内蒙古阿拉善2022-2023学年数学九年级第一学期期末学业质量监测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，⊙O的半径为5，将长为8的线段PQ的两端放在圆周上同时滑动，如果点P从点A出发按逆时针方向滑动一周回到点A，在这个过程中，线段PQ扫过区域的面积为()A．9π B．16π C．25π D．64π2．一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同，其中有红球3个，黄球2个，蓝球若干，已知随机摸出一个球是红球的概率是，则随机摸出一个球是蓝球的概率是（）A． B． C． D．3．已知反比例函数的图象经过点，则的值是（）A． B． C． D．4．一元二次方程的二次项系数、一次项系数分别是A．3， B．3，1 C．，1 D．3，65．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为（）A．100° B．130°C．50° D．65°6．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（）A．45° B．15° C．10° D．125°7．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=40°，则∠BAD的大小为（）A．60º B．30º C．45º D．50º8．已知函数y=(k-1)x2-4x+4的图象与x轴只有一个交点,则k的取值范围是()A．k≤2且k≠1 B．k<2且k≠1C．k=2 D．k=2或19．在中，，，，则的值是（）A． B． C． D．10．若一个三角形的两条边的长度分别为2和4，且第三条边的长度是方程的解，则它的周长是()A．10 B．8或10 C．8 D．6二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，若AP=1，那么线段PP′的长等于_____．12．如图，AB是⊙Ｏ的直径，BC与⊙Ｏ相切于点B，AC交⊙Ｏ于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD=______度．13．用长的铁丝做一个长方形框架，设长方形的长为，面积为，则关于的函数关系式为__________.14．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使得点B落在AB边上的点D处，此时点A的对应点E恰好落在BC边的延长线上，若∠B＝50°，则∠A的度数为_____．15．已知反比例函数的图象与经过原点的直线相交于点两点，若点的坐标为，则点的坐标为__________．16．方程（x﹣3）（x+2）=0的根是_____．17．若是方程的一个根，则式子的值为__________．18．抛物线的顶点坐标是__________．三、解答题(共66分)19．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2＝1有两根α，β(1)求m的取值范围；(2)若α+β+αβ＝1．求m的值．20．（6分）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA＝∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝4，⊙O的半径为，求BC的长．21．（6分）如图，点在以线段为直径的圆上，且，点在上，且于点，是线段的中点，连接、.（1）若，，求的长；（2）求证：．22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点且与反比例函数在第一象限的图象交于点轴于点.根据函数图象，直接写出当反比例函数的函数值时，自变量的取值范围；动点在轴上，轴交反比例函数的图象于点.若.求点的坐标.23．（8分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b（k≠0）与双曲线一个交点为P（2，m），与x轴、y轴分别交于点A，B两点．（1）求m的值；（2）求△ABO的面积；24．（8分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、C（3，0），点B为抛物线顶点，直线BD为抛物线的对称轴，点D在x轴上，连接AB、BC，∠ABC＝90°，AB与y轴交于点E，连接CE．（1）求项点B的坐标并求出这条抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，设△PEC的面积为S，点P的横坐标为m，求S关于m的函数关系武，并求出S的最大值；（3）如图2，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．25．（10分）如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A,C,E在同一直线上.（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；（2）求斜坡CD的长度.26．