高中数学三角函数训练含答案解析-5份

高中数学三角函数专题训练20题含答案

61.已知a,b,c均为正实数，且a+2b+3c=4.

（1）若a=l,求证：y/b+\/c<

（2）若血+乃+,=2,求a的取值范围.

【答案】（1）解：a+2b+3c=4,

若a=1,

则2b+3c=3,

所以2(班)2+3(加>=3,

22

所以+(VE)=1，

岳TB

所以可令=cosa»\[c=sina，

所以伤+&=噌cosa+sina=l2sin(a+y)<

，2

故乃+的<乎.

(2)解：a+2b+3c=4,

所以2b+3c=4—Q>0OQV4

grpi>T2y[b_QY3X/C_.Q

j/l以/,1==cos3»-7；—=sin。,

y/4-aV4-a

所以迎=呸率"，&=V4—asin0

V2G，

又乃+y/c=2—Va,

V4—acos0v4—asin0

所以乃+Vc=

一&——75—

所以2—GW心。④，

所以(2-鬲<吗④=5Q+嗯(2一他),

所以(2-6)W5(2*@,

所以(12-6莉)<10+5正，

所以11返22,

解得Q之盒，

所以Q6[，4)，

故答案为：a6[»4).

62.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且acosB+bsinA=c.

(1)求角A的大小；

(2)若。二四，△ABC的面积为与1,求b+c的值.

【答案】(1)解：由已知及正弦定理得sinAcosB+smBsizM=sin。，

VsinC=sin^A+5)=sinAcosB+cosAsinB

sinBsinA=cosAsinB,

vsinBW0・•・sin/=cosA

JT

•G(0/TT)••A=/.

(2)S^QC=^bcsinA=^bc=»**be=2—V2»

X*.*a2=b2+c2-2bccosA•**2=(b+c)2—(2+V2)bc,

所以(b+c)?=4,b+c=2.

63.已知/(%)=2cosx•sin。+5)，x6/?,△ABC的内角A,B,C所对的，边分别为

a,b,c,若/(%)的最大值为f(4).

(1)求A；

(2)当Q=2,6=28时.，求△45。的面积.

【答案】(1)解：依题意，/(%)=2cosx(sinxcos^+cosxsin=V3sinxcosx+cos2%

=孚sin2x+*cos2x+^=sin(2x+5)+/'

显然当2%+看=2而+],kWZ,即％="+看，ZcWZ时，/(%)max=

TT

因为f(A)是/(x)的最大值，又4是AZBC的内角，即0<4<兀，因此4=小，

所以

⑵解：在△4BC中，A=看a=2,b=2技由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA>

即2?=(2V3)2+c2-2x2V3cx字，整理得c?-6c+8=0,解得c=2或c=4,

当c=2时，SMBC=；bcsin4=；x2V5x2x：=V5，当c=4时，S^ABC=^bcsinA—

|x2V3x4xi=2V3.

所以△ABC的面积是百或28.

64.己知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且sin(4-B)=2sinC.

(1)证明：a2=b2+2c2:

(2)若4=e，a=3,~BC=3BM，求AM的长度.

【答案】(1)证明:由sin(4-B)=2sinC=2sin(4+B),

得sin/cosB-C0Si4sinB=2sin/lcosB+2cos/sinB,

则sin/cosB+3cosAsinB=0,

由正弦定理和余弦定理得a.。2+。2—庐b./d=

a2ac十02bcu

化简得a2=M+2c2；

(2)解：在△ABC中，彦=房+=9，

又因为=M+2c2,所以b2+2c2=反++be=9,所以b=c=V3,

所以B=C=《

由配=3的，得

在4ABM中，AM2=c2+(静—2cx-cosB=3+1—3=1,

所以AM=1.

A

65.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c_百状也4=烂蝶二日一炉

(1)求A；

(2)若人:/。，且BC边上的高为2旧，求a.

【答案】(1)解：因为c—®sinA=M+或一“一心

所以由余弦定理得c—y/3bs\nA=acosB—b，

由正弦定理得sinC—V3sin>lsinB=sinAcosB-sinB,

由于sinC=sin(i44-B)=sin/lcosB+cosAsinB,

整理得cosAsinB-V^sinAsinB=-sinB.

