2021年湖南省普通高中学业水平考试数学试题

2021年湖南省普通高中学业水平考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是()A．正方体 B．圆柱 C．三棱柱 D．球2．已知集合,,则中元素的个数为()A． B． C． D．3．已知向量,,.若,则()A． B． C． D．4．执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的()A． B． C． D．5．在等差数列中,已知,,则公差()A． B． C． D．6．既在函数的图像上，又在函数的图像上的点是（）A．（0,0） B．（1,1） C． D．7．如图所示,四面体中,分别为的中点,则直线跟平面的位置关系是()A．平行B．在平面内C．相交但不垂直D．相交且垂直8．已知,则()A． B． C． D．9．已知,则()A． B． C． D．10．如图所示,正方形的面积为.在正方形内随机撒粒豆子,恰好有粒豆子落在阴影部分内,则用随机模拟方法计算得阴影部分的面积为()A． B． C． D．二、填空题11．已知函数(其中)的最小正周期为,则______.12．某班有男生人,女生人,用分层抽样的方法从该班抽取人参加社区服务,则抽出的学生中男生比女生多______人.13．在中,角所对的边分别为已知,,,则的面积为______.14．已知点在不等式组表示的平面区域内,则实数的取值范围为______.15．已知圆柱及其侧面展开图如图所示,则该圆柱的体积为______.三、解答题16．已知定义在区间上的函数的部分函数图象如图所示．（1）将函数的图象补充完整;（2）写出函数的单调递增区间.17．已知数列满足，且．（1）求及．（2）设，求数列的前项和．18．为了解数学课外兴趣小组的学习情况,从某次测试的成绩中随机抽取名学生的成绩进行分析,得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数;（2）从成绩不低于分的两组学生中任选人,求选出的两人来自同一组的概率.19．已知函数（1）若,求和的值,并判断函数在区间内是否有零点;（2）若函数的值域为,求实数m的值.20．已知为坐标原点,点在圆:上.（1）求实数的值；（2）求过圆心且与直线平行的直线的方程；（3）过点作互相垂直的直线,,与圆交于两点,与圆交于两点,求的最大值．参考答案1．A【解析】【分析】主视图､左视图､俯视图是分别从物体正面､左面和上面看所得到的图形,即可求得答案.【详解】主视图､左视图､俯视图都是正方形该几何体为正方体故选:A.【点睛】本题主要考查了根据三视图判断其立体图形,解题关键是掌握三视图的基础知识,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题.2．C【分析】根据并集定义求得,即可求得答案.【详解】,中元素的个数为:.故选:C.【点睛】本题主要考查了并集运算,解题关键是掌握并集定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.3．D【分析】因为,,,由向量和的坐标计算法则计算可得,即可求得答案.【详解】向量,,且可得:故选:D.【点睛】本题主要考查了向量和的坐标计算法则,解题关键是掌握向量坐标运算基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.4．B【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用条件结构计算并输出变量的值,模拟程序的运行过程,即可求得答案.【详解】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是计算并输出分段函数:输入的值为,故输出结果是:.故选:B.【点睛】本题主要考查了根据框图求输出结果,解题关键是掌握框图的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.5．D【分析】利用等差数列的通项公式,即可求得答案.【详解】等差数列中,已知,,可得:解得:故选:D.【点睛】本题主要考查了求等差数列公差,解题关键是掌握等差数列通项公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.6．B【解析】【分析】根据幂函数的性质解答。【详解】解：由幂函数图象恒过，故选项满足条件。故选：【点睛】本题考查幂函数的性质，属于基础题。7．A【分析】根据条件可得,根据线面平行判断定理,即可求得答案.【详解】中分别为的中点平面,平面平面故选:A【点睛】本题主要考查了判断线面位置关系,解题关键是掌握线面平行判定定理,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题.8．C【分析】因为,根据正弦二倍角公式,即可求得答案.【详解】根据正弦二倍角公式可得:,即故选:C.【点睛】本题主要考查了求三角函数值,解题关键是掌握正弦二倍角公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.9．A【分析】根据对数运算化简,即可求得答案.【详解】又故选:A.