专题17等腰三角形(原卷版+解析)

专题17等腰三角形此板块知识内容是初中几何中的重要知识点之一，很多几何模型都与其有关，像经典的“手拉手”模型，半角、二倍角三角函数等都与等腰三角形紧密联系。在广东的中考中，等腰三角形相关知识单独出题的可能性较少，多以综合形式出现，由于等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形结合其他考点出成题的几率特别大，分值占比也是比较多的，作为常出现在中等偏上难度试题中的知识内容，在复习时要多注意其中的基本图形理解和辅助线添法。一．等腰三角形的性质和判定定义有两边长相等的三角形是等腰三角形，相等的两边长叫做腰，第三边叫做底性质轴对称性：一般等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴等边对等角三线合一（顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合）。判定①定义法；②等角对等边1．一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角形的周长是（

）A．10 B．13 C．13或17 D．172．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．53．如图，，，、分别平分、，，则的周长是______．4．等腰三角形的底边长为，一腰上的中线把其分为周长差为的两部分．求腰长．5．如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，，，求的长．1.“三线合一”即是一线三用2.角平分线常见的处理策略：角平分线＋∥→等腰△6．如图，在中，平分，，，，则的周长为（）A．2 B．24 C．27 D．37．如图，在中，，的平分线交于点，为的中点，若，则的长是（

）A．8 B．6 C．5 D．48．如图，在中，，于点，为的中点，，那么的长是________．9．如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接．(1)求证：；(2)若时，求的长．二．等边三角形的性质和判定定义三边长都相等的三角形是等边三角形性质轴对称性：等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴等边三角形三个角都相等，分别都等于60°三线合一（等边三角形三边上均存在三线合一）。判定定义法有两个角相等的等腰三角形是等边三角形有两个角等于60°的三角形是等边三角形1．如图，等边三角形中，是上的高，点E，F分别在上，且，则图中与相等的线段（不包含）一共有（

）A．4条 B．6条 C．7条 D．8条2．如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，点是上的一个动点，当最小时，的度数是（）A． B． C． D．3．如图，在中，，点D为边上一点，连接．现将沿翻折使得点A落在边的中点E处．若，则__________．4．如图所示，是边长为6的等边三角形，点D是的中点，，延长到E，使．(1)求证：；(2)求的长度．1.特别注意：当一个三角形的角平分线与高线，或者中线出现重合时，虽然不能直接得等腰三角形，但是也可以用三角形全等来证明该三角形是等腰三角形。2.等边三角形面积的另一求解方法：5．如图，直线，等边的顶点在直线上，，则（

）A． B． C． D．6．如图，在三角形中，，，，与相交于点F，若，则E到的距离为___________．7．如图，和都是等边三角形，A、B、D三点共线．下列结论：①；②；③平分；④，⑤是等边三角形．其中正确的有_____（只填序号）．8．已知：如图，点P是等边内的一点，连接、、，以为边作等边，连接．(1)求证:；(2)若，，，求的面积．三．线段垂直平分线的性质与判定性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等。判定定理：到线段两端的距离相等点在这条线段的垂直平分线上。1．如图，在中，线段的垂直平分线交于点，若，，则的周长为（）A． B． C． D．2．如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则为_____度．3．如图，在中，是的角平分线，请用尺规作图法在边上求作一点E，使得（保留作图痕迹，不写作法）4．如图，已知．(1)用尺规作图方法作的垂直平分线，交于点，交于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法）(2)若，周长为13，求的周长．1.角平分线与线段垂直平分线常见辅助线的区别：角平分线：过点作到边的垂线段；线段垂直平分线：连接两个端点5．如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点D、E．若，，则的长为（

）A．2 B．4 C．6 D．86．如图，中，，的垂直平分线分别交，于点D，E，连接，则的大小为_____．7．如图，已知中，，，．(1)作的垂直平分线，分别交、于点、；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，连接，求的周长．8．如图，在中，已知，若，的周长是20．(1)求作：的垂直平分线交于点N，交于点M，连接．（保留作图痕迹，不写作法）(2)①求的长度；②若点P为直线上一点，请直接写出周长的最小值是______．1．(2023·广东深圳·统考中考真题）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（

