人教A版必修第二册624向量的数量积学案

6.2.4向量的数量积

新课程标准新学法解读

“功〃等实例，理解平面对量数量

本节重点是平面对量的数量积的

积的概念及其物理意义，会计算平

概念、向量的模及夹角的表示，难

面对量的数量积.

点是平面对量数量积的运算律的

2.通过几何直观了解平面对量投

理解及数量积的应用.另外，向量

影的概念以及投影向量的意义.

的数量积与数的乘法既有区分又

3.会用数量积推断两个平面对量

有联系，学习时留意比照.

的垂直关系.

课前篇•自主梳理稳固根底

［笔记教材］

学问点向量的数量积

1.向量数量积的概念

—>

两个非零向量”，仇如图），。是平面上的任意一点，作

—>

OB=b,那么NAOB=6»（OWeW7i）叫做向量4与办的夹角.

明显，当夕=0时，a与方同向；当。=兀时，a与方反向.假如

TT

。与小的夹角是］,我们说。与小垂直，记作a_LA.

两个非零向量。与瓦它们的夹角为仇我们把数量1alMcos。叫

做向量a与办的数量积（或内积），记作0。，即“Z=©1例cos仇可变

形为cos。=儒・

留意：零向量与任一向量的数量积为0.

2.投影向量

如图，设。，办是两个非零向量，AB=a,CD=b,我们考虑如

下的变换：过A5的起点A和终点5分别作CO所在直线的垂线，

—►

垂足分别为4,Bi,得到AiS,我们称上述变换为向量。向向量方投

—►

影，AiS叫做向量。在向量方上的投影向量.

B

CAtBiD

3.向量数量积的性质

设。，力是非零向量，它们的夹角是仇e是与人方向相同的单位

向量，那么

(l)℃=e,a=IMcos3.

(2)a±b^a-b=0.

(3)当a与力同向时，a-b=\a\\b\；当。与小反向时，a-b=—\a\\b\.

特殊地，"也=|4|2或⑷=g［.此外，由|cos还可以得到.

(4)|a同北同步|.

4.向量数量积的运算律

对于向量a,b,c和实数九有

(l)crb=b,a；

(2)(2a)心=23切=0(彻;

(3)(a+Z>)-c=a-c+Z>-c.

［重点理解］

1.关于数量积的结果

(1)非零向量的数量积的运算结果是一个数量，

当0°W9<90°时，ab>Q；

当90。<。忘180。时,ab<Q；

当。=90。时，ab—0.

(2)特殊地，假如a或方等于零，那么0》=0.

2.关于投影向量

(1)向量。在方方向上的投影向量为IMcos%(其中e为与方同向的

单位向量)，它是一个向量，且与办共线，其方向由向量”和小夹角。

的余弦值打算.

(2)向量”在方方向上的投影向量圈卷

(3)留意：a在办方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不

同，即向量方在。上的投影向量可表示为网cos哈=需3

114-1IC<,IIC*'I

3.向量数量积的运算律

⑴向量的数量积不满意消去律:假设a,b,c均为非零向量，且

ac=bc,但得不到a=b.

(2)OA>cWa・Oc),由于0。，万c是数量积，是实数,不是向量，

所以与向量c共线，<r("c)与向量a共线，因止匕3》>c=a0-c)

在一般状况下不成立.

［自我排查］

1.|。|=2,出［=小,。与方的夹角为看，那么“必=,

答案：3

__-A/§

解析：a-b=\a\\b\cos^=2X\l3X?=3.

JT

2.\a\=l,\b\=2,a与力的夹角为那么人在。方向上的投影

向量为•

答案：a

解析：方在“方向上的投影向量为

|A|cos^|~^=2X=a.

3.向量a,b均为单位向量，ab=/那么。与方的夹角为

套u木案.-4

a・b

解析:设“与方的夹角为仇由题意知⑷=网=1,那么cos而

A/Q71

二看,又・・・owew兀，・・・夕=不

4.平面对量a,b满意⑷=小，\b\=2,ab=~3,那么|a+2A|

答案：小

解析：依据题意，得［a+2bl=ya2+4(rb+4b2=巾.

5.下面给出的关系式中正确的序号是.

