衢州24.(12分)】【性质探究】

如图，在矩形ABCD中，对角线AC,相交于点O,/1E平分/班C,交3c于点E.作£犷，AE

于点H,分别交AS,AC于点尸，G.

(1)判断AA/P的形状并说明理由.

(2)求证：BF=2OG.

【迁移应用】

(3)记ADGO的面积为工，ADB厂的面积为S,,当丛=工时，求处的值.

2523AB

【拓展延伸】

(4)若DF交射线至于点尸，【性质探究】中的其余条件不变，连结£F,当的面积为矩形

ABCD面积的工时，请直接写出tan巧正的值.

10

【分析】(1)如图1中，AAFG是等腰三角形.利用全等三角形的性质证明即可.

(2)如图2中，过点O作OL/MB交DF于L,则NAFG=NOLG.首先证明OG=〃，再证明

班'=23即可解决问题.

(3)如图3中，过点。作。K,AC于K,则NDK4=NCZM=90。，利用相似三角形的性质解决问

题即可.

(4)设OG=a,AG=k.分两种情形：①如图4中，连接£F,当点尸在线段AB上时，点G在。1

上.②如图5中，当点尸在钻的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF.分别求解即可解决问

题.

(1)解：如图1中，AAFG是等腰三角形.

图1

理由：•.•AE平分NBAC,

.-.Z1=Z2,

-.DF±AE,

ZAHF=ZAHG=90°,

■.■AH=AH,

AAHF=AAHG(ASA),

AF=AG,

.•.AAFG是等腰三角形.

(2)证明：如图2中，过点O作3//AB交。匹于£,则NAFG=N"G.

图2

•・・AF=AG,

:.ZAFG=ZAGF,

・.・ZAGF=NOGL,

:.ZOGL=ZOLG,

:.OG=OL,

•.•OLIIAB,

..ADLO^ADFBf

.OLDO

•.BF-BD'

•・•四边形ABCD是矩形,

/.BD=2OD,

:.BF=2OL,

:.BF=2OG.

(3)解：如图3中，过点。作。K_LAC于K,则NDK4=NaM=90。，

图3

•・・ZDAK=NCAD,

「.AADKSAACD,

.DKCD

…AF-AC'

S,=L・OG・DK,S?=-.BF.AD,

1222

又•：BF=2OG,^-=~,

S23

.DK=2=CD设8=2光，AC=3X,贝ljAD=后,

AD3AC

.ADAD_45

…AB-CD-V•

(4)解：设OG=。，AG=k.

①如图4中，连接砂，当点尸在线段的上时，点G在。4上.

图4

-.-AF=AG,BF=2OG,

.-.AF=AG=k,BF=2a,

AB=k-^-2a,AC=2(k+a),

/.AD2=AC2-CD2=[2(左+a)]?~(k+2a)2=3H+4ka,

\ZABE=ZDAF=90o,ZBAE=ZADF,

/\ABE^ADAF,

.BE_AE

…耘一法’

BEk

..-------------,

k+2aAD

.DAk(k+2a)

..DLL----------------------,

AD

由题意：10x,x2〃x-(左+2〃)=AD・(k+2a),

2AD

AD2=lOZzz,

即■3=3k2+Aka,

k—2a,

AD=2as,

.D以k{k+2d)46，

AD5

BE近

..tan/BAE==—.

AB5

②如图5中，当点尸在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF.

：.AF=AG=k,BF=2a,

.AB=k—2afAC=2(k—ci),

AD2=AC2-CD2=[2(k-a)]2-(k-2af=3k2-4ka,

ZABE=ZDAF=90°,ZBAE^ZADF,

AABE^AZMF,

BEAF

AB~AD

•BEk

k—2aAD

.跖=处凸2

AD

k(k—2a)

由题意：10x-x2tzx=AZ)•(左—2d),

2AD

/.AD2=10kaf

BPlOka=3左之-4ka,

714

k=—a，

3

2A/105

AD--------a,

3

k(k—2a)8A/1058

:.BE=----------------------ci，AB=—a，

AD453

BEV105

..tanNBAE=----=-------

AB15

综上所述，tan44E的值为亚或®.

