专题突破课6　卫星运动的“三类”问题-2025版物理大一轮复习

目标要求1.会分析卫星的变轨过程和对接及各物理量的变化。2.掌握双星、多星模型，会解决相关问题。3.会分析卫星的追及相遇问题。考点一卫星变轨和对接问题1.卫星变轨原理(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。如图所示。(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。2.卫星变轨过程各物理量分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k可知T1<T2<T3。(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3。3.卫星的对接问题(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接。甲乙(2)同一轨道飞船与空间站对接：如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度。维度1卫星变轨问题在某电影中，科学家利用固定在地面的万台超级聚变发动机瞬间点火，使地球在地球轨道Ⅰ上的B点加速，进入运输轨道，再在运输轨道上的A点瞬间点火，从而进入木星轨道Ⅱ。关于地球的运动，下列说法中正确的是()A.在运输轨道上A点的速度大于B点的速度B.在地球轨道Ⅰ上B点的加速度小于在运输轨道上B点的加速度C.在木星轨道Ⅱ上的周期大于在运输轨道上的周期D.在木星轨道Ⅱ上的机械能等于在运输轨道上的机械能解析：C根据开普勒第二定律可知，在运输轨道上A点的速度小于B点的速度，故A错误；在地球轨道Ⅰ上B点与在运输轨道上B点相比，受到的万有引力相同，则加速度相同，故B错误；根据开普勒第三定律可知，在木星轨道Ⅱ上的周期大于在运输轨道上的周期，故C正确；在运输轨道上的A点瞬间点火，机械能增加，从而进入木星轨道Ⅱ，则在木星轨道Ⅱ上的机械能大于在运输轨道上的机械能，故D错误。故选C。维度2卫星对接问题如图所示为“天舟四号”货运飞船与空间站完成自动交会对接。假设“天舟四号”与“空间站”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是()A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接解析：C若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速，所需向心力变大，则飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道，不能实现对接，A错误；若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速，所需向心力变小，则空间实验室将脱离原轨道而进入更低的轨道，不能实现对接，B错误；要想实现对接，可使飞船在比空间实验室半径较小的轨道上加速，飞船将进入较高的空间实验室轨道，逐渐靠近空间实验室后，两者速度接近时实现对接，C正确；若飞船在比空间实验室半径较小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，不能实现对接，D错误。eq\a\vs4\al()卫星变轨的实质两类变轨离心运动近心运动变轨起因卫星速度突然增大卫星速度突然减小受力分析Geq\f(Mm,r2)＜meq\f(v2,r)Geq\f(Mm,r2)＞meq\f(v2,r)变轨结果变为椭圆轨道运动或再变轨在较大半径圆轨道上运动变为椭圆轨道运动或再变轨在较小半径圆轨道上运动【对点训练】1.(卫星变轨问题中各物理量的比较)如图所示为“天问一号”火星探测器从地球奔向火星的运行轨道，探测器经地火转移轨道被火星捕获后，在火星捕获轨道围绕火星做椭圆运动，其中P点为远火点，Q点为近火点，在火星停泊轨道上进行适当的调整后运动到离轨着陆轨道。则()A.“天问一号”在停泊轨道上运行时的速度大于火星的第一宇宙速度B.“天问一号”围绕火星做椭圆运动时，在P点的加速度大小一定大于其在Q点的加速度大小C.“天问一号”在捕获轨道上运行到Q点的速度一定大于其在停泊轨道上运行到Q点的速度D.“天问一号”在捕获轨道和停泊轨道上的运行周期可能相同解析：C“天问一号”在停泊轨道上运行时Q点的速度大于第一宇宙速度，但在远地点进入对应圆轨道需要在远地点加速，远地点对应圆轨道的速度小于第一宇宙速度，因为v＝eq\r(\f(GM,r))，故在停泊轨道上运行时的速度并非一直大于第一宇宙速度，故A错误；由于P点到火星中心的距离大于Q点到火星中心的距离，由Geq\f(Mm,r2)＝ma可知，“天问一号”在P点的加速度大小一定小于其在Q点的加速度大小，故B错误；从火星捕获轨道转移到火星停泊轨道时，需要在Q点减速，故C正确；由于捕获轨道和停泊轨道的半长轴不同，由开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k可知，“天问一号”在两椭圆轨道上的运行周期一定不同，故D错误。故选C。2.(飞船对接问题)神舟十三号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时。