新教材高中数学第八章立体几何初步8-6-2直线与平面垂直二同步课件新人教A版必修第二册

8.6.2直线与平面垂直(二)

必备知识·自主学习1.直线与平面垂直的性质定理(1)定理:垂直于同一个平面的两条直线_____.(2)符号:a⊥α,b⊥α⇒a∥b.(3)本质:垂直关系⇒平行关系,揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系.导思1.直线与平面垂直有哪些性质?2.直线与平面、平面与平面的距离是怎样定义的?平行【思考】如果两条平行线中的一条与一个平面垂直,那么另一条直线与这个平面是什么位置关系?提示:垂直.2.距离(1)直线与平面的距离:直线与平面平行,直线上_________到平面的距离.(2)平面与平面的距离:平面与平面平行,其中一个平面上_________到另一个平面的距离.任意一点任意一点【思考】是不是任意的直线与平面、平面与平面间都有距离?提示:不是,只有当直线与平面平行,平面与平面平行时才涉及距离问题.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)对于直线a和平面α,β,若a⊥α,a⊥β,则α∥β. (

)(2)对于直线a和平面α,β,若a⊥α,α∥β,则a⊥β. (

)(3)对于直线a,b和平面α,若a⊥α,a⊥b,则b∥α. (

)提示:(1)√.垂直于同一条直线的两个平面平行.(2)√.直线垂直于平行平面中的一个,也垂直于另一个平面.(3)×.直线b可能在平面α内.2.如图,P为△ABC所在平面α外一点,PB⊥α,PC⊥AC,则△ABC的形状为 (

)A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定【解析】选B.由PB⊥α,AC⊂α,得PB⊥AC,又AC⊥PC,PC∩PB=P,所以AC⊥平面PBC,所以AC⊥BC,所以△ABC为直角三角形.【解析】选B.由PB⊥α,AC⊂α,得PB⊥AC,又AC⊥PC,PC∩PB=P,所以AC⊥平面PBC,所以AC⊥BC,所以△ABC为直角三角形.3.(教材二次开发:练习改编)已知直线a∥b,平面α∥β,a⊥α,则b与β的位置关系是 (

)A.b⊥β B.b∥βC.b⊂β D.b⊂β或b∥β【解析】选A.因为a⊥α,a∥b,所以b⊥α.又α∥β,所以b⊥β.关键能力·合作学习类型一直线与平面垂直的性质的应用(直观想象、逻辑推理)【题组训练】1.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是 (

)

A.相交 B.平行C.异面 D.相交或平行2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,E,F分别是棱AB,PC的中点.若EF⊥平面PCD,求证:PA=AD.【解析】1.选B.因为圆柱的母线垂直于圆柱的底面,所作的垂线也垂直于底面,由线面垂直的性质定理可知,二者平行.2.取PD的中点H,连接HF,AH,因为FH

CD,又因为AE

CD,则AE

HF,所以四边形AEFH是平行四边形,所以EF

AH.因为EF⊥平面PCD,所以AH⊥平面PCD,所以AH⊥PD,所以PA=AD.【解题策略】关于线面垂直性质定理的应用(1)在证明与垂直相关的平行问题时,可以考虑线面垂直的性质定理,利用已知的垂直关系构造线面垂直,关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面.(2)注意线面垂直性质定理的推论的应用,利用平行关系转化为垂直关系,或将垂直关系转化为平行关系.【解题策略】关于线面垂直性质定理的应用(1)在证明与垂直相关的平行问题时,可以考虑线面垂直的性质定理,利用已知的垂直关系构造线面垂直,关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面.(2)注意线面垂直性质定理的推论的应用,利用平行关系转化为垂直关系,或将垂直关系转化为平行关系.【补偿训练】如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,F是AC的中点,E是PC上的点,且EF⊥BC,则=

.

【解析】在三棱锥P-ABC中,因为PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,所以AB⊥平面APC.因为EF⊂平面PAC,所以EF⊥AB,因为EF⊥BC,BC∩AB=B,所以EF⊥底面ABC,所以PA∥EF,因为F是AC的中点,E是PC上的点,所以E是PC的中点,所以=1.答案:1类型二空间中的距离问题(数学运算、逻辑推理)【典例】如图,在四棱锥P-ABCD中,CD⊥平面PAD,AD=2PD=4,AB=6,PA=2,∠BAD=60°,点Q在棱AB上(1)证明:PD⊥平面ABCD;(2)若三棱锥P-ADQ的体积为2,求点B到平面PDQ的距离.【思路导引】(1)证明PD与平面ABCD内的两条相交直线垂直;(2)将所求距离转化,再转化为三棱锥的高求值.【解析】(1)因为AD=2PD=4,PA=2,所以PA2=PD2+AD2,即PD⊥AD,因为CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD,且AD∩CD=D.所以PD⊥平面ABCD.(2)因为三棱锥P-ADQ的体积为2,所以S△ADQ·PD=2,所以S△ADQ=3.所以AD·AQ·sin60°=3,所以AQ=3.所以Q为AB中点,即点A到平面PDQ的距离等于点B到平面PDQ的距离.在△ADQ中,由余弦定理可得

