2025届新高考数学热点专练04导数及其应用学生版

热点04导数及其应用【命题趋势】从新高考的考查状况来看，导数及其应用始终是高考的重点和难点．一般以基本初等函数为载体，利用导数探讨函数的单调性、极值、最值、零点问题，同时与解不等式关系最为亲密，还可能与三角函数、数列等学问综合考查。一般出现在选择题和填空题的后两题以及解答题中，难度较大，复习备考的过程中应引起重视。通过导数探讨函数的单调性、极值、最值问题，考查考生的分类探讨思想、等价转化思想以及数学运算、逻辑推理核心素养.1、探讨含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类探讨．(1)探讨分以下四个方面①二次项系数探讨；②根的有无探讨；③根的大小探讨；④根在不在定义域内探讨．(2)探讨时要依据上面四种状况，找准参数探讨的分类．(3)探讨完毕须写综述．2、探讨函数零点或方程根的方法(1)通过最值(极值)推断零点个数的方法:借助导数探讨函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性推断函数图象走势，从而推断零点个数或者通过零点个数求参数范围．(2)数形结合法求解零点:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围．(3)构造函数法探讨函数零点:①依据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，依据函数零点的个数找寻函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解．②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．3、求与函数零点有关的参数范围的方法：方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点．（1）参数分别法，构造新的函数，将问题转化为利用导数求新函数单调性与最值.（2）分类探讨法.4、不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象视察，或参变分别，转化为求函数的最值问题来处理．恒成立问题的重要思路：(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max．(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min．存在性（有解）问题的重要思路：(1)存在m≥f(x)⇒m≥f(x)min(2)存在m≤f(x)⇒m≤f(x)max．5、利用导数证明不等式f(x)＞g(x)的基本方法：(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可干脆转化为证明f(x)min＞g(x)max；(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后依据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)＞0.无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数探讨函数的性质，达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，擅长从不同角度分析问题，是解题的法宝.函数单调性的探讨（含参）、零点问题和不等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的；同时也要留意极值点偏移、双变量等热点问题。A卷（建议用时60分钟）一、单选题1．（2024·河南·濮阳一高高三阶段练习）若直线与曲线满意下列两个条件：（1）直线在点处与曲线相切；（2）曲线在点旁边位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.给出下列四个命题：①直线：在点处“切过”曲线：；②直线：在点处“切过”曲线：；③直线：在点处“切过”曲线：；④直线：在点处“切过”曲线：.其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·江苏淮安·高三期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．是的微小值点 B．是的微小值点C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零3．（2024·安徽·合肥市第八中学高三阶段练习）已知函数的导数为，且，则（）A． B． C．1 D．4．（2024·山东日照·高三阶段练习）已知是函数的导数，且对随意的实数都有，则不等式的解集是（）A．B．C．D．5．（2024·陕西金台·高三阶段练习）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．（2024·四川省绵阳江油中学高三阶段练习）已知，，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．7．（2024·天津市西青区张家窝中学高三阶段练习）已知函数，若函数有三个零点，则（）A． B． C． D．8．（2024·北京四中高三期中）对于定义在R上的函数，若存在非零实数，使在和上均有零点，则称为的一个“折点”，下列四个函数存在“折点”的是（）A．B．C．D．二、多选题9．（2024·江苏淮安·高三期中）设函数，若恒成立，则实数的可能取值是（）A．1 B．2 C．e D．310．（2024·河北保定·高三阶段练习）已知函数，则（）A．的极大值为B．的极大值为C．曲线在处的切线方程为 D．曲线在处的切线方程为11．（2024·江苏·高三期中）若直线是曲线的切线，则曲线可以是（）A．B．C．D．12．（2024·江苏·无锡市教化科学探讨院高三期中）已知函数，满意对随意的，恒成立，则实数a的取值可以是（）A． B． C． D．13．（2024·湖北·高三阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（）A．在上单调递增B．在上单调递减C．若函数在处取得最小值，则D．，14．（2024·河北保定·高三阶段练习）若函数在上有两个不同的零点，则实数m的取值可能是（）A．1 B．e C． D．15．（2024·江苏如东·高三期中）若存在，则称为二元函数在点处对的偏导数，记为；若存在，则称为二元函数在点处对的偏导数，记为，已知二元函数，则（）A． B．C．的最小值为 D．的最小值为16．（2024·山东·滕州市第一中学新校高三期中）已知函数，探讨函数的零点个数（）A．当时，零点个数为1个 B．当时，零点个数为2个C．当时，零点个数为2个 D．