新教材人教A版必修第二册7 .1 .1 数系的扩充和复数的概念作业

20202021学年新教材人教A版必修其次册7.1.1数系的扩充和复

数的概念作业

一、选择题

2-i

1、在复平面内，复数i对应的点位于（）.

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限

2

2、复数z=x+M满意|z-2|=^,那么％的最大值为（）

1_立昱

A.2B.3C.2D.百

3、下面是关于复数z=l+z.（i为虚数单位）的四个命题，其中正确命题的是（）

A.忖=®B.z对应的点在第一象限

C.z的虚部为iD.z的共朝复数为T+力

jx••3/

4、欧拉公式e=cosx+zsmx（i为虚数单位），那么依据欧拉公式e表示的复数在复

平面位于（）

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限

5、复数£满意z（l+27）=’那么复数z在复平面内对应点所在的象限是（）

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限

6、设％,z?是非零复数，且满意z：-百4Z2+Z；=0,那么㈤与区|的关系是（

A.团>%|B.|zj<|z21clz卜㈤口.不确定

7、设非零复数乙为复平面上肯定点，“为复平面上的动点，其轨迹方程区-z°|=|zj,

Z为复平面上另一个动点满意ZZ=T,那么Z在复平面上的轨迹外形是（）

A.焦距为4的双曲线B.以％为圆心，4为半径的圆

C.一条直线D.以上都不对

8、欧拉公式/=cos6+，sine（e是自然对数的底数，i是虚数单位）是由瑞士闻名

数学家欧拉发觉的，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的

关系，它在复变函数论里占有特别重要的地位，当°=万时，就有*+1=。，依据上

述背景学问试推断e%表示的复数在复平面对应的点位于（）

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限

9、假设复数z满意=那么上一4-5，|的最大值为（）

A.4B.5C.6D.同

5+z

z=-----

10、复数l-i（i为虚数单位），那么在复平面内z所对应的点在（）

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限

11、假设复数4与Z2=-3-'（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，那

么4=（）

A.B.-3+i

C.3+iD.3-i

1+i

z=

12、在复平面中，假设点A表示复数3+i,那么点A所在象限为（）

A.—B..C.三D.四

二、填空题

13、复数z=（根-2）+（相2-9»在复平面内对应的点位于第三象限，那么实数也的取值

范围是.

14、复数z=1）+2〃“（加'A）在复平面内的对应点在第三象限，那么实数加的取

值范围是.

15、三|=1且zeC,那么|z-2-2i1（i为虚数单位）的最小值是

16、z为虚数,且有Iz1=5,Z?+为实数，假设z为实系数一元二次方程x2+bx+c=0

的根，那么此方程为.

三、解答题

17、（本小题总分值10分）方程/+4为+m=°的两根为/且满意9一0=6,求

实数加的值.指出下面的解法是否有错误，假设有请分析错误缘由，并给出正确的解答;

假设没有，请说明理由.

I。—尸1=6,得|a-*=36...（a+川-4必=36

由方程的根与系数的关系，得

（-4）2-4m=36

解方程，得加=-5.

18、（本小题总分值12分）以下复数：2+，、-3z\—3+4，、4.

（1）在复平面上作出表示这些复数的向量；

（2）在复平面上作出表示这些复数的点关于实轴的对称点.

19、1本小题总分值12分）复数z="一加）+（加+3），（小周在复平面内对应点z.

（1）假设加=2,求z,

（2）假设点Z在直线丁=%上，求加的值.

20、（本小题总分值12分〕如下图，平行四边形的顶点0,A,C对应复数分别

为0,3+2）—2+4"试求

①4°所表示的复数，所表示的复数；

②对角线。1所表示的复数；

③对角线OB所表示的复数及OB的长度.

参考答案

1、答案C

2-i

依据复数除法运算法那么，求出i的实部和虚部，即可得出结论.

二（2'=—7

详解：iT，

2-i

i对应点的坐标为（一1，一2）,位于第三象限.

应选：C.

2、答案D

2

依据复数的几何意义求出复数2=苫+庚的轨迹方程再依据X的几何意义求解即可.

详解

由于|2-2|=百，故"2）+M=q即（%—2y+V=3,又提的几何意义为（入。）

2》Sind_"_兀了

至!J（0'°）（x—2）+»=3切于第一象限时》。那么2,易得一3.故x的最

tai=6

大值为3

应选：D

3、答案AB

依据复数的定义和几何意义以及共辗复数的概念依次推断选项即可.

详解：由于z=l+二

对选项A,忖=炉不=应，故A正确.

对选项B,z对应的点为0』），在第一象限，故B正确.

对选项C,z的虚部为1,故C错误.

对选项D,故D错误.

应选：AB

4、答案B

（71）

3G—.71

力表示的复数为：cos3+zsin3,依据UJ即可得出结论.

详解

由题意可得e"=cos3+，sin3,

al"1

）

\29cos3<0,sin3>09

因此在复平面中位于其次象限.

应选：B

5、答案A

把变形等式，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.

详解

由z（l+2，）=，，

i_Z（1-2Z）_Z+2

z—----------------------------------

得1+2，55,

复数z在复平面内对应的点的坐标为,在第一象限.