所以S△PDQ=×PD×DQ=.由VP-ADQ=VA-PDQ⇒2=××d,所以.所以点B到平面PDQ的距离为.【解题策略】空间中距离的转化(1)利用线面、面面平行转化:利用线面距离、面面距离的定义,转化为直线或平面上的另一点到平面的距离.(2)利用中点转化:如果条件中具有中点条件,将一个点到平面的距离,借助中点(等分点),转化为另一点到平面的距离.(3)通过换底转化:一是直接换底,以方便求几何体的高;二是将底面扩展(分割),以方便求底面积和高.【跟踪训练】(2020·渭南高一检测)如图所示的几何体中,ABC-A1B1C1为三棱柱,且AA1⊥平面ABC,AA1=AC,四边形ABCD为平行四边形,AD=2CD,∠ADC=60°.(1)求证:AC1⊥平面A1B1CD;(2)若CD=2,求C1到平面A1B1CD的距离.【解析】(1)因为ABC-A1B1C1为三棱柱,且AA1⊥平面ABC,AA1=AC,四边形ABCD为平行四边形,AD=2CD,∠ADC=60°.所以四边形AA1C1C是正方形,所以AC1⊥A1C,设CD=a,则AD=2a,,所以CD2+AC2=AD2,所以AC⊥DC,所以AC⊥AB,因为AA1⊥AB,又因为AC∩AA1=A,所以AB⊥平面ACC1A1,所以A1B1⊥AC1,因为A1B1∩A1C=A1,所以AC1⊥平面A1B1CD.(2)因为CD=2,所以AD=4,AC=AA1=,所以AC1=.所以点C1到平面A1B1CD的距离为AC1=.类型三直线与平面垂直关系的综合应用(直观想象、逻辑推理)角度1探究性问题

【典例】已知四边形ABCD为平行四边形,PA⊥平面ABCD,当平行四边形ABCD满足条件

时,有PC⊥BD(填上你认为正确的一个条件即可).

【思路导引】构造条件使BD⊥平面PAC.【解析】连接AC,因为四边形ABCD为平行四边形,PA⊥平面ABCD,所以BD⊥PA.当平行四边形ABCD是菱形时,BD⊥AC,又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,所以PC⊥BD.答案:平行四边形ABCD是菱形(答案不唯一)【变式探究】将本例的条件变为:在矩形ABCD中,AB=2,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ,试求a的最小值.【解析】假设在BC边上存在点Q,使得PQ⊥DQ,连接AQ,因为在矩形ABCD中,AB=2,BC=a,PA⊥平面ABCD,所以PA⊥DQ,因为PQ⊥DQ,PA∩PQ=P,所以DQ⊥平面PAQ,所以DQ⊥AQ,所以∠AQD=90°,由题意得△ABQ∽△QCD,设BQ=x,所以x(a-x)=8,即x2-ax+8=0(*),当Δ=a2-32≥0时,(*)方程有解,所以当a≥4时,在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ,故a的最小值为4.角度2综合性问题

