新九年级数学（人教版）第05讲 一元二次方程的特殊解法（人教版）（解析版）

第05讲一元二次方程的特殊解法【人教版】·模块一用换元法解一元二次方程·模块二含绝对值的一元二次方程的解法·模块三配方法的应用·模块四课后作业模块一模块一用换元法解一元二次方程【例1】已知a2+b【答案】3【分析】先用换元法令a2+b【详解】解：令a2x(x+2)−15=0，解得：x1∵x>0，∴x=3，即a2a2【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意a2【例2】已知x2+ax−b=0的解是x1=1，x2A．x1=−1，x2=−3.5 C．x1=−1，x2=3.5 【答案】A【分析】由这两个方程结合整体思想，可得2x+3=1，2x+3=−4，解这两个一元一次方程即得方程2x+32【详解】解：令2x+3=y，∵方程x2+ax−b=0的解是x1∴方程y2+ay−b=0的解是y1∴对于方程方程2x+32+a2x+3−b=0而言，解得x=−1或x=−3.5，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，整体思想解一元二次方程，关键是把方程m2x+32+32x+3−4=0【例3】阅读下面的材料：解方程x4设x2=y，则∴原方程可化为y2解得y1=3，当y=3时，x2=3，当y=4时，x2=4，∴原方程有四个根是x1=3，x2=−以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解答下列问题：(1)解方程：(x(2)已知实数a，b满足(a2+【答案】(1)x1=−1+52，x2=(2)5【分析】（1）设y=x2+x，则y2−5y+4=0，整理，得(y−1)(y−4)=0（2）设x=a2+b2【详解】（1）解：设y=x2+x整理，得(y−1)(y−4)=0，解得y1=1，当x2+x=1即x2当x2+x=4即x2∴原方程的解为x1=−1+52，x（2）设x=a2+整理，得(x−5)(x+2)=0，解得y1=5，y2a2【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键．【变式1】若实数x满足2x2+2【答案】−【分析】先将原方程化为2x+1x−5x+1x=3【详解】解：∵∴2令y=x+1x，则原方程为2y−解得：y1=5∴x+∴故答案为：−【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的解法，解题关键是熟练掌握分式方程和一元二次方程的解法．【变式2】若关于x的一元二次方程ax2+bx−3=0（a≠0）有一个根为x=5【答案】x=6【分析】把ax−12+bx−3=b化为a【详解】解：∵ax−1∴a(x−1)令x−1=t，则a∵方程ax2+bx−3=0（a≠0∴方程at2+bt−3=0∴a(x−1)2+b∴x−1=5,∴x=6.故答案为：x=6.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的含义，掌握利用整体未知数求解方程的根是解此题的关键．【变式3】阅读材料：在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：x2–3|x|+2=0．解：设|x|=y，则原方程可化为：y2–3y+2=0．解得：y1=1，y2=2．当y=1时，|x|=1，∴x=±1；当y=2时，|x|=2，∴x=±2．∴原方程的解是：x1=1，x2=–1，x3=2，x4=–2．上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：(1)解方程：x4–10x2+9=0．(2)解方程：x+1x2–(3)若实数x满足x2+1x2–3x–3x【答案】(1)x=±1或x=±3；(2)x=1或x=–12；(3)x+1【分析】（1）设x2=a，则原方程可化为a2–10a+9=0，解方程求得a的值，再求x的值即可；（2）设x+1x2=m，则原方程可化为m–2m=1，即m2–m–2=0，解方程求得m的值，再求x的值，检验后即可求得分式方程的解；（3）设x+1x=y，则原方程可化为y2–3【详解】（1）设x2=a，则原方程可化为a2–10a+9=0，即（a–1）（a–9）=0，解得：a=1或a=9，当a=1时，x2=1，∴x=±1；当a=9时，x2=9，∴x=±3；（2）设x+1x2=m，则原方程可化为m–2m=1，即m2∴（m+1）（m–2）=0，解得：m=–1或m=2，当m=–1时，x+1x2=–1，即x2+x+1=0，由当m=2时，x+1x2=2，即2x2–x–1=0，解得：x=1或x=–经检验x=1和x=–12（3）设x+1x=y，则原方程可化为：y2–2–3y=2，即y2–3y∴（y+1）（y–4）=0，解得：y=–1或y=4，即x+1x=–1（方程无解，舍去）或x+1故x+1x【点睛】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．【变式4】转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单的问题．