第四章 数列复习讲义 高二年级上册数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数列复习讲义一学生版

【基础知识】

1.数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2,3,…，n｝）的特殊函数，数列

的通项公式也就是相应函数的解析式。

2.数列通项an与前n项和S"的关系

♦S]n=l

S,=%+。2+。3+…=2%2.

1=1

3.递推关系：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项。.

与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个

数列的递推公式.

4.等差数列与等比数列:

等差数列等比数列

aa

定义an+i—an=d,d为常数n+l^n=%4为不0的常数

n-1

通项公式an=a1+(n-l)da”=

n%,q=T

〃(q+%),n(n-1)

前n项和Sc=----!------=na.+----------aS"=<

"22

l-q

n-m

%=a,„+(«-m)d%二%q；

aa

性质m+n=p+q时，ajA=P+qm+n=rp+“/时，aman=apaq

m+n=2P时，am+an=2apm+n=2。时，a,1a“=a；

【基本题型】

一、数列通项2与前几项和5,的关系

3

例1.若数列｛%｝的前〃项的5〃=5%-3,那么这个数列的通项公式为（）

72-1

A.c1n=2x3B.=3x2〃C.c1rl=3〃+3D.c1n=2x3”

变式训练：

2

1.若数列R｝的前n项和为Sn=n，则（）

1

A.an-2n-lB.%=2〃+lC.an=-2n-1D.an=-2n+1

2.已知数列｛a“｝的前〃项和S“=3+2",则an=

3.已知数列的S”=〃~+〃+1,则々8+々9++312=。

二、等差数列

例2：(1)等差数列｛%｝的前〃项和记为S“，已知/0=30,a20=50①求通项句；②若S"=242,

求〃

（2）.在等差数列｛。"｝中，若生+。9+45+=8,则S23=

变式训练：

1.已知等差数列｛%,｝中，a7+a9=16,a4=1,则也等于（）

A.15B.30C.31D.64

2.等差数列｛4“｝中，。2=5,4=33,则/+。5=。

3.在等差数列中，Sn=22,则%,=

4.在等差数列｛。“｝中，若。3+。9+。15+。21=8，则$23=

5.等差数列｛%｝中,4+&+%=39,%+4+。9=27,则数列｛4｝前9项的和区等于（）

A.66B.99C.144D.297

6.设S,为等差数列｛。“｝的前n项和，S4=14,Sio-Sy=30,则Sg=.

7.设等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若83=9,臬=36,贝京7+/+为=（）

A.63B.45C.36D.27

8.在等差数列｛0｝中，4=-10,d=2,要使前n项和5〃取得最小值，则n等于（）

A、5B、6C、7D、5或6

三、等比数列

例3：（1）.公差不为零的等差数列｛4｝的前〃项和为S".若%是生与%的等比中项，58=32,则$0=

2

A.18B.24C.60D.90

(2)数列｛%,｝是公差不为0的等差数列，且%,%,%为等比数列｛〃｝的连续三项，则数列仍“｝的公比为

A.V2B.4C.2D.-

2

(3).设等比数列｛%｝的公比为q,前。项和为£,若S.+i，S”,S,+2成等差，求q的值。

变式训练3

1.等比数列｛%｝中，/=9,%=243,则｛凡｝的前4项和为()

A.81B.120C.168D.192

2.在等比数列｛%｝中，已知％=1,。4=8，则％=()

A.16B.16或一16C.32D.32或一32

3.等比数列｛氏｝中，出+%=6,a2a3-8,则q=()

1-1-1

A.2B.-C.2或一D.一2或一一

222

4.在各项都为正数的等比数列｛氏｝中，首项为3,前3项和为21,则%+。4+。5=()

A.33B.72C.84D.189

5.在等比数列｛4｝中，q=l,公比q=2,若｛4｝前〃项和S“=127,则“的值为.

