广西柳州市2021届高考数学三模试卷(文科)(含答案解析)

广西柳州市2021届高考数学三模试卷（文科）

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.若集合4={x\x2<l,xGR},B—[y\y=x2,xG/?},则4nB=()

A.{x|-1<%<1}B.{x|0<x<1}

C.{x\x>0]D.0

2,若函数/(%)=k2%-2—是奇函数，则9。)=1。82(%-/0的大致图象是()

A.[-1©]B.抑1]C.僧闾D.[-1J]

4,优章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五

尺，问：积及米几何？”其意思为：在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高

为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？已知米堆所形成的几何体的三视图如图所示，一

斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有

正庄波图侧底版图

俯视图

A.21斛B.34斛C.55斛D.63斛

5.在下列说法中，正确的是（）

A.在循环结构中，直到型先判断条件，再执行循环体，当型先执行循环体，后判断条件

B.互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件

C.从含有2008个个体的总体中抽取一个容量为100的样本，现采用系统抽样方法应先剔除8

人，则每个个体被抽到的概率均为表

D.如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数改变，方差不

变化

6.已知三棱锥£＞一ABC的外接球的球心。恰好是线段AB的中点，旦4?=BC=BD=AD=

y[2CD=2,则三棱锥D-4BC的体积为（）

A.渔B.正C.五D.1

3333

7.已知点P为直线y=x+1上一动点，点4（2,0）,当|P4|+|P0|取

得最小值时（。为坐标原点），直线OP的斜率为（）

A.-3B.—2C.2D.3

8.2011年12月，吴某的工资纳税额是245元，若不考虑其它因素，则吴某该月工资收入为（）

级数全月应纳税所得额税率（％）

1不超过1500元3

21500元—4500元10

注：本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去3500元（起征点）后的余额.

A.7000元B.7500元C.6600元D.5950元

9.已知0为原点，双曲线,-y2=1上有一点P,过P作两条渐近线的平行线，交点分别为A,B,

平行四边形OBPA的面积为1,则双曲线的离心率为()

A.V2B.V3C.更D.这

23

10.一头猪服用某药品后被治愈的概率是90%,则服用这种药的5头猪中恰有3头被治愈的概率为

()

A.0.93B.C1X0.93X0.12

C.1-(1-0.9)3D.C|x0.13x0.92

4a2

X+有-4a，°<%Wa是(0,+8)上的减函数，则实数〃的取值范围是()

｛x—xlnx,x>a

A.[l,e2]B.[e,e2]C.[e,+oo)D.[e2,+oo)

12.函数，(%)=4cos(wx+0)(4>0,W>0)的部分图象如图所示，则尸

“1)+/(2)+…+f(2017)值为(),—

A.0

B.2-V2

C.1

D.V2

二、单空题(本大题共3小题，共15.0分)

13.若为共为复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,(x+y)2-3xyi=4-6i,则|%|+|y|=,.

14.化简2/og25+lg51g2+lg22一02的结果为.

15.在等差数列｛an｝中，&=1,a3+a5=3,若%,a7,a„成等比数列，则〃=.

三、解答题(本大题共7小题，共80.0分)

16.根据下列条件解三角形：

⑴b=40,c=20,C=25°：

(2)b=13,a=26,B=30°；

(3)4=45°,C=30°,c=10.

17.在如图所示的多面体ABCQE中,ZBJL平面AC£>,DE_L平面AC£>,且AC=4。=CD=DE=2,

AB=1.

(1)请在线段CE上找到点尸的位置，使得恰有直线BF〃平面AC£>,并证明这一事实;

(2)求多面体ABCDE的体积；

(3)求直线EC与平面ABED所成角的正弦值.

18.设关于x的一元二次方程/+2ax+b2=o,其中小人是某范围内的随机数，分别在下列条件

下，求上述方程有实根的概率.

(1)若随机数a,be［1,2,3,4,5,6｝；

(2)若a是从区间［0,5］中任取的一个数，b是从区间［2,4］中任取的一个数.

19.已知抛物线E：y2=4x,点F(a,0),直线/：x=-a(a>0).

