《船舶结构力学》全册配套完整教学课件

《船舶结构力学》全册配套完整教学课件船舶结构力学

船舶是复杂的水上工程建筑物，经常在航行状态下执行任务，受到的外力也是非常复杂。这些外力包括：静载荷（货物、空船重量等）、水压力、惯性力以及各种冲击载荷等（动载荷）。为了保证船舶在各种受力情况下都能正常的工作，船舶应具有一定的强度——船体结构在正常使用过程中和服役期限内具有不破坏或不发生过大变形的能力。第一章绪论1.1船舶结构力学的内容和任务

船体强度的内容相当广泛：它包括船舶的总纵强度、局部强度、扭转强度；船体的稳定性：船体构件或板架受压过渡会丧失其稳定性；船体的振动；船体的低周疲劳问题等

船舶总纵强度:人们通过分析船舶的受力和变形特征，认识到可以将船舶看作是静止于波浪上的一根空心薄壁梁，计算船体在沿纵向分布的重力和浮力作用下的弯曲变形和应力。这种把船舶整体作为空心薄壁梁计算出来的强度就称为船舶总纵强度。如下图所示：中拱图1.1波面图1.1波面中垂

船舶局部强度:船舶横向骨架（船体横梁、肋骨、肋板）、船体局部构件（船底板、底部纵桁）在局部载荷作用下（如水压力作用下）的弯曲变形和应力。图1.2

船舶扭转强度:船舶在斜浪中航行，载荷沿船体左右舷非对称分布，导致船体扭转变形。主要是大开口船（集装箱船）

船体构件稳定性问题:船舶受压构件，压力达到或超过其临界载荷而丧失稳定性。图1.2总之船舶结构力学的内容和任务一.研究对象结构分为:杆系结构,板架结构,刚架结构三.内容

结构在外力作用下的响应即强度和稳定性问题——内力和变形以及许用应力的确定。二.任务

阐明结构力学的基本原理与方法——经典的力法、位移法和能量原理结构：承受并传递荷载的船体骨架部分1.2船舶结构的计算图形

实际结构都是非常复杂的，不管是船体结构还是其他一些结构，如厂房、剧院的网壳结构等等。我们在分析计算之前，必须将实际结构作一定的简化，简化后的结构图形就称为实际结构的理想化图形或计算图形（又称计算模型或力学模型等）

结构计算图形是根据实际结构的受力特征，构件之间的相互影响。计算精度的要求以及所采用的计算方法等确定的。对于同一个实际结构，基于不同的考虑就会得到不同的计算图形。也就是说，同一个实际结构，计算图形并不是唯一的，一成不变的。以下就是船体结构中常见的、典型的计算图形。图1.3

（一）船体结构中的板。船体结构中的板是连续的，构成了船体的外形，所以说板是具有曲度的，受到纵桁骨架的支持。通常把四周由纵横骨架支持的那一部分板作为对象分析计算。这样船体中的外板就可简化为具有矩形周界的板格。板上的荷载分为两类：一类是垂直于板面的荷载，如甲板货物和水压力。另一类是位于板平面的的荷载。如船体总纵弯曲时作用于船体板平面内的应力。船体结构中的板图1横向载荷图2面内载荷

横向载荷作用下板的强度计算的边界条件：由于纵桁骨架的抗弯刚度比板的抗弯刚度大得多，故可以把骨架近似地作为板的刚性支撑。面内载荷作用下板的稳定性计算的边界条件：四边自由支持，两对边受到面内载荷作用。（计算结果偏于安全）图1.4

（二）船体结构中的骨架。船体结构中的骨架包括横梁、肋骨、肋板、纵骨、纵桁等，他们大多是细长的型钢或组合型材。所以这种骨架被称为“杆件”，简称“杆”。而相互连接的骨架系统就称为“杆件系统”。实践证明，船体中的骨架受力变形时，和骨架相连的一部分板也会跟着变形，因此在研究骨架时就把与骨架相连的一部分板一起考虑。这时的板就称为附连带板。附连带板钢制船舶建造规范规定：骨架的带板宽度取骨架的间距和骨架跨距的1/5两者中的小者船体结构中骨架船体结构中骨架

船体的杆系是一个复杂的空间系统。实际计算时经常把它划分为一些形状比较规则的、简单的计算图形考虑。以图1.3为例，看纵骨在横向载荷下的弯曲应力和变形。在上甲板骨架中，纵骨的尺寸最小，它穿过强横梁并通过横舱壁保持纵向连续。在计算纵骨时可以认为强横梁具有足够的刚性支持纵骨，从而可以作为纵骨的刚性支座。纵骨在横舱壁处责作为刚性固定端，这样就得到图1.6所示的计算图形。图1.6

其次看甲板纵桁与舱口端横梁。在上甲板的骨架中，甲板纵桁和舱口端横梁尺寸最大，在计算时常略去其他骨架对他们的影响，于是在研究甲板纵桁和舱口端横梁时就得到一个“井”字型平面杆系，图1.7所示。此种杆系在横向载荷作用下发生弯曲，称之为“交叉梁系（grillage）”或“板架”.船体结构中的板架应该是指由板与纵横骨架组成的板、梁组合结构。图1.7

再看横梁。由于船体横剖面内，横梁、肋骨及船底肋板共同组成一个平面杆系，因此常把他们一起考虑作为船体横向强度的研究对象。这种杆系的连接点是刚性的，并受到作用于杆系平面内的载荷作用，故称为“刚架”（RigidFrame）。图1.8所示图1.8

以上介绍的连续梁、刚架和板架就是船体结构中三种典型的杆系。应用结构力学中经典理论和方法，人工计算就能得到比较满意的结果，但是这些计算图形具有一定的近似性。随着电子计算机的普遍应用，大型超大型商业有限元软件的发展，整船有限元分析已经成为现实。第二章单跨梁的弯曲理论Bending

TheoryofSingle-SpanBeam

几何特性：受外荷作用而发生弯曲的杆件叫作梁，仅在梁的两端有支座的梁叫单跨梁。悬臂梁是单跨梁的一种特殊情形。船体骨架是复杂的空间杆件系统，组成骨架的每一根杆件都可看作梁。以后在分析杆件系统时，总是根据一定的法则把他们拆开为一根一根杆件进行分析。每一根杆件都是单跨梁。学习中应注意的问题：多思考,勤动手。本章是后面学习的基础，十分重要，要熟练掌握！一般为斜直线水平线抛物线下凸有极值为零处有尖角(向下）有突变(突变值=

FP)有极值变号无变化

有突变（突变值=M）剪力图弯矩图梁上情况无外力均布力作用

(q向下)集中力作用处(FP向下)集中力偶M作用处铰处无影响为零斜直线

剪力图与弯矩图之间的关系§2-1梁的弯曲微分方程式及其通解1.梁的弯曲微分方程式

梁的弯曲理论的基本内容在材料力学中已经阐明，本节在此基础上作一些补充，以满足船舶结构计算的需要。现考虑一单跨直梁规定梁向下挠度为正，顺时针方向转角为正图2.1

从梁中取出微段dx，将其放大后如下图所示。在图示坐标系下，规定左截面上的弯距逆时针方向为正，右截面上的弯距顺时针方向为正；左截面上剪力向下为正，右截面上剪力向上为正。载荷向下为正。图2.2