又因为sinBH0,所以cos4—V3sin?l=-1,即sin(4-&)=］，

因为A《(0,TT)，所以4_〈€(—.,卷)，

所以人一髀卷即A=*

(2)解：由xax2V3=4bcsing得be=4a,

又b=gc,所以c?=16Q,b2=a，

q

由余弦定理知a2=b2+c2—2bccosA=a+16a—4a=13a，

解得a=13.

66.在△ABC中，角4、B、C所对的边分别为a、b、c,已知国b=a(国cost：-sinC).

(1)求A；

(2)若a=8,△ABC的内切圆半径为百，求△ABC的周长.

【答案】(1)解：因为8b=a(V5cosC-sEC)，

由正弦定理可得V5sinB=sin4(遮cosC—sinC)>①

因为A+B+C=n,所以sinB=sin(4+C)=sin/cosC4-cosAsinC,

代入①式整理得V^cosAsinC=—sinAsinC,

又因为4、CG(0,兀),sinCW0,则V^cosA=-sin4<0,所以tanA=一8,

又因为AG(0,7i),解得4=冬.

(2)解：由(1)知，4=等，因为△力8C内切圆半径为国，

所以SA4BC=*(a+。+c)•V3=gbe.sim4,即(b+c+8)•y/3=苧儿,

所以，b+c+8=：bc②，

由余弦定理。2=b2+c2-2bc-cos竽得/+c2+be=64>所以(b+c)2—be=64③，

联立②③，得(b+c)2—2(b+c+8)=64，解得b+c=10,

所以△ABC的周长为a+b+c=18.

67.在中，角4B、C所对的边分别为a、b、c,_/+_==_J+—

cosBcosCcosAcosBcosC

(1)求tanBtanC；

(2)若be=3,求△ABC面积S的最小值.

【答案】(1)解：•.•3+$=$+瓢,,

cosBcosCcosAcosBcosC

・•・(bcosC+ccosB)cosA=a{cosBcosC+3cosA\

由正弦定理得(sinBcosC+cosBsinC)cosA=sinA^cosBcosC+3cosA).

••sin(B+C)cosA=sinA(cosBcosC+3cos4).

因为0V4VTT,则sinA>0,

•・•4+B+C=7T,sin(B+C)=sinA,

则cos/=—cos(B+C)=sinBsinC-cosBcosC,

所以，cosA=cosBcosC+3cosA,即2cos4+cosBcosC=0,

所以，2(sinBsinC-cosBcosC)+cosBcosC=0,

・•・2sinBsinC=cosBcosCf^tanBtanC=/

(2)解：由(1)^tanBtanC=今

若。an夕：g,则8、C均为钝角,则B+C>7i,矛盾,

所以，tanB>0,tanC>0,此时8、C均为锐角，合乎题意，

AtanA——tan(B+C)=——2(tanB+tanC)<-4y/tanBtanC——2^2,

当且仅当ta/tB=tcmC=孕时,等号成立,且4为钝角.

•・,tanA<—2V2,则tan（7r—A）>2/，且TT—4为锐角，

1（兀T）=群今？2四

由，sin2（7T_4）+cos2（兀_｛）=1,解得sin（7T_4）N攀，即sinA2孥，

C0S（7T-4）>0

、sin（7r—4）>0

当且仅当tcmB=tanC—孝时，等号成立，

•・,be=3,・•・s=besinA—sin-4>x—V2-

因此，△ABC面积的最小值为鱼.

68.在AABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为S且S=ga?-

62）sinC

（1）证明：a=2b；

（2）若acosC=^b,求cos4

【答案】⑴证明：由5=4absinC,结合已知有aabsinC=（^a2-h2）sinC,而sinC>0,

所以ab=a2—2b2,则小—就一2b2=（a—2b）（a+b）=0,故a=2b或a=—b（舍）,

所以a=2b,得证.

（2）解：由题设及（1）结论，2尻osC=36,即c0sC=3=土度出，

乙42ab

所以i=。2+/_,。人=4b2+川—3b2=2b2，则c=y/2b，

所以皿4=庐+2/4庐一孝

242b4

69.在AZBC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知siMc=sir^A+siMB+

sinAsinB.