例如，解方程x4－3x2－4＝0时，我们就可以通过换元法，设x2＝y，将原方程转化为y2－3y－4＝0，解方程得到y1＝－1，y2＝4，因为x2＝y≥0，所以y＝－1舍去，所以得到x2＝4，所以x1＝2，x2＝－2．请参考例题解法，解方程：x2【答案】x1＝1，x2＝－4【分析】利用题中给出的方法设x2+3x=y，把方程转化为含y的一元二次方程，求出y的值，再求解无理方程，求出【详解】解：设x2+3x＝y，则x2＋3x=y原方程可化为：y2－y－2＝0，∴y1＝－1，y2＝2，∵x2+3x＝∴y1＝－1舍去，∴x2∴x2＋3x＝4，∴x2＋3x－4＝0，∴x1＝1，x2＝－4．【点睛】本题考查了解一元二次方程及换元法，掌握换元法的一般步骤是解决本题的关键，换元法的一般步骤：设元(未知数)，换元，解元，还原四步．模块二模块二含绝对值的一元二次方程的解法【例1】阅读下面的材料，并完成相应的任务．材料：解含绝对值的方程：x2解：分两种情况：（1）当x≥0时，原方程可化为：x2−5x−6=0，解得x1（2）当x<0时，原方程可化为：x2+5x−6=0，解得x1综上所述：原方程的解是x1=6，任务：请参照上述方法解方程：x2【答案】x1=2【分析】分两种情况讨论∶当x≥0时，当x<0时，即可求解．【详解】解：分两种情况讨论（1）当x≥0时，原方程可化为x解得：x1=2，（2）当x<0时，原方程可化为x解得：x1=−2，∴综上所述，原方程的根是x1=2，【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论．【例2】阅读题例，解答下题：例：解方程：x2解：将含有绝对值符号的方程中的绝对值去掉，就分情况考虑：（1）当x≥0，x2−x−2=0，解得x1（2）当x<0，x2+x−2=0，解得x1综上所述，原方程的解是x=2或x=−2．依照上例解法，解方程x2【答案】x1=0【分析】根据例题中的解题方法对x+2进行分类讨论，先把绝对值号化简后方程变形为一般的一元二次方程，再利用因式分解法解出方程的解，最后结合x的取值范围最终确定答案即可．【详解】解：①当x+2≥0，即x≥−2时，方程变形得：x∴x∴x(x+2)=0∴x1=0，②当x+2<0，即x<−2时，方程变形得：∴x∴(∴x1=−2（舍去），∴综上所述，原方程的解是x1=0或【点睛】本题考查了含绝对值的方程、一元二次方程的解法等知识，渗透了分类讨论的思想．【变式1】阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程x2（1）当x≥0时，原方程化为x²−3x−10=0（2）当x<0时，原方程化为x2+3x综上所述，原方程的解是x1问题：仿照上面的方法，解方程x2【答案】x【分析】仿照例题，分x≥−32【详解】当2x+1≥0，即原方程可化为：x整理得：x解得：x当2x+1<0，即原方程可化为：x整理得x∵Δ=∴此方程无实数解，综上所述，原方程的解为：x【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论化简绝对值是解题的关键．模块三模块三配方法的应用【例1】已知P=x2−x，Q=x−2为任意实数，则P−QA．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定【答案】A【分析】根据整式的加减化简，然后根据配方法得出P−Q=x−1【详解】解：∵P=x2∴P−Q=∴P−Q的值大于0，故选：A．【点睛】本题考查了整式的加减，配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键．【例2】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：M=a2−2ab+2解：a∵a−b2∴当a=b=1时，M有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：x2(2)若M=14x(3)已知x2+2y【答案】(1)1(2)−5(3)0【分析】（1）加一次项系数一半的平方，配成完全平方式；（2）提取系数14后，再加一次项系数一半的平方16，并减去16，配成完全平方式，利用偶次方的非负性可知M（3）拆项后配成三个完全平方式，利用偶次方的非负性可得x−y=0，y−1=0，z+2=0，据此求出x、y、z的值，即可求解．【详解】（1）解：x2故答案为：19（2）解：M===∵1∴当x=−4时，M有最小值−5；（3）解：∵x∴x∴x−y∵x−y2≥0，y−1∴x−y=0，y−1=0，z+2=0，∴x=y=1，z=−2，∴x+y+z=1+1−2=0，故答案为：0．【点睛】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握完全平方式是解题的关键．【例3】【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．