2025届浙江省杭州市富阳区城区联考数学九上期末统考试题含解析

2025届浙江省杭州市富阳区城区联考数学九上期末统考试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（）A．10 B．12 C．16 D．182．如图，某超市自动扶梯的倾斜角为，扶梯长为米，则扶梯高的长为（）A．米 B．米 C．米 D．米3．如图，是反比例函数与在x轴上方的图象，点C是y轴正半轴上的一点，过点C作轴分别交这两个图象与点A和点B，P和Q在x轴上，且四边形ABPQ为平行四边形，则四边形ABPQ的面积等于（）A．20 B．15 C．10 D．54．已知，且α是锐角，则α的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．不确定5．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．6．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（）A．y1<y2<y3 B．y2<y1<y3 C．y3<y1<y2 D．y1<y3<y27．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中小多边形的周长为36cm，则较大多边形的周长为)A．48cm B．54cm C．56cm D．64cm8．如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S△DOE：S△COB=4：9，则AE：EC为（）A．2：1 B．2：3 C．4：9 D．5：49．如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（）A． B． C． D．10．如图，在平行四边形中，、相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，已知的面积为4，则的面积为（）A．12 B．28 C．36 D．3811．如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为（）．A． B． C． D．12．三角形两边长分别是和，第三边长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是()A． B． C．或 D．或二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，有一张矩形纸片，长15cm，宽9cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是48cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为_____．14．中，如果锐角满足,则_________度15．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，边长为半径，在另两个顶点之间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形”，若等边三角形的边长为2，则“勒洛三角形”的面积为_________．16．方程（x+1）（x﹣2）＝5化成一般形式是_____．17．如图，等边△ABO的边长为2，点B在x轴上，反比例函数图象经过点A，将△ABO绕点O顺时针旋转a（0°＜a＜360°），使点A仍落在双曲线上，则a=_____．18．在矩形中，点是边上的一个动点，连接,过点作与点,交射线于点,连接,则的最小值是_____________三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B，(1)求证：△ADF∽△DEC(2)若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.20．（8分）A、B、C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人．（1）求两次传球后，球恰在B手中的概率；（2）求三次传球后，球恰在A手中的概率．21．（8分）学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如表所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数.购买件数销售价格不超过30件单价40元超过30件每多买1件，购买的所有物品单价将降低0.5元，但单价不得低于30元22．（10分）如图，在中，是上的高，.（1）求证:;（2）若，求的长．23．（10分）定义：有两个相邻内角和等于另两个内角和的一半的四边形称为半四边形，这两个角的夹边称为对半线.（1）如图1，在对半四边形中，，求与的度数之和；（2）如图2，为锐角的外心，过点的直线交，于点，，，求证：四边形是对半四边形；（3）如图3，在中，，分别是，上一点，，，为的中点，，当为对半四边形的对半线时，求的长.24．（10分）如图：在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，经过点的抛物线的对称轴是．（1）求抛物线的解析式．（2）平移直线经过原点，得到直线，点是直线上任意一点，轴于点，轴于点，若点在线段上，点在线段的延长线上，连接，，且．求证：．（3）若（2）中的点坐标为，点是轴上的点，点是轴上的点，当时，抛物线上是否存在点，使四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．25．（12分）如图，为了测量山脚到塔顶的高度（即的长），某同学在山脚处用测角仪测得塔顶的仰角为，再沿坡度为的小山坡前进400米到达点，在处测得塔顶的仰角为.（1）求坡面的铅垂高度（即的长）；（2）求的长.（结果保留根号，测角仪的高度忽略不计）.26．如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，若已知点的坐标为．（1）求抛物线的解析式；（2）求线段所在直线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】连接OC，根据圆的性质和已知条件即可求出OC=OB=，BE=，从而求出OE，然后根据垂径定理和勾股定理即可求CE和DE，从而求出CD.【详解】解：连接OC∵，∴OC=OB=，BE=∴OE=OB－BE=6∵是的弦，，∴DE=CE=∴CD=DE＋CE=16故选：C.【点睛】此题考查的是垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理的结合是解决此题的关键.2、A【详解】解：由题意，在Rt△ABC中，∠ABC=31°，由三角函数关系可知，