为实现神舟十三号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置(距空间站200m)。为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是()A.飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，合适位置减速靠近即可B.飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同半径轨道上运动，合适位置减速靠近即可C.飞船到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可D.飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可解析：D根据卫星变轨时，由低轨道进入高轨道需要点火加速，反之要减速，所以飞船先到空间站下方的圆周轨道上同方向运动，合适位置加速靠近即可，或者飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，合适的位置减速即可，故选D。3.(卫星变轨过程中的能量问题)(2022·福建卷)2021年美国“星链”卫星曾近距离接近我国运行在距地390km近圆轨道上的天宫空间站。为避免发生危险，天宫空间站实施了发动机点火变轨的紧急避碰措施。已知质量为m的物体从距地心r处运动到无穷远处克服地球引力所做的功为Geq\f(Mm,r)，式中M为地球质量，G为引力常量；现将空间站的质量记为m0，变轨前后稳定运行的轨道半径分别记为r1、r2，如图所示。空间站紧急避碰过程发动机做的功至少为()A.eq\f(1,2)GMm0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,r1)－\f(1,r2))) B.GMm0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,r1)－\f(1,r2)))C.eq\f(3,2)GMm0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,r1)－\f(1,r2))) D.2GMm0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,r1)－\f(1,r2)))解析：A空间站紧急避碰的过程可简化为加速、变轨、再加速的三个阶段；空间站从轨道r1变轨到r2过程，根据动能定理有W＋W引力＝ΔEk，依题意可得引力做功W引力＝Geq\f(Mm0,r2)－Geq\f(Mm0,r1)，万有引力提供在圆形轨道上做匀速圆周运动的向心力，由牛顿第二定律有Geq\f(Mm0,r2)＝m0eq\f(v2,r)，求得空间站在轨道上运动的动能为Ek＝Geq\f(Mm0,2r)，动能的变化ΔEk＝Geq\f(Mm0,2r2)－Geq\f(Mm0,2r1)，解得W＝eq\f(GMm0,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,r1)－\f(1,r2)))，故选A。考点二双星或多星问题1.双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。(2)特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω12r1，Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω22r2。②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1)。⑤双星的运动周期T＝2πeq\r(\f(L3,G（m1＋m2）))。⑥双星的总质量m1＋m2＝eq\f(4π2L3,T2G)。2.多星模型所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。常见的多星及规律：常见的三星模型(1)eq\f(Gm2,（2R）2)＋eq\f(GMm,R2)＝ma向(2)eq\f(Gm2,L2)×cos30°×2＝ma向维度1双星模型天玑星是北斗七星之一，在天玑星周围还有一颗伴星，它们组成双星系统，各自绕二者连线上的某一点O做匀速圆周运动，伴星距O点较远，如图所示。现已知天玑星的质量为M，二者之间连线的距离为L，运动周期均为T，万有引力常量为G。下列说法正确的是()A.伴星的线速度小于天玑星的线速度B.伴星的质量大于天玑星的质量C.天玑星的运动半径为eq\f(GT2M,4π2L2)D.天玑星和伴星的总质量为eq\f(4π2L3,GT2)解析：D双星的周期相同，角速度相同，根据v＝ωr，伴星的线速度大于天玑星的线速度，故A错误；设伴星的质量为m，运动半径为r，天玑星的运动半径为R，则Geq\f(Mm,L2)＝meq\f(4π2,T2)r＝Meq\f(4π2,T2)R，得mr＝MR，由r>R，得m<M，伴星的质量较小，故B错误；伴星的运动半径r＝eq\f(GT2M,4π2L2)，天玑星的运动半径R＝L－r＝L－eq\f(GT2M,4π2L2)＝eq\f(GT2m,4π2L2)，故C错误；双星的总质量为M＋m＝eq\f(4π2L2,GT2)r＋eq\f(4π2L2,GT2)R＝eq\f(4π2L3,GT2)，故D正确。