例如，把二次三项式x2解：x2我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5=22+12(1)【问题解决】请你再写一个小于10的“完美数”；并判断40是否为“完美数”；(2)【问题解决】若二次三项式x2−6x+13（x是整数）是“完美数”，可配方成x−m2+n（m，n为常数），则(3)【问题探究】已知“完美数”x2+y2−2x+4y+5（x，y(4)【问题探究】已知S=x2+4y2+8x−12y+k（x，y是整数，(5)【问题拓展】已知实数x，y满足−x2+3x+y−5=0【答案】(1)4（答案不唯一），是(2)12(3)−1(4)25(5)4【分析】（1）根据“完美数”的定义判断即可；（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；（3）配方后根据非负数的性质可得x和y的值，进行计算即可；（4）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义证明结论；（5）将−x2+3x+y−5=0【详解】（1）4是“完美数”，理由：因为4＝2240是“完美数”，理由：因为40=6故答案为：4（答案不唯一），是；（2）∵x∴m=3，n=4，∴mn=12故答案为：12；（3）∵x∴x=1，y=−2，∴x+y=−1故答案为：−1；（4）S=由题意得：k−25=0，∴k=25；（5）∵−∴x+y=x∴当x=1时，x+y的最小值为4．【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．【变式1】若p=a2+b2A．2021 B．2015 C．2016 D．没有最小值【答案】C【分析】将等式右边分组，配成两个完全平方式，即可根据平方的非负性进行解答．【详解】解：p====a+1∵a+12≥0，∴p的最小值为2016，故选：C．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题的关键是将原式分组配方．【变式2】已知点A(a,b)在一次函数y=2x−1图象上，则a2【答案】1【分析】将点A(a,b)代入一次函数解析式得出，b=2a−1，代入代数式，根据配方法即可求解．【详解】解：∵点A(a,b)在一次函数y=2x−1图象上，∴b=2a−1∴a2+b+3==故答案为：1．【点睛】本题考查了一次函数的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式3】“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=x+22(1)求代数式x2(2)已知x2−4x+y(3)比较代数式x2−1与【答案】(1)有最小值2(2)x+y=1(3)x【分析】（1）根据完全平方式的特征求解；（2）先配方，再求最值；（3）作差后配方比较大小．【详解】（1）解：x故当x−2=0，即x=2时，代数式x2（2）∵x2−4x+y∴x−22+y+12=0∴x=2，y=−1，∴x+y=2−1=1；（3）x2∵x−12∴x−12∴x2【点睛】本题考查配方法的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是求解本题的关键．模块四模块四课后作业1．阅读第（1）题的解题过程，再解答第（2）题：（1）例：解方程x2解：当x⩾0时，原方程可化为x2解得：x1=2，当x<0时，原方程可化为x2解得：x1=−2，∴原方程的解是x1=2，（2）请参照上例例题的解法，解方程x2【答案】x1=2【分析】仿照第（1）题的解题过程，分两种情况：当x−1⩾0时，当x−1<0时，分别进行计算即可解答．【详解】解：当x−1⩾0时，即x⩾1时，原方程可化为：x2整理得：x2解得：x1=0（不合题意，舍去），当x−1<0时，即x<1时，原方程可化为：x2整理得：x2解得：x1=2∴原方程的解是x1=2，【点睛】本题考查了绝对值的意义，解一元二次方程﹣因式分解法，理解例（1）的解法是解题的关键．2．阅读下面材料：为解方程(x2−1)2−5(x2−1)+4=0，我们可以将当y=1时，x2−1=1，∴x2当y=4时，x2−1=4，∴x2故原方程的解为：x1=2，x2=−上述解方程的方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：(1)解方程：x4(2)已知实数m满足(1−2m2+4m)(3【答案】(1)x(2)m2−2m【分析】（1）设x2=y，那么原方程可化为（2）原方程化为1−2(m2−2m)3(m2−2m)+5=2，设【详解】（1）x4设x2=y，那么原方程可化为解得：y1当y=−4时，x2因为不论x为何值，x2所以此方程无解；当y=1时，x2解得：x=±1，所以原方程的解为：x1（2）1−2m1−2(m设m2−2m=y，那么原方程可化为6y(3y−1)(2y+3)=0，解得：y1当y=13时，当y=−32时，整理得：2mΔ=此时方程无解，综合上述：m2−2m的值是【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，掌握换元法解一元二次方程是解题的关键．3．阅读材料，解答问题．解方程：(4x−1)解：把4x−1视为一个整体，设则原方程可化为y2解得y1=6，∴4x−1=6或4x−1=4．