2025届浙江省瑞安市六校联盟九年级数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

2025届浙江省瑞安市六校联盟九年级数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根是（）A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2C．x1＝1+，x2＝1﹣ D．x1＝1+，x2＝1﹣2．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠D＝110°，则∠AOC的度数为（）A．130° B．135° C．140° D．145°3．在平面直角坐标系中，点P（–2，3）关于原点对称的点Q的坐标为（）A．（2，–3） B．（2，3） C．（3，–2） D．（–2，–3）4．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表。如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱的高为。已知，冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）作为（）A． B． C． D．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝160°，则∠BAD的度数是（）A．60° B．80° C．100° D．120°6．下列事件中，是必然事件的是（）A．某射击运动员射击一次，命中靶心B．抛一枚硬币，一定正面朝上C．打开电视机，它正在播放新闻联播D．三角形的内角和等于180°7．已知点P的坐标为（3，-5），则点P关于原点的对称点的坐标可表示为（）A．（3,5） B．（-3，5） C．（3,-5） D．（-3，-5）8．在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有（）A．5个 B．15个 C．20个 D．35个9．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且10．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道大题，大意是：匹马恰好拉了片瓦，已知匹小马能拉片瓦，匹大马能拉片瓦，求小马、大马各有多少匹，若设小马有匹，大马有匹，依题意，可列方程组为（）A． B．C． D．11．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm，那么底角的余弦等于（）．A． B． C． D．12．如图，某物体由上下两个圆锥组成，其轴截面中，，.若下部圆锥的侧面积为1，则上部圆锥的侧面积为（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．对于实数a和b，定义一种新的运算“*”，，计算=______________________．若恰有三个不相等的实数根，记，则k的取值范围是_______________________．14．将抛物线向上平移一个单位后，又沿x轴折叠，得新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是_____．15．如图是一个正方形及其内切圆，正方形的边长为4，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率是______．16．某班级中有男生和女生各若干，如果随机抽取1人，抽到男生的概率是，那么抽到女生的概率是_____．17．已知线段a，b，c，d成比例线段，其中a=3cm，b=4cm，c=6cm，则d=_____cm；18．图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m.当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，操作平台C离地面的高度为_______米.（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）三、解答题（共78分）19．（8分）一个不透明的箱子里放有2个白球，1个黑球和1个红球，它们除颜色外其余都相同.箱子里摸出1个球后不放回，摇匀后再摸出1个球，求两次摸到的球都是白球的概率。(请用列表或画树状图等方法)20．（8分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E、F两点在BC上，且四边形AEFD是平行四边形．（1）AD与BC有何等量关系？请说明理由；（2）当AB=DC时，求证：四边形AEFD是矩形．21．（8分）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB．（1）证明：△ADC∽△ACB；（2）若AD＝2，BD＝6，求边AC的长．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为点，点的坐标为（0，－1），该抛物线与交于另一点，连接.（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为的形式；（2）若点在上，连接，求的面积；（3）一动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿平行于轴方向向上运动，连接，，设运动时间为秒（>0），在点的运动过程中，当为何值时，？23．（10分）如图①，在中，，是边上任意一点（点与点，不重合），以为一直角边作，，连接，.若和是等腰直角三角形.（1）猜想线段，之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；（2）现将图①中的绕着点顺时针旋转，得到图②，请判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由.24．（10分）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是，求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．25．（12分）如图一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（n，﹣1），B（，﹣4）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式；（3）若点C坐标为（0，2），求△ABC的面积．26．九年级甲班和乙班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球；将两班选手的进球数绘制成如下尚不完整的统计图表：进球数/个1098743乙班人数/个112411平均成绩中位数众数甲班77c乙班ab7（1）表格中b＝，c＝并求a的值；（2）如果要从这两个班中选出一个成绩较为稳定的班代表年级参加学校的投篮比赛，争取夺得总进球数团体第一名，你认为应该选择哪个班，请说明理由；如果要争取个人进球数进入学校前三名，你认为应该选择哪个班，请说明理由．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】利用一元二次方程的公式法求解可得．【详解】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，则x＝＝1±，即x1＝1+，x2＝1﹣，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据一元二次方程的特征，灵活选择解法是解题的关键．2、C【分析】根据“圆内接四边形的对角互补”，由∠D可以求得∠B，再由圆周角定理可以求得∠AOC的度数．【详解】解：∵∠D＝110°，∴∠B＝180°﹣110°＝70°，∴∠AOC＝2∠B＝140°，故选C．【点睛】本题考查圆周角定理及圆内接四边形的性质，熟练掌握有关定理和性质的应用是解题关键．3、A【解析】试题分析：根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．根据关于原点对称的点的坐标的特点，∴点P（﹣2，3）关于原点过对称的点的坐标是（2，﹣3）．故选A．考点：关于原点对称的点的坐标．4、D【解析】在Rt△ABC中利用正切函数即可得出答案．【详解】解：在Rt△ABC中，tan∠ABC=，∴立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）为=．故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．5、B【分析】根据圆周角定理即可得到结论．【详解】解：∵∠BOD＝160°，∴∠BAD＝∠BOD＝80°，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，理解熟记圆周角定理是解题关键．．6、D【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答即可．【详解】A.某射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故此选项错误；B.抛一枚硬币，一定正面朝上，是随机事件，故此选项错误；C.打开电视机，它正在播放新闻联播，是随机事件，故此选项错误；D.三角形的内角和等于180°，是必然事件．故选：D．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7、B【分析】由题意根据关于原点对称点的坐标特征即点的横纵坐标都互为相反数即可得出答案．【详解】解：点P的坐标为（3，-5）关于原点中心对称的点的坐标是（-3，5），故选：B．【点睛】本题考查点关于原点对称的点，掌握关于原点对称点的坐标特征即横纵坐标都互为相反数是解题的关键．8、A【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：设袋中白球有x个，根据题意得：=0.75，解得：x=5，经检验：x=5是分式方程的解，故袋中白球有5个．故选A．【点睛】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=是解题关键．9、B【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式列出不等式求解即可．【详解】由题意得：解得：且故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．对于一般形式有：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根．10、A【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①小马数+大马数=100；②小马拉瓦数+大马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可．【详解】设小马有x匹，大马有y匹，由题意得：，故选：A．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．11、A【分析】过顶点A作底边BC的垂线AD，垂足是D点，构造直角三角形．根据等腰三角形的性质，运用三角函数的定义，则可以求得底角的余弦cosB的值．【详解】解：如图，作AD⊥BC于D点．则CD=5cm，AB=AC=13cm．∴底角的余弦=．故选A．【点睛】本题考查的是解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质：等腰三角形顶角平分线、底边上的高，底边上的中线重合．12、C【分析】先证明△ABD为等边三角形，得到AB=AD=BD，∠A=∠ABD=∠ADB=60°，由求出∠CBD=∠CDB=30°，从而求出BC和BD的比值，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到上部圆锥的侧面积．【详解】解：∵∠A=60°，AB=AD，

