第三章 空间向量与立体几何 导学案(上课用)

§3.1.1空间向量及其加减运算学习目标1.理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2.会用图形说明空间向量加法、减法及它们的运算律；3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．学习过程一、课前准备（预习教材P84~P86，找出疑惑之处）复习1：平面向量基本概念：具有和的量叫向量，叫向量的模（或长度）；叫零向量，记着；叫单位向量.叫相反向量，的相反向量记着.叫相等向量.向量的表示方法有和.复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：1.向量的加法和减法的运算法则有法则和法则。2.实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝.(2)当λ＞0时，λa与a；当λ＜0时，λa与a；当λ＝0时，λa＝.3.向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb二、新课导学※学习探究探究任务一：空间向量的相关概念问题：什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？试一试：判断下列语句是否正确，若不正确，请简述理由．（1）向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；（2）单位向量都相等；（3）任一向量与它的相反向量不相等；（4）四边形ABCD是平行四边形的充要条件是=；（5）模为0是一个向量方向不确定的充要条件；（6）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.【反思感悟】解此类题主要是透彻理解概念，对向量、零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、共面向量的概念特征及相互关系要把握好．新知：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中，，，试试：1.分别用平行四边形法则和三角形法则求.2.点C在线段AB上，且,则,.反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？⑴加法交换律：a＋b＝b＋a；⑵加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）；推广：※典型例题例1已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：变式：在上图中，用表示和.小结：（1）空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．（2）平行六面体的对角线向量eq\o(AC′,\s\up6(→))=例2化简下列各式：⑴;⑵⑶⑷.变式：化简下列各式：⑸;⑹;⑺.小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化.※动手试试练1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图所示，下列各式中运算的结果为向量的是（）①(－eq\o(A1A,\s\up6(→)))－eq\o(AB,\s\up6(→))；②(＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③（－eq\o(AB,\s\up6(→)))－2eq\o(DD1,\s\up6(→))；④（－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)).A．①②B．②③C．③④D．①④练2：在如图所示的平行六面体中，求证：三、总结提升※学习小结1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．4．a－b表示的是由减数b的终点指向被减数a的终点的一条有向线段．※知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.下列说法中正确的是（）A.若∣∣=∣∣，则，的长度相同，方向相反或相同;B.若与是相反向量，则∣∣=∣∣;C.空间向量的减法满足结合律;D.在四边形ABCD中，一定有.2.长方体中，化简=3.已知向量，是两个非零向量，是与，同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（）A.B.或C.D.∣∣=∣∣4.在四边形ABCD中，若,则四边形是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形5.下列说法正确的是（）A.零向量没有方向B.空间向量不可以平行移动C.如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D.同向且等长的有向线段表示同一向量6.如图所示a，b是两个空间向量，则与eq\o(A′C′,\s\up6(→))是________向量，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(B′A′,\s\up6(→))是________向量．6.如图所示，已知平行六面体，M为与的交点，化简下列向量表达式．（1）+；（2）+；（3）++；（4）++++;§3.1.2空间向量的数乘运算（一）学习目标1.掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．学习过程一、课前准备（预习教材P86~P87，找出疑惑之处）复习1：化简：⑴5（）+4（）；⑵.复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向量，若是非零向量，则与平行的充要条件是二、新课导学※学习探究探究任务一：两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.我们知道平面向量还有数乘运算.类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢?新知：数乘空间向量的数乘运算与平面向量一样,实数与空间向量的乘积仍然是一个向量.⑴当时,与向量的方向相同;⑵当时,与向量的方向相反;⑶当时,是零向量.注：空间向量的数乘运算满足分配律及结合律探究任务二：空间向量的共线问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？新知：空间向量的共线：1.如果表示空间向量的所在的直线互相或，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.2.空间向量共线：定理：对空间任意两个向量（），的充要条件是存在唯一实数，使得推论：如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是※典型例题例1已知A、B、P三点共线，点O是直线AB外一点，若，求x+y的值。变式：如果已知,且,那么三点共线吗?试试：已知A,B,P三点共线，点O是直线AB外一点，若，那么t＝例2已知平行六面体，点M是棱AA的中点，点G在对角线AC上，且CG:GA=2:1,设=，，试用向量表示向量.