故选D。维度2三星模型(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图所示。三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R。忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，则()A.每颗星做圆周运动的线速度大小为eq\r(\f(Gm,R))B.每颗星做圆周运动的角速度为eq\r(\f(3Gm,R3))C.每颗星做圆周运动的周期为2πeq\r(\f(R3,3Gm))D.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关解析：ABC每颗星受到的合力为F＝2Geq\f(m2,R2)sin60°＝eq\r(3)Geq\f(m2,R2)，轨道半径为r＝eq\f(\r(3),3)R，由向心力公式得F＝ma＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r，解得a＝eq\f(\r(3)Gm,R2)，v＝eq\r(\f(Gm,R))，ω＝eq\r(\f(3Gm,R3))，T＝2πeq\r(\f(R3,3Gm))，显然加速度a与m有关，故A、B、C正确，D错误。考点三天体的追及相遇问题1.问题简述：天体运动中的“相遇”是指两天体运行过程中相距最近，如图甲所示，而图乙时刻，地球和行星相距最远。甲乙2.解题关键：从图甲开始分析两天体转过的角度或圈数。角度关系相距最近ω1t－ω2t＝n·2π，(n＝1，2，3，…)，即两天体转过的角度之差等于2π的整数倍时再次相遇相距最远ω1t－ω2t＝(2n－1)π，(n＝1，2，3，…)，即两天体转过的角度之差等于π的奇数倍时相距最远圈数关系相距最近eq\f(t,T1)－eq\f(t,T2)＝n，(n＝1，2，3，…)相距最远eq\f(t,T1)－eq\f(t,T2)＝n－eq\f(1,2)，(n＝1，2，3，…)提醒：如果两个天体绕中心天体的运行方向相反，则应求和。(2023·湖北卷)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出()A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8B.当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大C.火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4D.下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前解析：B火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3∶2，根据开普勒第三定律有eq\f(r火3,r地3)＝eq\f(T火2,T地2)，可得eq\f(T火,T地)＝eq\r(\f(r火3,r地3))＝eq\f(3\r(3),2\r(2))，故A错误；火星和地球绕太阳匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者相对速度最大，故B正确；在星球表面根据万有引力定律有Geq\f(Mm,r2)＝mg，由于不知道火星和地球的质量比，故无法得出火星和地球表面的自由落体加速度大小之比，故C错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，有ω火＝eq\f(2π,T火)，ω地＝eq\f(2π,T地)，要发生下一次火星冲日则有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T地)－\f(2π,T火)))t＝2π，得t＝eq\f(T火T地,T火－T地)>T地，可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月18日之后，故D错误。故选B。【对点训练】4.(天体“追及相遇”时间问题)如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0。某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为()A.eq\f(T0,2（\r(k3)＋1）) B.eq\f(T0,\r(k3)－1)C.eq\f(T0,2（\r(k3)－1）) D.eq\f(T0,\r(k3)＋1)解析：C由开普勒第三定律得eq\f(rA3,TA2)＝eq\f(rB3,TB2)，设两卫星至少经过时间t距离最远，即B比A多转半圈，eq\f(t,TB)－eq\f(t,TA)＝eq\f(1,2)，又由A是地球同步卫星知TA＝T0，联立解得t＝eq\f(T0,2（\r(k3)－1）)，故选C。5.