（10分）如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在AB、BC边上，∠MDN=45°．（1）如图1，DN交AB的延长线于点F．求证：；（2）如图2，过点M作MP⊥DB于P，过N作NQ⊥BD于，若，求对角线BD的长；（3）如图3，若对角线AC交DM，DF分别于点T，E．判断△DTN的形状并说明理由．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】如图，线段PQ扫过的面积是图中圆环面积．作OE⊥PQ于E，连接OQ求出OE即可解决问题．【详解】解：如图，线段PQ扫过的面积是图中圆环面积，作OE⊥PQ于E，连接OQ．∵OE⊥PQ，∴EQ＝PQ＝4，∵OQ＝5，∴OE＝，∴线段PQ扫过区域的面积＝π•52﹣π•32＝16π，故选：B．【点睛】本题主要考查了轨迹，解直角三角形，垂径定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线.2、D【分析】先求出口袋中蓝球的个数，再根据概率公式求出摸出一个球是蓝球的概率即可．【详解】设口袋中蓝球的个数有x个，根据题意得：＝，解得：x＝4，则随机摸出一个球是蓝球的概率是＝；故选：D．【点睛】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．3、A【分析】把代入反比例函数的解析式即可求解.【详解】把代入得：k=-4故选：A【点睛】本题考查的是求反比例函数的解析式，掌握反比例函数的图象和性质是关键.4、A【分析】根据一元二次方程的定义解答．【详解】3x2−6x+1=0的二次项系数是3，一次项系数是−6，常数项是1.故答案选A.【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的一般形式.5、B【分析】根据三角形的内切圆得出∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，进一步求出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形的内角和定理求出即可．【详解】∵点O是△ABC的内切圆的圆心，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB．∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=100°，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=50°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣50°=130°．故选B．【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的内切圆与内心等知识点的理解和掌握，能求出∠OBC+∠OCB的度数是解答此题的关键．6、A【分析】由等边三角形的性质可得，进而可得，又因为，结合等腰三角形的性质，易得的大小，进而可求出的度数.【详解】是等边三角形，，，四边形是正方形，，，，，，.

故选：.【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出的度数，难度适中.7、D【分析】把∠DAB归到三角形中，所以连结BD，利用同弧所对的圆周角相等，求出∠A的度数，AB为直径，由直径所对圆周角为直角，可知∠DAB与∠B互余即可．【详解】连结BD，∵同弧所对的圆周角相等，∴∠B=∠C=40º，∵AB为直径，∴∠ADB=90º，∴∠DAB+∠B=90º，∴∠DAB=90º-40º=50º．故选择：Ｄ．【点睛】本题考查圆周角问题，关键利用同弧所对圆周角转化为三角形的内角，掌握直径所对圆周角为直角，会利用余角定义求角．8、D【分析】当k+1=0时，函数为一次函数必与x轴有一个交点；当k+1≠0时，函数为二次函数，根据条件可知其判别式为0，可求得k的值．【详解】当k-1=0，即k=1时，函数为y=-4x+4，与x轴只有一个交点；当k-1≠0，即k≠1时，由函数与x轴只有一个交点可知，∴△=（-4）2-4（k-1）×4=0，解得k=2，综上可知k的值为1或2，故选D．【点睛】本题主要考查函数与x轴的交点，掌握二次函数与x轴只有一个交点的条件是解题的关键，解决本题时注意考虑一次函数和二次函数两种情况．9、D【分析】首先根据勾股定理求得AC的长，然后利用正弦函数的定义即可求解．【详解】∵∠C=90°，BC=1，AB=4，

∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直角三角形的边长的比．10、A【分析】本题先利用因式分解法解方程，然后利用三角形三边之间的数量关系确定第三边的长，最后求出周长即可.【详解】解：，，∴；由三角形的三边关系可得：腰长是4，底边是2，所以周长是：2+4+4=10.故选A.【点睛】本题考察了一元二次方程的解法与三角形三边之间的数量关系.二、填空题(每小题3分,共24分)11、．【解析】解：∵△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，∴∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=1，∴PP′=．故答案为.12、80【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵BC是⊙O的切线，