(I)P为直线/上的点，R是线段尸产与y轴的交点，且点。满足RQ_LFP,「(?_11.当。=1时，试问

点Q是否在抛物线E上，并说明理由；

(口)过点尸的直线交抛物线E于A,8两点，直线OA,08分别与直线/交于M,N两点(。为坐标原

点)，求证：以MN为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标.

20.已知函数/(x)=;同.

(I)判断了(X)的奇偶性，并证明；

(口)画出函数的图象，根据图象写出函数的单调区间、值域：

(HI)若函数双刈=0)-2&-1有两个零点，求实数。的取值范围.

21.已知点M是曲线G：4/_y_4=0上任意一点，以坐标原点为极点，龙轴的正半轴为极轴建

立极坐标系曲线C2的极坐标方程为p=2,菱形ABC。的顶点都在曲线C2上，且48,C,Q按

逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,g).

O

(1)求曲线的直角坐标方程，并写出力，B,C,。的直角坐标；

(2)求+|“c|2-J|M8|2+|MD|2的最小值

22.已知函数/1(究)=|2%—3|—3+1|.

(I)求不等式/(x)<6的解集；

(口)集合屈满足：当且仅当xeM时，/(x)=|3x-2|.若a,beM,求证：a2+b2+2a-2b<5.

【答案与解析】

1.答案：B

解析：解：由A中的不等式/<1,得一14%工1,即/={x\-

--------------------•------

1<X<1}:-2-1012

由集合8中的函数y=/2o,得到B={y|y20},

则4nB={x|0WxWl}.

故选：B.

求出集合A中不等式的解集，确定出4求出集合8中函数的值域确定出8,找出A与B的交集即

可.

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.答案：B

解析：解：由y=/(%)在R上为奇函数，则/(0)=0,

所以卜2°-2°=0,

所以k=1,

则g(x)=iog2(x-1),

此函数为过点(2,0)且将h(x)=10g2%向右平移一个单位可得，

故选：B.

由y=/(x)在R上为奇函数，则f(0)=0,可得k=1,函数g(x)=log2(x-1)的图象是将九(x)=

log2%的图象向右平移一个单位可得，故得解.

本题考查了函数的有关性质及函数奇偶性的性质，属简单题

3.答案：C

解析：试题分析：谟;标'=-常事岸，令驾=-紧叫朋，则》为直线肥:智=一图《■般在承轴上的截距，

作出不等式组

所表示的平面区域如下图所示，作直线副:*=-匐普岸，当直线它经过平面区域内的点

小

微51?，此时，直线81在裁轴上的截距最小，此时又取最小值，即詈2=：!；当直线事经过平

面区域内的点蹒卿厘®,此时直线篦在岸轴上的截距最大，此时又取最大值，即看必Y样署=兽,

故南’.谢’的取值范围是佃闾，

考点：1.线性规划；2.平面向量的数量积

4.答案：A

解析：解：设圆锥的底面半径为r,则三厂=8,

解得r=

it

故米堆的体积为:X；X7TX（竺）2义5=爱，

43万，37r

•••1斛米的体积约为1.62立方，

•.•-3-2-0--.-1.6s2~21,

37r

故选：A.

根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可.

本题主要考查锥体的体积的计算，比较基础.

5.答案：D

解析：解：对于A：直到型，先循环后判断；当型，先判断后循环，所以A错误

对于B：根据定义知，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件并不一定是对立事件，所以8错误

对于C：抽样时，每一个个体被抽到的可能性都是相等的，都等于粽含，所以C错误

总体谷里

对于Q：由平均数和方差的定义和计算公式知，。正确

故选。

在熟练掌握定义的基础上，可依次判断，即可得解

本题考察知识点比较广，主要是考察定义和一些基本运算，要求注重平时的知识积累.属简单题

6.答案：A

解析：

本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算

求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

推导出OD=OA=OC=0B=CD=V2,AB平面CDO,过。作。E1OC,交OC于E,则。E，平

面ABC,求出DE=JoD2-(y)2=y,由此能求出三棱锥。一ABC的体积.