【反思感悟】化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时可转化为加法，也可按减法进行运算．本题第一问是开放式的表达式，形式不唯一，有多种解法．变式1：已知长方体，M是对角线AC中点，化简下列表达式：⑴;⑵⑶变式2：如图，已知不共线，从平面外任一点，作出点,使得：⑴⑵⑶⑷.小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.※动手试试练1.下列说法正确的是（）A.向量与非零向量共线，与共线，则与共线；B.任意两个共线向量不一定共线；C.任意两个共线向量相等；D.若向量与共线，则.2.已知，，若，求实数三、总结提升※学习小结1.空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；2.空间两个向量共线的充要条件及推论.※知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.下列说法正确的是（）A.与非零向量共线,与共线，则与共线B.任意两个相等向量不一定共线C.任意两个共线向量相等D.若向量与共线，则2.正方体中，点E是上底面的中心，若,则x＝，y＝，z＝;若，则x＝，y＝，z＝。3.若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，则+.4.平行六面体,O为AC与BD的交点,则5.已知平行六面体，M是AC与BD交点，若，则与相等的向量是（）A.；B.；C.；D..6.如图所示,平行六面体A1B1C1D1-ABCDM分成的比为eq\f(1,2)，N分eq\o(A1D,\s\up6(→))成的比为2，设＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，试用a、b、c表示，7．对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线与另一对边平行于同一平面．§3.1.2空间向量的数乘运算（二）学习目标1.掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．学习过程一、课前准备（预习教材P86~P87，找出疑惑之处）复习1：什么叫空间向量共线？空间两个向量，若是非零向量，则与平行的充要条件是复习2：已知直线AB，点O是直线AB外一点，若，试判断A,B,P三点是否共线？二、新课导学※学习探究探究任务一：空间向量的共面问题：空间任意两个向量不共线的两个向量有怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位置关系？新知：共面向量：同一平面的向量.2.空间向量共面：定理：对空间两个不共线向量，向量与向量共面的充要条件是存在，使得.推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：⑴存在，使⑵对空间任意一点O，有试试：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式,则点P与A,B,C共面吗？反思：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式,且点P与A,B,C共面，则.※典型例题例1下列等式中，使M,A,B,C四点共面的个数是（）①②③④.A.1B.2C.3D.4变式：已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一点，若向量则P,A,B,C四点共面的条件是例2如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F,G,H,并且使求证：E,F,G,H四点共面.变式：已知空间四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D不共面，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点，求证：(1)E,F,G,H四点共面;(2)求证：BD∥平面EFGH.小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.※动手试试练1.已知三点不共线，对平面ABC外任一点P，满足条件，试判断：点与是否一定共面？试说明理由。三、总结提升※学习小结1．向量共线的充要条件及其应用(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a∥b时，也具有同样的意义．(2)“共线”这个概念具有自反性a∥a，也具有对称性，即若a∥b，则b∥a.(3)如果应用上述结论判断a，b所在的直线平行，还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上．＝λeq\o(BC,\s\up6(→))或＝μeq\o(AC,\s\up6(→))即可．也可用“对空间任意一点O，有eq\o(OB,\s\up6(→))＝teq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－t)eq\o(OC,\s\up6(→))”来证明三点共线．2．向量共面的充要条件的理解＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→)).满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具．另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任意一点O，有＝(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，且x＋y＋z＝1成立，则P、A、B、C四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．※知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是（）A.有相同起点的向量B．等长向量C．共面向量D．不共面向量.2.已知向量，且，,，则一定共线的三点是（）A.A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D.3.在下列语句中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确的个数为（）.A．0B.1C.2D.34.设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且A、B、D三点共线，求的值。5.已知边长为1的正四面体，边OA的中点为M，自O作平面在ABC的垂线h，h与平面ABC交于点H，h与平面MBC交于点I，用，，表示§3.1.3．空间向量的数量积（1）学习目标1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2.掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．学习过程一、课前准备（预习教材P90~P92，找出疑惑之处）复习1：什么是平面向量与的数量积？