梁本身处于平衡状态，所以取出的微段也应处于平衡状态。根据微段的平衡条件得到：

对于梁的纯弯曲，有下式：（2－1）（2－4）（2－3）（2－2）

利用式（2－1）～（2－4），就可得到梁的弯曲微分方程式：（2－5）（2－6）（2－7）

式（2－7）就是等截面直梁的弯曲微分方程式。2.梁的弯曲微分方程式的通解，初参数法

式（2－7）是简单的常微分方程，逐次积分可得到：（a）（b）（c）（d）

我们把梁的弯矩、剪力、横截面转角及挠度称为梁的弯曲要素。梁左端的弯曲要素称为初始弯曲要素，或简称为初参数。当时，由式(a)、(b)、(c)、(d)可得出：式中是积分常数，式（d）就是微分方程式（2－7）的通解可见，积分常数就是梁的初参数。于是通解式（d）可用梁的初参数表示为：（e）

(1)等号右边的四项表示由初参数引起的挠度，最后一项表示由分布载荷引起的挠度。(2)如果没有分布载荷项，上式变为：（2-8）这说明，梁的挠度取决于梁端四个初参数。

讨论：（1）集中力作用下的梁。pblxyx

将梁分成两段：为第一段，为第二段，并把集中力看作是作用在第二段的初始点。于是对于第一段，梁的挠曲线可写为：第二段相对与第一段来说，它在端点多了一个集中力，这个集中力相当于第二段的一个初始剪力，且为正。所以梁的挠度在第一段过渡到第二段时仅增加一项与P有关的项：此处为自第二段开始算起的坐标再在加符号，表示此项在时才起作用，于是得到梁的挠曲线为:

同理：（2）在集中弯距作用下的梁。blxyxm图2.3（2-9）（2-10）

同理：（3）在任意分布载荷作用下的梁。blxyxq(x)图2.4（2-11）

综上所述，在任意载荷作用下梁的挠曲线方方程为：blxyxq(x)caPm图2.5（2-12）（2-12）式为等截面直梁的挠曲线通用方程式。以上寻求梁挠曲线通用方程式的方法称为初参数法。§2-2梁的支座和边界条件1.梁的支座及相应的边界条件

（1）自由支持在刚性支座上边界条件为:图2.6活动铰支座固定铰支座

（2）刚性固定在刚性支座上，刚固端边界条件为:

（3）弹性支座vvEIxyP图2.7图2.8

所谓弹性支座，在受到作用载荷P后将产生一个正比于力P的挠度v，存在如下关系式中A是弹性支座的柔性系数；K是弹性支座的刚性系数。A与K互为倒数。

梁两端所受到的支座反力（剪力）R都是向上的，根据上一节剪力符号的规定，梁右端的剪力为正，左端剪力为负。由剪力与挠度的关系式，代入上式得到：

由此，得到自由支持在弹性支座上梁端的边界条件为:

讨论：刚性系数为0时，和柔性系数为0时各代表哪种边界条件？

（4）弹性固定端

所谓弹性固定端。在受梁端力矩M作用后产生一个正比于力矩M的转角

，即存在如下关系：式中A

是弹性固定端的柔性系数；K

是弹性固定端的刚性系数，显然A

与K

互为倒数。

xyA

A

EIMM图2.9

梁两端受到的支座反力矩即梁端弯距，根据上节弯距正负号的规定，他们均为正。由转角的正负号规定，左端为正，右端为负。由弯距与挠度之间的微分关系：＝EIv’’,将其代入式（2-14）得

这就是弹性固定端得边界条件。由此可得弹性固定在刚性支座上梁端的边界条件：

讨论：刚性系数为0时，和柔性系数为0时各代表哪种边界条件？

xyAAEIy图2.10图2.112.挠曲线通用方程式的应用例1:求图2.12所示的挠曲线方程及左右端处的转角。xyAEIm图2.12l

当梁端有集中力或弯距作用时，梁端的边界条件都应当把他们考虑在内。对于给定已知挠度或转角，在写边界条件时，也应把他们考虑在内。有了边界条件，就可以应用挠曲线通用方程式确定单跨梁的挠曲线方程和其它弯曲要素。

解：从图中可以看出，除了在梁的右端有一集中弯距外，梁上没有任何载荷。由式（2-8）得：

根据梁右端的边界条件：

将两端的边界条件代入到上式得：

4个未知数，要列4个平衡方程：

根据梁左端的边界条件：（a）

从而解得：

将其带入到通用挠曲线方程式（a）从而得到梁的挠曲线方程，继而可以得到梁的转角方程。从而可以计算梁左端和右端的转角。

梁的挠曲线方程为：

梁的转角方程为：

梁的左端转角为：

梁的右端转角为：

当A＝时，实际上就是固定铰支座mx图2.13myEIl当A＝0时，就是固定端。mxyEI图2.14l例2:求图2.15所示的梁的挠曲线方程xy

解：从图中可以看出，本梁只受到均布载荷q的作用。由式（2-11）得：图2.15

4个未知数，要列4个平衡方程：

根据梁右端的边界条件：

将两端的边界条件代入到上式得：

根据梁左端的边界条件：

又：

从而解得：例3:求图2.16所示的梁的挠曲线方程xyA

EIm图2.16l/2l/2P

左端弹性固定端柔性系数，右端弹性支座柔性系数

解：从图中可以看出，本梁只受到集中载荷P的作用。由式（2-9）得：

4个未知数，要列4个平衡方程：

根据梁右端的边界条件：

根据梁左端的边界条件：

解得：§2-3梁的弯曲要素表及其应用

从上节看出，利用梁的挠曲线通用方程式及边界条件可以确定各种单跨梁的挠曲线方程，从而进一步确定梁的弯曲要素。在教材附录A中给出了各种边界条件下梁的弯曲要素表。目前我们考虑的弯曲公式是在小变形及材料符合虎克定律的前提下推导的，所以梁的弯曲要素与梁上的外力成线性关系，从而可以采用叠加原理计算单跨梁上同时受到几种不同外载荷作用下的弯曲要素。

由附录A可见，各种弯曲要素表的详细程度不相同，其中两端自由支持梁的弯曲要素表最详细。此外，各种弯曲要素表中的载荷种类也不尽相同。因此，当利用这些弯曲要素表及叠加原理来确定某一特定单跨梁的弯曲要素时，还存在一些技巧。下面举例进行说明。例1:求图2.17所示的梁的中点挠度，右端转角，并作出梁的剪力图和弯距图。图2.17

解：使用叠加法，将受到分布载荷和集中载荷的单跨梁AB，拆开为单独受到均布载荷和集中载荷的两根单跨梁，如图（a）和（b）所示：图2.17a图2.17b

(1)计算中点挠度。从附录表A－3中的1和2很容易计算得到每根梁中点的挠度得：

从附录表A-3中，利用叠加原理可以得到右支座反力和固定端弯距的大小。(2)计算右端转角。附录表A-3中并没有给出右端转角。但是附录表A-2给出了两端自由支持梁在各种载荷下的弯曲要素。这样，我们就可以将图2-17等效为两端自由支持梁分别受到集中力、分布载荷和集中力矩来处理。MRb=5P/16+3ql/8=23ql/48Ma=ql2/8+3pl/16=ql2/8+ql2/16=3ql2/16图2.17cMM图2.17d图2.17e图2.17f