（1）求角C；

（2）记△ABC的面积为S,△ABC的周长为T,若c=2,求*的取值范围.

【答案】（1）解：在△4BC中，由正弦定理及siM。=siM/l+siMB+sinAsinB,得d=

Q2+属+。力，

由余弦定理得cose=立产整=_1,0<C<7T,

2ab2

所以C=等.

(2)解：由(1)知，a2+b2+ab=4»即(Q+bf—4=ab，

于是s扣bsinCRabB(a+b)2-4V3,,0、，

=用较Fa+/+2=H(a+D，

因为abW(噤)2,即有Q+乃2—4w(孚：，解得0+/,三隼，

乙Z.5

当且仅当a=b时取等号，又a+b>c,因此2<a+bW竽，有*6(0,1-

所以歙勺取值范围为（0,I—易.

70.如图，在平面四边形ABCD中，AC=4,BC1CD.

(1)若力B=2,BC=3,CD=V15.求△ACD的面积;

（2）若/B=等，乙D屋,求（监+}4/）一8。的最大值.

AC2-^BC2-AB2

【答案】（1）解：在AABC中,16+9—4_7,

cosZ-ACB=2AC-BC2x4x3=F

7

因为8c1CD,所以sin/ACD=cos

AACB=o

所以△AC。的面积s=^AC-CD-sin乙4CD=ix4xVT5xJ=冬里;

ZZo

(2)解：设NBC4=0,0<0,则^BAC=^-e.

BCAC8Ti

在△4BC中，sin瑞-8)=m等,则BC=^sin(@-e),

4—ADAC

在△AC。中，sin(3-。)=而卷则=8cos。，

EFI'J1、/Innr_,46]4、q8./c、_4右Z).4-/3.Q_

所以(-g-+^)AD-BC=(-—F4)cos0-sin^-0)=~-cos0H—~sin。—

4乃.si兀、

-^-sin(。+不)，

当"即寸，吟+和。_BC取得最大值峥；

综上，△4CD的面积为空，婚+和D-BC的最大值孚

71.在△ABC中，D为4c的中点，瓦5=)瓦彳.

(2)若乙BC4=5,BE=?，且丽•刀=12，求△ABC的周长.

因为D是4c的中点，~EA=\BA,

则就=~BA+AC=BA+2AD=BA+2(BD-BA)=2BD-~BA=2a-b>

EC=BC-JE=JC-^BA=2a-b-^b=2a-^b.

(2)解：由BE=^,EA=/瓦?，可得BZ=7.

因为福-CA=\CB\-\CA\.cos^BCA=12,乙BCA=

所以|方|•\CA\=24,

在小ABC中由余弦定理8摩=CB2+CA2-2-CB-CA-cosZ.BCA,得：49=(CB+

CA)2-3x24,

则C4+BC=11,

所以△ABC的周长为11+7=18.

72.在△力BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b(sinB-sinC)=(acosC-

ccos?l)sinB.

(1)求角A；

(2)若△ABC为锐角三角形，求蛆牡噂土贮的取值范围.

sin/lsinnsinL

【答案】(1)解：Vb(sinB-sinC)=(acosC—ccoSi4)sinB

由正弦定理和余弦定理得一c)=(02+短c2__+才a2)b，

整理得/+c2-a2=be,cos/="+c2-a21,

2bc2

又4是三角形内角，.•.7!=*

⑵解：△ABC为锐角三角形，则B+名>今S>J,

3ZOOZ

又M+c2—a2=be，

sin2/+sin28+sin2c_s2+/2+[2_2庐+2卜2-be_4再射+修_2后

sin/lsinBsinC-旦加~旦儿~~3be3-)

c_sine_Sin(孕-B)_苧cosB+，inB_)工，

b-sinB—sinB—sinB—tanB+2

看VBV^,则tanB>字,1<^<2,

11

设/(%)=%+-，5V%1V%2V2，则-％2V。，

x/

则/(%1)-/(%2)=%1+；-％2-；=("f??]X2T)，

X1x2xlx2

因此当*<X1<X2<1时，%!%2-l<0,/(%1)-/(x2)>0,/(%!)>/(&)，/(%)单调

递减,当1<%1<%2<2时，X1%2-1>0,/■(%!)—/(x2)<0,/(%1)</(%2)>/(久)单

调递增,

*弁笺=1时，"三=2,当介插好2时,

•••2星字攀一醇等即如吗磊萨〈攀

73.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bsin(A+看)=a+c.