应选：A.

6、答案C

44

将方程两边同时除以，化为Z2的一元二次方程，利用求根公式求出Z],再求出其模,

即可得到答案.

详解：由于z；一百zc+zw=0,且z2Ao

旦=6±3

所以Z222,

|^H—±-/|=J-+-=l皿=1_

所以Z222V44，所以匕|,所以|马|=匕|.

应选：C.

7、答案B

由|Z「Z°|=团，知点Z、的轨迹为连接原点。和定点Z。的线段的垂直平分线,

由于Z|Z=T,所以IZ,将此式整体代入点Z1的方程，化简即可得解.

详解

由同-z0|=|zj,知点Z的轨迹为连接原点°和定点Z。的线段的垂直平分线，

由于Z|Z二T,所以4__5，

将此式整体代入点Z1的方程，得z

即两边同时乘以z。，得z。Z。，

所以Z在复平面上的轨迹是以Z。为圆心，Z。为半径的圆，

应选：B.

8、答案D

依据欧拉公式及复数的几何意义，即可求得对应点的坐标，进而推断在复平面对应的点

所在象限.

详解：欧拉公式*=cos6+zsine,

-i—0-----

在e3中，3,

16.

=z

22

口,-无］

对应点的坐标为（22人所以在第四象限，

应选：D.

9、答案C

依据|zTT|=l,可知复数z对应的点P在圆上，然后依据上一"5，|的几何意义，简

洁计算，可得结果.

详解：由于复数z满意RTT|=1,

所以复数z对应的点尸在圆°+（y—i）=i上，

表达式上一"54的几何意义是点尸到点（45）的距离.

由于圆心为半径为1,

所以点P到点H5）的距离的最大值为1+J。-4『+（1—5）=6

应选：C

10、答案A

依据复数的除法运算，求得复数z=2+3"再结合复数的几何意义，即可求解.

5+i（5+z）（l+O4+6zc>

详解：由题意，依据复数的除法运算，可得复数I-.（l-7）（l+i）2,

那么在复平面内z所对应的点为（26）,在第一象限.

应选:A.

11、答案B

由题意得复数zi与22=一3-'的实部相等，虚部互为相反数，那么久可求.

详解

•••复数①与22=-3-'a为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，

二复数zi与Z2=-3-'五为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，那么Z1=-3+i.

应选:B.

12、答案A

先化简复数Z,再确定点A所在的象限得解.

详解

z_l+i__（l+i）（3--_4+2i_2+J_.

由题得z-二7-（3+以37）-FT-白，,

“21、

A（-,-）

所以点55,

所以点A在第一象限.

应选：A

13、答案（—3,2）

m—2<0

复数z=（相-2）+（/-9）i在复平面内对应的点位于第三象限，可得［帆2-9<0,解得即

可.

详解：解：复数z=（加一幻+（病-切在复平面内对应的点位于第三象限，

m—2<0

「苏—9<0,解得—3<x<2.

实数加的取值范围是（一&2）.

故答案为：（一32）.

14、答案（-1,0）

依据复数z在复平面内的对应点在第三象限，可得出关于实数加的不等式组，进而可解

得实数加的取值范围.

详解：复数z=（"—l）+2w（meH）在复平面内的对应点在第三象限，那么

m2-1<0

<

2m<0,解得_］</〃<0,

因此，实数加的取值范围是（一1'°）.

故答案为：（T°）.

15、答案2应-1

设z=x+M,依据复数的几何意义分析即可.

详解

设z=无+”,由于|z|=1,故必+V=1,即z在复平面内是在以原点为圆心,］为半径的

圆上.

又|2-2-2+.2+5加=加-2）2+（尸2）2,几何意义为（2）到（2,2）的距

离.

2

,,B._.J（2-0）+（2-0f-1=2>/2-1

故最小值为）'）

故答案为：2夜-1

16、答案无2—2x+25=0

设2=%+何（乂丁€11,且y*0）,依据建立了，y方程关系，求出z,利用韦达定理得

z+z=-b,z-z=c,即可求出方程.

详解：设2=%+何（十℃区，且ywO）,

那么।z1=+丁?=5,%2+y2-25

222

z+2z=%-y+2%+（2xy-2y）iGR,y（x-1）=0,%=1

''9

y=±2#,z=1±276,所以方程Y+法+。=o的根为1土276,

z+z=2=—Z?,b=—2,z•z=25=c,

所以方程为尤2—2尤+25=°.

故答案为：2X+25=0.

17、答案有错误，理由见，加=-5或加=13.

详解：上面解法有错误，缘由是当无GC时，Z?不肯定等于12『.如2=乙那么

z2=-l,|z|2=1.

正确解法：

[1）当A=16-4帆>0,即机<4时，有a,0GR,此时解答同上面解法；

（2）当/<0,即加〉4时，方程有共甄虚根，两根为一4±-16,=_2±而4?.

2

依题意\a-J3\=\2yJm-4z|=6.

解方程，得加=13.

综上所述，加=-5或加=13.

18、答案（1）图象见；（2）图象见.

(2)作出A、B、C、。四点关于实轴的对称点即可.

详解：［1)设复数2+，、-3，、-3+4八4在复平面对应的点分别为A