查附录表A-2，应用叠加原理很容易就算得到梁右端的转角为；

(3)画弯距图和剪力图。有两种途径，一种是根据附录表A-3中的弯距图和剪力图直接叠加；另外一种是根据图2-17d、2-17e、2-17f采用附录表A-2中的弯距剪力图叠加得到。﹢﹣﹢﹣﹢﹣﹣﹢

剪力和弯距为0时的x坐标值一定要计算准确；﹢﹣﹢﹣﹢﹣﹣﹢注意:是竖标相加,不是图形的简单拼合.例2:计算下图所示的两端刚性固定梁的弯曲要素xy

l/2l/2Pyl/2l/2mx例3:计算下图所示的一端弹性固定，另一端弹性支座梁的中点挠度、端点转角并画弯矩图和剪力图.α=l/3EI,β=l3/48EI,βxyl/2l/2mm1m2xyl/2l/2Pβ§2-4梁的复杂弯曲

作用在梁上的外力除了横向力外，还有轴向拉力（压力），如图2-18所示。如果梁的抗弯刚度EI不大或者轴向力很大，那么轴向力所引起的弯曲要素就不能忽略。我们把同时考虑横向和轴向这两种载荷作用梁的弯曲称为梁的复杂弯曲。xyTT图2-181.梁的复杂弯曲微分方程推导

对于图2-18所示的复杂弯曲梁，由截面法知道，在梁的任一截面上除了有弯距、剪力外还有轴向力。轴向力的存在一方面使得梁断面的正应力增加了一项沿断面均匀分布的量T/A（A为梁的横截面面积），同时对梁的弯曲要素也有一定的影响。梁在复杂弯曲时，我们仍认为梁截面符合材料力学中的平断面假定，材料仍然服从虎克定律，因此基本关系式不变。为了进一步导出弯曲微分方程式。仍在梁中取出一段长度为dx的微段，这时为了反映轴向力的影响，所以画出了微段在变形后的情况。MTqM+dMNN+dNTdxdv图2-19

列出微段的平衡方程式：yx

略去高阶微量后，得：(2-13)

将式（2-13）再微分一次，并将关系式带入后，得到：（和普通梁的结果一样）（和普通梁的结果不一样）

对于等截面和轴向力沿梁长不变的情况，得：(2-15)(2-14)

这就是梁在复杂弯曲（轴向力为拉力）时的弯曲微分方程式。

如果轴向力为压力，只要在上式中用（-T）代替（T）即可。为了表达清晰起见，令轴向压力的绝对值为T﹡，这样用（-T﹡）代替上式中的T，便可得到梁在复杂弯曲（轴向力为压力）时的弯曲微分方程式：(2-16)2.微分方程式的解，初参数法

微分方程式（2-15）的解分为相应的齐次方程式的通解和非齐次方程式的特解两部分。先考虑轴向拉力的情况，即方程式（2-15），其齐次方程式为：

此式可改写为：

式中：(2-17)(2-18)

于是，可将方程式（2-18）的解写作：(2-19)

将式（2-19）代入到（2-18）中得特征方程为：(2-20)

此特征方程有4个根，分别为：

所以方程式（2-18）的解为：

式中为积分常数

仿照§2-1中的方法，直接将此解推广到梁上受任意横向载荷的情况而无须求其特解，为此将上式逐次积分：(2-21)并利用式（2-13），有：设为x＝0时梁的四个初始弯曲要素

从而解得：

代入式（2-21）得：

仿照（2-12）式，就可以将（2-21）推广到梁上受任意横向载荷得一般情形：(2-22)bdTyxq(x)caPmxT(2-23)图2-20

当x>d时，积分上限为d。

如果是轴向压力，只要将轴向拉力公是中得T用（-T＊）代替，或k用（ik＊）代替即可，其中：(2-24)

当x>d时，积分上限为d。

利用挠曲线通用方程式（2-24）及梁端的边界条件，就可以确定相应梁复杂弯曲时的挠曲线方程，从而由弯距与挠度的关系式确定弯距方程。进一步可以确定梁在复杂弯曲时任一横截面上的剪力。

（1）轴向力为拉力时

（2）轴向力为压力时(2-26)(2-25)由式（2-25）和（2-26）可见，梁复杂弯曲时剪力与挠度的微分关系式和梁在横力弯曲时并不相同。当求得梁复杂弯曲时的挠曲线方程后，应由式（2-25）和（2-26）确定剪力方程。在写梁端边界条件时也应注意式（2-25）和（2-26），及对于复杂弯曲,从而弹性支座的边界条件就与横力弯曲时的不同，对于轴向力为拉力或压力的梁，其弹性支座的边界条件为：式中，符号的取法：左端取(-)，右端取(+)复杂弯曲时的弹性固定在弹性支座上的边界条件也与横力弯曲时不同。写为：轴向拉力轴向压力式中，符号的取法：上面的符号适用于左端，下面的符号适用于右端边界条件为：yTT图2-21边界条件为：yTT图2-21例1:如图2-22所示，受均布载荷q，两端自由支持并受轴向拉力的T作用的梁，计算其弯曲要素。3.例题图2-22TxyTqEIl解：先应用式(2-23)计算梁的挠曲线方程式。梁左端的边界条件：(a)将边界条件代入到(a)式得：

为了算出上式中的积分，利用变量代换方法。

积分上下限为0和x。(b)将积分结果代入到(b)式得：梁右端的边界条件：代入到(c)式得：(c)(d)将(d)式代入到(c)式整理后得：式中

有了挠曲线方程后，我们就不难求得梁的弯曲要素。现将通常所需的梁的中点挠度、端点转角及中点弯距的公式写出如下：(e)(f)式中(g)(g)称为复杂弯曲的辅助函数，他们的数值取决于，即取决于轴向力T，梁的抗弯刚度EI和梁长l。复杂弯曲梁的辅助函数和弯曲要素表见附录B。

现讨论的取值对复杂弯曲梁弯曲要素的影响：(2)>0，即T>0，(g)式中的函数随着的增加而减少，说明轴向拉力使得梁的弯曲要素减少。(1)=0，即T=0，(g)式中的函数均为1，这时所得到的公式就是以前推导的仅受横向荷重时的公式

如果所讨论的梁受到的是轴向压力T＊，则在以上公式中将(-T＊)代T，ik＊代k,i＊代。此处：

即可得到相应的公式如下：

及：

式中：(h)(i)(j)同样为复杂弯曲的辅助函数。

现讨论＊的取值对复杂弯曲梁弯曲要素的影响：(2)＊>0，(h)式中的函数随着＊的增加而增大，说明轴向拉力使得梁的弯曲要素增大。当＊=/2，即(1)＊=0，即T＊=0，(g)式中的函数均为1，这时所得到的公式就是以前推导的仅受横向荷重时的公式时，，这说明当轴向压力即使梁受到非常微小的载荷，梁都会丧失其稳定性。因而也可以把复杂弯曲中使弯曲变形趋向无穷大的轴向压力定义为临界压力。我们在材料力学压杆的稳定性一章中，两端铰支的细长压杆的欧拉临界载荷也是