∴△ABD为等边三角形，

∴AB=AD=BD，∠A=∠ABD=∠ADB=60°，∵∠ABC=90°，

∴∠CBD=30°，而CB=CD，

∴△CBD为底角为30°的等腰三角形，过点C作CE⊥BD于点E，易得BD=2BE，∵∠CBD=30°，∴BE：BC=：2，∴BD：BC=：2=：1，即AB：BC=：1，∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，

∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，

∴下面圆锥的侧面积=．

故选：C．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】分当时，当时两种情况，分别代入新定义的运算算式即可求解；设y=，绘制其函数图象，根据图象确定m的取值范围，再求k的取值范围．【详解】当时，即时，当时，即时，；设y=，则y=其函数图象如图所示，抛物线顶点，根据图象可得：当时，恰有三个不相等的实数根，其中设，为与的交点，为与的交点，，，时，，故答案为：；【点睛】本题主要考查新定义问题，解题关键是将方程的解的问题转化为函数的交点问题．14、【分析】先确定抛物线y＝x2﹣2的二次项系数a=1，顶点坐标为（0，﹣2），向上平移一个单位后（0，﹣1），翻折后二次项系数a=-1，顶点坐标变为（0，1），然后根据顶点式写出新抛物线的解析式．【详解】抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），点（0，﹣2）向上平移一个单位所得对应点的坐标为（0，﹣1），点（0，﹣1）关于x轴的对称点的坐标为（0，1），因为新抛物线的开口向下，所以新抛物线的解析式为y＝﹣x2+1．故答案为：y＝﹣x2+1．【点睛】此题考查抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，翻折口开口方向改变，但是大小没变，因此二次项系数改变的只是符号，正确掌握平移的规律并运用解题是关键．15、【分析】根据题意算出正方形的面积和内切圆面积，再利用几何概率公式加以计算，即可得到所求概率．【详解】解：∵正方形的边长为4，

∴正方形的面积S正方形=16，内切圆的半径r=2，

因此，内切圆的面积为S内切圆=πr2=4π，可得米落入圆内的概率为：故答案为：【点睛】本题考查几何概率、正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，属于中档题．16、【分析】由于抽到男生的概率与抽到女生的概率之和为1，据此即可求出抽到女生的概率．【详解】解：∵抽到男生的概率是，∴抽到女生的概率是1-＝．故答案为：．【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握抽到男生和抽到女生的概率之和等于1是解决此题的关键．17、3．【详解】根据题意得：a：b=c：d，∵a=3cm，b=4cm，c=6cm，∴3：4=6：d，∴d=3cm．考点：3．比例线段；3．比例的性质．18、7.6【分析】作于，于，如图2，易得四边形为矩形，则，，再计算出，在中利用正弦可计算出，然后计算即可．【详解】解：作于E，于，如图2，∴四边形为矩形，∴，，∴，∴在中，，∴，∴，∴操作平台离地面的高度为．故答案是：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用三角函数的定义进行几何计算．三、解答题（共78分）19、【分析】画出树形图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率．【详解】解：画树状图如下：

