2025版新教材高中数学第六章数学建模6.4数学建模案例三周期问题导学案湘教版必修第二册

6.4数学建模案例(三)：周期问题发觉问题我们学习了三角函数的有关学问，知道三角函数具有周期性．三角函数的周期性对探讨三角函数的其他性质也很有帮助，如探讨了某个周期的性质、特征，就可以得到这个函数定义域内的性质、特征．周期性是三角函数的重要性质之一，但周期性又不是三角函数所独有的性质，现实世界中的很多运动、改变都有着循环往复、周而复始的现象，这种改变规律也是周期性．提出问题同学们在生活和学习中留意过周期现象吗？请列举并简洁说明你知道的一些周期现象，探讨你熟识的一些周期现象规律．分析问题周期现象在我们的身边无处不在，并且丰富多彩，内容广泛，可以涉及天文、地理、自然、生理、音乐等很多方面．1．学科方面．请列举数学、物理、化学中的一些周期现象．2．人体方面．请列举人体方面的一些周期现象．3．自然方面．请列举自然界的一些周期现象．4．其他方面．请列举一些除前述现象外的其他熟识的周期现象．解决问题1．学科方面．(1)数学中，除了三角函数外，还有其他的周期现象．如：若函数f(x)满意f(1)＝2，f(x＋1)＝1－1fx，那么当x∈N*时，f(x)的函数值就具有周期性，其值域为(2)物理中，更是存在大量的周期现象，如圆周运动、单摆、弹簧及简谐振动、沟通电等．下面以沟通电为例，做简洁介绍．沟通电一般指大小和方向随时间作周期性改变的电压或电流，它的最基本形式是正弦电流．我国沟通电供电的标准频率规定为50Hz.沟通电随时间改变的形式可以是多种多样的，不同改变形式的沟通电其应用范围和产生的效果也是不同的．正弦沟通电应用最为广泛，其他非正弦沟通电，一般都可以经过数学处理后，化成正弦沟通电的叠加．正弦电流i＝Imsin(ωt＋φ0)是时间的简谐函数，其图象如下图所示．由此可知，正弦沟通电需用频率(周期)、峰值和位相三个物理量来描述．(3)化学中，如元素周期表，其中元素的排列、核外电子数、元素的性质等都存在大量的周期现象．2．人体方面．(1)人体温度．正常人的体温在37°左右，但在一天中的不同时刻，体温也不尽相同，下图是一天24小时内某人体温的改变状况：由图可知，体温具有比较明显的周期性．(2)心脏跳动．下图是某人的心电图．由图可知，心脏跳动具有明显的周期性．(3)毛发生长．毛发的生长也具有周期性，它的生长周期一般可分为生长期、休止期、退行期(或脱落期)．人的头发的生长周期为3～5年，少数可达10年以上，休止期可能不超过2～3个月，退行期约1～2个月，而眉毛、睫毛的生长期为2个月，休止期可以长达9个月．当然毛发的生长速度受性别、年龄、部位和季节等因素的影响很大．3．自然方面．(1)天体运动．周期现象在天体运动中是很常见的，如地球的自转、公转具有周期性；太阳的周期性活动：黑子现象的周期为11年；由于地球的自转和公转轨道的影响，使地球温度改变有一个6000年周期．(2)时间改变．人们对时间的定义很多依据自然现象，如中国历法以月球绕地球一周的时间(29.5306天)为一月，以地球绕太阳一周的时间(365.2419天)为一年．类似的时间问题还很多，如60s＝1min，60min＝1h，24h＝1天，7天＝1周．中国的24个节气：立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．(3)地壳运动．大气、土壤、水、海洋物质在地球表面随着时间的改变而改变，这些物质对地球压力负荷的改变会引起地壳的变形，在垂直方向尤为明显．下图是上海某观测站的观测结果图，分别依次表示该地的大气压力负荷、土壤水负荷及海底压力负荷引起的地壳垂直方向位移改变．从图象可知，它们都具有明显的周期性．4．其他方面(1)音乐消遣．音乐消遣中有很多周期现象，如歌曲的节拍、舞蹈中的韵律．在一首歌曲中经常会有一段音符反复出现，这就是它的主旋律，它表达了该乐曲的主题，也就是说乐曲的主旋律是通过周期性表达的．(2)电视节目．电视台的不同栏目播出的时间周期是不同的，有的以一小时为一个周期，如中心台新闻频道的正点新闻；有的以一天为一个周期，如中心台的新闻联播；有的以一周为一个周期，如某台的每周“周末体育”节目．(3)经济方面.2004年的诺贝尔经济学奖颁发给了两位经济学家，以表彰他们对经济学中真实周期理论所做的贡献，长期以来，古典经济学不承认有周期问题，他们认为市场可以调整波动，所以在经济学中探讨周期