6.在正项等比数列｛%｝中，%%+2a3a5+a3a7-25,贝!I%+%=。

7.在等比数列｛%｝中，%+4=124,a4a7=-512,公比q是整数，则%()=_

8.等比数列｛%,｝的公比q〉0,己知的=1，。“+2+。“+1=6。“，则｛%,｝的前4项和S4=_

9.一个等比数列各项均为正数，且它的任何一项都等于它的后面两项的和，则公比q为_。

10.设等比数列｛aj的公比q=2,前n项和为S”，则又=()

a2

1517

A.2B.4C.—D.—

22

3

四、求通项的常用方法

1、公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

2.%与S”的关系

n

3.已知递推关系求％,用构造法(构造等差、等比数列)。特别地，(1)形如q=总“_1+人、4=kan_x+b

(左力为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为女的等比数列后，再求%。

(2)形如q的递推数列都可以用倒数法求通项。

ka,—+b

例5：(1)\已知%=l,a,=3a“_i+2,求%

a,

⑵、若q=1,ar=',求%。

4+1

变式训练5：

1.若％=1,-an+2,则an=；

2.若q=1,an+1=2an,贝！Ja”=

3.数列｛%｝中，q=l,4=—^^(”22),则数列｛。/的通项公式是：

1+3-

1111

A---------B.--------C.--------D.--------

3n-23n+22〃—32n+3

4.已知数列满足为=1,-,求4

六.数列求和的常用方法：

(1)公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检

查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：1+2+3+…+〃=4〃5+1),

I2+22+.•-+H2=+1)(2/?+1),I3+23+33+.--+n3=.

62

例6.等比数列｛a"的前n项和为L，已知加，S3,$2成等差数列

(1)求｛4｝的公比q；(2)求%—%=3,求

变式训练6.在等比数列｛4｝中，出-q=2,且22为3%和%的等差中项，求数列｛4｝的首项.公比及

前〃项和。

4

(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用

公式法求和.

例7.求数列2—,4—,6—,…,2〃H-----,…的前n项和S.

48162""

变式训练7.数列6,3鸿,…,(2f…的前”项和为九则S“=

71-o.1

A.n2+1--—B.n+1-----C.2n-fl+1----D.n2-n+l-—

2"2〃T2〃2"

(3)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选

用错位相减法(这也是等比数列前〃和公式的推导方法).

例8.设数列｛4｝的前n项和为S“=2〃2,也,｝为等比数列，且♦=4，4(%—%)=如

a

(I)求数列｛%｝和｛0｝的通项公式；(II)设C"=六，求数列｛%｝的前n项和Tn.

小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列｛&｝的公比q；②将两个等式相减；③利

用等比数列的前n项和的公式求和.

变式训练8.设5“为数列｛%｝的前项和，已知见与0,2a-ai=Sl»Sn,neN*

(I)求％,a2,并求数列｛凡｝的通项公式；

(II)求数列｛"%｝的前几项和。

(4)裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂

项相消法求和.常用裂项形式有：

①1j②1

n(n+1)nn+1n(n+k)knn+k

111111111111

③-7<-5---=一(-----------)，--------=--------<-r<--------------;

k2k2-l2k-1k+1kZ+l(k+l)kk2(k—»kk-1k

1111.n11

④-------------——[---------------------]；⑤--------------------；

〃(〃+1)(〃+2)2n(n+l)(n+l)(n+2)(〃+1)!n\(n+1)!

5

⑥2(.”+1-G)=r=<-U<厂2j——==2(A/H-V«-l).

<n+<n+lTn—1

例，已知数列｛%｝是等差数列，其前〃项和为S/gsi

（I）求数列｛凡｝的通项公式;(II)求和:---1--------F•••H-------.

S|S2S,

变式练习9：

1

1•求和S---------1----------+(2n-l)(2H+l)

〃1x33x5

c4力111

2.求和：---1------1---1----------------=______；

1x44x7(3〃-2)x(3〃+l)

3.在数列｛%,｝中，an=—^―1y---,且Sn=9,则n=______；

JJ〃+1

4.已知函数/(x)=-^,数列｛4｝满足/=La〃+i=/(4)(〃eN*).

3%+1

(1)证明数列I,是等差数列，并求数列｛4｝的通项公式；

(2)记Sn=+a2a3+••■+a„an+1，求S”.

【基础训练】

1.已知数列｛%｝中％=2,%+i=34+1,（〃eN*）则知的值为（）

A.67B.22C.202D.201

2.数歹U｛a“｝中，％=1,a“=---F1,贝（I=

3.数列｛凡｝的通项公式为%=31-28%则数列各项中最小项是（）

A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项

4.在数列｛%｝中，%=2,2a,,+i-2an=1,则«101的值为（）

6

A.49B.50C.51D.52

5.等差数列｛%｝中，/=30,a20=50,则通项a“=；

6.在等差数列｛aj中q=2,a2+a3=13,则。4+%+。6等于（）

A.40B.42C.43D.45

7.设数列｛4｝是首项为1,公比为-2的等比数列,则q+l41+4+1%为

9.设工为等差数列｛诙｝的前n项和，S8=4a3,a7=-2,则麴=()

A.-6B.-4C.-2D.2

10.在等差数列｛。“｝中，若“1+。2+的+04=30,则“2+。3=.