AC=AB•sinα=9sin31°（米）．

故选A．【点睛】本题主要考查了三角函数关系在直角三角形中的应用．3、C【解析】分别过A、B作AD、BE垂直x轴，易证，则平行四边形ABPQ的面积等于矩形ADEB的面积，根据反比例函数比例系数k的几何意义分别求得矩形ADOC和矩形BEOC的面积，相加即可求得结果．【详解】解：如图，分别过A、B作AD、BE垂直x轴于点D、点E，则四边形ADEB是矩形，易证，∴S矩形ABED，∵点A在反比例函数上，由反比例函数比例系数k的几何意义可得：S矩形ADOC=|k|=3，同理可得：S矩形BEOC=7，∴S矩形ABED=S矩形ADOC+S矩形BEOC=3+7=10，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，熟练运用比例系数k的几何意义是解决本题的关键．4、C【分析】根据sin60°＝解答即可．【详解】解：∵α为锐角，sinα＝，sin60°＝，∴α＝60°．故选：C．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．5、A【解析】试题分析：因为=2，所以与是同类二次根式，所以A正确；因为与不是同类二次根式，所以B错误；因为，所以与不是同类二次根式，所以B错误；因为，所以与不是同类二次根式，所以B错误；故选A．考点：同类二次根式6、B【解析】试题分析：根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=﹣2，根据x＞﹣2时，y随x的增大而增大，即可得出答案．解：∵y=（x+2）2﹣9，∴图象的开口向上，对称轴是直线x=﹣2，A（﹣4，y1）关于直线x=﹣2的对称点是（0，y1），∵﹣＜0＜3，∴y2＜y1＜y3，故选B．点评：本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．7、A【解析】试题分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．解：两个相似多边形的面积比是9：16，面积比是周长比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是4：1．相似多边形周长的比等于相似比，因而设大多边形的周长为x，则有=，解得：x=2．大多边形的周长为2cm．故选A．考点：相似多边形的性质．8、A【解析】试题解析：∵ED∥BC，故选A.点睛：相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.9、A【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【详解】从上面看易得上面一层有3个正方形，下面左边有一个正方形．故选A．【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．10、A【分析】根据平行是四边形的性质得到AD∥BC，OA=OC，得到△AFE∽△CEB，根据点E是OA的中点，得到，△AEB的面积=△OEB的面积，计算即可．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，OA=OC，

∴△AFE∽△CEB，∴∵点E是OA的中点，

∴，，∴，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．11、C【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D（0，2），且DC∥x轴，从而求得P的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得P的坐标．【详解】∵Rt△OAB的顶点A(−2,4)在抛物线上，∴4=4a，解得a=1，∴抛物线为，∵点A(−2,4)，∴B(−2,0)，∴OB=2，∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转，得到△OCD，∴D点在y轴上，且OD=OB=2，∴D(0,2)，∵DC⊥OD，∴DC∥x轴，∴P点的纵坐标为2，代入,得，解得∴P故答案为:.【点睛】考查二次函数图象上点的坐标特征,坐标与图形变化-旋转，掌握旋转的性质是解题的关键.12、D【分析】先利用因式分解法解方程得到所以，，再分类讨论：当第三边长为6时，如图，在中，，，作，则，利用勾股定理计算出，接着计算三角形面积公式；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断此三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式计算三角形面积．【详解】解：，或，所以，，I．当第三边长为6时，如图，在中，，，作，则，，所以该三角形的面积；II．当第三边长为10时，由于，此三角形为直角三角形，所以该三角形的面积，综上所述：该三角形的面积为24或．故选：D．【点睛】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．二、填空题（每题4分，共24分）13、（15﹣2x）（9﹣2x）＝1．【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（15﹣2x）cm，宽为（9﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是1cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（15﹣2x）cm，宽为（9﹣2x）cm，根据题意得：（15﹣2x）（9﹣2x）＝1．故答案是：（15﹣2x）（9﹣2x）＝1．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程.14、【分析】根据绝对值与偶数次幂的非负性，可得且，进而求出∠A，∠B的值，即可得到答案．【详解】∵，∴且，∴且，∴∠A=45°，∠B=30°，∵在中，，∴105°．故答案是：105°．【点睛】本题主要考查绝对值与偶数次幂的非负性，特殊三角函数以及三角形内角和定理，掌握绝对值与偶数次幂的非负性，是解题的关键．15、【分析】图中勒洛三角形是由三块相同的扇形叠加而成，其面积三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【详解】解：过作于，∵是等边三角形，，，，，，的面积为，，勒洛三角形的面积，故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出勒洛三角形的面积三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．16、x2﹣x﹣7＝1．【分析】一元二次方程，b，c是常数且的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【详解】解：方程（x+1）（x﹣2）＝5化成一般形式是x2﹣x﹣7＝1，故答案为：x2﹣x﹣7＝1．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：，b，c是常数且a≠1）特别要注意a≠1的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．17、30°或180°或210°【分析】根据等边三角形的性质，双曲线的轴对称性和中心对称性即可求解．【详解】根据反比例函数的轴对称性，A点关于直线y=x对称，∵△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴AO与直线y=x的夹角是15°，∴a=2×15°=30°时点A落在双曲线上，根据反比例函数的中心对称性，∴点A旋转到直线OA上时，点A落在双曲线上，∴此时a=180°，根据反比例函数的轴对称性，继续旋转30°时，点A落在双曲线上，∴此时a=210°；故答案为：30°或180°或210°．考点：(1)、反比例函数图象上点的坐标特征；(2)、等边三角形的性质；(3)、坐标与图形变化-旋转．18、【分析】根据题意可点G在以AB为直径的圆上,设圆心为H,当HGC在一条直线上时，CG的值最值，利用勾股定理求出CH的长，CG就能求出了.【详解】解：点的运动轨迹为以为直径的为圆心的圆弧。连结GH,CH,CG≥CH-GH,即CG=CH-GH时，也就是当三点共线时，值最小值.最小值CG=CH-GH∵矩形ABCD,∴∠ABC=90°∴CH=故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形三边的关系.CGH三点共线时CG最短是解决问题的关键.把动点转化成了定点，问题就迎刃而解了..三、解答题（共78分）19、（1）见解析（2）AF=2【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCAB∥CD∴∠ADF=∠CED∠B+∠C=180°∵∠AFE+∠AFD=,∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF∽△DEC(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCCD=AB=4又∵AE⊥BC∴AE⊥AD在Rt△ADE中，DE=∵△ADF∽△DEC∴∴∴AF=20、（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）直接列举出两次传球的所有结果，球球恰在B手中的结果只有一种即可求概率；（2）画出树状图，表示出三次传球的所有结果，三次传球后，球恰在A手中的结果有2种，即可求出三次传球后，球恰在A手中的概率．试题解析:解：（1）两次传球的所有结果有4种，分别是A→B→C，A→B→A，A→C→B，A→C→A．每种结果发生的可能性相等，球球恰在B手中的结果只有一种，所以两次传球后，球恰在B手中的概率是；（2）树状图如下，由树状图可知，三次传球的所有结果有8种，每种结果发生的可能性相等．其中，三次传球后，球恰在A手中的结果有A→B→C→A，A→C→B→A这两种，所以三次传球后，球恰在A手中的概率是．考点：用列举法求概率．21、王老师购买该奖品的件数为40件．【解析】试题分析：根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出等式求出答案．试题解析：∵30×40=1200＜1400，∴奖品数超过了30件，设总数为x件，则每件商品的价格为：[40﹣（x﹣30）×0.5]元，根据题意可得：x[40﹣（x﹣30）×0.5]=1400，解得：x1=40，x2=70，∵x=70时，40﹣（70﹣30）×0.5=20＜30，∴x=70不合题意舍去，答：王老师购买该奖品的件数为40件．考点：一元二次方程的应用．22、（1）见解析；（2）．【分析】（1）由于tanB=cos∠DAC，根据正切和余弦的概念可证明AC=BD；