综上，我们可以指出：当梁受任何横向荷重及轴向拉力或轴向压力作用而发生复杂弯曲时，不论两端固定情况如何，总归是轴向拉力使得梁的弯曲要素减小；轴向压力使得梁的弯曲要素增大。使得弯曲变形趋向无穷大的轴向压力就是压杆的临界压力。4.复杂弯曲梁的弯曲要素及叠加原理

对于受其他荷重作用和其他支撑情况的单跨复杂弯曲梁，用同样的方法可以求出其挠曲线方程式和弯曲要素，其结果列在附录B中：这就是复杂弯曲梁的弯曲要素表。由复杂弯曲梁的通用挠曲线方程式(2-23)和(2-24)知，挠度v与参数k或k＊不成线性关系，但是当k或k＊为常数时，即轴向拉力T或压力T＊保持不变，挠度v与横向载荷之间成线性关系。

故梁在一定的轴向力作用下，梁上受到不同横向载荷时的弯曲要素仍可用叠加原理求解，即可分别求得在该轴向力作用下的各个横向载荷作用时的弯曲要素，然后叠加。例1:如图2-23所示的梁，两端受到集中力矩的作用，求梁两端面的转角。图2.23xyEIl解：根据附录表B-2m1m2xyEIlm1xyEIlm2＋叠加后得到梁两端的转角分别为：函数值见附表B-3和B-4例2:求如图2-24所示的梁固定端弯距xyEITTxyEITTM解：附录表B-2并没有提供这种支座形式，我们将其等效为图2-25形式的梁。图2-24图2-25利用附录表B-2提供的均布载荷下梁左端的转角和集中力矩作用下梁左端的转角，利用叠加原理。再根据固定端处，转角为零的边界条件，就可以求得端面弯距。叠加后利用梁左端转角为零，得到端面弯距为：5.轴向力对梁弯曲要素的影响

由附录表B提供复杂弯曲的弯曲要素表可见，轴向力对弯曲要素的影响取决于辅助函数，而辅助函数值的大小又由参数和（＊）决定。因所以，轴向力对弯曲要素的影响程度取决于轴向力与梁抗弯因子4EI/l2之比值。而不仅仅取决于轴向力的大小。由附录表B可见当或（＊）≦0.5时，各辅助函数的值接近于1，说明在此范围内，轴向力对弯曲要素的影响很小，可以忽略

在船体骨架的强度计算中，一般来说参数或（＊）之值不大，因而习惯上都不考虑轴向力对弯曲要素的影响。于是在计算受横向载荷和轴向力同时作用的骨架横截面上的正应力时，可以简单地使用材料力学中给出的公式。式中，M—由横向载荷引起的梁横截面上的弯距；I、A—横截面的惯性距和横截面面积。但是，对船体结构中的板来说，情况就不同了，由于板的抗弯能力远比骨架小，故必须考虑板中面力对板弯曲应力的影响。§2-5弹性基础梁的弯曲

支撑于弹性基础上的梁叫弹性基础梁。弹性基础梁在受到横向载荷而发生挠度时，弹性基础会给梁一个正比于挠度的反力。设梁的挠度为v，则弹性基础给梁的单位长度上的反力为Kv，其中K是比例系数，简称为弹性基础的刚性系数。在对某些工程结构物进行强度计算时，有时可将其简化为弹性基础梁的弯曲计算。例如铁轨和枕木的计算，房屋建筑中的钢筋混凝土条形基础的计算。船体结构中板架纵桁的计算以及潜艇耐压壳体强度计算都可以归结为弹性基础梁的弯曲计算。

对于有横向分布载荷q作用的弹性基础梁，若把弹性基础给梁的单位长度上的反力Kv看作是分布载荷（-Kv），则将（q-Kv）代替普通梁的弯曲微分方程式中的q：1.等截面弹性基础梁的弯曲微分方程式及其解(2-27)

式中弹性基础的刚性系数K不随坐标x变化，即再整个梁长范围内K是常数弹性基础梁的截面转角、弯矩、剪力与挠度的微分关系仍和普通梁一样，即：

对于微分方程式（2-27），可用初参数法求解。即先求出（2-27）的齐次方程的通解，然后推广到受任意载荷作用时弹性基础梁的解。将式（2-27）的齐次方程式改写为：(2-28)(2-29)

式中

对于齐次微分方程式（2-29）的解，根据高等数学微分方程的解法，其通解为：(2-30)

式中C1～C4为积分常数。需要找出这4个积分常数与梁端截面的弯曲要素之间的关系，为此，将式（2-30）逐次微分，得：

由式（2-30）及上面三式，当x=0时，根据式（2-28），可得：(2-31)

将他们代入通解式（2-30）得：(2-32)

式中v0、

0、M0、N0——梁截面的挠度、转角、弯矩、剪力。由上式可解得：

称为普日列夫斯基函数。于是式(2-32)就可写成：(2-33)

令函数：(2-34)

普日列夫斯基函数之间有下面的循环微分关系和一些特殊数值：(2-35)(2-36)

现将式（2-34）推广到受任意载荷作用的弹性基础梁（图2-26）。由§2-1所述初参数法，仿照式（2-8），由式（2-34）可写出yxmPqabcdK图2-26(2-37)

现将式（2-38）称为弹性基础梁的挠曲线通用方程式。有了该方程式和边界条件就能求出相应的弹性基础梁的挠曲线方程，继而根据（2-28）可以求出其他弯曲要素。例3:对于受均布载荷q作用的两端刚性固定的弹性基础梁（图2-27），求梁的挠曲线方程、转角、弯矩和剪力。xqKyl/2l/2解：由于梁的结构和载荷都对称于跨中，故取跨度中点为坐标原点。这样，在x=0处，0=0，N0=0。由式（2-37）可知，梁的挠曲线方程为：上式等号右边最后项的积分，利用函数V3与V0之间的微分关系（式2-35），可以得到：从而梁的挠曲线方程式可以写成：由式（2-50）可知4α4EI=K,再将上式中的同类项合并，得到：上式的积分常数D0和D1根据边界条件确定：(2-38)式中,求解上述方程组得到：

将积分常数D0和D1的表达式代入到（2-38），得到梁的挠曲线方程为(2-39)

根据式（2-28）及（2-35），可求出梁的转角、弯矩和剪力的表达式：(2-40)(2-41)(2-42)(2-43)

由式（2-40）～（2-43），可算出梁中点(x=0)的挠度、弯矩及梁端点(x=l/2)的弯矩、剪力：(2-44)(2-45)(2-46)(2-47)

式中称为弹性基础梁的辅助函数。(2-48)

弹性基础梁的辅助函数反映了弹性基础对梁弯曲要素的影响。当u=0（即K=0）时，表示不存在弹性基础，此时，上述辅助函数值均为1；当u>0(即k>0)时，辅助函数值随u的增大而减小，这说明弹性基础的刚性系数增大，梁的弯曲要素将减小。

