2023-2024学年北京市石景山区高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年北京市石景山区高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.与−224°角终边相同的角是(

)A.24° B.113° C.124° D.136°2.若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为(

)A.1 B.2 C.4 D.63.复数1+3i3+i在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知向量a，b满足a+b=(2,3)，a−bA.−2 B.−1 C.0 D.15.在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是(

)A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形6.古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数cotθ=1tanθ，正割函数secθ=1cosθ，余割函数cscθ=1sinθ，正矢函数versinθ=1−cosθ，余矢函数vercosθ=1−sinθ.如图角θ始边为x轴的非负半轴，其终边与单位圆交点P，A、B分别是单位圆与x轴和y轴正半轴的交点，过点P作PM垂直x轴，作PN垂直y轴，垂足分别为M、N，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线分别交θ的终边于T、S，其中AM、PSA.versinθ=AM B.cscθ=PS C.cotθ=BS D.secθ=NB7.若cos(π4−α)=3A.725 B.15 C.−18.函数y=Asin(ωx−φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，则其解析式为(

)A.y=2sin(2x−π6)

B.y=2sin(2x−π3)

9.已知z1，z2为复数，下列结论错误的是(

)A.z1+z2−=z−1+z−2 B.z110.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=2，则下列命题：

①OB⋅OE=−2；

②OA+OC=−2OF；

③OA在OB上的投影向量为22A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。11.化简：cos(π2+α)=12.若tanθ=13，则cos2θ=______．13.在△ABC中，AC=1，∠C=2π3，∠A=π6，则14.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则c15.已知三角形ABC是边长为2的等边三角形.如图，将三角形ABC的顶点A与原点重合.AB在x轴上，然后将三角形沿着x轴顺时针滚动，每当顶点A再次回落到x轴上时，将相邻两个A之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论：

①一个周期是6；

②完成一个周期，顶点A的轨迹是一个半圆；

③完成一个周期，顶点A的轨迹长度是8π3；

④完成一个周期，顶点A的轨迹与x轴围成的面积是8π3+3．三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题8分)

如图，以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边与单位圆O分别交于P、Q两点，已知点P的坐标为(−45,35)，点Q的坐标为(35,45)．

(Ⅰ17.(本小题8分)

已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且asinB=3bcosA．

(1)求A的值；

(2)若a=2，且△ABC的面积为3，求b18.(本小题8分)

向量a=(cosx,−12),b=(3sinx,cos2x),x∈R，设函数f(x)=a⋅b．

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期并在右边直角坐标中画出函数f(x)在区间[0,π]内的草图；

(Ⅱ)若方程f(x)−m=019.(本小题8分)

如图，在△ABC中，∠A=2π3，AC=2，CD平分∠ACB交AB于点D，CD=3．

(Ⅰ)求∠ADC的值；

(20.(本小题8分)

如图，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角∠POQ=π3，A是扇形弧上的动点，过A作OP的平行线交OQ于B.记∠AOP=α．

(Ⅰ)求AB的长(用α表示)；

(Ⅱ)求△OAB面积的最大值，并求此时角α的大小．

答案解析1.D

【解析】解：因为−224°=136°−360°，

所以−224°角与136°角终边相同．

故选：D．

2.A

【解析】解：设扇形的半径为r，圆心角为α，则弧长l=αr=2r，

所以α=2，

扇形的面积S=12αr2=r2=1，解得r=1或r=−1(舍去)．【解析】解：∵1+3i3+i=(1+3i)(3−i)10=35+45i，

∴复数1+3i【解析】解：∵a+b=(2,3)，a−b=(−2,1)，

∴a=(0,2)，5.B

【解析】解：由2sinAcosB=sinC，知2sinAcosB=sin(A+B)，

∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB．

∴cosAsinB−sinAcosB=0．

∴sin(B−A)=0，

∵A和B是三角形的内角，

∴B=A，△ABC一定是等腰三角形．6.C

【解析】解：根据题意，易得△OMP～△OAT～△SBO～△PNO，

对于A，因为1−cosθ=1−OM=MA，即versinθ=MA，故A错误；

对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，cscθ=1sinθ=1MP=BOMP=OSOP=OS，故B错误；

