新苏科版九年级下册初中数学5 . 5 用二次函数解决问题

5.5用二次函数解决问题

第1课时、第2课时

1.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价.若每件商

品售价为x元，则可卖出（350—10力件，则商店所获得的利润y（元）与每件商品售价x（元）

之间的函数表达式为（）

A.y=-10?-560%+7350

B.尸一10/+560X-7350

C.y=-10/4-350%

D.y^-10x+350x-7350

2.某产品的进货单价为每件90元，按100元一件出售时，每周能售出500件.若每

件涨价1元，则每周销售量就减少10件，则该产品每周能获得的最大利润为（）

A.5000元B.8000元

C.9000元D.10000元

3.某商店出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出（6一入）个，则当x=

时，一天出售该种文具盒的总利润y最大.

4.一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价

为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/

件，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图

所示.

（1）求了与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求每天的销售利润八元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出当销售价

为多少元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是多少.

5.为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100

m,则池底的最大面积是（）

A.600in2B.625m2C.650m2D.675m2

6.如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过10米），围成一个矩形花

圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数表达式是

，当边长x为米时，花口圃有最大面积，最大面积为平方米.

7.某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划

中的建筑材料可建围墙的总长为50nl.设饲养室的一边长为x（m）,占地面积为"（nd.

（1）如图5—5—3①，则饲养室的一边长x为多少时，占地面积y最大？

（2）如图②，现要求在所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏

说：“只要饲养室的一边长x比（1）中的长多2m就行了.”请你通过计算，判断小敏的

说法是否正确.

口©口«

图5-5-3

8.从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度小米）与小球运动的时间f（秒）之间的函

数表达式是A=9.8r-4.9r2,则小球的最大高度为米.

9.飞机着陆后滑行的距离y（单位：而关于滑行时间M单位：s）的函数表达式是尸

60在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是m.

10.小明大学毕业后回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景

的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，经调研发现：

①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元，每减少1盆，盆景的平均每盆利

润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变.

小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期

盆景与花卉售完后的利润分别为几例（单位：元）.

（1）用含x的代数式表示用，色

（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润/最大，最大总利

润是多少？

11.随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华

从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A,B,C,D,E中的某一站出地铁，再

骑共享单车回家.设他出地铁的站点与文化宫之间的距离为双单位：千米），乘坐地铁的

时间%（单位：分）是关于x的一次函数，其关系如下表：

地铁站ABCDE

x（千米）891011.513

71（分）1820222528

（1）求必关于x的函数表达式；

（2）李华骑单车的时间姓（单位：分）也受x的影响，其关系可以用^=1/-lU+78

来描述，则李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家里所用的时间最短？并

求出最短时间.

12.某旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天

内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数.公司发现每天的营运规律如

下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增

加5元，租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费是1100元.

（D优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至

少应为多少元？（注：净收入=租车收入一管理费）

（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？

参考答案

1.B［解析］由题意，得y=(x-21)(350—10x)=-10*+560x—7350.

2.C

3.3［解析］由题意可得y=(6—x)x,即y=-V+6x,当户3时，y有最大值.

4.解：(1)设y与x之间的函数关系式为

10A+1=30,k=­l,

把(10,30),(16,24)代入，得解得

164+6=24,6=40.

与x之间的函数关系式为尸一x+40(10WxW16).

(2)/=(x-10)(―x+40)=—x+50x—400(10^16).*/W=-x+50x—400=一

5—25)2+225,函数图像的对称轴是直线x=25,

在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大.

♦10WW16,・••当x=16时,♦最大,为144.

即当销售价为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是144元.

5.B［解析］设矩形的一边长为xm,则其邻边长为(50—x)m,设池底面积为S

m2,则S=x(50—x)=-f+50x=—(x—25)?+625..•・当x=25时，S取得最大值，最大

值为625.