【典例】(2020·本溪高一检测)如图,AB为☉O直径,C为☉O上一点,PA⊥平面ABC,AE⊥PB,AF⊥PC,求证:PB⊥EF.【思路导引】设法证明PB⊥平面AEF,即证明AF⊥PB.【证明】因为PA⊥平面ABC,BC在平面ABC上,所以PA⊥BC.又AB是圆O的直径,所以AC⊥BC.又AC,PA在平面PAC中交于A,所以BC⊥平面PAC.又AF⊂平面PAC,所以BC⊥AF.因为AF⊥PC,BC,PC在平面PBC中交于C,所以AF⊥平面PBC.又PB⊂平面PBC,所以AF⊥PB.又AE⊥PB,AF,AE在平面AEF中交于A,所以PB⊥平面AEF,所以PB⊥EF.【解题策略】关于线面垂直判定、性质的应用(1)分析已知的垂直关系,得出能够推出的线线、线面垂直,即挖掘已知条件,以方便后续证明.(2)证明垂直关系时往往需要逆向思维,如要证明直线a垂直于平面α内直线b,可以考虑证明直线b垂直于直线a所在的平面β.(3)掌握线线、线面垂直的相互转化.【题组训练】(2020·丽水高一检测)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=1,PA=AD=2.(1)求证:CD⊥平面PAC;(2)在棱PC上是否存在点H,使得AH⊥平面PCD?若存在,确定点H的位置;若不存在,说明理由.【解析】(1)由题意,可得DC=AC=,所以AC2+DC2=AD2,即AC⊥DC,又因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,又因为PA∩AC=A,所以DC⊥平面PAC.(2)过点A作AH⊥PC,垂足为H,由(1)可得CD⊥AH,又PC∩CD=C,所以AH⊥平面PCD,因为在Rt△PAC中,PA=2,AC=,,所以可得PH=PC,即在棱PC上存在点H,且PH=PC,使得AH⊥平面PCD.【补偿训练】(2020·三明高一检测)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,以下能使A1C⊥BC1的是 (

)A.AB=AC B.AA1=ACC.BB1=AB D.CC1=BC【解析】选B.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,即AB⊥AC,又AA1⊥AB,AA1∩AC=A,所以AB⊥平面AA1C1C,又A1C⊂平面AA1C1C,所以AB⊥A1C,若AA1=AC,则长方形AA1C1C为正方形,可得A1C⊥AC1,又AB∩AC1=A,所以A1C⊥平面ABC1,又BC1⊂平面ABC1,所以A1C⊥BC1.1234方法总结易错提醒核心素养核心知识逻辑推理：线面垂直的的综合应用中的相互转化问题线面垂直的判断方法：（1）基本事实4；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）线面垂直的性质定理；直线与平面垂直（二）（1）注意线面垂直关系应用中的转化思想（2）注意求直线到面的距离、平行平面间的距离时转化思想的应用性质定理平行平面间的距离直线到面的距离应用课堂检测·素养达标1.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是 (

)A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定【解析】选C.因为l⊥AB,l⊥AC且AB∩AC=A,所以l⊥平面ABC.同理可证m⊥平面ABC,所以l∥m.2.如图,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,PA⊥平面ABC,则四面体P-ABC的四个面中,直角三角形的个数有 (

)A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【解析】选A.因为AB是圆O的直径,所以∠ACB=90°,即BC⊥AC,所以三角形ABC是直角三角形.又因为PA⊥圆O所在平面,所以△PAC,△PAB是直角三角形.因为BC在☉O内,所以PA⊥BC,因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线,所以BC⊥平面PAC,所以△PBC是直角三角形.从而△PAB,△PAC,△ABC,△PBC中,直角三角形的个数是4.3.已知平面α∥平面β,a是直线,则“a⊥α”是“a⊥β”的 (

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.根据题意,“a⊥α”,又因为平面α∥平面β,所以“a⊥β”,则“a⊥α”是“a⊥β”的充分条件,反之,若“a⊥β”,又因为平面α∥平面β,所以“a⊥α”,则“a⊥α”是“a⊥β”的必要条件,所以“a⊥α”是“a⊥β”的充要条件.4.(教材二次开发:练习改编)已知PA⊥矩形ABCD所在平面,PA≠AD,M,N分别是AB,PC的中点,则MN垂直于 (

)A.AD B.CD C.PC D.PD【解析】选B.连接AC,取AC的中点为O,连接NO,MO,如图所示.因为N,O分别为PC,AC的中点,所以NO∥PA,因为PA⊥平面ABCD,所以NO⊥平面ABCD,所以NO⊥CD.又因为M,O分别为AB,AC的中点,所以MO∥BC.因为BC⊥CD,所以MO⊥CD,因为NO∩MO=O,所以CD⊥平面MNO,所以CD⊥MN.5.正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积是

.

【解析】如图,由已知得PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,所以PA⊥平面PBC.又PB⊥PC,PB=PC,BC=2,所以PB=PC=,所以PA=,所以VP-ABC=VA-PBC=PA·S△PBC

答案:

Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏因为N,O分别为PC,AC的中点,所以NO∥PA,因为PA⊥平面ABCD,所以NO⊥平面ABCD,所以NO⊥CD.又因为M,O分别为AB,AC的中点,所以MO∥BC.因为BC⊥CD,所以MO⊥CD,