(天体“追及相遇”次数问题)(多选)如图，在万有引力作用下，a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有()A.a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8B.a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4C.从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次D.从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次解析：AD根据开普勒第三定律可知，卫星做圆周运动的半径的三次方与周期的二次方成正比，可得a、b运动的周期之比为1∶8，A正确，B错误。设题图所示位置ac连线与bc连线的夹角为θ＜eq\f(π,2)，b转动一周(圆心角为2π)的时间为Tb，则a、b相距最远时，eq\f(2π,Ta)Tb－eq\f(2π,Tb)Tb＞(π－θ)＋n·2π(n＝0，1，2，3，…)，可知n＝0，1，2，…，6，n可取7个值；a、b相距最近时，eq\f(2π,Ta)Tb－eq\f(2π,Tb)Tb＞(2π－θ)＋m·2π(m＝0，1，2，3，…)，可知m＝0，1，2，…，6，m可取7个值，故在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，C错误，D正确。限时规范训练19[基础巩固题组]1.(2023·海南卷)(多选)如图所示，1、2轨道分别是天宫二号飞船在变轨前后的轨道，下列说法正确的是()A.飞船从1轨道变到2轨道要点火加速B.飞船在1轨道的周期大于2轨道的周期C.飞船在1轨道的速度大于2轨道的速度D.飞船在1轨道的加速度大于2轨道的加速度解析：ACD飞船从较低的轨道1进入较高的轨道2要进行加速做离心运动才能完成，选项A正确；根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r＝ma，可得a＝eq\f(GM,r2)，v＝eq\r(\f(GM,r))，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，可知飞船在轨道1的周期小于在轨道2的周期，在轨道1的速度大于在轨道2的速度，在轨道1的加速度大于在轨道2的加速度，故选项B错误，CD正确。故选ACD。2.北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在中国文昌航天发射场点火发射，发射取得圆满成功。北京时间5月11日5时16分，天舟六号货运飞船与空间站组合体完成交会对接。下列说法正确的是()A.天舟六号从低轨向高轨完成对接，需要加速B.天舟六号的发射速度必须大于第二宇宙速度C.天舟六号在不同的绕地轨道运行时，其与地心的连线在相同时间内扫过的面积相等D.天舟六号与空间站组合体对接后(空间站组合体所在轨道不变)，空间站组合体的向心加速度变大解析：A天舟六号从低轨向高轨完成对接，需要点火加速，故A正确；根据地球宇宙速度的定义，可知天舟六号的发射速度必须大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，故B错误；由开普勒第二定律可知，当天舟六号在同一绕地轨道运行时，其与地心的连线在相同时间内扫过的面积相等，故C错误；根据Geq\f(Mm,R2)＝ma，可得a＝Geq\f(M,R2)，由于空间站组合体的轨道半径不变，所以向心加速度不变，故D错误。故选A。3.2022年11月30日，神舟十五号载人飞船与空间站组合体完成自主交会对接。交会对接前，空间站组合体会从距地面较高的轨道变轨到距地面较低的轨道，等待神舟十五号载人飞船的到来。变轨前后，空间站组合体绕地球的运行均视为匀速圆周运动，则空间站组合体变轨后相对于变轨前运行的()A.周期减小 B.加速度减小C.动能减小 D.机械能增大解析：A根据Geq\f(mM,r2)＝meq\f(4π2,T2)r＝meq\f(v2,r)＝ma，可得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，a＝eq\f(GM,r2)，v＝eq\r(\f(GM,r))，空间站组合体变轨后相对于变轨前运行的轨道半径减小，则根据T＝2πeq\r(\f(r3,GM))可知，周期减小，选项A正确；根据a＝eq\f(GM,r2)，可知加速度变大，选项B错误；根据v＝eq\r(\f(GM,r))可知，速度变大，则动能变大，选项C错误；从高轨道到低轨道要点火减速制动，则机械能减小，选项D错误。故选A。4.(多选)如图所示为发射某卫星的情景图，该卫星发射后，先在椭圆轨道Ⅰ上运动，卫星在椭圆轨道Ⅰ的近地点A的加速度大小为a0，线速度大小为v0，A点到地心的距离为R，远地点B到地心的距离为3R，卫星在椭圆轨道的远地点B变轨进入圆轨道Ⅱ，卫星质量为m，则下列判断正确的是()A.卫星在轨道Ⅱ上运行的加速度大小为eq\f(1,3)a0B.卫星在轨道Ⅱ上运行的线速度大小为eq\f(\r(3a0R),3)C.卫星在轨道Ⅱ上运行周期为在轨道Ⅰ上运行周期的3eq\r(3)倍D.卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ发动机需要做的功为eq\f(ma0R,6)－eq\f(mv02,18)解析：BD设卫星在轨道Ⅱ上运行的加速度大小为a1，由eq\f(GMm,r2)＝ma得a＝eq\f(GM,r2)，则a1＝eq\f(R2,（3R）2)a0＝eq\f(1,9)a0，故A错误；设卫星在轨道Ⅱ上运行的线速度大小为v1，有a1＝eq\f(v12,3R)，解得v1＝eq\r(\f(1,3)a0R)＝eq\f(\r(3a0R),3)，故B正确；由几何知识可知，轨道Ⅰ的半长轴为2R，根据开普勒第三定律有eq\f(T22,T12)＝eq\f(（3R）3,（2R）3)，解得eq\f(T2,T1)＝eq\f(3\r(6),4)，故C错误；设卫星在椭圆轨道远地点B的线速度大小为v，根据开普勒第二定律有v0R＝v×3R，解得v＝eq\f(1,3)v0，卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ发动机需要做的功为W＝eq\f(1,2)mv12－eq\f(1,2)mv2＝eq\f(ma0R,6)－eq\f(mv02,18)，故D正确。5.(多选)银河系的恒星大约四分之一是双星。某双星是由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一点O做匀速圆周运动，已知S1、S2两星体到O点的距离之比为1∶3，若S1星体的质量为m，做圆周运动的线速度为v，向心力大小为F，向心加速度大小为a，则S2星体的()A.质量为eq\f(1,3)mB.线速度为eq\f(1,3)vC.向心力大小为FD.向心加速度大小为a解析：AC双星做圆周运动的角速度相等，向心力由两星之间的万有引力提供，则Geq\f(m1m2,r2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2，则eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1)＝eq\f(3,1)，可得m2＝eq\f(1,3)m，选项A正确；根据v＝ωr可知，线速度之比eq\f(v1,v2)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(1,3)，则v2＝3v，选项B错误；向心力大小相等，即为F，选项C正确；根据F＝ma，可知a2＝eq\f(m1,m2)a1＝3a，选项D错误。故选AC。6.如图所示，双星系统由质量不相等的两颗恒星组成，质量分别是M、meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(M>m))，它们围绕共同的圆心O做匀速圆周运动。从地球A看过去，双星运动的平面与AO垂直，A、O间距离恒为L。观测发现质量较大的恒星M做圆周运动的周期为T，运动范围的最大张角为Δθ(单位是弧度)。已知引力常量为G，Δθ很小，可认为sinΔθ＝tanΔθ＝Δθ，忽略其他星体对双星系统的作用力。则()A.恒星m的角速度大小为eq\f(2π,T)eq\r(\f(M,m))B.恒星m的轨道半径大小为eq\f(MLΔθ,m)C.恒星m的线速度大小为eq\f(πMLΔθ,2mT)D.两颗恒星的质量m和M满足关系式eq\f(m3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋M))2)＝eq\f(π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(LΔθ))3,2GT2)解析：D恒星m与M具有相同的角速度，则角速度为ω＝eq\f(2π,T)，选项A错误；恒星M的轨道半径为R＝Ltaneq\f(Δθ,2)＝eq\f(1,2)LΔθ，对双星系统有mω2r＝Mω2R，解得恒星m的轨道半径大小为r＝eq\f(MLΔθ,2m)，选项B错误；恒星m的线速度大小为v1＝ωr＝eq\f(2π,T)·eq\f(MLΔθ,2m)＝eq\f(πMLΔθ,mT)，选项C错误；对双星系统有Geq\f(Mm,（r＋R）2)＝mω2r＝Mω2R，解得GM＝ω2r(r＋R)2，Gm＝ω2R(r＋R)2，相加得G(M＋m)＝ω2(R＋r)3，联立可得eq\f(m3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋M))2)＝eq\f(π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(LΔθ))3,2GT2)，选项D正确。故选D。7.(多选)我国的北斗三号卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星共30颗卫星组成。如图所示，A、C为地球静止轨道卫星，B为在赤道平面的中圆地球轨道卫星，绕行方向均与地球自转方向一致。已知地球自转周期为T1，卫星B的运行周期为T2，图示时刻，卫星A与卫星B相距最近。下列说法正确的是()A.卫星A、B、C的向心加速度的大小关系为aA＝aC<aBB.卫星C向后喷气加速可沿圆轨道追上卫星AC.经过时间eq\f(T1T2,T1－T2)，卫星A与卫星B又一次相距最近D.