(1)求B；

（2）若锐角AABC中b=2,求其周长的取值范围.

【答案】(1)解:2bsin(A+,)=a+c,由正弦定理可得2sinBsin(A+3)=sinA+sinC,

即2sinB(学sin4+*cos4)=

sinA+sin(/l+B)，

整理得V^sinBsinA=sinA+cosBsinA,

又4€(0,TT)»所以sirL4H0,所以KsinB—cosB=1,

即sin(B—1)=*,又B€(0，兀),B-莹W(―莹,^-)

所以8Y建，即B=*

⑵解：由⑴知B=*又b=2,由正弦定理，得益片篇=嬴4

后

44

所以a=-j=sinAfc=与sinC,

442

所以a+c=3(sinA+sinC)=与[sin4+sin(@n-A)]

=-^(|sinA+苧C0Si4)=4sin(Z+1)，

忆髀”4则X-髀等

在锐角△ABC中,

所以坐<sin(4+,)W1，则2通<a+c<4.

故△ABC的周长的取值范围为（28+2,6].

74.在△ABC中，角4B,C的对边分别是Q,b,c，满足bs讥B+csmCsinA•(a—

2bsinC).

（1）求角4的余弦值;

（2）若。是边48的中点且C。=2,求b+/c的取值范围.

【答案】⑴解：在△城中，由正弦定理有岛=岛=,，

,:bsinB+csinC=sinA•(a-2bsinC)，

2

・•・sinB+sin2c=sin4•(sin/1—2sinBsinC),即反c2=a2_2bcsirh4,

在△ABC中，由余弦定理，有/=d+—2bccos/,

・•・2bcsinA=-2hccos力，贝UsinA=-cosA,即tan/l=-1,

■:4€(0,TT)，•A=则cos/=—孝;

⑵解：如图，设NACO=a，则乙M>C=^-a,aG(0,

在ZMCD中,根据正弦定理‘有名=而%=可券配,

・•・AD=;=2V2sina,AC=b=2asin©-a),

设f(a)=b+V2c=2V2sin(^—a)+8sina=2cosa+6sina

=2VT0(-y=cosa+-y==sina)=2VT0sin(a+0),

77

(其中sin。=了有，cos。=不，易得6C(0,石))

又(a+O)e(。,*+8)6(0,J),所以/(a)在ae(0,/上单调递增,

所以f(a)C(2同sin。,2V10sin(J+0)),又sin(/+。)=孝(sin8+cos。)=等，

所以b+鱼©的取值范围为(2,4V2).

ADB

75.已知函数/（X）=V^Si7l（3X+看）+2cos2（号^+金）—1,（3〉0）图象的相邻两对称

轴间的距离为自

（1）求f（x）的解析式；

（2）将函数/（久）的图象向左平移子个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩小

为原来的★（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间.

【答案】（1）解：由/'（x）=y[3sin（b）x+5）+2cos2+金）—1,（3>0）,

整理得：/（x）=V3sin（<ox+看）+cos（a）无+看）=2sin（a>x+,+看）=2sin（a>x+，）,

由于相邻两对称轴间的距离为去

故函数的最小正周期为兀，故3=2.

所以/（%）=2sin（2x+^）；

（2）解：由题意，将函数/（%）的图象向左平移沿个单位长度，

可得y=2sin[2（x+[）+n]=2sin（2x+半）的图象，

再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的*（纵坐标不变），

得到函数g（x）=2sin（4x+等），

令?+2knW4x+竽W竽+2/OT,kEZ,

即一刀+"+2,kez，

所以g（x）的单调递减区间为[-言+竽，笠+知kez.

76.在^ABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,仁若44BC为锐角三角形，且满足sinB(l+

2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC.