复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC中，求.二、新课导学※学习探究探究任务一：空间向量的数量积定义和性质问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？新知：1)两个向量的夹角的定义：已知两非零向量，在空间一点，作，则叫做向量与的夹角，记作.试试：⑴范围:=0时,;=π时,⑵成立吗？⑶，则称与互相垂直，记作.2)向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即.规定:零向量与任意向量的数量积等于零.反思：⑴两个向量的数量积是数量还是向量？⑵（选0还是）⑶你能说出的几何意义吗？3)空间向量数量积的性质：（1）设单位向量，则．（2）．（3）＝.4)空间向量数量积运算律：（1）．（2）（交换律）．（3）（分配律）反思：⑴吗？举例说明.⑵若，则吗？举例说明.⑶若，则吗？为什么？※典型例题例1已知空间向量，满足，，与的夹角是150°，计算：(1)；(2)．变式：如图所示，已知正四面体O-ABC的棱长为a，求·..例2在平行六面体中AB=4,AD=4,=5,∠BAD=90O,==60O(1)求的长(2)求证:⊥BD变式：在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．※动手试试练1.已知向量满足，，，则____.练2.,则的夹角大小为_____.三、总结提升※学习小结1..向量的数量积的定义和几何意义.2.向量的数量积的性质和运算律的运用.※知识拓展向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.下列命题中：①若，则，中至少一个为②若且，则③④正确有个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个2.已知和是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与垂直的是（）A.B.C.D.3.已知中，所对的边为，且,,则=4.已知，，且和不共线，当与的夹角是锐角时，的取值范围是.5.已知向量满足，，，则____课后作业：1.已知空间四边形中，，，求证：.2.已知线段AB、BD在平面内,BD⊥AB,线段,如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D间的距离.§3.1.3．空间向量的数量积（2）学习目标掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题，如：利用数量积求角、利用数量积证明垂直关系．学习过程一、课前准备复习1：空间向量的数量积公式及其运算律是什么？复习2：2．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于()A.eq\r(7)B.eq\r(10)C.eq\r(13)D．4二、新课※典型例题例1如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值【反思感悟】在异面直线上取两个向量，则两异面直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题．需注意的是：转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补．变式：如图，在正三棱柱ABC-ABC中，若AB=BB,则AB与CB所成的角为（）A.60°B.90°C.105°D.75°例2用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.变式：用向量方法证明：已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面的交点为，且.求证：．课堂小结：空间两个向量a，b的数量积，仍旧保留平面向量中数量积的形式，即：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，这里〈a，b〉表示空间两向量所成的角(0≤〈a，b〉≤π)．空间向量的数量积具有平面向量数量积的运算性质．应用数量积可以判断空间两直线的垂直问题，可以求两直线夹角问题和线段长度问题．即(1)利用a⊥b⇔a·b＝0证线线垂直(a，b为非零向量)．(2)利用a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)，求两直线的夹角．(3)利用|a|2＝a·a，求解有关线段的长度问题．课后作业：1．空间四边形OABC中，OB=OC，,则的值为（）A．B．C．D．02.正方体中，有下列说法：（1）;(2);(3)与的夹角为；（4）正方体的体积为。其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．43.已知下列说法：（1）若，那么；（2）若，那么中至少有一个为；（3）若，那么；（4）若，那么与的夹角为钝角或平角；（5）若，那么与的夹角为钝角。其中错误的是________.4．在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是,AD的中点，则OE与所成角的余弦值为________.§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标1.掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2.掌握空间向量的坐标运算的规律；学习过程一、课前准备（预习教材P92-96找出疑惑之处）复习1：平面向量基本定理：对平面上的任意一个向量，是平面上两个向量，总是存在实数对，使得向量可以用来表示，表达式为，其中叫做.若，则称向量正交分解.复习2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴上的向量作为基底，对平面上任意向量，有且只有一对实数x，y，使得，，则称有序对为向量的，即＝.二、新课导学※学习探究探究任务一：空间向量的正交分解问题：对空间的任意向量，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？新知：空间向量的正交分解：空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、、，使.如果两两，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量，对空间任一向量，存在有序实数组，使得.把的一个基底，都叫做基向量.注：对于基底{a,b,c},除了应知道不共面，还应明确：反思：空间任意一个向量的基底有个.⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a的坐标，记着.练习：1、在空间坐标系o-xyz中，(分别是与x轴、y轴、z轴的正方向相同的单位向量)，则的坐标为。2、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投影的坐标分别为，关于原点的对称点为，关于z轴的对称点为，※典型例题例1已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，那么向量a＋b，a－b，c能构成空间的一个基底吗？