）A．2 B．3 C．4 D．52．(2023·广东深圳·统考中考真题）如图，已知，以两点为圆心，大于的长为半径画圆，两弧相交于点，连接与相较于点，则的周长为（

）A．8 B．10 C．11 D．133．(2023·广东广州·统考中考真题）如图，在中，，，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为，当时，则的度数为________．4．(2023·广东广州·统考中考真题）如图，在中，，，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若，则AD的长为________．5．(2023·广东深圳·统考中考真题）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为________．6．(2023·广东深圳·统考中考真题）如图，在中，D，E分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的长为__________．7．(2023·广东广州·统考中考真题）如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B=∠C，BD=CE，求证：△ABD≌△ACE8．(2023·广东·统考中考真题）如图，在中，点，分别是、边上的点，，，与相交于点，求证：是等腰三角形．9．(2023·广东·统考中考真题）如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，延长至点E，使．（1）若，求的周长；（2）若，求的值．1．如图，在等边中，，垂足为且，则的长为（

）A．1 B． C．2 D．2．在中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N．作直线交于点D，交于点E，连接．则下列结论不一定正确的是（）A． B． C． D．3．如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，分别以点B和点C为圆心、大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF交AB于点D，连接CD，则ACD的周长是_____．4．等腰一腰上的高为，这条高与底边的夹角为，则的面积是_____．5．如图，在中，，．（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的__________，射线是的__________；（2）在（1）所作的图中，求的度数．6．如图，已知点D、E在的边上，且，．求证：．7．如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，求的长．8．如图，在中，点D是上一点，且，，连接交于点F．(1)若，求的度数；(2)若平分，求证：．9．在中，，两条高，交于点H，F是的中点，连接并延长交边于点G．(1)如图1，若是等边三角形．①求证：；②求的长．(2)如图2，若，，求的面积．专题17等腰三角形此板块知识内容是初中几何中的重要知识点之一，很多几何模型都与其有关，像经典的“手拉手”模型，半角、二倍角三角函数等都与等腰三角形紧密联系。在广东的中考中，等腰三角形相关知识单独出题的可能性较少，多以综合形式出现，由于等腰三角形可以放在很多模型中，所以等腰三角形结合其他考点出成题的几率特别大，分值占比也是比较多的，作为常出现在中等偏上难度试题中的知识内容，在复习时要多注意其中的基本图形理解和辅助线添法。一．等腰三角形的性质和判定定义有两边长相等的三角形是等腰三角形，相等的两边长叫做腰，第三边叫做底性质轴对称性：一般等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴等边对等角三线合一（顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合）。判定①定义法；②等角对等边1．一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角形的周长是（

）A．10 B．13 C．13或17 D．17答案:D分析：求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：（1）若3为腰长，7为底边长，由于，则三角形不存在；（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边，所以这个三角形的周长为．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．2．如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5答案:B分析：根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．【详解】解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．故共有3个点，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．3．如图，，，、分别平分、，，则的周长是______．答案:15分析：先根据角平分线的定义及平行线的性质证明和是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得，，则的周长．【详解】解：平分，平分，，，，，，，，，等角对等边，的周长．故答案为：．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．4．等腰三角形的底边长为，一腰上的中线把其分为周长差为的两部分．求腰长．答案:腰长为分析：由于题目中没有指明是“”为，还是“”为，因此必须分两种情况讨论．【详解】解：∵为边上的中线，∴，（1）当时，有，∵，∴；（2）当时，有，∵，∴，但是当时，三边长分别为．而，不能构成三角形，舍去．故腰长为．【点睛】本题考查等腰三角形的定义以及三角形三边关系，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．5．如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，，，求的长．答案:(1)见解析(2)4分析：（1）根据得到，结合垂直以及等角的余角相等即可证明；（2）结合（1）中的结论以及题目条件得到是等边三角形然后根据已知条件计算即可．【详解】（1）解：，，，，，而，，是等腰三角形；（2）解：，，，，，，，，是等边三角形，，．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定以及余角的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰及等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质是解决本题的关键．1.“三线合一”即是一线三用2.角平分线常见的处理策略：角平分线＋∥→等腰△6．如图，在中，平分，，，，则的周长为（）A．2 B．24 C．27 D．3答案:C分析：根据题意在上截取，连接，由可证≌，可得，，可证，可得，进而即可求解．【详解】解：如图，在上截取，连接，∵平分，∴，在和中，，∴≌，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的周长＝，故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，注意掌握添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．7．如图，在中，，的平分线交于点，为的中点，若，则的长是（