当时，零点个数为1个三、填空题17．（2024·全国·高考真题（理））曲线在点处的切线方程为__________．18．（2024·四川省内江市第六中学高三阶段练习）若函数存在垂直于轴的切线，又，且有，则的最小值为____________19．（2024·江苏常州·高三期中）已知函数，对于随意，恒成立，则整数a的最大值为___________.20．（2024·河北石家庄·模拟预料）已知函数．若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为___________．四、解答题21．（2024·江苏·无锡市教化科学探讨院高三期中）已知函数（m≥0）.（1）当m=0时，求曲线在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数的最小值为，求实数m的值.21．（2024·广东·红岭中学高三阶段练习）已知函数.（1）求在（为自然对数的底数）上的最大值；（2）对随意给定的正实数，曲线上是否存在两点P，Q，使得是以О为直角顶点的直角三角形，且此直角三角形斜边的中点在y轴上?22．（2024·北京·高考真题）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．23．（2024·全国·高考真题（理））设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．24．（2024·全国·高考真题（文））设函数，其中.（1）探讨的单调性；（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.25．（2024·辽宁大连·高三阶段练习）已知函数（其中，为自然对数的底数）．（1）探讨函数的单调性；（2）当时，，求的取值范围．26．（2024·江苏连云港·高三期中）已知函数.（1）若，试探讨函数的单调性；（2）若函数存在两个零点，证明：.B卷（建议用时90分钟）一、单选题1.（2024·全国·高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（）A． B． C． D．2．（2024·四川达州·一模）已知函数恒有零点，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．3．（2024·江苏·金陵中学高三阶段练习）设函数，若对于随意的都成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．4．（2024·江苏·高三阶段练习）过曲线C：上一点作斜率为的直线，该直线与曲线C的另一交点为P，曲线C在点P处的切线交y轴于点N．若的面积为，则（）A． B． C． D．5．（2024·广西柳州·一模（理））已知可导函数的导函数为，若对随意的，都有．且为奇函数，则不等式的解集为（）A． B． C． D．6．（2024·江苏盐城·高三期中）函数的零点最多有（）个.A．4 B．3 C．2 D．17．（2024·海南华侨中学高三阶段练习）已知定义在[，]上的函数满意，且当x[，1]时，，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．(，]B．(，]C．(，]D．(，]8．（2024·河南省试验中学高三阶段练习（理））已知函数，若且，则的取值范围是（）A． B． C． D．9．（2024·山东聊城·高三期中）关于函数，，下列说法错误的是（）A．当时，函数在上单调递减B．当时，函数在上恰有两个零点C．若函数在上恰有一个极值，则D．对随意，恒成立二、多选题10．（2024·广东·红岭中学高三阶段练习）函数，，下列说法中，正确的是（）A． B．在单调递增C． D．，则11．（2024·海南·海口一中高三阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（）A．函数的微小值为2B．函数有且只有1个零点C．当时，恒成立D．对随意两个正实数，且，若，则12．（2024·全国·高三阶段练习）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个特别重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简洁地讲就是对于满意肯定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.现新定义：若满意，则称为的次不动点.下列说法正确的是（）A．定义在上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点B．定义在上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点C．当时，函数在上仅有一个不动点和一个次不动点D．满意函数在区间上存在不动点的正整数不存在13．（2024·重庆·临江中学高三阶段练习）关于函数，，下列结论正确的有（）A．当时，在处的切线方程为B．当时，在上存在唯一的微小值点C．对随意，在上均存在零点D．当时，若对，恒成立，则14．（2024·广东龙岗·高三期中）已知函数（为自然对数的底数），过点作曲线的切线.下列说法正确的是（）A．当时，若只能作两条切线，则B．当，时，则可作三条切线C．当时，可作三条切线，则D．当，时，有且只有一条切线三、填空题15．（2024·广东顺德·高三阶段练习）已知函数，当时，函数的零点个数为______；若函数有两个零点，则实数a的取值范围为______．16．（2024·江苏扬州·高三期中）若函数）有两个不同的极值点和，则a的取值范围为___________；若，则a的最小值为___________.17．（2024·江苏·无锡市第一中学高三阶段练习）已如函数.若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则___________；若，则的最大值为___________.18．（2024·浙江杭州·高三期中）函数的零点个数为___________，若函数恰有两个零点，则___________.四、解答题19．（2024·天津·高考真题）已知，函数．（I）求曲线在点处的切线方程：（II）证明存在唯一的极值点（III）若存在a，使得对随意成立，求实数b的取值范围．20．（2024·全国·高考真题）已知函数．（1）探讨的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点①；②．21．（2024·浙江·高考真题）设a，b为实数，且，函数（1）求函数的单调区间；（2）若对随意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；（3）当时，证明：对随意，函数有两个不同的零点