由式（2-37）及以上分析可知，当弹性基础的刚性系数K一定即参数u一定时，梁的弯曲要素与外载荷之间成线性关系，因此，当弹性基础梁受到几种不同外载荷作用时，仍可采用叠加法，分别求出各个外载荷单独作用下时的弯曲要素，然后叠加，求得几种不同外载荷同时作用下的弯曲要素。

舷侧结构的计算图形如图2-27所示。2.由一根舷侧纵桁和多根肋骨组成的舷侧结构的计算LaxRxxyq(x)Rx

舷侧肋骨受到垂直于板面的分布载荷。这些载荷将由板传给肋骨。所以计算时可以认为外载荷全部由肋骨承受。另假定：所有肋骨尺寸相同，且为等截面、等间距布置；各肋骨上外载荷的分布规律相同，端点固定情况也相同。将肋骨与舷侧纵桁在相交点（节点）处拆开，加上相互作用力R(X)(图2-28)。对于坐标为x处的一根肋骨，在外载荷q(x)和相互作用力R(x)共同作用下，肋骨与纵桁交点处的挠度：

式中，β、

——影响系数，它们与肋骨上的外载荷及肋骨两端的固定情况有关，也与节点的位置坐标有关，可由单跨梁的弯曲要素表求出。由于假定各肋骨的固定情况相同及外载荷的分布规律相同，故β、

为常数，即对于所有的β、

值都是一样的。

由上式可写出相互作用力R(x)的表达式，即(2-49)(2-50)

舷侧纵桁受到一系列集中力R(X)的作用。根据假定肋骨是等间距设置的，故这些集中力的间距为a。计算表明，当集中力的数目大于5时集中力共用分布力R(x)/a代替，梁弯曲要素的误差将在5%之内。现用R(x)/a代替R(X)，舷侧纵桁弯曲微分方程式为：(2-51)

将式(2-50）代入到上式得：(2-52)Kq

得：

式（2-53）就是弹性基础梁的弯曲微分方程式。此式表明舷侧纵桁相当于一根受外载荷q作用，具有刚性系数为K的弹性基础梁。利用挠曲线通用方程式及舷侧纵桁两端的边界条件（挠度、转角均为零），即可求出舷侧纵桁的挠曲线v(x)，继而求出其他弯曲要素，再根据式（2-49）确定R(X)，最后求出每一根肋骨再外载荷q(x)和R(X)共同作用下的弯曲要素作业：第一次：2.22.32.4第二次：2.62.7

回顾:(1)船舶结构力学的任务

(2)梁的挠曲线微分方程通解的积分常数是梁的初参数吗？

(3)如果梁两端是自由支持的，那么两端支座是刚性支座与两端支座是弹性支座时。梁断面的弯矩和剪力a.都相同b.都不相同c.弯矩相同、剪力不同d.剪力相同、弯矩不同第三章超静定结构的解法—力法MethodsofAnalysisofStaticallyIndeterminateStructures－Mechanics§

3-1超静定结构的组成与超静定次数的确定静力特征:仅由静力平衡方程不能求出所有内力和反力.超静定问题的求解要同时考虑结构的“变形、本构、平衡”.几何特征:有多余约束的几何不变体系。

超静定结构是相对于静定结构而言的。静定结构是几何不变而又没有多余约束的体系，其反力和内力只需静力平衡方程即可求得。所谓几何不变体系是指如果不考虑材料应变所产生的变形，体系在受到任何载荷作用后能够保持其固有的几何形状和位置的体系。超静定结构有以下几个特征：概述

拱

组合结构

1）超静定结构的类型

桁架

超静定梁

刚架

§

3-1超静定结构的组成与超静定次数的确定

桁架（1）超静定次数——结构多余约束或多余未知力的数目，即为超静定次数。（2）确定超静定次数的方法——通过去掉多余约束来确定。（去掉n个多余约束，即为n次超静定）。（3）去掉（解除）多余约束的方式2）超静定次数确定a、撤去一个活动铰支座、去掉或切断一根链杆——去掉1个约束（联系）；X1§

3-1超静定结构的组成与超静定次数的确定b、去掉一个单铰或一个固定铰支座——

去掉2个约束；c、切断刚性联系（梁式杆）或去掉一个固定端——去掉3个约束；X1X2X1X2X3X1X2X3§

3-1超静定结构的组成与超静定次数的确定d、将刚性连接改为单铰——去掉1个约束。注意事项（1）对于同一超静定结构，可以采取不同方式去掉多余约束，而得到不同形式的静定结构，但去掉多余约束的总个数应相同。（2）去掉多余约束后的体系，必须是几何不变的体系，因此，某些约束是不能去掉的。X1§

3-1超静定结构的组成与超静定次数的确定几何可变体系不能作为基本体系§

3-1超静定结构的组成与超静定次数的确定举例：X1X2X1X2X1X3X2§

3-1超静定结构的组成与超静定次数的确定X4X3X1X2X1X2举例：§

3-1超静定结构的组成与超静定次数的确定X1X1X2X2X3X3X1X2X3平衡方程个数：2×8＝16

未知数个数：16+3=19多余约束力：19-16＝3§

3-1超静定结构的组成与超静定次数的确定计算桁架超静定次数的简单公式(m+r)-2j=16+3-2×8=3m（杆个数）；r（支反力数目）；j（节点数）X1X2X3X1X2X3每个无铰封闭框超三次静定超静定次数3×封闭框数=3×5=15超静定次数3×封闭框数－单铰数目=3×5－3=12举例：§

3-1超静定结构的组成与超静定次数的确定一个无铰封闭框有三个多余约束.§

3-1超静定结构的组成与超静定次数的确定3×封闭框数－单铰数目=3×3－4=53×封闭框数－单铰数目=3×3－3=6此两链杆任一根都不能去掉此链杆不能去掉

力法的基本思想:1.找出未知问题不能求解的原因,2.将其化成能求解的问题,3.找出改造后的问题与原问题的差别,4.消除差别后,改造后的问题的解即为原问题的解§

3-2力法的基本原理及典型方程

解除多余约束，转化为静定结构。将多余约束以多余未知力代替。这种把多余约束力作为基本量的计算方法——力法。§

3-2力法的基本原理及典型方程看下面简单的例子：llq123

如图3-6所示的双跨梁，它是二次超静定结构。在用力法计算时，可将其两个多余联系去掉。llR1R2qllM1M2M2(2)122图3-6a图3-6c图3-6b§

3-2力法的基本原理及典型方程

为了求出基本结构中多余的约束力，必须考虑原结构在多余联系处的已知变形条件。下面以求M1和M2（图3-6b）为例来说明。原结构（图3-6a）在均布载荷q作用下在固定端处的转角为零，在中间支座处转角连续。为使基本结构的受力和变形与原结构完全一致，就应使基本结构在多余约束力M1