）A．8 B．6 C．5 D．4答案:C分析：利用等腰三角形三线合一以及直角三角形斜边上的中线进行求解即可．【详解】∵，平分，∴，∴，∵为的中点，∴，故选C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．8．如图，在中，，于点，为的中点，，那么的长是________．答案:3分析：利用等角对等边证明，再证明为直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出DE．【详解】解：∵，∴∵，∴为直角三角形，∵为的中点，∴．故答案为：3【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是理解题意，掌握等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．9．如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接．(1)求证：；(2)若时，求的长．答案:(1)见解析(2)分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可得，进而证明，即可根据证明；（2）勾股定理求得根据已知条件证明是等腰三角形可得，进而根据即可求解．【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，，，，在与中；，（2）在中，，，,,,,,∴∠ADC=∠ACD，,．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．二．等边三角形的性质和判定定义三边长都相等的三角形是等边三角形性质轴对称性：等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴等边三角形三个角都相等，分别都等于60°三线合一（等边三角形三边上均存在三线合一）。判定定义法有两个角相等的等腰三角形是等边三角形有两个角等于60°的三角形是等边三角形1．如图，等边三角形中，是上的高，点E，F分别在上，且，则图中与相等的线段（不包含）一共有（

）A．4条 B．6条 C．7条 D．8条答案:C分析：根据等边三角形中，是上的高，得出，根据，证明和是等腰三角形，与都是等边三角形即可．【详解】解：∵等边三角形中，是上的高，∴，∵，∴，∴和是等腰三角形，与都是等边三角形，∴，∴与相等的线段有有7条．故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．2．如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，点是上的一个动点，当最小时，的度数是（）A． B． C． D．答案:C分析：连接，则的长度即为与和的最小值，再利用等边三角形的性质可得即可解决问题；【详解】如图，连接，与交于点，此时最小，∵是等边三角形，是边上的高，∴，∴，∴，即的长度即为与和的最小值，∵是等边三角形，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故选：C【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．3．如图，在中，，点D为边上一点，连接．现将沿翻折使得点A落在边的中点E处．若，则__________．答案:分析：由折叠的性质可得，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可证明是等边三角形，得到，则，根据含30度角的直角三角形的性质求出，则由勾股定理可得．【详解】解：由折叠的性质可知，，∵，E为边的中点，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，证明是等边三角形是解题的关键．4．如图所示，是边长为6的等边三角形，点D是的中点，，延长到E，使．(1)求证：；(2)求的长度．答案:(1)见解析(2)分析：（1）证明，可得结论；（2）连接，过得到A作于点H，则，，再利用勾股定理求解即可．【详解】（1）证明：∵是等边三角形，点D是的中点，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；（2）解：连接，过得到A作于点H，则，，∵，∴，∴．【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题关键是掌握等腰三角形的性质．1.特别注意：当一个三角形的角平分线与高线，或者中线出现重合时，虽然不能直接得等腰三角形，但是也可以用三角形全等来证明该三角形是等腰三角形。2.等边三角形面积的另一求解方法：5．如图，直线，等边的顶点在直线上，，则（

）A． B． C． D．答案:B分析：过点B作，交于点F，根据平行线的性质即可求解.【详解】过点B作，交于点F，∵，∴，∴，，∵为等边三角形，∴，∴，∴，∴，故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．6．如图，在三角形中，，，，与相交于点F，若，则E到的距离为___________．答案:分析：证明出是等边三角形，再结合条件证明，得出，接着证明出，得到，利用对顶角得到，过点作的垂线，交于于点，在中求解即可．【详解】解：，，是等边三角形，，，，，，，，，过点作的垂线，交于于点，，，故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，解题的关键是构造直角三角形进行求解．7．如图，和都是等边三角形，A、B、D三点共线．下列结论：①；②；③平分；④，⑤是等边三角形．其中正确的有_____（只填序号）．答案:①②③④⑤分析：①证明，即可得出结论；②证明，即可得出结论；③作于M，于N，证明，得到，即可得出结论；④证明，得到，即可得出结论；⑤根据，即可得出结论．【详解】解：∵与为等边三角形，∴，∴，在和中，，∴，∴，故①正确；又∵，∴在和中，，∴，∴，故②正确；作于M，于N，如图所示：则，在和中，，∴，∴，∴平分；故③正确；∵，∴是等边三角形，故⑤正确；在和中，，∴，∴，∴，∴，故④正确；∴①②③④⑤都正确．故答案为：①②③④⑤．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．8．已知：如图，点P是等边内的一点，连接、、，以为边作等边，连接．(1)求证:；(2)若，，，求的面积．答案:(1)见详解(2)分析：（1）先由等边三角形的性质得，进而得，再证明≌便可；（2）作交的延长线于利用全等三角形的性质证明，解直角三角形求出即可解决问题．【详解】（1）证明：和是等边三角形，，，，，在和中，，≌，．（2）解：作交的延长线于，是等边三角形，，≌，，，，，．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握这些性质及判定方法，并会根据条件作出辅助线是解题的关键．三．线段垂直平分线的性质与判定性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等。判定定理：到线段两端的距离相等点在这条线段的垂直平分线上。1．如图，在中，线段的垂直平分线交于点，若，，则的周长为（）A． B． C． D．答案:C分析：先根据线段垂直平分线的性质得出，进而得出结论．【详解】线段的垂直平分线交于点，，，，的周长．故选：【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．2．如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则为_____度．答案:分析：根据线段垂直平分线的性质可得，则，由平分可得，，再根据三角形内角和，求解即可．【详解】解：∵垂直平分，∴，∴又∵平分，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和的性质，解题的关键是灵活运用相关的性质进行求解．3．如图，在中，是的角平分线，请用尺规作图法在边上求作一点E，使得（保留作图痕迹，不写作法）答案:见解析分析：用尺规作图，作出线段的垂直平分线，交线段于点，即为所求．【详解】解：如图，点即为所求．【点睛】本题考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．4．如图，已知．(1)用尺规作图方法作的垂直平分线，交于点，交于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法）(2)若，周长为13，求的周长．答案:(1)见解析；(2)分析：（1）如图，分别以A、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交、于点D、E，则直线就是的垂直平分线；（2）利用线段的垂直平分线的性质可得，，求出，，进而可得答案．【详解】（1）解：如图，直线即为的垂直平分线，连接．即为所求作；（2）解：∵直线是的垂直平分线，∴，，∴，∵的周长为，即：，∴，∴，即的周长为．【点睛】本题考查尺规作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解并掌握线段的垂直平分线的性质．1.角平分线与线段垂直平分线常见辅助线的区别：角平分线：过点作到边的垂线段；线段垂直平分线：连接两个端点5．如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点D、E．若，，则的长为（