（2）根据，AD=24，可求出AC的长，再利用勾股定理可求出CD的长，再根据BC=CD+BD=CD+AC可得出结果．【详解】（1）证明：是上的高，．在和中，，，又，，；（2）解：在中，，AD=24，则，．又，=AC+CD=26+10=1．【点睛】此题考查解直角三角形、直角三角形的性质等知识，掌握基本概念和性质是解题的关键．23、（1）；（2）详见解析；（3）5.25.【分析】（1）根据四边形内角和与对半四边形的定义即可求解；（2）根据三角形外心的性质得，得到，从而求出=60°，再得到，根据对半四边形的定义即可证明；（3）先根据为对半四边形的对半线得到，故可证明为等边三角形，再根据一线三等角得到，故，列出比例式即可求出AD，故可求解AC的长.【详解】（1）∵四边形内角和为∴，∵∴=则，∴（2）连结，由三角形外心的性质可得，所以，，所以，则在四边形中，，则另两个内角之和为，所以四边形为对半四边形；（3）若为对半线，则，∴所以为等边三角形∵∴又∴∵∴，∴∵F为DE中点，故∴∴【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知根据题意弄懂对半四边形，利用相似三角形的性质进行求解.24、（1）；（2）证明见解析；（3）存在，点的坐标为或.【分析】（1）先求得点A的坐标，然后依据抛物线过点A，对称轴是，列出关于a、c的方程组求解即可；

（2）设P（3n，n），则PC=3n，PB=n，然后再证明∠FPC=∠EPB，最后通过等量代换进行证明即可；

（3）设，然后用含t的式子表示BE的长，从而可得到CF的长，于是可得到点F的坐标，然后依据中点坐标公式可得到，，从而可求得点Q的坐标（用含t的式子表示），最后，将点Q的坐标代入抛物线的解析式求得t的值即可．【详解】解：（1）当时，，解得，即，抛物线过点，对称轴是，得，解得，抛物线的解析式为；（2）∵平移直线经过原点，得到直线，∴直线的解析式为.∵点是直线上任意一点，∴，则，.又∵，∴.∵轴，轴∴∴∵，∴，∴.（3）设，点在点的左侧时，如图所示，则.∵，∴.∴.∵四边形为矩形，∴，，∴，，∴，.将点的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：或（舍去）.∴.当点在点的右侧时，如下图所示，则.∵，∴.∴.∵四边形为矩形，∴，，∴，，∴，.将点的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：或（舍去）.∴.综上所述，点的坐标为或.【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含t的式子表示点Q的坐标是解题的关键．25、（1）200；（2）.【分析】(1)