2022河北省高考数学（三模）试卷（含答案）

阿比堵育考裁考（三模）精偏祺宗

一、单选题（60分）

1.设集合“=卜|自20、N=<J=（£|,X20>,则MQN=（）

A.[0,1]B.{0}C.（0,1）D.（0,1]

2.若zeC且|z+2-2j=l,则|z-1-24的最小值是（）

A.2B.3C.4D.5

3.已知直线机、〃和平面a,在下列给定的四个结论中，血/”的一个

必要但不充分条件是（）

A.mlla,n//aB.mA.a,nl.a

C.mlla,〃uaD.m、〃与a所成的角相等

4.从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图数据如

图.根据茎叶图，下列描述正确的是（）

甲乙

002T~

45201346

031125

35564

A.甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，且甲种树苗比乙种树

苗长得整齐

B.甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，但乙种树苗比甲种树

苗长得整齐

C.乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，且乙种树苗比甲种树

苗长得整齐

D.乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，但甲种树苗比乙种树

苗长得整齐

5.已知是两个非零向量，其夹角为若且

,+@=2目，则cos°=()

A.三B.|C.一9

6.已知f(x)的图像关于原点对称，且当xe(-oo,0)时,f(x)-引(x)>0(其

5

中f'(x)是/(x)的导函数)，a=^~/(0.5-°-),b=(log3幻f(log.3),

c=Oogy^/Clog,9),则下列关系式正确的是()

A.c>a>bB.h>a>c

C.a>c>hD.a>b>c

7.已知角0的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，且

9

tan«=-.若角a的终边上有一点尸，其纵坐标为T,有下列三个结

论：①点P的横坐标是6；②cosa=3叵；③sin2a>0.则上述结论中，

13

正确的个数为()

A.0B.1C.2D.3

8.2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪

式在天安门广场隆重举行，这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量,

更是让世界感受到了中国的日新月异，去年的阅兵方阵有一个很抢眼,

他们就是院校科研方阵，他们是由军事科学院，国防大学，国防科技

大学联合组建，若已知甲，乙，丙三人来自上述三所学校，学位分别

有学士、硕士、博士学位，现知道：①甲不是军事科学院的，②来自

军事科学院的均不是博士，③乙不是军事科学院的，④乙不是博士学

位，⑤来自国防科技大学的是硕士，则甲是来自哪个院校的，学位是

什么（）

A.国防大学，博士B.国防科技大学，硕士

C.国防大学，学士D.军事科学院，学士

9.已知方程|隆2%|=0的两根分别为玉，x2,则（）

xx=

A.1<x1x2<2B.办工2>2C.\21D.0<x1x2<1

10.如图所示，四边形ABCD是正方形，其内部8个圆的半径相等，

且圆心都在正方形的对角线上，在正方形ABCO内任取一点，则该点

取自阴影部分的概率为（）

A.（3~2V2）TTB.（5/2—1）TT

C.JD.7

84

11.三棱锥S-ABC的底面各棱长均为3,其外接球半径为2,则三棱

锥S-ABC的体积最大时，点S到平面A3c的距离为（）

A.2+73B.2-V3C.3D.2

12.在AMC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若ZA=60。,

b>\,。=。+；，当△至。的周长最短时，。的值为()

A.旦B.V2C.1+也D.1+V2

22

二、填空题(20分)

x+2y-2>0

13.设左丁满足约束条件<x<2,贝！)2=2%->的最小值是

.”2

14.(l+tanl9°)-(l+tan26°)=.

15.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的

最低销售限价a,最高销售限价b(b>a)以及常数x(0<x<l)确

定实际销售价格c=a+x(b-a),这里，x被称为乐观系数.

经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)

的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于.

16.已知函数/(刈=0*-依-1,g(x)=lnx-ar-l,其中0<。<1,e为自

然对数的底数，若%e(0,+8),使/5)g(x°)>0,则实数。的取值范

围是.