∴∠ABC=90°，

∴∠A=90°-∠ACB=40°，

由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°.【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．13、或【分析】易得矩形另一边长为周长的一半减去已知边长，那么矩形的面积等于相邻两边长的积．【详解】由题意得：矩形的另一边长=24÷2−x=12−x，则y=x(12−x)=−x2+12x.故答案为或【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握矩形周长与面积的关系是解题的关键.14、30°【分析】由旋转的性质可得BC＝CD，∠BCD＝∠ACE，可得∠B＝∠BDC＝50°，由三角形内角和定理可求∠BCD＝80°＝∠ACE，由外角性质可求解．【详解】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转，∴BC＝CD，∠BCD＝∠ACE，∴∠B＝∠BDC＝50°，∴∠BCD＝80°＝∠ACE，∵∠ACE＝∠B+∠A，∴∠A＝80°﹣50°＝30°，故答案为：30°．【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和与三角形外角和性质，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握旋转的性质，能够由旋转的到相等的角.15、（﹣1，﹣2）【分析】已知反比例函数的图像和经过原点的一次函数的图像都经过点（1，2），利用待定系数法先求出这两个函数的解析式，然后将两个函数的关系式联立求解即可．【详解】解：设过原点的直线Ｌ的解析式为，由题意得：∴∴把代入函数和函数中，得：∴求得另一解为∴点Ｂ的坐标为（－１，－１）故答案为（－１，－１）．【点睛】本题考查的是用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，解题的关键是找到函数图像上对应的点的坐标，构建方程或方程组进行解题．16、x=3或x=﹣1．【解析】由乘法法则知，（x﹣3）（x+1）=0，则x-3=0或x+1=0，解这两个一元一次方程可求出x的值.【详解】∵（x﹣3）（x+1）=0，∴x-3=0或x+1=0，∴x=3或x=﹣1．故答案为：x=3或x=﹣1．【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．17、1【分析】将a代入方程中得到，将其整体代入中，进而求解．【详解】由题意知，，即，∴，故答案为：1．【点睛】本题考查了方程的根，求代数式的值，学会运用整体代入的思想是解题的关键．18、（-1,-3）【分析】根据抛物线顶点式得顶点为可得答案．【详解】解：∵抛物线顶点式得顶点为，∴抛物线的顶点坐标是（-1，-3）故答案为（-1，-3）．【点睛】本题考查了二次函数的顶点式的顶点坐标，熟记二次函数的顶点式及坐标是解题的关键．三、解答题(共66分)19、(1)m≥﹣34；(2)m的值为2【解析】（1）根据方程有两个相等的实数根可知△＞1，求出m的取值范围即可；（2）根据根与系数的关系得出α+β与αβ的值，代入代数式进行计算即可．【详解】(1)由题意知，(2m+2)2﹣4×1×m2≥1，解得：m≥﹣34(2)由根与系数的关系得：α+β＝﹣(2m+2)，αβ＝m2，∵α+β+αβ＝1，∴﹣(2m+2)+m2＝1，解得：m1＝﹣1，m1＝2，由(1)知m≥﹣34所以m1＝﹣1应舍去，m的值为2．【点睛】本题考查的是根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝1（a≠1）的两根时，x1+x2＝﹣ba，x1x2＝c20、（1）证明见解析；（2）BC=1；【分析】（1）连接OB，由圆周角定理得出∠ABC＝90°，得出∠C＋∠BAC＝90°，再由OA＝OB，得出∠BAC＝∠OBA，证出∠PBA＋∠OBA＝90°，即可得出结论；（2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长．【详解】（1）连接OB，如图所示：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠CBO+∠OBA＝90°，∵OC＝OB，∴∠C＝∠CBO，∴∠C+∠OBA＝90°，∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA+∠OBA＝90°，即PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线；（2）∵⊙O的半径为，∴OB＝，AC＝2，∵OP∥BC，∴∠C＝∠CBO＝∠BOP，又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，∴△ABC∽△PBO，∴，即，∴BC＝1．