为什么？小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面.变式：已知O,A,B,C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C是否共面？例2如图，M,N分别是四面体QABC的边OA,BC的中点，P,Q是MN的三等分点，用表示和.【反思感悟】利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出所有向量．注意结合图形，灵活应用三角形法则、平行四边形法则．变式：已知平行六面体，点G是侧面的中心，且，，试用向量表示下列向量:⑴⑵.例3已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点，并且PA=AD，求、的坐标。【反思感悟】空间直角坐标系的建立必须寻求三条两两垂直的直线．在空间体中不具备此条件时，建系后要注意坐标轴与空间体中相关直线的夹角．※动手试试练1.正方体的棱长为2，以A为坐标原点，以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则点，的坐标分别是，，.练2.在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q是CA′上的点，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：（1）；(2)eq\o(AM,\s\up6(→))；(3)；(4)eq\o(AQ,\s\up6(→)).练3：在直三棱柱ABO—A1B1O1中，∠AOB=，|AO|=4，|BO|=2，|AA1|=4，D为A1B1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，求的坐标.三、总结提升※学习小结1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．2．对于＝(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，当且仅当x＋y＋z＝1时，P、A、B、C四点共面．3．对于基底{a，b，c}除了应知道a，b，c不共面，还应明确：(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.※知识拓展建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件，通过作辅助线来创造建系的图形.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.以下四个命题中正确的是()A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量C．△ABC为直角三角形的充要条件是·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底2.设i、j、k为空间直角坐标系A-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且，则点B的坐标是3.在三棱锥OABC中，G是的重心（三条中线的交点），选取为基底，试用基底表示＝4.正方体的棱长为2，以A为坐标原点，以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，E为BB1中点，则E的坐标是.5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))＋zeq\o(CC1,\s\up6(→))，则x＋y＋z＝________.6.已知三棱锥A—BCD.(1)化简eq\f(1,2)(＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))并标出化简结果的向量；(2)设G为△BCD的重心，试用，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))表示向量eq\o(AG,\s\up6(→)).7.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB，PC的三等分点且PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，求的坐标．§3.1.5空间向量运算的坐标表示学习目标1.掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2.会用这些公式解决有关问题.学习过程一、课前准备（预习教材P95~P97，找出疑惑之处）复习1：平面向量的坐标表示及运算律：复习2：空间直角坐标系中的坐标：二、新课导学※学习探究探究任务一：空间向量的直角坐标运算设a＝，b＝，则⑴a＋b＝；⑵a－b＝；⑶λa＝；⑷a·b＝.（5）.（6）.试试：已知，，求.探究任务二：空间向量坐标表示夹角和距离公式问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？新知：1.向量的模：设a＝，则｜a｜＝2.两个向量的夹角公式：设a＝，b＝，由向量数量积定义：a·b＝|a||b|cos＜a,b＞，又由向量数量积坐标运算公式：a·b＝，由此可以得出：cos＜a,b＞＝试试：①当cos＜a、b＞＝1时，a与b所成角是；②当cos＜a、b＞＝－1时，a与b所成角是；③当cos＜a、b＞＝0时，a与b所成角是，即a与b的位置关系是，用符合表示为.反思：设a＝，b＝，则⑴a//B.a与b所成角是a与b的坐标关系为；⑵a⊥ba与b的坐标关系为；3.两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点，，则线段AB的长度为：.4.线段中点的坐标公式：在空间直角坐标系中，已知点，，则线段AB的中点坐标为:.※典型例题例1.设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.变式：已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，求：(1)线段AB的中点坐标和长度；(2)到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件．例2如图,在正方体中，点分别是的一个四等分点，求与所成的角的余弦值．小结：求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然后再用公变式：如上图,在正方体中，，求与所成角的余弦值．例3.如图，正方体中，点E,F分别是的中点，求证：.变式：已知A(－2,3,1)，B(2，－5,3)，C(8,1,8)，D(4,9,6)，求证：四边形ABCD为平行四边形．※动手试试1.已知，求：⑴；⑵.2.已知关于x的方程有两个实根，，且，当t＝时，的模取得最大值.3.已知,求线段AB的中点坐标及线段AB的长度.※综合训练—向量坐标的运用练1.棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O1、O2、O3分别是平面A1B1C1D1、平面BB1C1C、(1)求证：B1O3⊥PA；(2)求异面直线PO3与O1O2所成角的余弦值；(3)求PO2的长．