解：•••三棱锥D-ABC的外接球的球心。恰好是线段AB的中点，

且AC=BC=BD=AD=V2CD=2,

0D=0A=OC=OB=CD=V2>

OD1AB,OCLAB,

vODOOC=0,AAB1平面CDO,

过。作DEIOC,交OC于E,贝必B_LDE,

易证。E_L平面ABC,

S&ABC—xOC=x2\/2xV2=2,

DE=OD2-

••・三棱锥。-ABC的体积U=ixS“BCxDE=!x2x当誉

故选:

7.答案：A

A7/\\C

\J>E7解析：

°\/本题考查了直线的斜率，当|P川+伊。|取得最小值时，尸应是点。关于直线y=

Bx+1对称点与A连线和已知直线的交点，求出p的坐标即可求出答案，属于中档

题.

解：当|P川+|P0|取得最小值时，

P应是点。关于直线y=%+1对称点与A连线和已知直线的交点，

O关于直线y=x+1对称点为直线AB的方程为x+3y-2=0

产+3y-2=°

m[y=x+l'

解得x=-\,y-

44

13

4；4.

•*,k0p=-3,

故选A.

8.答案：A

解析：解：设吴某该月工资收入为x元.1500x3%=45元.

(X-3500-1500)X10%=245-45,得x=7000元.

故选A.

个人所得税的税率是累进税率，利用题意，可得(X-3500-1500)X10%=245-45,即可得出

结论.

本题知识点比较单一就是考查个人所得税的累进税率这一个知识点，比较基础.

9.答案：C

解析：解：渐近线方程是：x±ay=0,设P(m,n)是双曲线上任一点，

过P平行于。8：x+ay=0的方程是：x+ay—m—an=0与OA方程：x-ay=0交点是

.,m+anm+an、

|O*=I等|Ji+3,P点到。4的距离是：

v\OA\-d=1,

...41(771.1^=1,

।2,a2Vl+a2

m22

•••瓦一层=-1,

***a=2，Ac—，

e=一75.

2

故选：c.

求出|。川，p点到OA的距离，利用平行四边形08pA的面积为1,求出“，可得C,即可求出双曲

线的离心率.

本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础.

10.答案：B

解析：解：由题意可得，服用这种药的5头猪中恰有3头被治愈的概率为C[x0.93x0.12,

故选：B.

利用n次独立重复试验中恰好发生％次的概率公式，计算求得结果.

本题主要考查n次独立重复试验中恰好发生人次的概率公式，属于基础题.

1L答案：。

解析：解：当%>。时，/(%)=x—的导数为/'(%)=1—1-Inx=—Inx,

由题意可得一"％<0在%>Q恒成立，

可得aN1，①

由0Vx工Q时，/(%)=%+—-4a的导数为/'(%)=1-?2,

)、'x+a(x+a)z

由/''(x)WO,解得-3aWxWa在0cxWa恒成立，即有a>0,②

由/Q)为(0,+8)上的减函数，

可得a+詈一4a2a—alna,即为Ina22,可得a之ez,③

由①②③可得。的范围是a>e2,

故选：D.

分别考虑x>a,0<xWa时，f(x)的导数，由导数小于等于0恒成立，可得〃的范围；再由函数的

连续性，可得a+至-4a?a-a，na,解不等式可得所求范围.

2a

本题考查函数的单调性的定义和应用，考查导数的运用：求单调性，考查转化思想和运算能力，属

于中档题.

12.答案：D

解析：解：由图象可得：4=2,周期7=8,

・•・——27r=3,p即rt3_="

84

图象过点(2,2),

即2=2coscx2+0)=-2sin(p

得：(P=~^+2kn.

则/(x)=2cos(枭—1)=2sin^x.

⑴+f(2)+f(3)+f(4)+/(5)+f(6)+f(7)=0.

那么：/(l)+/(2)+…+/(2017)=/(l)=2sin^=V2.

故选：D.

根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质即可得到结论.

本题考查了图象求出三角函数的解析式，和周期函数的计算.属于基础题.

13.答案:2V2

解析：解：.:X、y为共物复数,

.,.设x=a+bi,y=a—bi,a,b&R,

则x+y=2a,xy=a2+b2,

二由(x+y)2-3xyi=4—61,

得4a2—3(a2+b2)i=4—6i,

即4a2=4,且3(。2+b2)=6,

解得a?=1,b2=1,

|x|+|y|=Va2+b2+y/a2+b2=V2+V2=2V2>

故答案为：2a.