(1)证明：a=2b；

(2)若16cosAcosB=5,△ABC的面积为5=挈，求△力BC的周长.

【答案】(1)证明：由题意可得：sinB+2sinBcosC=2siriAcosC4-cos?lsinC

所以sin(A+C)+2sinBcosC=2sin/lcosC+cosAsinC

展开整理得sini4cosc=2sinBcosC

•「△ABC为锐角三角形

/.cosCH0

/.sin?l=2sinB

(2)解:V16cos?lcosB=5

/?2+c2—a2a2+c2—Z?

工16・

：a=2b

整理得2c4-5匕2c2—1的4=0,.•3=挈8

。2+庐—c24b2+庐一名21

，SA4BC=^b-2b-sinC=等上

-3k"-，

:.b=2

••Q=4,c=3y/^2.

*'•△ABC的周长为Q+b+c=6+3A/2.

77.已知函数/(x)=Asin(3X+>)(4>0,3>0,取<今的部分图象如图所示.

n

3

3

(1)求函数/(%)的解析式;

(2)先将函数y=/(%)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，然

后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，最后将所得

图象向右平移强个单位后得到函数y=g(x)的图象，若|g(%)|w空，求实数x的取值范

围.

【答案】⑴解：由图象可得，4=/4圻金吗

所以T=3,3=至=4,

22

1

所以，f(x)=sin(4x+＜p).

又/(X)在久=各处取得最大值，

由“五点法”可知4x£+0=*+2k7T,kez,

所以9=5+24兀，kEZ.

又|叫＜*所以3建，

所以,/(x)=^sin(4x+^).

(2)解：将函数y=/(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，

得到y=sin(4x+看)的图象；

将y=sin(4%+号)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，

得到y=sin(2x+着)的图象；

将y=sin(2x+看)图象向右平移存个单位后得到函数y=sin[2(x-^)+1]=sin(2x-

奇的图象，

所以g(x)=sin(2x-^).

由|g(x)|W孚可知，|sin(2x_5)|W字，

所以—日—sin(2x—^)＜孚

髀竽+2而，kez,

所以，一仓+卜兀£%式,+而,keZ或羽+而W%W竽+ZOT,kWZ,

所以，实数X的取值范围为［一6+/OT,E+而］0第+而，竿+/OT］，kWZ.

78.2023年的春节，人们积蓄已久的出行热情似乎在这一刻被引爆，让旅游业终于迎来

真正意义上的“触底反弹''.如图是某旅游景区中的网红景点的路线图，景点A处下山至C

处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后

从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿4C匀速步行，速度为

50m/rnin.在甲出发2nl讥后，乙从A乘缆车到B,在B处停留1m)后，再从B匀速

步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/m比，索道长为1040粗，经测量，

123

cosA=正,cosC=5.

(1)求山路ZC的长；

(2)乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

【答案】(1)解:在中,因为cos4=曾，cosC=。,所以sin4=备,sinC=

5312

从而s讥8=sin\n—(A+6)］=sin^A+C)=sinAcosC+cosAsinC=73x5+13x

463

5=65-

ADACAr<AB.n104063Arc\f、

由正弦定理疆=编,得AC=布XsinB=丁X裕=1260(771),

所以山路4C的长为1260机；

(2)解：假设乙出发t分钟后，甲在D点，乙在E点.

止匕时，AD=(100+50t)m,AE=130tm,

所以由余弦定理得DE2=(100+50t)2+(130t)2-2x130tx(100+50t)x1|=

200(37t2-70t+50)

2

=7400(t-1|)+12,00.因为0<t<喝JI,即0wtW8,

故当t=||(zn出)时，甲、乙两游客距离最短.

B

CDA

79.已知函数/(x)=4sin(3%+(/>)(4>0,3>0)的图象是由y=2sin((ox+&)的图象

向右平移看个单位长度得到的.

(1)若/(%)的最小正周期为兀，求/(%)的图象与y轴距离最近的对称轴方程；

(2)若/(%)在g,岑］上有且仅有一个零点，求3的取值范围.