515

【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定

和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方

程解决问题，属于中考压轴题.

2.【2020年浙江省宁波市24.（14分）】定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角

平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.

（1）如图1,NE是AABC中的遥望角，若NA=a,请用含a的代数式表示NE.

（2）如图2,四边形ABCE）内接于。。，AD=BD,四边形的外角平分线Db交。。于点F,

连结族并延长交CD的延长线于点E.求证：/3EC是AABC中/BAC的遥望角.

（3）如图3,在（2）的条件下，连结AE,AF,若AC是的直径.

①求的度数；

②若AB=8,CD=5,求ADEF的面积.

图1图2图3

【分析】（1）由角平分线的定义可得出结论;

(2)由圆内接四边形的性质得出4DC+NFBC=90。，得出NFDE=/FBC,证得ZABF=NFBC,

证出NACD=NDCT,则CE是AABC的外角平分线，可得出结论；

(3)①连接CF,由条件得出N跳C=44C,则N3bC=2/3£C,得出N3EC=NE4D,证明

AFDE=AFDA(AAS),由全等三角形的性质得出DE=ZM,则Z4ED=4ME,得出NADC=90。，

则可求出答案；

A77467

②过点A作AG_LBE于点G,过点/作FM_LCE于点M,证得AEG4sAADC,得出——=—,

ACCD

求出竺=百，设AD=4x,AC=5x,则有(4尤了+52=(5x>,解得求出团，CE的长，求

AC53

出DW,由等腰直角三角形的性质求出R0,根据三角形的面积公式可得出答案.

解：(1)〈BE平分ZABC,CE平分NACD,

:.ZE=ZECD-ZEBD=-(ZACD-ZABC)=-ZA=-a,

(2)如图1,延长8C到点T,

图1

•.•四边形EBCZ)内接于。0,

:.ZFDC+ZFBC=18Q°,

又ZFDE+ZFDC=180°,

:.ZFDE=ZFBC,

,.•£)尸平分NADE,

:.ZADF=ZFDE,

■.ZADF=ZABF,

:.ZABF=ZFBC,

二3E是/ABC的平分线，

AD=BD,

:.ZACD=ZBFD,

■.■ZBFD+ZBCD=\S0°,ZDCT+ZBCD=180°,

:.ZDCT=ZBFD,

:.ZACD=ZDCT,

CE是AABC的外角平分线，

ZBEC是AABC中ABAC的遥望角.

(3)①如图2,连接CF,

图2

・・•ZBEC是AABC中ZBAC的遥望角，

:.ZBAC=2ZBEC,

\ZBFC=ZBAC,

:.ZBFC=2ZBEC,

・・•ZBFC=ZBEC+ZFCE,

:.ZBEC=ZFCE,

\ZFCE=ZFAD,

:.ZBEC=ZFAD,

又・.・ZFDE=ZFDA,FD=FD,

.\AFDE=AFDA(AAS),

DE-DA,

:.ZAED=ZDAE,

・・・AC是OO的直径，

:.ZADC=9QO,

/.ZA£D+ZZME=90°,

,\ZAED=ZDAE=45°,

②如图3,过点A作于点G,过点尸作WWLCE于点M,

E

图3

・・・AC是的直径，

:.ZABC=90°,

・・・B石平分NA5C,

ZFAC=/EBC=-ZABC=45°,

2

\-ZAED=45°,

:.ZAED=ZFAC,

•.ZFED=ZFAD,

:.ZAED—NFED=ZFAC-ZFAD,

,\ZAEG=ZCAD,

ZEGA=ZADC=90°,

「.AEG4sAz4Z)C,

.AEAG

…~AC~~CD"

•.在RtAABG中，AG=—AB=4^2,

2

在RtAADE中，AE=42AD,

.AD4

..-----=—,

AC5

在RtAADE,AD2+DC2=AC2,

.•.设AD=4x,AC=5x,则有(4x)2+52=(5%了,

5

..x=一,

3

ED=AD=

3

/.CE=CD+DE=——，

3

•・・ZBEC=ZFCE,

:.FC=FE,

'.FMLCE,

135

:.EM=—CE=——，

26

:.DM=DE-EM=-,

6

•・・NFDM=45。，

:.FM=DM=-,

6

1?5

.■.S^EF=-DE.FM=—.