11.已知｛%｝为等差数列，且%-2%=-1，%=°，则公差"=()

A.-2B.--C.—D.2

2：

12.等差数列｛%｝中，%=4,%9=2%,

(I)求｛〃〃｝的通项公式;(II)设〃=」-,求数列也｝的前几项和s“.

nan

7

数列复习讲义一教师版

【基础知识】

1.数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2,3,…，n｝）的特殊函数，数列

的通项公式也就是相应函数的解析式。

2.数列通项an与前n项和S"的关系

♦S]n=l

S,=%+。2+。3+…=2%2.

1=1

3.递推关系：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项。.

与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个

数列的递推公式.

4.等差数列与等比数列:

等差数列等比数列

aa

定义an+i—an=d,d为常数n+l^n=%4为不0的常数

n-1

通项公式an=a1+(n-l)da”=

n%,q=T

〃(q+%),n(n-1)

前n项和Sc=----!------=na.+----------aS"=<

"22

l-q

n-m

%=a,„+(«-m)d%二%q；

aa

性质m+n=p+q时，ajA=P+qm+n=rp+“/时，aman=apaq

m+n=2P时，am+an=2apm+n=2。时，a,1a“=a；

【基本题型】

一、数列通项a“与前”项和S”的关系

例1.若数列｛%｝的前〃项的5〃3,那么这个数列的通项公式为（D）

72-1

A.an=2x3B.=3x2〃C.an=3n+3D.=2x3〃

3

解：n—1时，4=S]———3ciy—6

33

"H>2'W,an=S"—S,-=(-a„-3)-(-%—3)二=3%r.=q•31=2x3"

8

变式训练：

1.若数列｛明｝的前n项和为S"=〃2,则（A）

A.61rl=2〃—1B.CLn=2〃+1C.ctn——2〃—1D.61fl——2〃+1

2.已知数列｛%｝的前〃项和=3+2”,贝。〃=＜；：一[之

3.已知数列的=〃2+〃+1,贝|J%+。9+%0+41+。12二100—o

二、等差数列

例2：（1）等差数列｛%｝的前几项和记为S”，已知见o=3O,a20=50①求通项明；②若S”=242,

求〃

解：an=ax+（n-l）d

a｝+9d=30Ia=12

a=30,a=50,解方程组va=2n+10

i020q+19d=50[d=2〃

由S〃=nax+”伽？0"，Sn=24212n+。­2=242,角星得〃=11或〃=—22（舍去）

（2）.在等差数列｛%｝中，若。3+。9+"15+〃21=8，则邑3二46

变式训练：

1.已知等差数列｛%｝中，%+。9=16，。4=L则。12等于（A）

A.15B.30C.31D.64

2.等差数歹！J｛a“｝中，a2=5,a6=33,贝ij/+%=___38

3.在等差数列中，Sn=22,则4=（答：2）；

4.在等差数列｛〃〃｝中，若生+。9+。15+=8，贝"823=46

5.等差数列｛%｝中,％+%+々7=39,%+々6+〃9=27,则数列｛%｝前9项的和$9等于（B）

A.66B.99C.144D.297

6.设S〃为等差数列｛〃〃｝的前〃项和，5-14,则S9=.

4S1O-57=3O,

解：设等差数列｛%｝的首项为雨，公差为d,由题意得4%+火；1）△=14,

[10«,+10（1°~1）d]-[la.+d]=3Q,联立解得ai=2,d=L所以S9=9x2+%二^.1=54

222

9

7.设等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若邑=9,£=36,则%+线+%=（B）

A.63B.45C.36D.27

8.在等差数列｛4｝中，”「TO,d=2,要使前n项和S”取得最小值，则n等于（D）

A、5B、6C、7D、5或6

三、等比数列

例3：（1）.公差不为零的等差数列｛4｝的前〃项和为S,.若为是％与%的等比中项,58=32,则品,=

A.18B.24C.60D.90

【答案】C

【解析】由尺“必得@+3心@+2。）（％+6。）得明+33,再由抬配+浮=32得

.90t

2〃]+7d=8则d=2,q=—3,所以S10=lOq+d=60,.故选C

（2）数列｛〃J是公差不为0的等差数列，且%,生，%为等比数列仍〃｝的连续三项，则数列｛2｝的公比为

A.41B.4C.2D.-

2

【答案】C

【解析】设数列｛4“｝的公差为d（d#0）,由a；=%%得（q+2df=%（q+6d）nq=2d

故q=%=5±M=%=2,选C.