∴摸得两次白球的概率=【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20、(1),理由见解析；（2）见解析【分析】（1）由四边形AEFD是平行四边形可得AD=EF,根据条件可证四边形ABED是平行四边形，四边形AFCD是平行四边形，所以AD=BE，AD=FC,所以AD=BC；（2）根据矩形的判定和定义，对角线相等的平行四边形是矩形．只要证明AF=DE即可得出结论．【详解】证明：（1）AD=BC理由如下：

∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，

∴四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形．

∴AD=BE，AD=FC，

又∵四边形AEFD是平行四边形，

∴AD=EF．

∴AD=BE=EF=FC．∴；（2）证明：∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，

∴DE=AB，AF=DC．

∵AB=DC，

∴DE=AF．

又∵四边形AEFD是平行四边形，

∴平行四边形AEFD是矩形．考点：1.平行四边形的判定与性质；2.矩形的判定.21、（1）见解析;（2）1.【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明；（2）利用相似三角形的对应边对应成比例列式求解即可．【详解】（1）证明：∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴△ADC∽△ACB．（2）解：∵△ADC∽△ACB，∴＝，AB=AD+DB=2+6=8∴AC2＝AD•AB＝2×8＝16，∵AC＞0，∴AC＝1．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．22、（1）；（2）；（3）【解析】（1）将A，B两点的坐标代入抛物线解析式中，得到关于a，b的方程组，解之求得a，b的值，即得解析式，并化为顶点式即可；（2）过点A作AH∥y轴交BC于H，BE于G，求出直线BC，BE的解析式，继而可以求得G、H点的坐标，进一步求出GH，联立BE与抛物线方程求出点F的坐标，然后根据三角形面积公式求出△FHB的面积；（3）设点M坐标为（2，m），由题意知△OMB是直角三角形，进而利用勾股定理建立关于m的方程，求出点M的坐标，从而求出MD，最后求出时间t.【详解】（1）∵抛物线与轴交于A（1，0），B(3，0)两点，∴∴∴抛物线解析式为.（2）如图1，

过点A作AH∥y轴交BC于H，BE于G，由（1）有，C（0，-2），∵B（3，0），∴直线BC解析式为y=x-2，∵H（1，y）在直线BC上，∴y=-，∴H（1，-），∵B（3，0），E（0，-1），∴直线BE解析式为y=-x-1，∴G（1，-），∴GH=，∵直线BE：y=-x-1与抛物线y=-x2+x-2相较于F，B，∴F（，-），∴S△FHB=GH×|xG-xF|+GH×|xB-xG|=GH×|xB-xF|=××(3-)=．（3）如图2，由（1）有y=-x2+x-2，∵D为抛物线的顶点，∴D（2，），∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，∴设M（2，m），（m＞），∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，OB2=9，∵∠OMB=90°，∴OM2+BM2=OB2，∴m2+4+m2+1=9，∴m=或m=-（舍），∴M（2，），∴MD=-，∴t=-.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，待定系数法求一次函数表达式，角平分线上的点到两边的距离相等，勾股定理等知识点，综合性比较强，不仅要掌握性质定理，作合适的辅助线也对解题起重要作用.23、（1）BE=AD，BE⊥AD；（2）BE=AD，BE⊥AD仍然成立，理由见解析【分析】（1）由CA=CB，CE=CD，∠ACB=90°易证△BCE≌△ACD，所以BE=AD，∠BEC=∠ADC，又因为∠EBC+∠BEC=90°，所以∠EBC+∠ADC=90°，即BE⊥AD；

（2）成立．设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，易证△ACD≌△BCE．得到AD=BE，∠CAD=∠CBE．再根据等量代换得到∠AFG+∠CAD=90°．即BE⊥AD．【详解】（1）BE=AD，BE⊥AD；在△BCE和△ACD中，∵，∴△BCE≌△ACD(SAS)，∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，∵∠EBC+∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ADC=90°，∴BE⊥AD.故答案为：BE=AD，BE⊥AD.（2）BE=AD，BE⊥AD仍然成立设BE与AC的交点为F，BE与AD的交点为G，如图∴，∴.在和中，∵∴.∴∵，∴，，∴BE⊥AD【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.24、(1)方案1;B（5,0）;;(2)3.2m.【解析】试题分析：（1）根据抛物线在坐标系的位置，可用待定系数法求抛物线的解析式．（2）把x=3代入抛物线的解析式，即可得到结论．试题解析：解：方案1：（1）点B的坐标为（5，0），设抛物线的解析式为：．由题意可以得到抛物线的顶点为（0，5），代入解析式可得：，∴抛物线的解析式为：；（2）由题意：把代入，解得：=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．方案2：（1）点B的坐标为（10，0）．设抛物线的解析式为：．由题意可以得到抛物线的顶点为（5，5），代入解析式可得：，∴抛物线的解析式为：；（2）由题意：把代入解得：=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．方案3：（1）点B的坐标为（5，），由题意可以得到抛物线的顶点为（0，0）．设抛物线的解析式为：，把点B的坐标（5，），代入解析式可得：，∴抛物线的解析式为：；（2）由题意：把代入解得：=，∴水面上涨的高度为3.2m．25、（1）y＝﹣；（2）y＝2x﹣5；（3）．【分析】（1