【点睛】本题主要考查了对数化简和比较对数大小,解题关键是掌握对数运算基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.10．B【分析】设阴影部分的面积大约为,由已知可得正方形面积为,在正方形内随机撒粒豆子,恰好有粒豆子落在阴影部分内,可得,即可求得答案.【详解】设阴影部分的面积大约为,由已知可得正方形面积为，在正方形内随机撒粒豆子,恰好有粒豆子落在阴影部分内.阴影部分的面积大约是.故选:B.【点睛】本题主要考查了根据概率估计面积问题,解题关键是掌握概率的定义和根据概率估计面积的解题方法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.11．【分析】根据余弦型三角函数周期公式,即可求得答案.【详解】函数(其中)的最小正周期为,根据余弦型三角函数周期公式:解得:.故答案为:.【点睛】本题主要考查了根据余弦的周期求参数问题,解题关键是掌握余弦函数的周期公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.12．【分析】根据某班共有人,要取一个容量为的样本,根据分层抽样定义,即可求得答案.【详解】本题是一个分层抽样,某班共有人,取一个容量为的样本,抽出的学生中男生人数为:.则抽出的学生中女生人数为:故:抽出的学生中男生比女生多人故答案为:.【点睛】本题主要考查了分层抽样,解题关键是掌握分层抽样的定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.13．【分析】在中,,,根据三角形面积公式,即可求得答案.【详解】在中,,,根据三角形面积公式可得:的面积为:故答案为:.【点睛】本题主要考查了求三角形面积,解题关键是掌握三角形面积公式,考查了分析能力,属于基础题.14．【分析】因为点在不等式组表示的平面区域内,可得,即可求得答案.【详解】点在不等式组表示的平面区域内,解得:,即故答案为:.【点睛】本题主要考查了点落在平面域内求参数问题,解题关键是掌握线性规划基本知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.15．【分析】根据侧面展开图可得,其柱体的底面周长为:,可求得柱体的底面半径,其柱体的高为,即可求得答案.【详解】设柱体底面半径为,高为根据侧面展开图可得,其柱体的底面周长为:,,解得:则:柱体的底面半径:根据侧面展开图可得,其柱体的高为即根据柱体的体积计算公式:故答案为:.【点睛】本题考查了根据侧面展开图求柱体体积,解题关键是掌握柱体体积公式,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题.16．（1）答案见解析（2）【分析】（1）根据是奇函数,其图象关于原点对称,即可求得答案;（2）根据图象,即可求得答案.【详解】（1）根据是奇函数,其图象关于原点对称画出在上的图象,如图:（2）由（1）图象可知:函数在区间的单调递增区间:.【点睛】本题主要考查了画出正弦函数图象和求单调区间,解题关键是掌握正弦函数图象的特征,考查了分析能力,属于基础题.17．（1）2，；（2）.【分析】（1）根据题意知数列是等比数列，代入公式得到答案.（2）先把表示出来，利用分组求和法得到答案.【详解】解：（1）因为，所以数列是以首项为2，公比为3的等比数列，所以数列；（2）==.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和分组求和法，是数列的常考题型.18．（1）（2）【分析】（1）根据频率分布直方图,即可求得答案;（2）根据已知条件可得在抽取的名学生中,成绩在区间的人数为:,这人分别记为成绩在区间的人数为:,这人分别记为,若从成绩不低于分的两组学生中任选人,写出基本事件空间,即可求得答案.【详解】（1）根据频率分布直方图可估计本次测试成绩的众数为:（2）根据已知条件可得在抽取的名学生中,成绩在区间的人数为:,这人分别记为成绩在区间的人数为:,这人分别记为若从成绩不低于分的两组学生中任选人,其所有情况有:共个基本事件,其中两人来自同一组所含基本事件有:共个.选出的两人来自同一组的概率为:【点睛】本题主要考查了根据条形统计图计算数据的众数和根据条形统计图求概率,解题关键是掌握条形统计图的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.19．（1）答案见解析（2）【分析】（1）当时,求出,,在区间是连续不断的且,根据零点存在定理,即可求得答案;（2）分别讨论和,的值域,即可求得答案.【详解】（1）当时,,在区间是连续不断的且函数在区间内必有零点（2）当时,,此时;当时,而的值域为,【点睛】本题主要考查了判断函数在指定区间上是否有零点和根据函数值域求参数,解题关键是掌握零点存在定理和二次函数值域的求法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.20．（1）（2）（3）【分析】（1）点在圆:上,即可求得答案;（2）直线的斜率为,圆以的圆心为,因为过圆心且与直线平行的直线的方程为:,即可求得答案;（3）设直线的方程为,则的方程为,求出圆心到直线的距离和圆心到直线的距离,即可和,结合已知,根据均值不等式,即可求得答案.【