（3）,设等比数列｛6｝的公比为q,前〃项和为S〃，若S〃+i，S〃,S,+2成等差，求9的值。

【答案】解：若q=l,则（及+1）%+（〃+2）%=2〃%,

a｛w0,/.2〃+3=2〃,不合要求............3分

若qwl则包（1一/1+1）+4（1一0'+2）=2-3（1-〃“）...........6分

1-q1-q1-q

.~九+1.~〃+2。一〃八八

..q+q=2q............9分

q?+q—2=0,/.q=—2或q=1（舍去），

综上，q=—2............12分

变式训练3

1.等比数列｛%｝中，4=90=243,则｛3｝的前4项和为B

10

A.81B.120C.168D.192

2.在等比数列｛%｝中，已知%=1,%=8,则/=（）

A.16B.16或一16C.32D.32或一32【答案】A

3.等比数列｛%｝中，的+。3=6,〃2。3=8,则4=（C）

1、11

A.2B.—C.2或一D.-2或---

222

4.在各项都为正数的等比数列｛七｝中，首项为3,前3项和为21,则%+%+%=（)

A.33B.72C.84D.189【答案】C

5.在等比数列｛q｝中，4=1,公比q=2,若｛吗前〃项和S“=127,则〃的值为7

6.在正项等比数列｛%｝中，a。+2a3a5+a3a7-25,贝!Iq+/=_5

7.在等比数列｛%｝中，a3+as—124,a4ay——512,公比q是整数，则［（）=_（答：512）；

8.等比数列｛%｝的公比q〉0,已知的=1,4+2+4+1=64,则｛4｝的前4项和S4=_

解析由。“+2+。"+1=得：+q"=6q"j,即q2+q-6=0,q>0,

15a—?’15

解得：q=2,又%=1，所以，4=2，84='―~—=­°

9.一个等比数列各项均为正数，且它的任何一项都等于它的后面两项的和，则公比q为_。

y/5—1221cc—1+A/5

设&=。〃+1+。“+2=qa“+q4，q+g—i=o,g>o,q=---

10.设等比数列｛%,｝的公比q=2,前n项和为S”，则又=（）

a2

1517

A.2B.4C.—D.—

22

【解析】64=4）=15的,%=a”.庄=”.・.选CP

1—2a22

四、求通项的常用方法

1、公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

2.4与51的关系

n

3.已知递推关系求％,用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如％,=弘—+b、an=kan_｝+b

11

(k,b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为左的等比数列后，再求生,。

(2)形如为的递推数列都可以用倒数法求通项。

ka.i+b

-1

例5：(1)、已知a1=1,。“=3。“_]+2,求%(答：an=2»3"-1)；

(2)、若。]=1,an+l=、■,求%。an=—

4+1n

变式训练5：

1.若。1=1,々“+1=4+2,则_2n—l_；

nx

2.若a】=1,an+i=2an,则an=2~_

3.数列｛%｝中，卬=1,。，=—^^(”22),则数列｛册｝的通项公式是：A

1+3%

1111

A.---------B.---------C.---------D.---------

3T1—23〃+2In-3In+3

4.已知数列满足%=1,-7^=[a”％,求%(答：a,=二)

六.数列求和的常用方法：

(1)公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检

查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：1+2+3+…+”=；”5+1),

I2+22+.••+7?2=+l)(2n+1),I3+23+33+.--+n3=[/7(A7?1：>]2.