【点评】本题是圆的综合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角

形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相

似三角形的判定与性质是解题的关键.

3.【2020年生产建设兵团23.(13分)】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线

>=尔+云+。的顶点是A(1,3),将Q4绕点。顺时针旋转90。后得到OB,点3恰好在抛物线上，OB

与抛物线的对称轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)尸是线段AC上一动点，且不与点A,C重合，过点尸作平行于x轴的直线，与AQ4B的边分

别交于M,N两点，将A4AW以直线为对称轴翻折，得到△AMN,设点P的纵坐标为

①当△AMN在AQ4B内部时，求机的取值范围；

②是否存在点，使

PSi=(SMA.B,若存在，求出满足条件机的值；若不存在，请说明理由.

o

【分析】(1)抛物线、=办2+芯+。的顶点是4(1,3),可以假设抛物线的解析式为y=a(x-iy+3,

求出点3的坐标，利用待定系数法即可解决问题.

(2)①根据△AMN在AQ4B内部，构建不等式即可解决问题.

②求出直线Q4,4?的解析式，求出MN,利用面积关系构建方程即可解决问题.

解：(1),抛物线丁=办2+bx+c的顶点是4(1,3),

抛物线的解析式为y=.(尤-1尸+3,

Q4绕点O顺时针旋转90°后得到OB,

B(3,-1),

把3(3,-1)代入y=心-Ip+3可得q=-1,

抛物线的解析式为y=-1)?+3,即y=-d+2x+2,

直线OB的解析式为y=--x,

3

•rA(l,3),

AP^PA,

;.A'(1,2加一3),

由题意3>2〃z-3>」,

3

c4

3

②•.•直线OA的解析式为y=3x,直线AB的解析式为y=-2x+5,

•/P(l,m),

-in、5-m、

二..(耳,m),NAT(Z——,m),

-5-mm15-5m

:.MN=------------=----------，

236

.7_5

,MAMN-「^^OA'B'

O

1_c、15—5m51.,01._

—*z(m-2m+3)*---------=—x—x|2m-3+一|x3,

26623

整理得相2-6加+9=|6m-8|

解得〃Z=6+M(舍弃)或6-M，

当点尸在x轴下方时，同法可得!.(3-m).(81"+3〃Z)=*XLX[-工-(2〃z-3)]x3,

22623

整理得：3加-⑵〃-1=0,

解得〃?=生巫或小亘(舍弃)，不存在满足条件的点/>,

33

满足条件的m的值为6-炳或互返.

3

【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质，三角形的面积等知识，解

题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会构建不等式或方程解决问题，属于中考压轴题.

4.【2020年天津市25.(10分)】已知点A(l,0)是抛物线^=办2+原+加(。，b,机.为常数,awO,

根<0)与x轴的一个交点.

(I)当。=1,〃?=-3时，求该抛物线的顶点坐标；

(II)若抛物线与x轴的另一个交点为M(〃z,0),与y轴的交点为C,过点。作直线1平行于x轴，E

是直线1上的动点，尸是y轴上的动点，EF=2叵.

①当点E落在抛物线上(不与点C重合)，且时，求点尸的坐标；

②取。的中点N,当,"为何值时，的最小值是J?

2

解：(I)当4=1,m=一3时，抛物线的解析式为丁=^+云-3.

•.•抛物线经过点A(l,0),

.,.0=1+/?—3,

解得b=2,

••・抛物线的解析式为y=f一3.

j=x2+2x-3=(x+1)2-4,

抛物线的顶点坐标为(-1,-4).

(II)①•・,抛物线>=加+云+机经过点A(l,0)和“(办0),m<0,

.".O=a+b+m,0=am2+bm+m,BPatn+b+l=O.

a=l,b=—m—l.

抛物线的解析式为y=x2~(m+l)x+m.

根据题意得，点C(0,〃。，点E(〃7+1,;W),

AE=y/EH^+HA1=-y/2m,

AE=EF=2①,

—\[2m=2A/2,

解得〃z=-2.