小结：在特殊的几何体中建立空间直角坐标系，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．练2.直三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，N是AA1的中点(1)求BN的长；(2)求BA1，B1C所成角的余弦值三、总结提升※学习小结1.空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2.解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角坐标系，写出向量的坐标，然后再代入公式进行计算.※知识拓展在平面内取正交基底建立坐标系后，坐标平面内的任意一个向量，都可以用二元有序实数对表示，平面向量又称二维向量.空间向量可用三元有序实数组表示，空间向量又称三维向量.二维向量和三维向量统称为几何向量.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.若a＝，b＝，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不不要条件2.已知，且，则x＝.3.已知,与的夹角为120°，则的值为（）A.B.C.D.4.若，且的夹角为钝角，则的取值范围是（）A.B.C.D.5.已知，且，则（）A.B.C.D.6.如图，正方体中，点M是AB的中点，求与CM所成角的余弦值.7．E，F分别是正方体ABCD—A1B1C1D1中线段A1D，AC上的点，且DE＝AF＝eq\f(1,3)AC.求证：(1)EF∥BD1；(2)EF⊥A1D.§3.1空间向量及其运算（练习）学习目标1.熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示；2.熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题.学习过程一、课前准备：（阅读课本p115）复习：1.具有和的量叫向量，叫向量的模；叫零向量，记着；具有叫单位向量.2.向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.3.实数λ与向量a的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝.(2)当λ＞0时，λa与A.；当λ＜0时，λa与A.；当λ＝0时，λa＝.4.向量加法和数乘向量运算律：交换律：a＋b＝结合律：(a＋b)＋c＝数乘分配律：λ(a＋b)＝5.①表示空间向量的所在的直线互相或，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.②空间向量共线定理：对空间任意两个向量（），的充要条件是存在唯一实数，使得；③推论：l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是6.空间向量共面：①共面向量：同一平面的向量.②定理：对空间两个不共线向量，向量与向量共面的充要条件是存在，使得.③推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：⑴存在，使⑵对空间任意一点O，有7.向量的数量积：.8.单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a的坐标，记着.10.设A，B，则＝.11.向量的直角坐标运算：设a＝，b＝，则⑴a＋b＝；⑵a－b＝；⑶λa＝；⑷a·b＝※动手试试1．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为（）A．0B.1C.2D.32．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是（）A．有相同起点的向量B．等长向量C．共面向量D．不共面向量3．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ=（）A.B.C.D.4．若a、b均为非零向量，则是a与b共线的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件5．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A．2B．3C．4D．56.则（）A．－15B．－5C．－3D．－1※典型例题例1如图，空间四边形OABC中，，，点M在OA上，且OM=2MA,点为的中点，则.变式：如图，平行六面体中，，,点分别是的中点，点Q在上，且,用基底表示下列向量：⑴;⑵;⑶;⑷.例2如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，,点是的中点，求证：.变式：正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，点M是的中点，在直线上求一点N，使得学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若，，，则（）A.B.C.D.2.、（）A．B．与不平行也不垂直C.，D．以上情况都可能.3.已知++＝，||＝2，||＝3，||＝，则向量与之间的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．以上都不对4.已知且与互相垂直，则的值是（）A..1B.C.D.5.若A(m＋1，n－1,3)，B.(2m,n,m－2n)，C(m＋3,n－3,9)三点共线，则m+n=课后作业如图，在棱长为1的正方体中，点分别是的中点.⑴求证：；⑵求与所成角的余弦；⑶求的长.§3.2立体几何中的向量方法（1）学习目标1.掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;2.掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题．学习过程一、课前准备（预习教材P102~P104，找出疑惑之处）复习1：可以确定一条直线；确定一个平面的方法有哪些？复习2：如何判定空间A,B,C三点在一条直线上？复习3：设a＝，b＝，a·b＝二、新课导学※学习探究探究任务一：向量表示空间的点、直线、平面问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？新知：⑴点：在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示，我们把向量称为点的位置向量.⑵直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.②对于直线上的任一点,存在实数，使得，此方程称为直线的向量参数方程.⑶平面：①空间中平面的位置可以由内两个不共线向量确定.对于平面上的任一点,是平面内两个不共线向量，则存在有序实数对,使得.②空间中平面的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置.⑷平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作⊥，那么向量叫做平面的法向量.注：求平面法向量的一般步骤：试试：.1.