2024中考数学模型复习专题 与圆有关的最值(含隐圆)问题 强化训练(含答案)

2024中考数学模型复习专题与圆有关的最值(含隐圆)问题强化训练类型一点圆最值1.如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3，4)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点，若点A，点B关于原点O对称，则AB的最小值为()A.3B.4C.6D.8第1题图2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2eq\r(3)，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移(⊙O可以与该三角形的边相切)，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为________．第2题图类型二线圆最值3.如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD的值是()A.2B.3C.4D.5第3题图4.如图，AB是⊙O的弦，C是优弧AB上一点，连接AC，BC，若⊙O的半径为4，∠ACB＝60°，则△ABC面积的最大值为()第4题图A.6eq\r(3)B.12eq\r(3)C.18D.205.如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为eq\r(3)，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________．第5题图类型三定点定长作圆6.如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点(点P不与B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为()A.2B.eq\f(5,2)C.3D.eq\r(10)第6题图7.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2.若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是()第7题图A.4eq\r(2)B.6C.2eq\r(10)D.3eq\r(5)8.如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，当GF最小时，AE的长是________．第8题图9.如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动．连接CP，点A关于直线CP的对称点为A′，连接A′C，A′P.在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是________；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为________．第9题图类型四定弦定角(含直角对直径)10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2eq\r(3)，BC＝3.点P为△ABC内一动点，且满足PA2＋PC2＝AC2.当PB的长度最小时，△ACP的面积是()第10题图A.3B.3eq\r(3)C.eq\f(3\r(3),4)D.eq\f(3\r(3),2)11.(2022泰安)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为()A.eq\f(5,2)B.eq\f(12,5)C.eq\r(13)－eq\f(3,2)D.eq\r(13)－2第11题图12.如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为________．第12题图13.如图，已知正方形ABCD的边长为6，点F是正方形内一点，连接CF，DF，且∠ADF＝∠DCF，点E是AD边上一动点，连接EB，EF，则EB＋EF长度的最小值为________．第13题图类型五阿氏圆14.如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4,点E，F分别是AB,AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP,CP，则eq\f(1,2)BP＋CP的最小值是________．第14题图15.如图，已知正方形ABCD的边长为9，⊙B的半径为6，点P是⊙B上的一个动点，那么PD＋eq\f(2,3)PC的最小值为________．第15题图16.如图，正方形ABCD的边长为4，内切圆记为⊙O，P为⊙O上一动点，则eq\r(2)PA＋PB的最小值为________．第16题图参考答案与解析1.C【解析】如解图，连接PO，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵AO＝BO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ＝3，MQ＝4，∴OM＝5，又∵MP′＝2，∴OP′＝3，∴AB＝2OP′＝6.