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理、切线的判定是解决问题的关键．21、（1）5；（2）见解析【分析】（1）利用圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系得到∠ACB=90°，且AC=BC，则∠A=45°，再证明△ADE为等腰直角三角形，所以AE=DE=6，接着利用勾股定理计算出BC，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到EF的长；（2）如图，连接CF，利用圆周角定理得到∠BED=∠AED=∠ACB=90°，再根据直角三角形斜边上的中线性质得CF=EF=FB=FD，利用圆的定义可判断B、C、D、E在以BD为直径的圆上，根据圆周角定理得到∠EFC=2∠EBC=90°，然后利用△EFC为等腰直角三角形得到．【详解】解：（1）∵点在以线段为直径的圆上，且∴，且∵，，，∴，在中，∵，，∴，又∵是线段的中点，∴；（2）如图，连接，线段与之间的数量关系是；∵，∵点是的中点，∴，∵，，∴，同理，∴，即，∴；【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．22、或.或.【分析】(1)根据函数图象即可得出答案(2)由已知条件得出点C的坐标为（2，5），再利用B,C的坐标求出直线AC的解析式，可求出A的坐标为（-2，0），由已知条件得出三角形POQ的面积为5，则三角形PAC的面积为10，再利用三角形面积公式可求出PA的值，进而确定P点的坐标.【详解】解：由已知图象得出，当时，y<0,当x=2时，y=5,∴时，所以，x的取值范围为：或.轴于点.点的横坐标为.把代入反比例函数，得.设直线的解析式为，把代入，得直线的解析式为令，解得.轴，点在反比例函数的图象上则，或.【点睛】本题是一道一次函数与反比例函数相结合的题目，用到的知识点有一次函数的图象与二次函数的图象与性质，此类题目往往需要利用数形结合的方法来求解.23、（1）m=4,（1）△ABO的面积为1．【分析】（1）将点P的坐标代入双曲线即可求得m的值；（1）将点P代入直线，先求出直线的解析式，进而得出点A、B的坐标，从而得出△ABO的面积．【详解】（1）∵点P(1，m)在双曲线上∴m=解得：m=4（1）∴P(1，4)，代入直线得：4=1+b，解得：b=1，故直线解析式为y=x+1A，B两点时直线与坐标轴交点，图形如下：则A(－1，0)，B(0，1)∴．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，注意提干中告知点P是双曲线与直线的交点，即代表点P即在双曲线上，也在直线上．24、（1）点B坐标为（1，2），y＝﹣x2+x+；（2）S＝﹣m2+2m+，S最大值；（3）点Q的坐标为（﹣，）．【分析】（1）先求出抛物线的对称轴，证△ABC是等腰直角三角形，由三线合一定理及直角三角形的性质可求出BD的长，即可写出点B的坐标，由待定系数法可求出抛物线解析式；（2）求出直线AB的解析式，点E的坐标，用含m的代数式表示出点P的坐标，如图1，连接EP，OP，CP，则由S△EPC＝S△OEP+S△OCP﹣S△OCE即可求出S关于m的函数关系式，并可根据二次函数的性质写出S的最大值；（3）先证△ODB∽△EBC，推出∠OBD＝∠ECB，延长CE，交抛物线于点Q，则此时直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD，求出直线CE的解析式，求出其与抛物线交点的坐标，即为点Q的坐标．【详解】解：（1）∵A（﹣1，0）、C（3，0），∴AC＝4，抛物线对称轴为x＝＝1，∵BD是抛物线的对称轴，∴D（1，0），∵由抛物线的对称性可知BD垂直平分AC，∴BA＝BC，又∵∠ABC＝90°，∴BD＝AC＝2，∴顶点B坐标为（1，2），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+2，将A（﹣1，0）代入，得0＝4a+2，解得，a＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+x+；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（﹣1，0），B（1，2）代入，得，解得，k＝1，b＝1，∴yAB＝x+1，当x＝0时，y＝1，∴E（0，1），∵点P的横坐标为m，∴点P的纵坐标为﹣m2+m+，如图1，连接EP，OP，CP，则S△EPC＝S△OEP+S△OCP﹣S△OCE＝×1×m+×3（﹣m2+m+）﹣×1×3＝﹣m2+2m+，＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，根据二次函数和图象及性质知，当m＝时，S有最大值；（3）由（2）知E（0，1），又∵A（﹣1，0），∴OA＝OE＝1，∴△OAE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝，又∵AB＝BC＝AB＝2，∴BE＝AB﹣AE＝，∴，又∵，∴，又∵∠ODB＝∠EBC＝90°，∴△ODB∽△EBC，∴∠OBD＝∠ECB，延长CE，交抛物线于点Q，则此时直线QC与直