由x,y为共朝复数，可设x=a+bi,y=a—bi(a,b€R).利用复数的运算法则、复数相等即可得

出结论.

本题考查了复数的运算法则、复数相等、共辗复数的定义，利用复数相等的条件是解决本题的关键，

是基础题.

14.答案：25

解析：解：原式=2'。先25+仃5国2+lg22-均2

=25+Ig2(lg5+lg2)—lg2

=25.

利用对数的运算法则、02+05=1即可得出.

本题考查了对数的运算法则、lg2+均5=1,属于基础题.

15.答案：19

解析：解：,•・在等差数列｛%｝中，=1，a3+a5=3,

...(«i=1

.+2d+%+4d=3'

解得d=；,

O

•••an=1+(n-1)xi=^+1,

cii.a7,即成等比数歹1J，

•••«7=«lGn,即g+乎=1X6+》,

解得九=19.

故答案为：19.

由等差数列通项公式求出公差d=［由此根据%,a,即成等比数列，能求出〃的值.

O7

本题考查数列的项数〃的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的

合理运用.

16.答案：解：(1)6=40,C=25°,c=20,由正弦定理可得一之=三='二,

、,cinRcinCcinA

.”40sin25°

:、sinB=--=---2--s-讥-25。；

20

・•・B=arcsin(2sm25°)=57.6。或B=180°-57.6°=122.4°；

当B=57.6。时，A=180-B-C=97.4°；

csinA

a==46.9.

sinC

当B=122.4。时，A=180-B-C=32.6°；

csinA

a~sinC31.9.

(2)因为b=13,a=26,B=30°；

目上=上

sinBsinCsinA9

asinB

・•・sinA==1：

b

・・・A=90°；

C=1800-4-8=60。；

asinC

=13V3.

sinA

(3)因为4=45。，C=30°,c=10.

bca

口a---------,

sinBsinCsinA

所以：B=180°-45°-30°=105°；

a=*=100

sinC

c•sinB「r-

b=-7——=5(V6+V2).

smC

解析：利用正弦定理以及三角形的内角和，即可解三角形.

本题考查正弦定理的运用，考查三角形内角和，属于中档题.

17.答案：解：如图，⑴由已知481平面AC。，DE_L平面ACQ,

•.AB//ED,

设尸为线段CE的中点，”是线段8的中点，

连接尸"，则且FH=?ED.

FH//=AB,

四边形A8FH是平行四边形，BF〃AH,

由BFC平面ACD内，AHu平面ACD,：.BF〃平面ACD；

(2)取A。中点G,连接CG,CGLAD.

•■•AB，平面ACD,CG1AB

又CG_L4D,ABAD=A,：.CGABED,即CG为四棱锥C-ABEO的高，

在等边三角形AC。中，CG=V22-l2=V3.

SABED=](1+2)X2=3.

VC-ABED=|5A4ED-V3=1X3XV3=V3.

(3)连接EG,由(2)有CG，平面ABED,

••.NCEG即为直线CE与平面ABE。所成的角，设为a,

又在等腰直角三角形CQE中，CE=y/2DE=2V2，

则在RtzxCEG中，有5/戊=也=半=虫.

CE2V24

解析：(1)因为A3、OE均垂直于底面，可以断定两线段平行，且AB=，DE,可设想取CE、CO的

中点，这样可证得BF平行于平面AC。内的直线，从而证得BF平行于平面AC£＞；

(2)多面体实则是以C为顶点的四棱锥，底面A8EO面积易求，可取4。的中点，于C连接后能证明

为四棱锥的高，从而可求四棱锥的体积；

(3)连接E与AO的中点，则CE与平面A8EZ)所成的角得到，在直角三角形中直接求其正弦值.

本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查线面角，考查数形结合与数学转化思想

方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属中档题.

18.答案：解：(1)设事件A为方程/+2"+炉=0有实根，

当a^O,bNO时，方程/+2ax+F=o有实根的充要条件为。之七

基本事件共有36个，分别为：

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),

(2,5),(2,6),(3,1)(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),

(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)(6,5),(6,6),

其中第一个数表示〃的取值，第二个数表示匕的取值.事件A中包含21个基本事件，故事件A发生

的概率为P(4)=三

(2)试验的全部结果所构成的区域为｛(a,b)|0<a<5,2<b<4].