【答案】(1)解：由即=兀，得3=2,

(JL)

所以/(%)=2sin［2(x_ff］=2sin(2x

令2%—1=/or+*,kWZ,解得％=竽+*kEZ,

取A:=0,得％=*取々=—1,得％=一1，

因为I-刑<用，所以与y轴距离最近的对称轴方程为x=-强

(2)解:由已知得/(%)=2sin[a(%-5)+常=2sin[s:+0■詈当,

令+&常里=k兀，kcz,解得*=竺济1兀，kez.

rn,6k+a)—l)3n

好63一兀合

6A+3—7

因为/(x)在g,岑］上有且仅有一个零点，所以(kCZ)

6a)TC<

6/c+co+537r

6a)TC>~2

pfc-16k-l

<co<

所以［牵~~2~

6fc+5,

<a)<

-8-

(6k-16/c—1

28>0

因为3>0,所以4呼'>0,解得:kWZ,所以/c=l,

6k+56k—7

>0

82

解得称W3<存，

即3的取值范围为信，物.

_-JY-JY12

80.已知qE(0,力，夕£(0,力，tana=,tanp=

（1）求a+0的值;

(2)求sM(2a+£)的值.

【答案】⑴解：也小+0）=黑黑=1,

a,/?€(0,1),：.a+/?G(0,TT),；•a+0=4.

'▲sina1_

t^CLTLCC——百_/八兀、

（2）解:由cosa5,a6(0,5)

Isi•n42a+tcos42a=y1/

求得sina=等，cosa=啜，

:.stn(2a+S)=sin(a+今)=芋(sina+cosa)=3；；3,

高中数学三角函数专题训练20题含答案

41.在aABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且sinB=2sinC,a2=c2+be.

(1)求角A的大小；

(2)若a=2,求△ABC的周长1.

【答案】(1)解：因为sinB=2sinC,a2=c2+be,

由正弦定理，得b=2c,a2=c2+be=3c2>

由余弦定理，得M—b2+c2-2bccosA>

所以3c2=4c2+c2-4c2-cosA,所以3c2=5c2—4c2-cosA

1

**•cos/1=2»又AE(0/7r),

：.A=J

(2)解：由(1)可得a=gc,b=2c,故c=*^匕=号2

-I=2+竽+竽=2+2通.

42.已知角。的顶点为坐标原点。，始边为X轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点

P(x,y),若点P位于x轴上方且％+y=1.

(1)求sin。—cos。的值；

(2)求sin"+cos"的值.

【答案】(1)解：由三角函数的定义，cos0+sin0=sin0>0,

两边平方，得cos?®+sin20+2sin0cos0=彳

q

o

则2sin6cos6=—彳<0，sin0>0,cos0<0,

4

所以sin。-cosO>0,

sin0—cos0=V1—2sin0cos0=学

(2)解：由(1)知,sin8cos8=—最,

o

Q24

sin40+cos40=(sin20+cos20)2—2sin20cos20=1-2x而=豆.

43.设函数/Q)=2cos2%+2d5sin%cos%+zn.其中xER-

(1)求/(%)的最小正周期；

⑵当xe[0,刍时，求实数m的值，使函数/(x)的值域恰为g,刍，并求此时/(%)

在R上的对称中心.

【答案】⑴解：由题设/(%)=cos2x+V3sin2x+m+1=2sin(2x+^)+m+1,

所以，最小正周期7=竽=兀.

⑵解：当xe[0,刍，则+帘,故2sin(2x+,€[-1,2],

所以/Q)e[m,m4-3]，故m=々时满足f(x)的值域恰为g,1]，

此时/(x)=2sin(2x+$+|，令2x+卷=kn,k&Z,则％=竽一各k&Z,

所以/(%)在R上的对称中心为(竽—各|),k&Z.

44.某公园计划改造一块四边形区域/BCD铺设草坪，其中4B=2百米，BC=1百米,

AD=CD,AD±CD,草坪内需要规划4条人行道DM,DN,EM,EN以及两条排水沟

AC,BD,其中M,N,E分别为边BC,AB,AC的中点.

(1)若UBC=90°,求排水沟BD的长;

(2)当乙4BC变化时，求4条人行道总长度的最大值.