①0-a=0；@a-b—ba-,③层=|“|2；④⑤(。力>二层.".

答案：①②③

解析：①②③正确,④⑤错误,\a-b\=\a\-\b\\cos3\^a-b,(a-Z>)2=

(|a||Z||cosO')2=«2-^2cos20#a2b2.

课堂篇•重点难点研习突破

研习1向量数量积的运算

［典例1］\a\=3,步|=4,当a,b满意:

⑴a〃b；(2)a_Lb；(3/与，的夹角为120。时,计算。力的值.

［思路点拨］⑷与网，利用数量积的运算公式，只需再有向量a

与方的夹角即可求值.

［解］(1)当a与方同向时，a-b=\a\\b\cos0°=12；当a与方反向

时，a-b=\a\\b\cos180°=-12.

⑵a，b,夹角为90。，止匕时“仍=⑷网cos90o=0.

(3)当a与力的夹角为120。时，“协=|a|网cos120°=3X4X=

-6.

［巧归纳］

(1)确定向量a与办的夹角。及模长;

(2)套用公式a-b=\a\\b\cos。进行计算.

2.常见模型为：

(1)非零向量共线的充要条件是”山=±⑷叫，因此，当。加时，

有0。或180。两种可能；

(2)非零向量“工力台”山=0；

(3)两个向量的数量积a-b=\a\\b\cos6,数量积的符号与它们的夹

角有关,夹角范围是［0。，180。］.

［练习1］⑷=10,网=12,。与「的夹角为120。,求:

(1"(2)(3分南；(3)(3(—2力(力+1).

解：(l)a-b=|a||ft|cos6=10X12Xcos120°=-60.

(2)(3a>gd=］X(—60)=—36.

(3)(3方一2a)-(4“+A)=12。•“+3"—8层一2ab

=10“=+3网2—8团2

=10X(-60)+3X122-8X102=-968.

研习2向量夹角及垂直问题

［典例2］非零向量方满意a+3。与7a—55相互垂直，a—4b

与7G—2力相互垂直，求a与力的夹角.

［思路点拨］利用条件中的两组垂直关系可建立出关于ab及⑷

与旧的关系式，再利用夕=而而求解.

cos|UI|PI

(a+38>(7a—58)=0,

解由条件,得,

(a—48>(7a—28)=0,

7a2+16ab~15。2=0①,

即<

、7”2—30。必+8办2=。②.

②一①，得23b2—46am=0,

A2a-b=b2,代入①，得/=办2,.\\a\=\b\,

・好9=2」

..COS”一⑷网一网2—7

71

V^e[O,7i],

［巧归纳］I.求向量夹角需敏捷应用向量数量积的变形公式cose

=儡，故应求两个整体“仍与⑷瓦此题为求两者的关系，转化条件

解方程组，特殊要留意向量夹角的范围.

2.解决两向量垂直问题常用向量数量积的性质a_Lb0ab=0来

解决，但应留意“HO,bWO.

［练习2kb,其中|“|=/，网=2,且(a—A)_Lm那么向量a

与小的夹角是()

答案：B

解析：由题意，知(a—b'ya=a2—a，b=2—(rb=0,所以a山=2.

设a与方的夹角为6,

那么cos。=儒等,

JT

由于。£[0,7i],所以8=4.应选B.

2.(2020•全国卷III)向量m:满意|a|=5,网=6,ab=~6,那

么cos(a,a-\~b)=()

31-19

A--35B--35

C12D电

—35u-35

答案：D

解析：此题考查平面对量的数量积及其夹角.•.•|a|=5,\b\=6,

ab=~6,a(a+A)=|a|2+ab=19.又|a+例=^/a2+2a-Z>+^2=

、25—12+36=7,

./,,x0（a+。）1919广*n

..cos〈a,a+方〉一⑷m+"-5X7—35.应「D.

研习3与向量模有关的问题

［典例3］向量a与方的夹角为120。，且⑷=4,\b\=2,

求|3g一4Al.

［思路点拨］利用向量数量积的运算公式先求出“力的值，再结

合"2=|q|2,办2=|例2求值.

［解］由0》=|M|A|cos9=4X2Xcos120°=—4,a2=|a|2=16,b2

=|例2=4.