三、解答题(70分)

17.已知数列｛4｝中，6=1,当〃N2时，a.m”.

(I)求证：数列是等差数列；

(II)设勿=4"--。2"+1,数列也｝的前〃项和为T”,求证：卜；.

18.已知四边形ABC。是梯形(如图1),AB//CD,AD1DC,CD=2,

AB=AD=l,石为8的中点，以AE为折痕把折起，使点。到

达点P的位置(如图2),且PC=6

(1)求证：平面PAE,平面ABCE；

(2)求点C到平面心£的距离.

19.2020年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免

外出是减少相互交叉感染最有效的方式.在家中适当锻炼，合理休息,

能够提高自身免疫力，抵抗该种病毒.某小区为了调查“宅”家居民的

运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某天的锻

炼时间，其频率分布直方图如下：

(1)求。的值，并估计这100位居民锻炼时间的平均值受(同一组

中的数据用该组区间的中点值代表);

⑵小张是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家7天的锻炼时

长：

序号〃1234567

锻炼时长m（单位：

10151220302535

分钟）

（I）根据数据求相关于“的线性回归方程;

（II）若〃,-44G是（1）中的平均值），则当天被称为“有效运动

日”.估计小张“宅”家第8天是否是“有效运动日”?

附；在线性回归方程，=及+%中,

丫22

20.已知椭圆G东+方=1（。＞1＞0）和圆和：小+。=户＞＞0）,片、?为

椭圆G的左、右焦点，点6（0，6）在椭圆a上，当直线8片与圆C?相切

时，T

（I）求G的方程；

（II）直线=左＞0,机＞0）与椭圆G和圆。2都相切,切点分别

为M、N,求AOMTV面积的最大值.

21.已知函数/（x）="lnx+Zzr+l,且曲线y=/（x）在点（1,/。））处的切

线为x轴.

（I）求a,b的值，并讨论的单调区间；

（II）求证（黑尸000"〈（喘严，其中e为自然对数的底数.

x=3cosa,,

22.在直角坐标系Qy中，曲线C的参数方程为y=2+3sina”为参

数），以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线

/的极坐标方程为Osin--0=2啦.

(1)求C与/的直角坐标方程；

(2)若直线/与曲线。交于N两点，点口-2,2),求高+看的

值.

23.

已知函数/(x)=|x+l|-。卜一1|.

(1)当。=-2时，解不等式/(x)>5；

(2)若/(x)4小+3],求”的最小值.

答案

1.C2.A3.D.4.B5.B

6.A7.B8.A9.D10.A

11.C12.C

13.-6

【详解】

由题，可行域如图所示，

设y=2x-z,平移直线，当直线与点A(-2,2)相交时，直线的截距最大,

所以z的最小值为2x(—2)-2=-6,

故答案为:-6

14.2

is,

2

16.(0,—)

e-

17.

【详解】

解：(I)证明：当〃22时，由一。“=4Tq,

11,

两边同时除以4T,4得：--------=1，

4%

1,

由q=1,得一=1,

4

故数列是以1为首项，1为公差的等差数列.

(II)ft?：由(I)知％=L

n

所以“六2〃—・12七/1+二1翳2(2〃—嚅1)(2〃哼+1)当212上〃-1-62/2+T1)

所以Z=W+R」］+….......-

"2113){35)L2/7-12/7+1〃

=斗，］.

2(2/7+1)

18.(1)证明见解析；(2)逅..

3

【详解】

(1)证明：连接BE,

因为AB〃CO,AD1DC,8=2,E为的中点，AB=AD=\,

所以四边形ABE。是边长为1的正方形，且BE=EC.

如图，取AE的中点M，连接尸M，BM,CM,

因为AP=PE=1,

所以PM_LAE，且AE=V5，PM=AM=—

2

因为NyWBE=/ESC=45°,

所以3A/_L3c.

所以MC=y/BM2+BE2+EC2

I2J

因为PC=百，PM.MC=—

22

所以「/废+”厂二尸。？，

所以PMLMC.