此时，点E（-l,—2）,点C（0,-2）,有EC=1.

•.•点/在y轴上，

.,.在RtAEFC中，CF=yjEF2-EC2=A/7.

.,.点尸的坐标为（0,-2-夕）或（0,-2+占）.

②由N是EF的中点，得CN,EF=也.

2

根据题意，点N在以点。为圆心、应为半径的圆上，

由点（加,0）,点。（0,机），得MO=—m,CO=—m,

...在RtAMCO中，MC=^MO~+CO1=-J2m.

当MC.Ji,即“4,-1时，满足条件的点N在线段MC上.

MN的最小值为MC—NC=,解得m=--；

22

当MCv版,即时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上,MN的最小值为

NC-MC=y/2-（-y/2m）=—,

2

解得m=--.

2

，当”的值为一|或一时，MN的最小值是乎

5.【2020年贵州省安顺市125.(12分)如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点.

(1)问题解决：如图①，连接30,分别取CB,30的中点P,Q,连接P。，则P。与30的数量

关系是_PQ=BO_，位置关系是；

(2)问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的AAO3绕点A按顺时针方向旋转45。得到的三角形,

连接CE,点尸，Q分别为CE,30'的中点，连接尸。，PB.判断APQB的形状，并证明你的结论；

(3)拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的AAC®绕点A按逆时针方向旋转45。得到的三角形，

连接80',点P,。分别为CE,30'的中点，连接尸。，PB.若正方形ABCD的边长为1,求APQ3

的面积.

图③

解：(1)•.•点O为对角线AC的中点，

:.BO±AC,BO=CO,

•.•尸为3c的中点，。为30的中点，

:.PQ//OC,PQ=^OC,

:.PQ±BO,PQ=^BO；

故=PQ1BO.

(2)APQB的形状是等腰直角三角形.理由如下:

连接O'P并延长交3c于点尸，

•.•四边形ABCD是正方形,

:.AB=BC,ZABC=90°,

•••将AAOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到△AO'E,

.•.△AO'E是等腰直角三角形，O'EHBC,<yE=OA,

NO'EP=Z.FCP,ZPO'E=ZPFC,

又•.•点P是CE的中点，

:.CP=EP,

△O'PE=AFPC(AAS),

;.(yE=FC=O'A,O'P=FP,

:.AB-O'A=CB-FC,

:.BO'=BF,

二.△03/为等腰直角三角形.

:.BP±O'F,O'P=BP,

;.NBP(y也为等腰直角三角形.

又：点。为O'B的中点，

s.PQLO'B,且PQ=3Q,

NPQB的形状是等腰直角三角形；

(3)延长。E交3c边于点G,连接PG,O'P.

图2

•.•四边形ABCD是正方形，AC是对角线，

:.ZECG=45°,

由旋转得，四边形O2RG是矩形，

.-.O'G=AB=BC,ZEGC=9Q°,

」.AEGC为等腰直角三角形.

•.•点P是CE的中点，

.-.PC=PG=PE,ZCPG=9Q°,NEGP=45。,

:.^O'GP=ABCP(SAS),

:.ZO'PG=ZBPC,O'P=BP,

"PG-ZGPB=ZBPC-ZGPB=90°,

:.ZO'PB=90°,

.•.△073为等腰直角三角形，

•.•点Q是O'B的中点，

:.PQ=^O'B=BQ,PQLO'B,

■.AB=1,

O'A=—,

2

O'B=yJo'A2+AB2=J(—)2+12=

2

--8。=%

c_1RCDC_1&a一3

..S^QB=-BQ.PQ=-X-„—=-

6.[2020年贵州省黔东南州26.(14分)】已知抛物线y=ax2+Zzx+c(aw0)与x轴交于A、3两点(点

A在点台的左边)，与y轴交于点C(0,-3),顶点。的坐标为(1,-4).

(1)求抛物线的解析式.

(2)在y轴上找一点E,使得AE4c为等腰三角形，请直接写出点E的坐标.