【答案】⑴解：因为乙4BC=去AB=2,BC=1,

所以4C=通，所以co=孚，

因为乙4BC=Z.ADC=于

所以：^BAD+乙BCD=7T,

可得：cosZ-BAD=-COSZ.BCD,

在^BCD中：BD2=BC2+CD2-2BC-CD-coszBCD,

在^BAD中：BD2=AB2+AD2-2AB-AD-COS/.BAD=AB2+AD2+2AB-AD-

cos乙BCD,

解得：BD=*,即排水沟BD的长为挈百米；

(2)解：设4=乙BAC=0,Z.ACB=y,

由余弦定理得：AC2=5-4cosa.

在△NBC中，由正弦定理：熬=嘉，得sin0=等,

0111Vv01i1IJ

连接DE,在AMDE中，NMED=0+1,cos/MEC=cos/+货=-sin0,

2

由余弦定理：DM12=ME2+DE2-2ME-DE-cos^MED=1+牛+AC•sinp=1+

sina—cosa,

同理：DN2=+sina—cosa,

设t=sina-cosa=&sin(a—,)，a6(0,TT)，则t£(l,

所以的+£)用+后7+函=7+t+l|+1+|-

74722

该函数单调递增，所以"鱼时，07+。时+£村+£^最大值为|(2+遮)，

所以4条走道总长度的最大值为*(2+店)百米.

45.某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75。的方向上，距离为12遍海里，在A处

看灯塔C在货轮的北偏西30。的方向上，距离为8H海里，货轮由A处向正北航行到D

处时，再看灯塔B在南偏东60。方向上，求：

A

(1)AD的距离；

(2)CD的距离.

【答案】(1)解：在4ABD中，由已知得NADB=60。，B=45°

12乃x亭

由正弦定理得ABSinB

AD=Sinz.ADE=24

~2

(2)解：在^ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD-ACcos30°,解得CD=8V3.所

以A处与D处之间的距离为24海里，灯塔C与D处之间的距离为8百海里.

46.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别a,b,c，且bcosA+acosB=2ccosA

(1)求角A的值;

(2)已知。在边BC上，且BO=3DC,AD=3.求△ABC的面积的最大值

【答案】(1)解：在△4BC中因为bcos/+acosB=2ccosA.

由正弦定理得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcos4,

所以sin(A+B)=2sinCcoSi4,

因为/+8+C=yr,所以sin(A+8)=sinC.故sinC=2sinCcosA

又C是△力BC的内角，所以sinC羊0.从而cosA=去

IT

而A为AABC的内角，所以4=于

（2）解：因为前=3泥所以而一通=3（冠一而），所以而=/通+'尼，

从而9=白而2+^AC2+•尼=9=春2+船2+和口

由基本不等式可得：9>lbc+^bc^^bc,当且仅当6=殍，c=4百时等号成立，

故4ABC的面积的最大值为:x16X苧=4b.

47.在△ABC中，角4B,C所对边分别记为a,b,c.条件①：富吗=卷鼻；条

J1—cosAI+COSZD

件②：sinCsin（B-4）=sinBsin（C-A）.从条件①、条件②这两个条件中选择一个作

为已知.

（1）证明：B=C；

（2）求一Q-+急的最小值•

・esinA_sin28

【答案】（1）证明：若选①,

*1-cosyl-14-cos2F，

,sinA_singcosB

•l-cos?1-COS2B

・sin4_sinB

•,1—cos?!—cosBf

.\sinAcosB=sinB—cos?lsinB,

Asin(/I+B)=sinB,

AsinC=sinfi,

又B、C为△4BC的内角，

：.B=C.

若选②，VsinCsin(B—A)=sinBsin(C—A),

.*.sinC(sinBcos/l—cosBsinA)=sinB(sinCcos?l—cosCsirM),

AsinCsinBcos/l—sinCcosBsinA=sinBsinCcosA—sinBcosCsin/l,

—sinCcosBsinyl=-sinBcosCsinA,

显然sinA>0,AsinCcosB=sinBcosC,

AsinCcosB—sinBcosC=0,

Asin(C-B)=0,

又B、C为△4BC的内角，

：.C-B=0,

：.B=C.