如果都是平面的法向量，则的关系.2.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则与的关系是.反思：1.一个平面的法向量是唯一的吗？2.平面的法向量可以是零向量吗？⑸向量表示平行、垂直关系：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则1、平行关系：2、垂直关系：※典型例题例1已知两点,求直线AB与坐标平面的交点.变式：已知三点,点在上运动（O为坐标原点）,求当取得最小值时,点的坐标.小结：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可.例2已知,求平面ABC的法向量。【反思感悟】用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量)即可．变式：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的法向量.例3用向量方法证明两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.变式：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC【反思感悟】证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面ODC1内找一向量与共线；二是说明能利用平面ODC1内的两不共线向量线性表示，三是证明与平面的法向量垂直．※动手试试练1.设分别是直线的方向向量，判断直线的位置关系：⑴；⑵.练2.设分别是平面的法向量，判断平面的位置关系：⑴；⑵.练3在正三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C⊥A求证：AC1⊥A1B.三、总结提升※学习小结1．用待定系数法求平面法向量的步骤：(1)建立适当的坐标系．(2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)．(3)求出平面内两个不共线向量的坐标a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．(4)根据法向量定义建立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·n＝0,b·n＝0)).(5)解方程组，取其中一解，即得平面的法向量.2．平行关系的常用证法＝λeq\o(CD,\s\up6(→)).证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外，证面面平行可转化证两面的法向量平行．3．垂直关系的常用证法要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直．要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.设分别是直线的方向向量，则直线的位置关系是.2.设分别是平面的法向量，则平面的位置关系是.3.已知，下列说法错误的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则4.下列说法正确的是（）A.平面的法向量是唯一确定的B.一条直线的方向向量是唯一确定的C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量D.若是直线的方向向量，，则5.已知，能做平面的法向量的是（）A.B.C.D.6.已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．7.如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF＝∠CEF＝90°，AD＝eq\r(3)，EF＝2.求证：AE∥平面DCF.8.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，试在棱BB1上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1§3.2立体几何中的向量方法（2）学习目标1.掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；2.掌握向量运算在求空间图形中的角度的计算方法.学习过程一、课前准备（预习教材P105~P107，找出疑惑之处.复习1：用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”复习2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范围是什么？二、新课导学※学习探究探究任务一：异面直线所成角定义：图形：例1中，,先将沿着平面的法向量移动到位置，已知,取、的中点、，求、所成的角的余弦值。【反思感悟】在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时，首选向量法，利用向量求解．若能构建空间直角坐标系，求解则更为简捷方便.变式：已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的所有棱长都是1，且∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，E、F分别为A1B1与BB1的中点，求异面直线BE与CF所成角的余弦值．探究任务二：线面角定义：图形：例2在长方体中，M为上一点，且，点N在线段上，，求与平面所成角的正弦值。【反思感悟】充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量有关知识求解线面角．方法二给出了一般的方法，先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算．变式：如图,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在线段BC上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450?若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。探究任务三：二面角定义：图形：例3如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离分别为，的长为，的长为.求库底与水坝所成二面角的余弦值.【反思感悟】几何法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用．变式：正三棱柱中，D是AC的中点，当时，求二面角的余弦值。※动手试试练1如图，M、N分别是棱长为1的正方体的棱、的中点．求异面直线MN与所成的角.练2在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面，已知，,(1)求证;(2)求与平面所成角的余弦值。练3已知正方体的边长为2，O为AC和BD的交点，M为的中点.（1）求证：直线面MAC