(3)点P是x轴上的动点，点。是抛物线上的动点，是否存在点尸、Q,使得以点尸、Q、B、D

为顶点，/如为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点尸、。坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论;

(2)先求出点A,C坐标，设出点E坐标，表示出CE,AC,再分三种情况建立方程求解即

可；

(3)利用平移先确定出点。的纵坐标，代入抛物线解析式求出点。的横坐标，即可得出结论.

解：(1)•.•抛物线的顶点为(1,-4),

设抛物线的解析式为y=a(x-1)?-4,

将点C(0「3)代入抛物线y=a(无一1)2—4中，^a-4=-3,

..6Z—1,

「•抛物线的解析式为y=-1)2-4=/一2%-3；

(2)由(1)知，抛物线的解析式为丁=/一2x-3,

令y=0,贝IJ犬2一2%一3=0,

二.％=—1或x=3,

.•.5(3,0),A(-l,0),

令尤=0,贝！Jy=—3,

/.C(0,-3),

AC=y/W,

设点石(0,附，贝uAEnJm2+1,CE=]m+3\,

•••AACE是等腰三角形，

①当AC=AE'时，A/10=7m2+l,

二.加=3或根=—3(点C的纵坐标，舍去),

/.石(3,0),

②当AC=CE1时，Vi0Hm+3|,

/.m=—3±5/10,

/.E(0,-3+碗)或(0,—3-V10),

③当AE=CE时，Vm2+l=|m+3|,

4

rn=—,

3

4

即满足条件的点石的坐标为(0,3)、(0,-3+M)、(0,-3-加)、(0,-1)

(3)如图，存在，•rO(l,T),

将线段向上平移4个单位，再向右(或向左)平移适当的距离，使点3的对应点落在抛物线上,

这样便存在点Q,此时点。的对应点就是点P,

.,.点Q的纵坐标为4,

设。94),

将点Q的坐标代入抛物线y=Y-2x-3中得，/-2/-3=4,

.•.ul+zV^或r=l-2五，

2(1+272,4)或(1-2夜,4),

分别过点D,。作无轴的垂线，垂足分别为尸，G,

•.•抛物线y=d-2x-3与无轴的右边的交点B的坐标为(3,0),且£>(1,-4),

.-.FB=PG=3-1=2,

.•.点尸的横坐标为(1+2后)-2=-1+2点或(1一20)-2=-1一2直，

即尸(一1+20,0)、。(1+2应，4)或P(-1一2忘，0)、2(1-2A/2,4).

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，平移的性质，用方程

的思想解决问题是解本题的关键.

7.【2020年黑龙江省大兴安岭地区24.(14分)】综合与探究

在平面直角坐标系中，抛物线产#+bx+c经过点A(-4,0),点M为抛物线的顶点，点8在y

轴上，且。4=。3,直线A2与抛物线在第一象限交于点C(2,6),如图①.

(1)求抛物线的解析式；

_V2

(2)直线A3的函数解析式为y=x+4，点M的坐标为(-2,-2)，cos/ABO=—:

2

连接OC,若过点。的直线交线段AC于点P,将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐

标为(-2,2)或(0,4)；

(3)在y轴上找一点。，使得△AMQ的周长最小.具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点

A,连接交y轴于点。，连接AM、AQ,此时△AM。的周长最小.请求出点。的坐标；

(4)在坐标平面内是否存在点N,使以点A、0、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，

请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

图①

|xl6-4b+c=0

二2

解：(1)将点A、C的坐标代入抛物线表达式得:，解得｛，

^x4+2b+c=6二0

故直线AB的表达式为：y=吴+2x；

(2)点A(-4,0),02=04=4,故点B(0,4),

由点A、B的坐标得，直线的表达式为：y=x+4；

则/48。=45°,故COS/ABO=¥；

对于>=吴+2%,函数的对称轴为尤=-2,故点M(-2,-2)；

OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP=1AC或京C,

Vp12Vp12

则一=一或二，即一=一或一,解得：yp=2或4,

yC33633

故点P(-2,2)或(0,4)；

V2

故y=x+4；(-2,-2)；(-2,2)或(0,4)；

(3)△AMQ的周长=AM+AQ+MQ=AM+A'M最小，

点A'(4,0),

z1

u--

解得3

设直线A'M的表达式为：尸履也贝叱金：二一2l4

l---

3

4

故直线的表达式为：-

A'My=Jr3

44

点

故zo

x(-

令尤=0,则y=3y-3

(4)存在，理由：

设点、N(m,n),而点A、C、。的坐标分别为(-4,0)、(2,6)、(0,0),

①当AC是边时，

点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C,同样点0(N)右平移6个单位向上平移6个

单位得到点N(。)，

即0±6=机，0±6=〃，解得：m=n=±6,

故点N(6,6)或(-6,-6)；

②当AC是对角线时，

由中点公式得：-4+2=加+0,6+0=〃+0,

解得：m--2,n—6,

故点N(-2,6)；

综上，点N的坐标为(6,6)或(-6,-6)或(-2,6).

8.【2020年黑龙江省鸡西市28.(10分)】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB长是

d-3x-18=0的根，连接80,ZDBC=30°,并过点。作。垂足为N,动点尸从3点以

每秒2个单位长度的速度沿的方向匀速运动到。点为止；点〃沿线段DA以每秒上个单位长度的

速度由点。向点A匀速运动，到点A为止，点尸与点M同时出发，设运动时间为f秒《＞0).

(1)线段&V=_36_；

(2)连接尸河和MN,求APMN的面积s与运动时间f的函数关系式；

(3)在整个运动过程中，当APMV是以ZW为腰的等腰三角形时，直接写出点尸的坐标.

解：（1）•.•至长是一-3》一18=0的根，

AB=6,

•・•四边形ABCD是矩形，

，AD=BC,AB=CD=6,ZBCD=90。,

\-ZDBC=30°,

:.BD=2CD=12,BC=y/3CD=6j3,

:ZDBC=3G°,CNLBD,

:.CN==BC=34,

2

故36.

•••AD//BC,

:.ZADB=ZDBC=30。,

22

;ZDBC=30°,CN±BD,

:.BN=^/3CN=9,

当0<r<2时，APW5--x(9-2f)x—r=-—？+—r；

22224

当r=?时，点P与点N重合，5=0,

2

当？<f,,6时，APMV的面积s=!x⑵-9)*@/=且严-叟1/；

22224

当7W=PM=9-〃时,

■.■PM2=MH2+PH2,

：.(9-2r)2=(y-r)2+(12—2/—|r)2,

、7

=3或1=—，

3

:.BP=6^—,

3

当3尸=6时，

;ZDBC=30°,PE±BC,

:.PE=-BP=3,BE=6PE=3出,

2

二点尸（3/，3）,

当22=吐时,

3

同理可求点

3

当7W=NM=9—2,时,

NM2=MH2+NH2,

(9-2/)2=+4-3)2,

2

r.1=3或24（不合题意舍去）,

:.BP=6,

，点尸（3/，3）,

综上所述：点P坐标为（3后，3）或

3

9.【2020年江苏省连云港市27.（12分）】（1）如图1,点尸为矩形ABCD对角线上一点，过点尸

作EF//3C,分别交回、CD于点E、F.若BE=2,PF=6,AAEP的面积为ACER的面

积为邑，则S+S,=12；

（2）如图2,点P为口ABCD内一点（点尸不在班）上），点E、F、G、H分别为各边的中点.设

四边形的面积为y,四边形PECG的面积为S2（其中$2＞工），求APBD的面积（用含豆、52

的代数式表示）；

（3）如图3,点P为口ABCD内一点（点P不在50上），过点尸作EF//A。，HG//AB,与各边分

别相交于点E、F、G、//.设四边形AEPH的面积为工，四边形PGCF的面积为邑（其中邑＞，），

求APBD的面积（用含豆、邑的代数式表示）；

（4）如图4,点A、B、C、。把。。四等分.请你在圆内选一点P（点尸不在AC、3。上），设

PB、PC、围成的封闭图形的面积为S1,PA,PD、AD围成的封闭图形的面积为S2,APB。的

面积为S3，AR4c的面积为根据你选的点尸的位置，直接写出一个含有耳、$2、邑、S4的等

式（写出一种情况即可）.

图1图2

图3

解：（1）如图1中,

图1

过点尸作PM_L49于交3c于N.