:|3a—4例2=（3。一4办）2=9“2—24。0+16b2

=9X16-24X（-4）+16X4=304,

：.\3a-4b\=4y［19.

［巧归纳］熟记。也=/=|“|2或此性质常用来解决与向

量模有关的题型，在求模问题中，一般转化为求模的平方，常与向量

的数量积联系在一起，但在求出结论后不要忽视开方.

［练习3］”，方的夹角为120。，\a\=\b\=l,c与a+b共线,那么|。

+c|的最小值为（）

1

A.1B.2

C.|D.半

答案：D

解析：•.,|“|=|例=1,c与。+办共线，

与c的夹角。为60。或120°.

当9=60。时，

I0+c|=^/a2+2a-c+c2=A/1+|C|+|C|2=

寸（|3+；）+*.,.|a+c|min=l,

当0=120。时，|G+C|=N1一|C|+|C|2=

Imin一

2.（多项选择）4与方均为单位向量，其夹角为仇有以下四个命

题，其中真命题是（）

A.|«+Z>|>1O0G0,-yl

,但71一

B.|a+^|>lO0e|^—,7i

71）

C.|«-£>|>1O0G0,wj

（71'

D.|a-Z»|>lO9elyn

答案：AD

解析：•「IM=I例=1,且0£[0,兀],假设|a+臼>1,那么层+2。功

十加〉1,即“.》〉一；，

0,yL故A对,B错;

假设|q一例>1,同理求得。方<5,

71,故D对，C错.

应选AD.

课后篇•根底达标延长阅读

1.假设非零向量。，♦满意⑷=|例,（2a+b）-b=0,那么。与方

的夹角为（）

A.30°B60°C120°

D.150°

答案：C

解析：设a与b的夹角为0,那么0=(2。+。)必=20。+。2=

2|a||Z||cos0+|Z>|2,

V\a\=\b\^Q,

/.2cos0+1=0,cos0=—.,.0=120°.

2.(多项选择)设mb,c是三个向量，有以下命题，正确的选项

是()

A.假设且“W0,那么方=c

B.假设“力=0,那么a=0或办=0

C.设a,A都是非零向量,a,♦反向台。功=一|。|网

D.(3a+2力-(3a—25)=9⑷2—4|例2

答案：CD

解析：A中，“必一c)=0,又aWO,那么方=。或4_1_(5

—c),故A不正确；B中，“•》=()0a_L办或a=0或8=0,故B不正

确；C中，a,方是非零向量，a,b反向,即a,b夹角为180°,那么

a-b=—\a\\b\,假设a，=一|“仙|,那么a,夹角为180。,a,反向,

故命题C是真命题；D中，左边=9层一6ab-]-6ba—4Z>2=9|a|2—4步产

=右边，故D正确.

3.向量a,b夹角为45°,且⑷=1,|2«-Z>|=V10,那么血=

答案：3碑

解析：|2a-Z>|=VToO(2a-ft)2=1004+|Z>|2-4|Z»|cos45°=10,

解得网=3地.

4.⑷=5,由=4,a与方的夹角为60。，试问：当k为何值时，

向量ka~b与a-\-2b垂直？

解：V(ka-ft)±(a+2Z>),

：.(ka-by(a+2b)=0,

即ka2+(2k—V)a-b—2b2—0,

即kX52+(2k-l)X5X4Xcos600-2X42=0,

1414.

.,.k=F，.,.当k=百时，向量k“一方与a+2A垂直.

课后自读方案

［误区警示一］混淆向量数量积与实数的运算致误［例如1］

\a\=2,步|=4,。与2的夹角为120。,求|。+例及|。一臼的值.

［错解］由|肝=层=4,|例2="=］6,a-b=\a\\b\cos120°=—4,

|。+〃2=。2+2”.方+力2=12,

A\a-^-b\=±2y［3.

•:|a——8|2=42-2”0+方2=28,

A\a~b\=±2yp.

\a-\-b\\a-b\\a2~b2\商

［或——一正p一±2刊

［错因分析］本例中的错解为很多同学在初学模的计算时常消

失的一种错解，错误的类比应用了实数中的运算法那么，而忽视了向

量的运算性质