6.S=-2V+10x|y［解析］由题意知平行于墙的一边长为(10—2x)米，则S

=x(10-2x)=-2(x—1)2+*0〈水5),所以当时，花圃有最大面积，最大面积娉

平方米.

so—X1A9R

7.解：⑴：尸厂2^-=一如一25尸+詈(0〈水50),

.,.当x=25时，占地面积y最大，即当饲养室的一边长x为25nl时，占地面积y最

大.

(2)Vy=%•5°~(/~2)-1(A—26)2+338,

.•.当*=26时，占地面积了最大.

'.,26—25=1(m)12m,...小敏的说法不正确.

8.4.9

9.24［解析］♦.♦尸60t-5/=-5(力-20)2+600,...当力=20时，飞机着陆后滑行

到最大距离600m,然后停止滑行；当£=16时，尸576,...最后4s滑行的距离是24m.

10.解：⑴/仁(50+x)(160-2x)=-2x2+60x+8000,

强=19(50—x)=-19^+950.

(2)W=/〃+//=-2/+41%+8950(x为整数).

4141

V-2<0,抛物线的开口向下，一〜,，八=7,

ZX(一乙)4

41

.•.当owx<7时，/随*的增大而增大；

41

当7■〈后50时，/随x的增大而减小，

又,.'x取整数，故当x=10时，/最大，

^«A=-2X102+41X10+8950=9160.

即当x=10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润最大，最大总利润是

9160元.

11.解：(1)设乘坐地铁的时间B关于x的一次函数表达式是y产％x+6.把户8,必

18=84+6,k=2,

=18：x=10,弘=22代入，得，解得

22=10什6,6=2,

关于x的函数表达式是_n=2x+2.

(2)设李华从文化宫回到家里所用的时间为y分，则y=y,+y2,

11179

即y=2^+2+-?-lU+78=-/-9^+80=-U-9)z+y,

、,，工79

当x=9时，ya/b(B=—

二李华选择从B地铁口出站，才能使他从文化宫回到家里所用的时间最短，最短时间

为三79分钟.

12.解：(1)由题意，知若观光车能全部租出，则0<xW100,由50x-1100>0,解

得x>22,.,.22<x^l00.

又是5的倍数，.•.每辆车的日租金至少应为25元.

(2)设每辆车的净收入为y元.

当OCxWlOO时，y1=50%-1100.

随x的增大而增大，

.•.当x=100时,八有最大值为50X100—1100=3900；

w..x—100.

当x>100时，度=(50----=—)^-1100

12.

=一三才+70^—1100

□

=一!(才一175)2+5025,

5

・♦•当x=175时，.有最大值为5025.

V5025>3900,

・・・当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多.

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第3课时

1.如图，教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距

离x(m)之间的关系为尸1一行9+5由此可知铅球被推出的距离是()

1OJ

A.10mB.3m

C.4mD.2m或10m

2.小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线尸一：f+3.5的一部分(如图).若命

0

中篮圈中心，则他与篮底的距离/是()

A.3.5mB.4mC.4.5mD.4.6m

3.如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线.如

果不考虑空气阻力，小球的飞行高度门单位：ni)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系

尸一5f+20x,请根据要求解答下列问题：

(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？

(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？

(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？

4.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，

其函数表达式为y=~^x,当水面离桥拱顶的高度。。是4m时，这时水面的宽度AB为

ZO

()

A.-20mB.10mC.20mD.-10m

5.建立如图所示的直角坐标系，某抛物线形桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，

则它对应的表达式为________________.

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6.如图是一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离

水面2米，当水面下降1米时，水面的宽度为多少米？

7.某广场有一个喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，

建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=—（+4x（单位：米）的一部分，则

水喷出的最大高度是（）

44米8.3米C.2米〃1米

8.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的

水柱为抛物线形，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好

在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平

面直角坐标系.

（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式：

（2）王师傅在水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王

师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？

（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前

提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高

度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷出的水柱的最大高度.