•.•四边形ABCD是矩形，EF//BC,

.1四边形码加，四边形四边形BNPE,四边形PNCF都是矩形,

：-BE=PN=CF=2,5Ap尸c=5x尸/*Cb=6，SAAEP=S®”，=S^BN,S邨皿=SM>FD

S矩形AEPAfS矩物WCF

/.S]=邑=6，

E+5=12,

故答案为12.

(2)如图2中，连接B4,PC,

图2

在AAP8中，•・•点石是的中点,

a

可设S^APE=S"BE='同理，S.PH—S"DH=b,

一四边形AEP四边形尸尸田

S"+S=a+b+c+dfS四边形PEM+S四边形PHOG=〃+"+'+”'

一S四边形他产"+S四边形尸尸CG=S四边形尸防尸+S四边形尸印)G=S1+$2,

SAAB。=2S平行四边形ABCD=S]+S2，

S"BD=^^ABD_(Si+S.BE+S"HD)=S{+S2-+a+S1-a)=S2-S{

(3)如图3中，由题意四边形£BGP,四边形印加都是平行四边形,

一S四边形EBG尸=2sA5P，S四边形"pF。=2sMiPD

5

•二SAAB。=5S平行四边形题四=2(1+邑।AFRPI^HPD)2(I^^2)，SAFBP+^MiPD

..S"BD=S^ABD_3+S.BP+S.PD)=~(S2-£).

(4)如图4—1中，结论：S2-Sl=S3+S4.

理由：设线段尸3,线段2,弧A5围成的封闭图形的面积为无，线段PC,线段PD,弧CD的封闭

图形的面积为y.

由题思：S]+%+H+y+S3,

x-y=S3-5'

*.*Sy+S?+x+y=2(S]+%+S4)，

.S2一S]=x—y+2s4-S3+邑.

同法可证：图4—2中，有结论：^-52=S3+S,.

图4—3中和图4—4中，有结论：|工—邑|=|邑—邑1,

图4-1图4・2图4-3

图4-4

10.【2020年山东省滨州市26.(14分)】如图，抛物线的顶点为4(a,-1),与y轴交于点8(0,-；),

点厂(2,1)为其对称轴上的一个定点.

(1)求这条抛物线的函数解析式；

(2)已知直线/是过点C(0,-3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P。",")到直线/的距

离为d,求证：PF=d；

(3)已知坐标平面内的点0(4,3),请在抛物线上找一点Q,使ADFQ的周长最小，并求此时AD

周长的最小值及点。的坐标.

(1)解：由题意抛物线的顶点4(2,-1),可以假设抛物线的解析式为y=a(x-2)2-1,

•.•抛物线经过8(0,-g),

.•--1=4<2-1,

2

抛物线的解析式为y=-(x-2)2-l.

8

(2)证明：P(m,ri),

1711211

\n=—(zm—2)—l=—m—m——，

8822

111

/.P(m,—m2—m—),

822

822822

."(2,1),

.-.PF=J(，”2)2+(L〃2_L".」_I)2=JLJ"—,

V822V648824

・M=1记」加+工/一生，PF?+工m一9机+学

8824648824

/.d2=PF2,

/.PF=d.

(3)如图，过点。作。“，直线/于H,过点。作£3，直线/于N.

ADFQ的周长=D尸+£＞。+PQ,QF是定值=亚+2。=2垃,

：.DQ+QF的值最小时，ADFQ的周长最小，

■:QF=QH,

:.DQ+DF=DQ+QH,

根据垂线段最短可知，当。，Q,4共线时，OQ+QH的值最小，此时点”与N重合，点。在线

段DN上，

的最小值为6,

ADFQ的周长的最小值为20+6,此时2(4,-1).

11.【2020年四川省乐山市25.(12分)】点尸是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个

动点(点P不与点A、C重合)，分别过点A、C向直线族作垂线，垂足分别为点E、F.点、O为

AC的中点.

(1)如图1,当点尸与点。重合时，线段OE和O尸的关系是OE=OF；

(2)当点尸运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断(1)中的结论是否仍然

成立？

(3)如图3,点P在线段的延长线上运动，当NOEF=30。时，试探究线段CF、AE,OE之间

的关系.