、M2

载荷q作用下在支座1处的转角为零，在支座2处的转角连续，即：支座1处的转角支座2处的转角§

3-2力法的基本原理及典型方程

上式即为变形协调条件。利用两端自由支持单跨梁的弯曲要素表，可以得到转角与弯矩和外载荷之间的关系式，并将他们代入到上式，得到：根据变形条件求解：§

3-2力法的基本原理及典型方程

求出基本未知量M1和M2后，就可分别对两个静定单跨梁进行计算，并用叠加法画出梁1-2和2-3的弯矩图和剪力图，此即原双跨梁的弯矩图和剪力图。0.071ql2

0.107ql2-0.125ql2-0.125ql2

0.5ql-0.5ql0.036ql0.036ql-0.5ql0.5ql

-0.107ql-0.107ql0.393ql0.464ql

0.607ql0.536ql0.713ql2

0.107ql2

第二种等效方法固定端支反力在均布载荷q作用下:变形条件求解：

0.464ql0.536ql0.607ql0.393ql0.713ql20.107ql2§

3-2力法的基本原理及典型方程在集中载荷R1作用下:在集中载荷R2作用下:

力法基本原理：把去掉原结构上的多余联系后所得的静定结构作为基本结构，以多余约束力作为基本未知量，根据原结构在多余联系处的变形条件列力法方程，解之即得多余约束力；而以后的计算与静定结构相同。必须指出，基本结构的选取虽然可以不同，但它必须是几何不变的。否则不能用作计算超静定结构的计算图形。上述基本原理可以用于分析任何类型的超静定结构，例如连续梁，刚架和桁架等。§

3-2力法的基本原理及典型方程

如果把图3-6b中的M1称为第一个多余约束力，记做X1；M2称为第二个多余约束力，记做X2。并且把力法方程组改写成：

式中：(a)§

3-2力法的基本原理及典型方程

与图3-6b对照，可以看出：力法方程组(c)中的系数

11就是当X1=1单独作用于基本结构时，在X1作用点沿X1方向的转角（广义位移），而

21就是在X2作用点沿X2方向的转角；

22就是当X2=1单独作用于基本结构时，在X2作用点沿X2方向的转角（注意基本结构有一对X2），而

12在X1作用点沿X1方向的转角；

1p就是当外载荷单独作用于基本结构时在X1作用点沿X1方向的转角；而2p就是当外载荷单独作用于基本结构时在X2作用点沿X2方向的转角§

3-2力法的基本原理及典型方程

对于n次超静定结构，其力法方程组可写为。（3-1）

注：对于有支座沉降的情况，右边相应的项就等于已知位移（沉降量），而不等于零。§

3-2力法的基本原理及典型方程（1）系数（柔度系数）、自由项

主系数δii(i＝1,2,…n)——单位多余未知力单独作用于基本结构时，所引起的沿其本身方向上的位移，恒为正；Xi＝1

副系数δ

i

j(

i≠j)——单位多余未知力单独作用于基本结构时，所引起的沿Xi方向的位移，可为正、负或零，且由位移互等定理：δi

j=δj

iX

j＝1

自由项ΔiP

——荷载FP单独作用于基本体系时，所引起Xi方向的位移，可正、可负或为零。

ii和ΔiP的计算，一般可用材料力学中的位移计算方法，如单位力法§

3-2力法的基本原理及典型方程（3）最后弯矩（2）典型方程的矩阵表示§

3-2力法的基本原理及典型方程力法基本思路小结

解除多余约束，转化为静定结构。多余约束代以多余未知力——基本未知力。

分析基本结构在单位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立位移协调条件——力法方程。

从力法方程解得基本未知力，由叠加原理获得结构内力。超静定结构分析通过转化为静定结构获得了解决。§

3-2力法的基本原理及典型方程§

3-3刚性支座上连续梁与不可动节点简单刚架计算§

3-3刚性支座上连续梁与不可动节点简单刚架计算1）刚性支座上连续梁与三弯距方程

1i-12I1l1n-1ii+1nIi-1IiIn-1li-1liln-1qi-1qiM1l1M2I1Mi-1li-1MiIi-1qi-1Mi+1MiliIiqiMn-1ln-1MnIn-1图3-1(a)图3-1(b)

图(3.1a)所示的为n-1跨的刚性支座上的连续梁，其两端刚性固定。首先判断它是一个n次超静定梁（无轴向载荷，故无轴向约束反力），将连续梁两端的刚性固定端改为固定铰支座，并以相应的多余约束力（端面弯距）代替，在每个中间支座处将梁切断，并以相应的约束反力（梁截面上的弯距）代替。得到如图（3.1b）所示的基本结构—单跨梁。它会使得力法方程简化。§

3-3刚性支座上连续梁与不可动节点简单刚架计算

根据原结构在刚性固定端转角为零和在支座处转角连续性条件，列出方程：（3-2a）i=2,3,…,n-1§

3-3刚性支座上连续梁与不可动节点简单刚架计算

将上式整理后得到：（3-2b）§

3-3刚性支座上连续梁与不可动节点简单刚架计算

式中，i＝2,3,…,n-1；

i(qi-1)——第i-1跨梁上所有外荷引起得在支座i处的梁右端的转角；

i(qi)表示第i跨梁上所有外荷引起的在支座i处梁左端的转角；1(q1)、n(qn-1)同理，并规定沿顺时针方向的转角为正，反之为负。由式（3-2）可见，每个方程中最多含三个未知弯距，故式（3-2）称为三弯距方程，改写为矩阵形式为：§

3-3刚性支座上连续梁与不可动节点简单刚架计算（3-3）§

3-3刚性支座上连续梁与不可动节点简单刚架计算式中系数矩阵是对称矩阵，

ij=ji,且（3-4）§

3-3刚性支座上连续梁与不可动节点简单刚架计算

式中，i＝2,3,…,n-1。（3-5）

式中，i＝2,3,…,n-1。

式（3-3）在数学上称为三对角方程。当连续梁上支座数目较多时，可以采用追赶法在计算机上求解。§

3-3刚性支座上连续梁与不可动节点简单刚架计算

例题1：计算图3.2所示的等截面三跨连续梁。已知l＝8m，P=ql/2=40kN,q=10kN/m

解：取其基本结构如图(b)所示。根据基本结构在支座1处的转角为零，在中间支座处转角连续的条件，列出三个力法方程。M3M1M2M2M3q(b)l/2l/2llPq1234图3-2(a)

将以上三个方程两边同乘以6EI/l，整理得：

解得：

得到固定端和各截面的弯距后，就可以采用叠加法绘制剪力图和弯距图。

对于仅受到均布载荷的等截面、等跨度的连续梁，则连续梁每一跨度的变形均相同，中间支座处的转角为零。这种连续梁可作简化计算，只需取出一跨，将其作为两端刚性固定的单跨梁计算，无需对整个连续梁进行计算。目前，船体结构中的甲板纵骨及船体纵骨大都满足以上条件，所以都可以作为两端刚性固定的单跨梁处理。

回顾：超静定结构静定结构多余联系多余约束力力法方程连续性条件力法

船体结构中的甲板纵骨、舷侧纵骨和船底纵骨这些纵向构件（超静定结构）可以采用三弯矩方程得以解决。对于由横梁、肋骨和肋板组成的横向框架结构？2）不可动节点简单刚架计算