∴x1=以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照材料解下列方程：（1）x（2）(x【答案】（1）x1=3，x2=−3【分析】（1）仿照材料的方法，设x2=y（2）仿照材料的方法，设x2−2x【详解】解：（1）设x2=y整理得(y−3)(y+2)=0，解得y1=3，当y=3时，即x2当y=−2时，x∴原方程的解为x1=3（2）设x2−2x整理得y−6y+1=0，解得当y=6时，即x2−2x=6，解得当y=−1时，即x2−2综上所述，原方程的解为x1=1+7，x【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握换元法解一元二次方程是解题的关键．4．阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：x2①当x≥0时，原方程化为x2−3x②当x<0时，原方程化为x2+3x综上所述，原方程的解是x1请参照上述方法解方程x2【答案】x【分析】根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解．【详解】解：分两种情况：①当x+1≥0，即x≥−1时，原方程化为x2②当x+1<0，即x<−1时，原方程化为x2+x综上所述，原方程的解是x1【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．5．阅读下面的材料，回答问题：(1)将关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0变形为x2＝﹣bx﹣c，就可以将x2表示为关于已知x2﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出x4﹣3(2)解方程x4−5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4当y＝1时，x2＝1，∴x当y＝4时，x2＝4，∴x∴原方程有四个根x1请你用（2）中的方法求出方程(x【答案】(1)2022(2)x1=【分析】（1）根据题目所提供的方法即可求出答案；（2）根据换元法即可求解．（1）解：∵x2﹣x∴x2＝x∴x4﹣3x＝(x+1)＝x2﹣x＝x+1﹣x+2021＝2022．故答案为：2022；（2）解：设x2+x＝y，那么(x2解得y1＝﹣2，y当y＝﹣2时，x2+x∴方程无解；当y＝4时，x2+x∴x＝−1±17∴原方程有两个根：x1＝−1−172，x2＝【点睛】本题考查了降次法求代数式的值和换元法解一元二次方程，能够降次是解此题的关键．6．阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．【问题】解方程：x2【提示】可以用“换元法”解方程．解：设x2−6x=t（t原方程可化为：t2【续解】【答案】x1=8【分析】按照题目思路，用因式分解法解t2−2t−8=0，求出t，再代入x2【详解】解：t+2t−4t+2=0或t﹣4=0，∴t1=−2（依据t≥0，此根舍去），当t=4时，x2则x2−6x−16=0，配方得解得x1=8，经检验，原方程的解为x1=8，【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的知识，题中涉及换元的思想．注意，原方程涉及二次根式，故所得的解，必须要代入原方程检验．7．阅读与理解：阅读材料：像x+x−1解法如下：移项：x−1=3−x;；两边平方：x﹣1＝9﹣6x＋x解这个一元二次方程：x1＝2，x2＝5检验所得到的两个根，只有是原无理方程的根．理解应用：解无理方程x−1【答案】x＝2；x【分析】阅读材料：通过检验可确定原方程的解；理解应用：先移项得到x−2=1【详解】解：阅读材料：经检验x＝故答案为：x＝理解应用：移项：x−2=1两边平方：x2解得x1=5经检验原无理方程的根为x＝【点睛】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．8．阅读下列材料：为解方程x4−x2−6=0可将方程变形为x22−x2−6=0然后设x2=y，则x22=y2，原方程化为y2上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：（1）x2（2）3x【答案】（1）x1=1+3，x2=1−3，x3【分析】（1）根据阅读材料利用换元法降次，令y=x2−2x（2）同理，令x2+5x+1=y【详解】（1）设y=x得：y2解得：y1=2，当y1=2时，x2当y2=3时，x2−2x=3，解得：∴原方程的解为x1=1+3，x2=1−（2）设x2+5x+1=y∴(3y+5)(y−1)=0，y1=−5当y1=−5当y2=1时，∴x2∴x1=0，经检验x1=0，【点睛】本题考查利用换元法解一元二次方程．利用整体换元把一些形式复杂的方程变成一元二次方程，从而达到降次的目的是解答本题的关键．9．【阅读材料】利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c(a≠0)的多项式变形为a例如：对于a2+6a+8．（1）用配方法分解因式；（2）当a取何值，代数式解：（1）原式====[(a+3)+1][(a+3)−1]=(a+4)(a+2)．（2）由（1）得：a2∵(a+3)2∴