(2)解：由(1)可知B=C,所以BC(0,刍，所以cosBC(0,1),

由正弦定理可得在找+二工=2siM^inB1

ccosBsinC+cosB

_2sin(B+C)+sinB1_2sin(2B)4-sinF1

sinCcosB-sinBcosB

4sin灰osB+sinB1

=--------------------------------1----------

sinBcosB

=4cosBH——++1>24cosB•—^-5+1=5，

cosB7cosB

当且仅当4cosB=-1口时,即cosB=义时，等号成立，

cosB2

所以空也++的最小值为工

48.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2A-cos2B=8sinBsinCcos?l.

(1)证明：tanA=-3tanB；

2

(2)若△ABC的面积为%,求B.

6

【答案】(1)证明：由cos24—cos2B=8sinBsinCcos4,ZkABC的内角A,B,C,

则cos[(4+B)+(A—B)]—cos[(y4+B)—(A—B)]=8sinBsinCcoSi4,

=-2sin(4+B)sin(i4—S)=8sinBsinCcosA,sin(4+8)=sinC>0,

=-sin(?l-B)=4sinBcosyl,

=>—sinAcosB+cosAsinB=4sinBcos4,

=>—sinAcosB=3sinBcosA,

=>tanA——3tanB.

⑵解：由题意s△诋=4QbsinC=吟，结合正弦边角关系有3sinBsinC=sin4且

sin(i4+8)=sinC,

3sin2B

=>3sinBsirii4cosB+3sinBcosAsinB=sinA=tanA=

1—3sinScos^

________3sin2jg_________

sin25—3sin5cosS+cos2B

3taM8

=>-3tanB=>tan2B—2tanB+1=0=tanB1,而0°<B<180°,

tan25—3tan54-l

所以B=45°.

49.在平面直角坐标系中，将曲线Ci向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点

的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的;得到曲线C2，以坐标原点。为极点，％轴的正

半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为p=4cosa.

（1）求曲线C2的参数方程；

（2）已知点M在第一象限，四边形MNPQ是曲线C2的内接矩形，求内接矩形MNPQ周

长的最大值，并求周长最大时点M的坐标.

【答案】（1）解：由p=4cosa得p2=4pcosa

将代入，整理得曲线的的普通方程为0-2）2+y2=4,

设曲线Q上的点为（炉，了），变换后的点为（％,y）

x=x'~~2

{1,,即代入曲线的的普通方程,整理得

曲线C2的普通方程为等+y2=1，

二曲线C2的参数方程为需（。为参数）.

（2）解：设四边形MNPQ的周长为2,设点M（2cos。，sinO}60<0<J；,

I=8cos8+4sin0=4y/5(^=cos0+-^=sin0}=4V5sin(0+cp),

1.2

且口cos>=寿，sin(p=而，

0<0<•­cp<d+<p+cp:.s讥(5+(p)<sin(0+<p)<1,

**,^max=4A/5,

且当6+卬=齐寸，，取最大值，此时8=尹3,

41

所以,2cos0—2sinq)—,sinO—coscp—止匕时M（华,

50.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinB-csinC=a.

(1)证明：s-c=J

(2)若4=*a=2w，求AABC的面积.

【答案】(1)证明：因为bs讥B-csinC=a,所以si几—si*c=si",

所以sinBsi?i(4+C)—sinCsin^A+B)=sinA.

所以s仇B(sizh4cosc+cos?lsinC)—sinC^sinAcosB+cos^sinS)=sinAf

W^sinBsinAcosC-sinCsinAcosB=sinA.

因为在△ABC中4、B、CG(0,7T)，所以sizMH0,BPsinBcosC-sinCcosB=1,

故sin(B-C)=l.即B-C=*.

(2)解:由⑴可知B—C=*.

因为4=泉所以B+C=等.则8=居.C=各

由正弦定理可知=上^=rj=4.则b=4sinB.c=4sinC.

sinAsinBsmC

故^ABC的面积S=^bcsinA=4V3sinBsinC=4V3cosCsinC=2V3sin2C=V3.

51.己知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.在下列三