）A．2 B．4 C．6 D．8答案:C分析：根据线段垂直平分线的性质可得，，从而得到，设，根据等腰三角形的性质可得，再由，列出方程，求出x，再根据直角三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵是的垂直平分线，∴，，∴，设，∵，∴，∵，∴，解得：，即，∵，，∴．故选：C【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．6．如图，中，，的垂直平分线分别交，于点D，E，连接，则的大小为_____．答案:##80度分析：由线段的垂直平分线交于D，交于E，可得，继而求得的度数，再由三角形的外角性质则可求得答案．【详解】解：∵线段的垂直平分线交于D，交于E，∴，∴，∵∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用．7．如图，已知中，，，．(1)作的垂直平分线，分别交、于点、；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，连接，求的周长．答案:(1)见解析(2)13分析：（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线分别交、于点、即可；（2）由作图可得CD=BD，继而可得AD=CD，再结合三角形周长的求解方法进行求解即可．【详解】（1）如图所示，点D、H即为所求（2）∵DH垂直平分BC，∴DC=DB，∴∠B=∠DCB，∵∠B+∠A=90°，∠DCB+∠DCA=∠ACB=90°，∴∠A=∠DCA，∴DC=DA，∴△BCD的周长=DC+DB+BC=DA+DB+BC=AB+BC=8+5=13．【点睛】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质等，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．8．如图，在中，已知，若，的周长是20．(1)求作：的垂直平分线交于点N，交于点M，连接．（保留作图痕迹，不写作法）(2)①求的长度；②若点P为直线上一点，请直接写出周长的最小值是______．答案:(1)见解析(2)①8；②20分析：（1）根据垂直平分线的作法作图即可；（2）①根据垂直平分线的性质得，的周长是20．，即可求的长度；②依据，，即可得到当与重合时，，此时最小，进而得出的周长最小值．【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）①，的周长是，即，垂直平分，，，，．的长度为8．②当与重合时，的周长最小．理由：，，当与重合时，，此时最小值等于的长，的周长最小值．【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．1．(2023·广东深圳·统考中考真题）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（

）A．2 B．3 C．4 D．5答案:B分析：根据尺规作图的方法步骤判断即可．【详解】由作图痕迹可知AD为∠BAC的角平分线，而AB=AC，由等腰三角形的三线合一知D为BC重点，BD=3，故选B【点睛】本题考查尺规作图-角平分线及三线合一的性质,关键在于牢记尺规作图的方法和三线合一的性质.2．(2023·广东深圳·统考中考真题）如图，已知，以两点为圆心，大于的长为半径画圆，两弧相交于点，连接与相较于点，则的周长为（