第1题解图2.2eq\r(7)＋1【解析】如解图，当⊙O与AB，BC边相切时OA最大．设⊙O与AB边的切点为M，连接OM，OA，OB，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2eq\r(3)，∴AB＝4eq\r(3)，∴∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，∴∠OBA＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°，在Rt△OBM中，OM＝1，∴BM＝eq\r(3)，∴AM＝AB－BM＝3eq\r(3)，在Rt△AOM中，AO＝eq\r(AM2＋OM2)＝2eq\r(7)，此时点A到⊙O上的点的最大距离为2eq\r(7)＋1.第2题解图3.B【解析】如解图，连接AB，过点P作PE⊥BO，并延长EP交⊙P于点D，此时点D到弦OB的距离最大，∵A(8，0)，B(0，6)，∴AO＝8，BO＝6，∵∠BOA＝90°，∴AB＝eq\r(AO2＋BO2)＝eq\r(82＋62)＝10，则⊙P的半径为5，∵PE⊥BO，∴BE＝EO＝3，∴PE＝eq\r(52－32)＝4，∴ED＝9，∴tan∠BOD＝eq\f(ED,EO)＝3.第3题解图4.B【解析】如解图，连接OA，过点O作OD⊥AB，垂足为点D，延长DO交⊙O于点E，连接AE，BE，则AE＝BE，设点C到边AB的距离为h，则S△ABC＝eq\f(1,2)AB·h，易得当点C与点E重合时，h取得最大值，即DE的长，此时△ABC的面积也取得最大值，即△ABE的面积．∵∠AEB＝∠ACB＝60°，∴△ABE为等边三角形，∴∠EAB＝∠AEB＝60°，∴∠OAD＝30°，∴OD＝eq\f(1,2)OA＝2，AD＝2eq\r(3)，∴AB＝2AD＝4eq\r(3)，DE＝OE＋OD＝4＋2＝6.此时S△ABE＝eq\f(1,2)AB·DE＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×6＝12eq\r(3).第4题解图5.3【解析】如解图，连接QC和PC，过点C作CH⊥AB于点H.∵PQ和⊙C相切，∴CQ⊥PQ，即△CPQ始终为直角三角形，CQ为定值，∴当CP最小时，PQ最小．∵△ABC是等边三角形，∴当CP⊥AB时，CP最小，此时点P与点H重合，∵AB＝BC＝AC＝4，∴AH＝BH＝2，∴CH＝eq\r(AC2－AH2)＝2eq\r(3)，∴CP的最小值为2eq\r(3)，∵⊙C的半径CQ＝eq\r(3)，∴PQ＝eq\r(CP2－CQ2)＝3.第5题解图6.A【解析】如解图，连接AM，AC，∵点B和点M关于AP对称，∴AB＝AM＝3，∴点M在以点A为圆心，3为半径的圆弧上，∵AC＝eq\r(32＋42)＝5，AM＝AB＝3，∴CM≥AC－AM＝5－3＝2，即MC的最小值为2.第6题解图7.C【解析】如解图，取格点O，连接OM，ON，易得OM＝ON＝eq\r(10).又∵MN＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，∴OM2＋ON2＝MN2，即△OMN为等腰直角三角形．以O为圆心，OM长为半径作圆．∵∠MPN＝45°，∴点P在优弧eq\x\to(MN)上．延长MO交⊙O于点P，连接PN，易知P为格点，则此时PM取最大值，PM最大＝2eq\r(10).第7题解图8.5eq\r(5)－5【解析】如解图，∵BA＝BF＝BC，∴点F在以点B为圆心，BA长为半径的eq\f(1,4)圆上，∴当G，F，B三点共线时，GF最小．设AE＝x，则EF＝x，DE＝10－x，∵BG＝eq\r(CG2＋BC2)＝5eq\r(5)，∴GF＝5eq\r(5)－10，连接EG，则(10－x)2＋52＝x2＋(5eq\r(5)－10)2，解得x＝5eq\r(5)－5，∴AE的长为5eq\r(5)－5.第8题解图9.eq\f(\r(3)＋1,2)；(1＋eq\f(\r(3),2))π－1－eq\r(3)【解析】由题意得点A′的运动轨迹是以点C为圆心，CA长为半径的圆上，∵点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，∠ACB＝45°，点A关于直线CP的对称点为A′，∴∠ACA′最大为90°.当CA′⊥AB时，点A′到直线AB的距离最大，如解图①，过点B作BE⊥AC于点E，A′C交AB的延长线于点F，∵∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，∴在Rt△ABE中，BE＝1，AE＝eq\r(3).在Rt△BCE中，BE＝CE＝1，∴CA′＝CA＝eq\r(3)＋1.又∵CA′⊥AB，∴在Rt△ACF中，CF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(3)＋1,2)，∴A′F＝CA′－CF＝eq\f(\r(3)＋1,2)，即点A′到直线AB距离的最大值是eq\f(\r(3)＋1,2)；如解图②，当点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为S扇形A′CA－2S△ABC＝eq\f(π（\r(3)＋1）2,4)－2×eq\f(1,2)×(eq\r(3)＋1)×1＝(1＋eq\f(\r(3),2))π－1－eq\r(3).