船体结构中的刚架大都是由横梁、肋骨和肋板组成的横向框架结构。刚架中杆件的相交点叫作刚架的节点。多个杆件（多余两根）汇交于一个节点复杂刚架两根杆件汇交于一个节点简单刚架图3.3

实际结构中，大多数刚架受力变形后节点位移可以不计，于是计算强度时在节点处加上固定铰支座，称为不可动节点刚架。少数情况，对于大开口船舶，舱口端横梁在载荷作用下会有较大线位移，因此在计算强度时只能加弹性支座或给定一个已知线位移，这种刚架称为可动节点刚架。可动节点刚架

例题2：计算图3.3所示的单甲板船在舱口部位的肋骨刚架l1l2l3q1q1q2q2q3I1I1I2I2I3q1q1q2q2q3M2M2M3M3M4M2M4M5M5图3.4a图3.4b

解：对图3.4a所示的刚架，可将其作为刚性支座上连续梁“折合”的结果,可以按照连续梁的方法求解。取其基本结构形式如图3.4b所示，另由于此刚架结构为左右载荷对称、结构形式对称结构，所以M2=M5、M3=M4,这样就可以根据原结构在刚性支座处转角的连续性条件，列出两个力法方程：

求出节点弯距后，就可以绘制刚架的弯距图。由上式可见，刚架的内力与各杆的截面惯性距的比值有关，因而并不需要给出各杆件的惯性距，只要给出各杆件之间惯性距的比值即可。此外，当肋板的刚度远远大于肋骨的刚度时，即I3>>I2时，

2→0，故可得：l1l3q1q2I1I2

这说明肋板可以作为肋骨的刚性支撑，肋骨相当于刚性固定在肋板上，这也就是如图3.5所示的肋骨刚架的计算结果。图3.5

例题3：计算图3.6所示的刚架，画出弯距图，不计各杆的拉压变形。已知P=16kN，l=1m,I2/I1=61243l/2l/2lI1I2I2I1PP图3.6a图3.6b1443I1I2PI112I22P3M1M2M2M3M3M4M1M4

解：图3.6a所示的刚架，自身处于平衡状态，在不计刚架各杆件拉压变形的情况下，节点1、2、3、4处的线位移为零。因此，刚架属于不可动节点刚架，取其基本结构如图3.6b所示。由于刚架为几何对称结构，载荷也完全对称，所以由M1=M2=M3=M4。因此未知弯距只有一个，只需根据一个节点的转角连续性条件，列出一个力法方程即可。2.2861.7141.7142.286弯距图§

3-4弹性支座与弹性固定端的实际概念1）弹性支座

上一章我们曾经对弹性支座和弹性固定端下了定义，那么弹性支座和弹性固定端的实际概念是从何而来的呢？

我们看一下这个结构。12345II1图3.7a图3.7bRl1/2l1/2Rl/2l/2l/2l/2A2图3.7c

我们采用力法对其进行求解，取原结构的基本结构如图3.7b所示。根据在节点2处的位移连续条件，建立立法方程：

上式与图3.7c所示的梁节点2的挠度算式：完全相同。这说明原结构中的梁1-3相当于梁4-5的弹性支座，其柔性系数A=l31/(48EI1)：柔性系数A仅与梁的尺寸和两端支座形式有关。当梁1-3为刚性固定时，A=l31/(192EI1)。注意：梁1-3之所以可以作为梁4-5的弹性支座，是因为梁1-3仅受到两梁之间的相互作用力，而且，此力的方向与梁挠度的方向相同，力的大小与挠度的大小成正比，即v∝R。这也与上一章讲到的弹性支座定义相同。显然如果梁上还有其他载荷，那么挠度就不单仅取决于R了。因此一根梁之所以能作为其他梁的弹性支座的条件是，此梁没有外荷重复作用。

在计算弹性支座的柔性系数时，只需把受外载荷的梁和不受外荷的梁在相交点处拆开，并在拆开处加上相互作用力R，计算无外荷重作用的梁在R作用处沿R方向的挠度v，v与R的比值就是柔性系数A。事实上，由于v∝R，所以，只需假定R=1，求出挠度v，求出挠度v该挠度就是柔性系数A。

例：如图3.8所示一空间刚架结构，试求杆1-2刚性固定端处的弯距。已知各杆截面惯性矩均相同。图3.8al/2l/2lq123456lR34562l/2l/2lq12l图3.8b图3.8c解：因杆5-3、3-4、4-6组成的平面刚架上无外荷重作用，故它可作为杆1-2的一个弹性支座，于是杆1-2就变成一端刚性固定一端自由支持在弹性支座上的单跨梁3.7b。弹性支座的柔性系数A，可通过计算图3.7c所示刚架求得。534634R

利用上一节的方法可以计算得到节点3和4的弯距M3=M4=Rl/2,再由两端自由支持单跨梁弯曲要素表，求出在M3、M4和R共同作用下杆3-4中点的挠度：v=Rl3/96EI,即A=l3/96EI。

既而利用第二章介绍的初参数法求出梁在刚性固定端处的弯距。可以计算得到节点3和4的弯距M1=3ql3/22,2）弹性固定端

如图3.8所示的刚架结构（船舶上，双甲板船结构，上甲板横梁与甲板间肋骨组成的刚架），选取其基本结构如图3.8b。根据原结构在节点2处相邻两杆转角连续性条件，列出力法方程。3l1I1M12图3.8Alq1l1I1I12alq1Ilq1I23bcM

图c所示的弹性固定端表达式为：

这两个式子完全相同。由此可见，原结构中甲板间肋骨（杆1-2）相当于横梁（杆2-3）的弹性固定端。弹性固定端的柔性系数A

=l1/3EI1,：A

仅与杆1-2尺寸及其支座形式有关。若杆1-2下端为刚性固定，则A

=l1/4EI1。注意几点：（1）甲板间肋骨（1-2杆）能够作为横梁（杆2-3）的弹性固定端是因为将它们拆开后，1-2杆的1端仅受未知弯距M作用，且此弯距与该端的转角始终同方向成正比，即有∝M。这也与上一章讲到的弹性固定端定义相同。显然如果梁上还有其他载荷，那么转角就不单仅取决于M了。由此可知，实际结构中杆件的弹性固定端是与其相邻的不受外载荷的杆件作用的结果；换言之，受载杆件与不受载杆件相连时，不受载杆件是受载杆件的弹性固定端。

（2）为了计算弹性固定端的柔性系数A

，我们只需把受外载荷杆与不受外载荷杆在他们相连处切开并加上相互作用的未知弯距M，计算无外载杆在弯距M作用处的转角，与M的比值就是柔性系数A

。由于在计算柔性系数时M的大小不需知道，所以只需假定M＝1，求出转角，该转角就是柔性系数A

的值。（3）柔性系数的数值主要取决于无载杆件的长度与断面惯性距，而与无载杆件端点的固定情况关系不大。

（4）在实际船体结构中，甲板间肋骨的下端还与下甲板横梁及主肋骨相连接，如图3.9所示。它们将影响甲板间肋骨下端的固定程度。实际上甲板间肋骨下端的固定是介于自由支持和刚性固定之间的某种情况。数值介于l1/3EI1,