解：（1）•.•四边形ABCD是平行四边形，

:.AO=CO,

又•：ZAEO=/CFO,ZAOE=ZCOF=90°,

AAEO=ACFO（AAS）,

:.OE=OF,

故OE=OE；

（2）补全图形如图所示，

理由如下：

延长EO交CF于点G,

■.■AE1BP,CFLBP,

:.AE//CF,

:.ZEAO=ZGCO,

•.•点。为AC的中点，

:.AO=CO,

又一；ZAOE=NCOG,

.".AAOE=ACOG(A4S),

:.OE=OG,

•.•ZGFE=90°,

:.OE=OF；

(4)点尸在线段。4的延长线上运动时，线段CF、AE.OE之间的关系为OE=CF+AE,

证明如下：如图，延长EO交FC的延长线于点“，

由(2)可知△AOEvACS,

:.AE=CH,OE=OH,

又Z.OEF=30°,ZHFE=90°,

:.HF=-EH=OE,

2

:.OE=CF+CH=CF+AE.

1212020年四川省乐山市26.(13分)】已知抛物线丫=加+bx+c与x轴交于A(-l,0),8(5,0)两点,

C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点。，连结3C,且tanNCBD=3,如图所示.

3

(1)求抛物线的解析式；

(2)设P是抛物线的对称轴上的一个动点.

①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E,过点交抛物线于点尸，连结£8、FC,

求ABCF的面积的最大值；

②连结Pfi,求3PC+P3的最小值.

5

解：(1)根据题意，可设抛物线的解析式为：y=a(x+l)(x-5),

•.•抛物线的对称轴为直线x=2,

二0(2,0),

4CD

又•・•tanNC&)=—=——，

3DB

/.CD=BZ)*tanNCBD—4,

即C(2,4),

代入抛物线的解析式，得4=。(2+1)(2-5),

解得°」,

9

;二次函数的解析式为y=-*+l)(x-5)=-#+蜘+小

(2)①设P(2J),其中0</<4,

设直线BC的解析式为y=kx+b,

[0=5k+b,

[4=2左+b.'

解得

3

即直线BC的解析式为y=/%+也,

33

3

令y=，，得：x=5—t，

4

3

.,•点£(5-z/,t)f

34t

寸巴％=代入y=_§(%+1)(工一5),y=t(2——),

3i

即F(5一一t,2t一一?),

44

1t2

EF=(2,—t2)—t=t-----，

44

i31333

「.ABCF的面积=_xE尸xBD=_«——)=——(/―旬=——(r-2)2+-,

224882

.•.当f=2时，ABCF的面积最大，且最大值为』；

2

②如图，连接AC,根据图形的对称性可知ZACD=N3CD,AC=BC=5,

3

PG=PC*sinZACD=-PC,

5

3

二.—PC+PB=PG+PB,

5

过点8作AC于点"，则尸G+PH..5",

线段由1的长就是3PC+P3的最小值，

5

=—xABxCZ)=—x6x4=12,

•°AABC22

又・・q=-xACxBH=-BH,

人,°AABC22

-BH=n,

2

74

即3H=——，

5

3尸C+BB的最小值为空.

55

13.【2020年浙江省舟山市23.（10分）】在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形

纸片和DE尸拼在一起，使点A与点F重合,点C与点。重合（如图1）,其中ZACB=ZDFE=90°,

BC=EF=3cm,AC=DF=4cm,并进行如下研究活动.

活动一：将图1中的纸片QER沿AC方向平移，连结AE,BD（如图2）,当点尸与点C重合时停

止平移.

【思考】图2中的四边形是平行四边形吗？请说明理由.

【发现】当纸片八印平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）.求AF的长.

活动二:在图3中，取AD的中点O,再将纸片尸绕点。顺时针方向旋转。度（藤女90）,连结03,

OE（如图4）.

【探究】当历平分NAEO时，探究O尸与5。的数量关系，并说明理由.

图1图2图3图4

【分析】【思考】

由全等三角形的性质得出=ZBAC=ZEDF,则AB//DE,可得出结论；

【发现】

连接BE■交AD于点O,设AF=x（cm）,则。4=OE=g（x+