62

例6.等比数列｛a'｝的前n项和为先,已知加，S3,S2成等差数列

(1)求｛4｝的公比q；(2)求%一的=3,求力

2

解：(I)依题意有为+(%+。应)=2(%+axq+a1q)

1

由于。1。0,故2q7+<7—0又q彳0,从而q———

4(1-(-l)n)

(II)由已知可得见—%(—工)2=3故%=4从而Sn=-------2

232

2

变式训练6.在等比数列｛4｝中，4-4=2,且2a2为3q和内的等差中项，求数列｛4｝的首项.公比及

3n-1

前九项和。1,3,

s“2

12

(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用

公式法求和.

例7.求数列2—,4—,6—,…,2〃H-----,…的前n项和S.

48162"n

分析：此数列的通项公式是4=2〃+击，而数列｛2诩是一个等差数列，数列;，订[是一个等比数列，故采

用分组求和法求解.

11/,、11

解：S=(2+4+6H---1-In)++F+F+…+=〃(“+1)+万一产.

n2324

变式训练7.数列1工,3工,5工,…,(2〃—1)+,,…的前〃项和为S“，则S”=

2482

910Tl_7.10.1

A.TI+1----B.n+1--------C.2n-〃+1----D.TI-n+1------

2n2”T2n2〃

分析：代入检验，因5]=1+工，故选A

12

(3)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选

用错位相减法(这也是等比数列前〃和公式的推导方法).

例8.设数列｛凡｝的前n项和为S“=2〃2,也,｝为等比数列，且％=4，/(4一6)=".

a

(I)求数列｛凡｝和｛2｝的通项公式；(II)设%=广，求数列｛%｝的前“项和

解：(1)：当〃=1时，4=51=2;当“22时,2=5“—5,1=2"2—2(”—1)2=4"—2,

故｛。〃｝的通项公式为4=4〃—2,即｛4｝是%=2,公差d=4的等差数列

设｛瓦｝的通项公式为q,则仇qd=%d=4,：.q=g.

i2

故a=4/1=2><不工，即｛2｝的通项公式为a=不二

(II)...。“=*=±^=(2〃一1)47

bn_2_

4〃-1

二北二。1+。2+…+，=[1+3x41+5x42+…+(2〃_1)4'1]

47；=[lx4+3x42+5x43+---+(2M-3)4n-1+(2zt-l)4H]

两式相减得

13

37；=-l-2(4*+42+43+•••+4”T)+(2n-1)4"=1[(6n-5)4"+5]

.-.7；=1[(6n-5)4"+5].

小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列｛g｝的公比q；②将两个等式相减；③利

用等比数列的前n项和的公式求和.

变式训练8.设5“为数列｛%｝的前项和，已知2%—ai=S|・S〃，〃eN*

(I)求％,a2,并求数列｛外,｝的通项公式；1,2,an=2"-'

(II)求数列｛〃%｝的前几项和。(=1+(〃—1)2"

(4)裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂

项相消法求和.常用裂项形式有：

①1=二j②1=*—');

n(n+1)nn+1n(n+k)knn+k

111111111111

③--<—5=—(---------------),--------=--------<-<--------=---------；

1C左2—12k—1k+1kk+i(Z+l)左k1(k-l)kk-1k

心+11)5+2)=?91+1)-1)51+2)r^11

④］；⑤-------------------

(n+1)!〃！5+1)!

⑥2(A/n+1—G)=—7=~2<—L<——_2—2(^/^—瓜一1).

yjn+y/n+1y/n—1

例9.已知数列｛%｝是等差数列，其前〃项和为“《Si

111

(l)求数列｛%｝的通项公式;(II)求和:------1---------1-,••H-------,

5§2S,

4+2d=6

(I)解：设等差数列3"｝的公差是d,依题意得，.

03x2J=12.

JU,H--------d

12

解得《数列｛«„｝的通项公式为an=%+(〃—l)d=2n.

d=2.

(II)解：:=2〃，I.Sn=_n(几+1)

111111

-I---------1--I------二---------1----------F,••H----------------

1x22x3n(n+1)

S邑Sn

14

ArArA1、1

=1-2+2-3+'"+2-3+'"+)=1--

n〃+1n+1

变式练习9：

1

1•求和S=----1----------+...-----------------

n1x33x5(2n-l)(2n+l)

11n

)=

2323525722n-\2n+l2n+l2H+1

2.求和：」-+」-+-+----?--------=______(答：/一)；

1x44x7(3n-2)x(3n+1)3n+l

3.在数列｛〃〃｝中，an=-T=一1/,且Sn=9,则n=(答：99)；

4.已知函数数列