和l1/4EI1之间。数值范围不大，在近似计算时，可不必考虑下甲板横梁及主肋骨对上甲板横梁的影响。

结论：在杆系结构计算中，如果要计算受外载荷的杆件，则可以只考虑与它直接相连的不受外载荷的杆件对它的影响，无须考虑不与它直接相连的不受外载荷的杆件对它的影响。图3.9l1l2l1l212345II1I2I3q例：将图3-10所示的刚架中杆1-2化为单跨梁来计算，试确定其弹性固定端的柔性系数A

。1234ll2l1II2I1lIqq234l2l1M＝1234l2l1M1M2（a）（b）图3.10解：由前所述，将原结构在节点2处拆开为杆1-2（受外载荷杆）和杆3-2-4（不受外载杆），并假定拆开处的弯距M=1（图(b)所示）。在将杆3-2-4从节点2处拆开为两根单跨梁，在拆开处分别加上未知弯距M1和M2（图(c)所示）。现以图b、c为研究对象，节点2处有弯距M=1的作用，依据节点2处弯距平衡条件，得：根据节点2处转角连续性条件，列力法方程：（一端简支时2处转角和一端固支时2处转角）节点2处的平衡条件代入：这说明弹性固定端的刚性系数等于杆3-2单独作用时的刚性系数和杆2-4单独作用时的刚性系数之和3）弹性固定端的固定系数

由上面的分析可知，如果杆系结构所有的杆件上都有外载荷作用，那么其中任一根杆件都不能作为其他杆件的弹性固定端。因为柔性系数无法求出。这时为了实际结构的分析需要，人们又引入了一个关于弹性固定端固定程度的新定义，叫“固定系数”，它是弹性固定端断面的弯距与假想为刚性固定时的断面弯距之比，常用表示：（3-6）3）弹性固定端的固定系数

根据此定义

＝0，即Melastic＝0；表示自由支持端，若

＝1，即

Melastic

＝Mrigid；表示刚性固定端。因此在0到1变化。

虽然和A

都用来表示弹性固定端的系数，但是在定义时，并没有要求固定端的转角一定与其弯距成正比。因此用定义的弹性固定端固定系数和用A

定义的弹性固定端的意义并不相同。换言之，如果一根梁的固定端的转角与弯距不成正比，则A

无意义，但存在。§

3-5弹性支座上连续梁计算

上一节应用弹性支座的概念可将某些板架结构化为具有弹性支座的连续梁。在船体结构计算中，还会遇到弹性支座上连续梁的的计算问题。比如，船舶在建造过程中，将船体搁置在船坞内的墩木上，图3-11a所示，墩木对船体的支持就相当于弹性支座。由于墩木的柔性系数可能不相同，船体横截面的惯性距沿船长又是变化的，因此船体搁置在墩木上就可近似地化为图3-11b所示的弹性支座上的连续梁。§

3-5弹性支座上连续梁计算a1a2P1P2(a)M1=P1a1M2=P2a2I1A1I2A2I3A3I4A4I5A5I6A6I7A7I8A8I9A9(b)(图3-11)

一般起见，我们讨论如图3-12a所示的弹性支座梁，它是n次超静定结构。A1I1A1i-1A2Ii-1Ai-1IiAii+1Ai+1In-1An-1InAnq1q1q1q1l112in-1nli-1liln-1An(图3-12a)

选取用力法计算的基本结构如图3-12b所示，它与弹性支座上连续梁的基本结构不同之处在于各支座处还存在挠度v1、v2，···vn。故在建立支座处转角连续方程时，应考虑因相邻支座处的挠度不同而引起的转角。1A1A

1M1q1v1v2A22A33i-1Ai-1vi－1qi-1viqii+1Ai+1Aiivi+1vn-1vnAn-1n-1InAn1AnA

n(图3-12b)

由各支座处转角连续性，列力法方程：

支座1(3-8)

中间支座：

式中i=2,3,…,n-1：

支座n(3-8)(3-8)

式中在红框内的为挠度引起的转角项。其他各项与刚性支座上连续梁相同：

由以上n个方程并不能求解未知弯距M1，M2,…,Mn，因为方程中各支座处挠度v1、v2，···vn也是未知的。但是我们可以通过支座的柔性系数和支反力来求解。支座反力与支座处梁的剪力有关，而剪力又与梁上的载荷和未知弯距有关。下面就来寻求这些关系。

将单跨梁取出，去掉支座以截面处剪力代之如图3-13所示，根据静力平衡条件，列静力平衡方程。M1M2q1N1,1N2,1l1Mi-1Miqi-1Ni-1,i-1Ni,i-1l-1qi+1MiMi+1Ni,iNi＋1,iliMn-1Mnqn-1Nn-1,n-1Nn-1,nln-1(图3-13)左端面上剪力右端面上剪力(3-9)

Ni(qi)表示第i跨梁上所有外载荷引起的梁左端截面上的剪力(向下为正)；

Ni(qi-1)表示第i-1跨梁上所有外载荷引起的梁右端截面上的剪力(向上为正)；

弹性支座上连续梁的支反力（向上为正）与该支座处梁截面上剪力的关系为：(3-10)

根据弹性支座的定义可知：(3-11)

将式(3-9)代入到式(3-10),在代入到(3-11)，得：(3-12)

式(3-8)和(3-12)共有2n个方程，可解出2n个未知量M1，M2，…,M3。和v1,v2,…,vn

利用式(3-12)消去式(3-8)中所有的挠度，便可得到用矩阵表示的方程：(3-13)式中系数矩阵是对称矩阵，

ij=ji,每个

ji和

ip（j,i=1,2,..,n）的具体表达式见课本P47和P47页。式（3-13）从第三式起至倒数第三式止，每一式中仅包含五个未知弯距，故称为五弯距方程。数学上也称为五对角方程。在连续梁的弹性支座很多时，计算一般采用电子计算机编程计算。例1：求图3-14所示的阶梯变截面梁中点挠度v2。123llI2I123llI2IA=

(图3-14)IRRM113v22M2M2R1R2(a)(b)(c)RN21N232

解：在梁的截面突变处增加一个柔性系数为无穷大的弹性支座，这样阶梯变截面梁就变成弹性支座上的连续梁(3-14b)。然后我们就可以选取用力法计算的基本结构(3-14c)所示。

根据连续梁在节点1处转角为0和节点2处转角的连续性条件，列力法方程：

因A=

，所以支座反力等于零，利用式（3-9）和（3-10）注意节点2上有集中力R，得：联立求解得：例2：求图3-15所示的弹性支座上的连续梁，试求其固定端弯距和弹性支座上的力。A＝11l3/(216EI)。4IIIl4llAAq12344IIIl4lAA123l234v2M1M2M2M3=

M2M4=

M1(图3-15)(a)(b)解：考虑结构的对称性，选取基本结构如图3-15b所示。根据节点1处的转角为零和节点2处的转角连续性条件及v2=AR2,列出三个力法方程：联立求解得：§

3-5简单板架计算板架的节点双向交叉梁系主向梁（数目较多）交叉构件

如图所示船体结构中，相互交叉的梁系叫做板架。板架受垂直于杆系平面的载荷作用而弯曲，板架中梁的交叉点又叫做板架的节点。