对于C，cotθ=1tanθ=1tan∠OSB【解析】解：∵cos(π4−α)=35，

∴sin2α=8.B

【解析】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为−2，故A=2，

又T2=5π12−(−π12)=π2，故T=2πω=π，

解得ω=2，

所以y=2sin(2x−φ)，

因为函数图象过点(5π12,2)，

所以2sin(2×5π12−φ)=2，

则5π6−φ=2kπ+π2(k∈Z)，

解得φ=−2kπ+【解析】解：设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)，

对于A，z1+z2−=(a+c)+(b+d)i−=(a+c)−(b+d)i，z1−+z2−=a−bi+c−di=(a+c)−(b+d)i，

所以z1+z2−=z1−+z2−，故A正确；

对于B，∵z1⋅z2=(a+bi)⋅(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i，

∴z1⋅z2−=(ac−bd)−(ad+bc)i，

∵z1−⋅z2−=(a−bi)【解析】解：由题意可知，正八边形每个边所对的角都是45°，中心O到各顶点的距离为2，

对于①，OB⋅OE=|OB||OE|×cos∠BOE=2×2×cos135°=−22，故①错误；

对于②，∠AOC=90°，则以OA，OC为邻边的对角线长是|OA|的2倍，

可得OA+OC=2OB=−2OF，故②正确；

对于③，OA在OB上的投影向量为OA⋅OB|OB|2OB=2×2cos45°4OB=22OB，故③正确；

对于④，设AP，AB的夹角为θ，则AP⋅AB=|AP||AB|cosθ，

其中|AP|cosθ表示AP在AB上的投影，

易知11.−sinα

【解析】解：cos(π2+α)=−sinα．

故答案为：−sinα．

【解析】解：若tanθ=13，则cos2θ=cos2θ−sin2θcos2【解析】解：在△ABC中，∵AC=1，∠C=2π3，∠A=π6，

∴∠B=π−2π3−π6=π6，设△ABC的外接圆半径为r，

由正弦定理得：ACsinB【解析】解：如图：

建立平面直角坐标系．由图可知，c=OC=(2,1)，

a−b=AD−AB=15.①③④

【解析】解：点A一个周期的运动轨迹如图所示，

对于①，当A再次回落到x轴上时，发生了6个单位的位移，则一个周期为6，故①正确；

对于②，完成一个周期，顶点A的轨迹由以C为圆心，2为半径的13圆和以B为圆心，2为半径的13圆共同组成，不是一个半圆，故②错误；

对于③，由②知，顶点A的轨迹为2×13×2π×2=8π3，故③正确；

对于④，顶点A的轨迹与x轴围成的区域面积为两个13圆的面积与△ABC的面积之和，

即所求面积为2×16.解：(Ⅰ)因为0<β<α<π，角α与β的终边与单位圆O分别交于P，Q两点，

P(−45,35)，Q(35,45)，

由三角函数的定义可得sinα=35,cosα=−45，sinβ=45，

故sinα−sinβ=sinα+cosα=【解析】(Ⅰ)由任意角的三角函数的定义可得sinα，cosα，sinβ的值，由此可得出sinα−sinβ的值；

(Ⅱ)由任意角的三角函数的定义可得sinβ，cosβ的值，可求得tanβ的值，再利用二倍角的正切公式可求得tan2β的值．

17.解：(1)在△ABC中，由正弦定理得：asinA=bsinB=csinC，

∴3bcosA=asinB可等价转化为3sinBcosA=sinAsinB，

其中B∈(0,π)，故sinB≠0．

∴3cosA=sinA，

即tanA=3，

因为A∈(0,π)，

所以A=π3．

(2)因为S△ABC【解析】(1)根据3bcosA=asinB，利用正弦定理转化为3sinBcosA=sinAsinB求解；

(2)由三角形的面积可得18.解：(Ⅰ)向量a=(cosx ,−12) ,b=(3 sinx , cos2x)  ,x∈R，

函数f(x)=a⋅b

=32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6)．

f(x)的最小正周期T=π；【解析】(Ⅰ)利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简求解f(x)的表达式，利用三角函数的周期公式求出函数的周期，然后在直角坐标系中画出函数f(x)在区间[0,π]内的草图；

(Ⅱ)结合函数的图象求解方程f(x)−m=0在[0,π]上有两个根α、β，以及α+β的值．

19.解：(Ⅰ)在△ADC中，由正弦定理可得，ACsin∠ADC=CDsinA，

则sin∠ADC=AC⋅sinACD=2×323=22，

∵0<∠ADC<π3，

∴∠ADC=π4；

(Ⅱ)由(I)可知，∠ACD=π−23π−π4=【解析】(I)根据已知条件，结合正弦定理，即可求解；

(Ⅱ)先求出BC，再结合正弦的两角和公式，以及三角形的面积公式，即可求解．20.解：(Ⅰ)过A、B作OP的垂线，垂足分别为C、D，如图所示：