第9题解图10.D【解析】∵PA2＋PC2＝AC2，∴∠APC＝90°，如解图，取AC的中点O，并以O为圆心，eq\f(1,2)AC长为半径画圆，连接PO，由题意知，当B，P，O三点共线时，BP最短，∴AO＝PO＝CO，∵AC＝2eq\r(3)，BC＝3，∴CO＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(3)，∴BO＝eq\r(BC2＋CO2)＝2eq\r(3)，∴BP＝BO－PO＝eq\r(3)，∴点P是BO的中点，∴在Rt△BCO中，CP＝eq\f(1,2)BO＝eq\r(3)＝PO，∵OP＝OC，∴△PCO是等边三角形，∴∠ACP＝60°，∴在Rt△APC中，AP＝CP·tan60°＝3，∴S△APC＝eq\f(1,2)AP·CP＝eq\f(3×\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).第10题解图11.D【解析】如解图，取AD的中点为O，以AD为直径作⊙O，连接OB，OM，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，∴∠BAP＋∠DAM＝90°，∵∠ADM＝∠BAP，∴∠ADM＋∠DAM＝90°，∴∠AMD＝90°，∵AO＝OD＝2，∴OM＝eq\f(1,2)AD＝2，∴点M的运动轨迹在以O为圆心，2为半径的圆弧上，∵OB＝eq\r(AB2＋AO2)＝eq\r(32＋22)＝eq\r(13)，∴BM≥OB－OM＝eq\r(13)－2，∴BM的最小值为eq\r(13)－2.第11题解图12.2eq\r(3)【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠CAB＝∠ACB＝60°，在△ABE和△CAF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC,∠BAE＝∠ACF,AE＝CF))，∴△ABE≌△CAF(SAS)，∴∠ABE＝∠CAF，∴∠BPF＝∠PAB＋∠ABE＝∠PAB＋∠CAF＝60°，∴∠APB＝120°，如解图，过点A，P，B作⊙O，连接CO，PO，AO，BO，OC交于点P′，∴点P在劣弧上运动，∵AO＝OP＝OB，∴∠OAP＝∠OPA，∠OPB＝∠OBP，∠OAB＝∠OBA，∴∠AOB＝360°－∠OAP－∠OPA－∠OPB－∠OBP＝120°，∴∠OAB＝30°，∴∠CAO＝90°.∵AC＝BC，OA＝OB，∴CO垂直平分AB，∴∠ACO＝30°，∴cos∠ACO＝eq\f(AC,CO)＝eq\f(\r(3),2)，CO＝2AO，∵AC＝6，∴CO＝4eq\r(3)，∴AO＝2eq\r(3)，在△CPO中，CP≥CO－OP，∴当点P与点P′重合，即C，P，O三点共线时，CP有最小值，∴CP的最小值为CO－OP＝CO－AO＝4eq\r(3)－2eq\r(3)＝2eq\r(3).第12题解图13.3eq\r(13)－3【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADF＋∠FDC＝90°，∵∠ADF＝∠FCD，∴∠FDC＋∠FCD＝90°，∴∠DFC＝90°，∴点F在以DC为直径的半圆上运动，如解图，设DC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形AB′C′D，则点B的对应点是B′，连接B′O交AD于点E，交半圆O于点F，∴BE＋EF＝B′E＋EF＝B′F，则线段B′F的长即为BE＋EF长度的最小值，OF＝3，∵∠C′＝90°，B′C′＝C′D＝CD＝6，∴OC′＝9，∴B′O＝eq\r(B′C′2＋OC′2)＝eq\r(62＋92)＝3eq\r(13)，∴B′F＝3eq\r(13)－3，∴EB＋EF长度的最小值为3eq\r(13)－3.第13题解图14.eq\r(17)【解析】如解图，在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT.∵PA＝2，AT＝1，AB＝4，∴PA2＝AT·AB，∴eq\f(PA,AT)＝eq\f(AB,PA)，∵∠PAT＝∠PAB，∴△PAT∽△BAP，∴eq\f(PT,BP)＝eq\f(AP,AB)＝eq\f(1,2)，∴PT＝eq\f(1,2)PB，∴eq\f(1,2)PB＋CP＝PT＋CP≥TC，在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，∴CT＝eq\r(AT2＋AC2)＝eq\r(17)，∴eq\f(1,2)PB＋PC≥eq\r(17)，∴eq\f(1,2)PB＋PC的最小值为eq\r(17).第14题解图15.eq\r(106)【解析】如解图，连接BP，在BC上取一点G，使得BG＝4，连接PG，DG，∵eq\f(PB,BG)＝eq\f(6,4)＝eq\f(3,2)，eq\f(BC,PB)＝eq\f(9,6)＝eq\f(3,2)，∴eq\f(PB,BG)＝eq\f(BC,PB)，∵∠PBG＝∠CBP，∴△PBG∽△CBP，∴eq\f(PG,CP)＝eq\f(BG,BP)＝eq\f(2,3)，∴PG＝eq\f(2,3)PC，∴PD＋eq\f(2,3)PC＝PD＋PG，∵PD＋PG≥DG，∴当D，