（2）求二面角的余弦值三、总结提升※学习小结1．两条异面直线所成角的求法(1)向量求法：设直线a、b的方向向量为a、b，其夹角为φ，则有cosθ＝|cosφ|＝eq\f(|a·b|,|a|·|b|).(2)两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．2．直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sinθ＝|cosφ|＝eq\f(|a·u|,|a||u|)或cosθ＝sinφ.3．二面角的求法与eq\o(CD,\s\up6(→))的夹角(如图①所示)．(2)设n1、n2是二面角α—l—β的两个面α、β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图②所示)．※知识拓展解空间图形问题时,可以分为三步完成:（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.已知，则.2.已知，则的夹角为.3.若M、N分别是棱长为1的正方体的棱的中点,那么直线所成的角的余弦为（）A.B.C.D.4.将锐角为边长为的菱形沿较短的对角线折成的二面角，则间的距离是（）A.B.C.D.5.正方体中棱长为，,是的中点，则为（）A.B.C.D.6.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点．求：7.正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为eq\r(2)a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．8.如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3.点E在棱PA上，且PE＝2EA.求二面角A－BE－D的余弦值．9.如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值(2)OS与面SAB所成角的余弦值(3)二面角B－AS－O的余弦值§3.2立体几何中的向量方法（3）学习目标1.进一步熟练求平面法向量的方法；2.掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；3.熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.学习过程一、课前准备复习1：已知，试求平面的一个法向量.复习2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？复习3：已知，，且，求.二、新课导学※学习探究探究任务一：用向量求空间线段的长度问题：如何用向量方法求空间线段的长度？新知：用空间向量表示空间线段，然后利用公式求出线段长度.※典型例题例1已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折叠，使面ABC与面ADC垂直，求BD间的距离．【反思感悟】求两点间的距离或某线段的长度的方法：(1)把此线段用向量表示，然后用|a|2＝a·a通过向量运算去求|a|.(2)建立空间坐标系，利用空间两点间的距离公式d＝eq\r(x1－x22＋y1－y22＋z1－z22)求解．试试：在长方体中，已知,求的长.反思：用向量方法求线段的长度，关键在于把未知量用已知条件中的向量表示.探究任务二：点到平面的距离的求法问题：如图A空间一点到平面的距离为,已知平面的一个法向量为,且与不共线,能否用与表示?分析:过作⊥于O,连结OA,则d=||=∵⊥,∴∥.∴cos∠APO=|cos|∴D.=|||cos|==新知：用向量求点到平面的距离的方法：设A空间一点到平面的距离为,平面的一个法向量为，则D.=试试：在棱长为1的正方体中，求点到平面的距离.反思：当点到平面的距离不能直接求出的情况下，可以利用法向量的方法求解.※典型例题例2已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.【反思感悟】利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可．APDCBMN变式1：如图,是矩形,平面,,,分别是的中点,求点到平面的距离.APDCBMN变式2：如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知,求的长.小结：求点到平面的距离的步骤：⑴建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵求平面的一个法向量的坐标；⑶找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷代入公式求出距离.探究任务三：两条异面直线间的距离的求法公式：例3如图，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和,使得,且.已知，求公垂线的长.例4：已知直三棱柱的侧棱,底面中,，且,是的中点,求异面直线与的距离.小结：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量，再在两条直线上分别取一点，则两条异面直线间距离求解.变式：如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，M、N分别为DC、BB1的中点，求异面直线MN与A1B的距离．【反思感悟】求异面直线的距离，一般不要求作公垂线，若公垂线存在，则直接求解即可；若不存在，可利用两异面直线的法向量求解．三、总结提升※学习小结1．求空间中两点A，B的距离时，当不好建系时利用|AB|＝||＝eq\r(x1－x22＋y1－y22＋z1－z22)来求．2．两异面直线距离的求法．如图(1)，n为l1与l2的公垂线AB的方向向量，d＝||＝eq\f(|\o(CD,\s\up6(→))·n|,|n|).3点B到平面α的距离：||=.(如图(2)所示)4.面与面的距离可转化为点到面的距离.※知识拓展用向量法求距离的方法是立体几何中常用的方法.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.在棱长为1的正方体中，平面的一个法向量为；2.在棱长为1的正方体中，异面直线和所成角是；3.在棱长为1的正方体中，两个平行平面间的距离是；4.在棱长为1的正方体中，异面直线和间的距离是；5.在棱长为1的正方体中，点是底面中心，则点O到平面的距离是.6．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.(1)求BF的长；(2)求点C到平面AEC1F的距离7.在三棱锥B—ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离．8.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB＝eq\r(2)，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝eq\f(π,3)，求异面直线AB与EB1的距离．§3.2立体几何中的向量方法（4）学习目标1.进一步掌握向量运算在立体几何中求角度与距离的方法；2.熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.学习过程一、课前准备复习：向量法解立体几何问题的优点：二、新课导学※