卫星A、C的发射速度小于第一宇宙速度解析：AC根据Geq\f(Mm,r2)＝ma得a＝Geq\f(M,r2)，由题图可知aA＝aC<aB，A正确；卫星C向后喷气加速做离心运动，不能沿圆轨道追上A，B错误；根据eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T2)－\f(2π,T1)))t＝2π，卫星A与卫星B又一次相距最近的时间间隔为t＝eq\f(T1T2,T1－T2)，C正确；第一宇宙速度是最小发射速度，则卫星A、C的发射速度大于第一宇宙速度，D错误；故选AC。8.如图所示，卫星甲、乙均绕地球做匀速圆周运动，轨道平面相互垂直，乙的轨道半径是甲的eq\r(3,49)倍。将两卫星和地心在同一直线且甲、乙位于地球同侧的位置称为“相遇”，则从某次“相遇”后，甲绕地球运动15圈的时间内，甲、乙卫星将“相遇”()A.1次 B.2次C.3次 D.4次解析：D根据开普勒第三定律有(eq\f(r乙,r甲))3＝(eq\f(T乙,T甲))2，解得T乙＝7T甲。从题图示时刻开始，乙转动半圈，甲转动3.5圈，“相遇”一次，此后乙每转动半圈，两个卫星就“相遇”一次，则甲运动15圈的时间内，甲、乙卫星将“相遇”4次。故选D。[能力提升题组]9.《天问》是中国战国时期诗人屈原创作的一首长诗，全诗问天问地问自然，表现了作者对传统的质疑和对真理的探索精神，我国探测飞船天问一号发射成功飞向火星，屈原的“天问”梦想成为现实，也标志着我国深空探测迈向一个新台阶，如图所示，轨道1是圆轨道，轨道2是椭圆轨道，轨道3是近火圆轨道，天问一号经过变轨成功进入近火圆轨道3，已知引力常量G，以下选项中正确的是()A.天问一号在B点需要点火加速才能从轨道2进入轨道3B.天问一号在轨道2上经过B点时的加速度大于在轨道3上经过B点时的加速度C.天问一号进入近火轨道3后，测出其近火环绕周期T，可计算出火星的平均密度D.天问一号进入近火轨道3后，测出其近火环绕周期T，可计算出火星的质量解析：C天问一号在B点需要点火减速才能从轨道2进入轨道3，故A错误；在轨道2和轨道3经过B点时，加速度相同，故B错误；假设火星的半径为R，轨道3轨道半径为r，因轨道3是近火轨道，所以r≈R，假设火星质量为M，天问一号质量为m，由万有引力提供向心力eq\f(GmM,R2)＝mReq\f(4π2,T2)，解得M＝eq\f(4π2R3,GT2)，火星的密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT2)，题干仅提供了引力常量，火星半径未知，故C正确，D错误。故选C。10.人造地球卫星与地心间距离为r时，取无穷远处为势能零点，引力势能可以表示为Ep＝－eq\f(GMm,r)，其中G为引力常量，M为地球质量，m为卫星质量。卫星原来在半径为r1的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于稀薄空气等因素的影响，飞行一段时间后其圆周运动的半径减小为r2。此过程中损失的机械能为()A.eq\f(GMm,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,r2)－\f(1,r1))) B.eq\f(GMm,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,r1)－\f(1,r2)))C.GMmeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,r2)－\f(1,r1))) D.GMmeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,r1)－\f(1,r2)))解析：A根据题意，卫星做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，则轨道半径为r1时有eq\f(GMm,r12)＝meq\f(v12,r1)，卫星的引力势能为Ep1＝－eq\f(GMm,r1)，轨道半径为r2时eq\f(GMm,r22)＝meq\f(v22,r2)，卫星的引力势能为Ep2＝－eq\f(GMm,r2)，设损失的机械能为ΔE，根据能量守恒定律得eq\f(1,2)mv12＋Ep1＝eq\f(1,2)mv22＋Ep2＋ΔE，联立以上各式可得ΔE＝eq\f(GMm,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,r2)－\f(1,r1)))。故选A。11.(多选)如图所示，火星与地球近似在同一平面内。绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍。地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行。当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日。忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是()A.火星的公转周期大约是地球的eq\r(\f(8,27))倍B.在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行C.在冲日处