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9.冬天来了，晒衣服成了头疼的事情，聪明的小华想到一个好办法，他在家后院地面

（BD）上立两根等长的立柱AB,CD（均与地面垂直），并在立柱之间悬挂一根绳子.绳子的形

状近似抛物线y=，x?+bx+c,如图①，已知BD=8米，绳子最低点离地面的距离为1

米.

（1）求立柱AB的长度：

（2）由于挂的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小华用一根垂直于地面的立柱MN

撑起绳子（如图②），郎的长度为1.85米，通过调整MN的位置，使左边抛物线用对应函数

表达式的二次项系数为;，顶点离地面1.6米，求MN与AB的距离.

4

10.如图，某足球运动员站在点0处练习射门，将足球从离地面0.50的A处正对球

门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：血与飞行时间t（单位：s）之间满足函数

关系y=a/+5t+c,已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5加

（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？

（2）若足球飞行的水平距离x（单位：而与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=

10t,已知球门的高度为2.44m,如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28

m,他能否将球直接射入球门？

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参考答案

1o5

1.A［解析］令尸0,则一直*2+§x+§=0,

解得小=10，X2——2,

由此可知铅球被推出的距离是10m.

故选A.

2.B［解析］当尸3.05时，一二次+3.5=3.05,解得小=-1.5(舍去)，^=1.5,

□

.,.7=2.5+1.5=4(m).

故选B.

3.解：(1)令尸15,有一5岁+20犬=15,

化简得x—4x+3=0,

解得％=1,奥=3,

即飞行时间是1s或3s.

(2)飞出和落地的瞬间，高度都为0,故令尸0,

则有0=—5步+20%，

解得%=0,尼=4,

所以小球从飞出到落地所用时间是4—0=4(s).

(3)y=-5x+20x=-5(x-2)2+20,

.•.当x=2时，y取得最大值，此时尸20.

故在飞行过程中，当飞行时间为2s时，小球的飞行高度最大，最大高度为20m.

4.C

5.尸一白(x-20)"6［解析］由图可知抛物线的对称轴为直线x=20,顶点坐标

Zb

为(20,16).

可设此抛物线的表达式为y=a(A-20)2+16.

又此抛物线过点(0,0),代入得此一20)%+16=0,解得a=一白，

所以此抛物线的表达式为y=一白(X—20¥+16.

zb

r

薪意

6.解：建立如图所示的直角坐标系，可知的和阳的长均为4〃的一半，即2米，抛

物线顶点。的坐标为(0,2),通过以上条件可设抛物线的函数表达式为尸a/+2.

把(一2,0)代入y=d/+2,得出a=-0.5,

所以尸^—0.5丁+2.

当y=-l时，有一1=-0.5x+2,

解得*=士m，

所以当水面下降1米时，水面的宽度为2m米.

7.A［解析］直接根据二次函数的顶点坐标公式计算即可，最大高度为主—=

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九一二)：。一4.,或将尸一f+4x化为顶点式也可得出结论.

8.解：(I)：•抛物线的顶点坐标为(3,5),

二设尸a(x—3)2+5,将(8,0)代入，得&=一1，

5

・••尸：一：(x—3尸+5,即y=­：y+?x+¥(0<x<8).

5555

(2)当尸1.8时，即1.8=—!/+?彳+警，解得汨=7,及=-1(舍去).

答：王师傅必须站在离水池中心7米以内.

⑶由尸一9+屁+9可得原抛物线与y轴的交点坐标为(0,当.

♦.•装饰物的高度不变，

新抛物线也经过点(0,y).

•.•喷出水柱的形状不变，

1

/.a=一二.

5

・・,直径扩大到32米，

・・・新抛物线过点(16,0).

设新抛物线的表达式为yffi=~^+bx+c,

将点(0,当和(16,0)代入，得6=3,c=昔.

55

・5=4+3芯=4(x—学”+翳，

159QQ

.•.当x=£时，匕责的最大值为$.

答:扩建改造后喷出的水柱的最大高度为2第89米.

9.解：(1)由题意可知抛物线的表达式为y=幺(x-4)2+l,