）A．8 B．10 C．11 D．13答案:A分析：利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长=AC+BC．【详解】由作法得MN垂直平分AB，∴DA=DB，∴△BDC的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8．故选A．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．3．(2023·广东广州·统考中考真题）如图，在中，，，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为，当时，则的度数为________．答案:分析：如图，连接，根据轴对称的性质及全等三角形的判定与性质可得，，并由平行线的性质可推出，最后由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果．【详解】解：如图，连接∵点B关于直线CD的对称点为，∴，．∵，∴．∴，．∵，∴．∵，∴．∴．∵．∴．∴．故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称、等腰三角形及平行线的性质等知识，熟练掌握轴对称、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．4．(2023·广东广州·统考中考真题）如图，在中，，，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若，则AD的长为________．答案:2分析：根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，∠ABD=，求得，即可求出答案．【详解】解：∵，∴∠A+∠ABC=，∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，∴AD=BD，∴∠ABD=，∴，∵，∴AD=BD=2CD=2，故答案为：2．【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．5．(2023·广东深圳·统考中考真题）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为________．答案:分析：知道和是角平分线，就可以求出，的垂直平分线交于点F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE，得到．【详解】解：的垂直平分线交于点F，（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）∴∵，是角平分线∴∵∴，∴【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键．6．(2023·广东深圳·统考中考真题）如图，在中，D，E分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的长为__________．答案:分析：延长，交于点G，由折叠，可知，可得，延长，，交于点M，结合，可得，，进而即可求解．【详解】解：如图，延长，交于点G，设由折叠，可知，∵，∴，∴，延长，，交于点M，∵，∴，，∴，∵，，∴，，∴．【点睛】本题主要考查折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造等腰三角形，是解题的关键．7．(2023·广东广州·统考中考真题）如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B=∠C，BD=CE，求证：△ABD≌△ACE答案:证明见解析分析：由等腰三角形的判定得出AC=AB，再利用SAS定理即可得出结论．【详解】证明：∵∠B=∠C，∴AC=AB，在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，∴△ABD≌△ACE（SAS）【点睛】本题考查三角形全等的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．8．(2023·广东·统考中考真题）如图，在中，点，分别是、边上的点，，，与相交于点，求证：是等腰三角形．答案:见解析分析：先证明，得到，，进而得到，故可求解．【详解】证明：在和中∴∴∴又∵∴即∴是等腰三角形．【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质．9．(2023·广东·统考中考真题）如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，延长至点E，使．（1）若，求的周长；（2）若，求的值．答案:（1）1；（2）分析：(1)作出BC的垂直平分线，连接BD，由垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到DB=DC，由此即可求出△ABD的周长；(2)设，，进而求出，在Rt△ABD中使用勾股定理求得，由此即可求出的值．【详解】解：(1)如图，连接，设垂直平分线交于点F，∵为垂直平分线，∴，∵，∴．(2)设，∴，又∵，∴，在中，．∴．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角函数的定义及勾股定理等知识，熟练掌握垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等是解决本题的关键．1．如图，在等边中，，垂足为且，则的长为（

）A．1 B． C．2 D．答案:C分析：先根据等边三角形性质得到∠ADC=90°，∠CAD=30°，再设CD=x，在Rt△ACD中利用勾股定理计算即可．【详解】∵等边△ABC中，AD⊥BC，∴∠ADC=90°∠CAD=∠BAD=60°÷2=30°，AB=AC，设CD=x，则AC=2x，在Rt△ACD中，解得：x=±1(舍负)，∴AB=AC=2．故选C．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及勾股定理，解题关键是熟练应用等边三角形的性质．2．在中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N．作直线交于点D，交于点E，连接．则下列结论不一定正确的是（）A． B． C． D．答案:A分析：利用线段的垂直平分线的性质判断即可．【详解】由作图可知，垂直平分线段，∴，，，故选项B，C，D正确，故选：A．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．3．如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，分别以点B和点C为圆心、大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF交AB于点D，连接CD，则ACD的周长是_____．答案:18分析：由题可知，EF为线段BC的垂直平分线，则CD＝BD，由勾股定理可得AC5，则△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB，即可得出答案．【详解】解：由题可知，EF为线段BC的垂直平分线，∴CD＝BD，∵∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，∴AC5，∴△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝5+13＝18．故答案为：18．【点睛】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质及勾股定理是详解本题的关键．4．等腰一腰上的高为，这条高与底边的夹角为，则的面积是_____．答案:分析：如图，，，得到，得到，过点作，利用三线合一，求出的长，利用三角形的面积公式进行求解即可．【详解】解：如图，，，则：．∵，∴，过点作，则：，∴∴；故答案为：．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，含30度角的直角三角