因为AEcMC=M,

所以平面A3CE.

因为AWu平面Q4E，

所以平面PAE_L平面ABCE.

(2)由(1)知,IPM_L平面ABCE,BELEC,且BE=EC=L

因为PB=^PM2+BM2=1，

所以△P3E为正三角形且边长为1.

设点C到平面PBE的距离为d,

则^P-BEC~XS&BEC*PM=-XS^PBEX，

所以UBEXECXPA/=，x包x6£xd,

3234

11..V21V3.

即pn一x—xlxlx——=-x——x1l2xd，

32234

解得d=逅.

3

所以点C到平面P8E的距离为逅.

3

19.

【详解】

(1)(O.(X)5+0.012+a+().O35+0.015+0.003)x10=1,

a—0.03.

x=5x0.005xlO+15xO.O12xlO+25xO.O3xlO+35x0.035x10+45x0.015xl0+55x

0.003x10=30.2（分钟）.

-10+15+12+20+30+25+35〜

m--------------------------------------=21,

7

-/M）=（1-4）X（10-21）+（2-4）X（15-21）+（3-4）X（12-21）+（4-4）X

（20-21）+（5-4）x（30-21）+（6-4）x（25-21）+（7-4）x（35-21）=113,

二机关于〃的线性回归方程为—n+—.

287

77

•••估计小张“宅”家第8天是“有效运动日

x2*421

20.(I)—+^v-=1；(1!)-.

434

【详解】

(1)由题可知6=①

设6(-c,0),则由8片与圆相切时厂=且，得生=走，即C=0.②

2a22

22

将①②代入/=/+。2,解得。=2,所以椭圆G的方程为土+匕=1；

43

(II)设点〃(玉，＞)、N(X2,^2),

将y=履+机代入匕+2_=1得（4%2+3）d+Sknvc+4m2-12=0.

43''

由直线/与椭圆G相切得八=64公/一4(4炉+3乂4/—12)=0,即田=4〃+3,且

-4km

A|-4公+3

3m

X=4F+3

-km

由直线/与圆C,相切，设ON:y=-」x,与丫=辰+相联立得■F+T

km

P2=F7T

设直线/：＞=丘+，篦（左＞0,，%＞0）与x轴交于点Q,则Q（-£,0）

3m

止+3

k2m

m<11

2k（左2+1）（4公+3）~2（k2+l）T-4-

2（"2x2Jk-I

当且仅当％=1时等号成立,

所以△。出的面积的最大值为5

CL—\

21.（I）<；/（X）在（0,1）上单调递减；“X）在（L-）上单调递增；（）证明

b=—1

见解析.

【详解】

（I）f（＜x）=alnx+a+b,

（

由题叫7m（=1）=00遥[a==_l]；小,、）=1"

令r（x）=o,解得％=1,

当（0,1）时，r（x）＜0,即/（X）在（0,1）上单调递减；

当XG（l,+8）时，/'（x）＞（）,/（力在（1,+0。）上单调递增；

（H）由（I）知_y（x）N/（i）=o,

即xlnx-x+120对任意xw（0,+oo）成立.

要证e（（坦）如，只需证l＜1011n（Wl）.

100100

在不等式xlnx-x+120中,

,1010101,,101、101,八

令》=——，则有---ln(---)-----+1>0,

100100100100

.10,1011,,101、〜一

即——ln(——)>——，nBiJ1<101n(——)成立;

100100100100

要证（幽丫000。，只需证1000也（丝见）＜1,

10001000

,10011口10001

即nn证ln(----)<----，只需证In----->-

1000100010011000)

即证10001113&+1>0.

1001

在不等式xlnx-x+120中，令x=：；；；

1000,10001000,c1000,Cj

则有----In-----------+1>0,即lOOOln----+1>0成立

1001100110011001

综上，不等式(幽)1°°°<6<(31)刈成立.

1000100

22.(1)/+(y一2>=9,x-y+4=0；(2)

【详解】

x=3cos