构成事件A的区域为｛(a,b)|0〈aW5,2<b<4,a>b｝,概率为两者的面积之比，

所以所求的概率为P(4)=|.

解析：(1)设事件A为方程/+2数+炉=。有实根，当a20,bNO时，方程/+2ax+川=0有

实根的充要条件为a2b.第一个数表示〃的取值，第二个数表示〃的取值.事件A中包含21个基本

事件，故事件A发生的概率.

(2)试验的全部结果所构成的区域为｛(a,b)[0<a<5,2<b<4｝.构成事件A的区域为｛(a,b)|0<

a<5,2<b<4,a>b],概率为两者的面积之比，由此能求出结果.

本题考查随机事件所包含的基本事件、古典概型及期概率计算公式等等基础知识，考查运用概率知

识解决简单简单实际问题的能力，考查运算求解能力，是基础题.

19.答案：解：(1)由已知£1=1,得尸(1,0)为焦点，直线/：x=-l为准线；

•••。点为尸C的中点，且。R〃PC,.•.点R是线段P尸的中点，

又：RQ工PF,：.QR是PF的垂直平分线，[PQ=QF；

根据抛物线的定义知，。点在抛物线及y2=4x上；

(II)由图形关于x轴对称，得定点在x轴上，设定点坐标为K(m,0),

①当直线AB的斜率不存在时，设直线AB方程为％=a,

求得A(a,2VH),B(a,-2Va).M(-a,2Va),/V(-a,-2Va)：

显然，以MN为直径的圆恒过定点(2声一a,0),(-2Va-a,0)；

②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k(x-a),代入y2=4x得右/一^ak2+4)x+

a2k2=o；

设A(%i，2后')，B(Xz，-25弓),

2

由根与系数的关系得，与+应='沪，X1x2=a;

22

乂k°A=诟koB=一后

•・・直线OA的方程为y=泉X,

直线。8的方程为"-叁;

••.M(-a,-急N1—a,撒;

由于圆恒过点KmO),根据圆的性质得/MKN=90°,

即引办而=0.

•••KM=(—a—m,—卷)，AW=(—a—m,信)，

代入上式向量的数量积，得；(a+m)2-冬=0,

Nxlx2

.1•(a+m)2-4a=0,解得m=+2>[a—a；

.,.以MN为直径的圆恒过定点(2VH—a,0),(—2Va—a,0).

解析：(I)根据题意，结合图形，利用抛物线的定义，得出。点在抛物线E；

(D)由图形的对称性得出定点在x轴上，设出定点的坐标，讨论①直线AB的斜率不存在时与②直

线AB的斜率存在时，求出以MN为直径的圆恒过定点是什么.

本题考查了抛物线的定义域几何性质的应用问题，也考查了直线方程、圆的方程的应用问题，考查

了用代数的方法研究圆锥曲线的性质的问题，考查了数形结合的思想与方程的思想，是综合性题目.

20.答案：解：(I)•.•函数/(*)=(1)㈤的定义域为R关于原点对称,

2

・•・函数/(x)=(i)W是偶函数;

/(-x)=震©小

(口)图象如下:

函数的单调增区间(-8,0),减区间(0,+8),值域(0,1]

(HI)•.•函数?(x)=(i)w-2a-l有两个零点，则方程(/源=2«+1有两个根,

二函数/(x)=f|T'与函数，=加-1的图象有两个交点，

由图像可知当0时满足题意,

——<d2<0•

2

解析：(I)•.•函数/(x)=d)同的定义域为R关于原点对称，根据函数奇偶性的定义进行判断;

2

(n)作出函数图象，结合函数图象即可写出单调区间和值域；

(也)•.•函数?(x)=(1)w-2a-l有两个零点，则方程(［例=2«+1有两个根，则函

数/(x)=Qj"与函数》=加-1的图像有两个交点，结合函数图象求解即可.

21.答案：解：(1)・.•曲线C2的极坐标方程为p=2,；.p2=4,

•・•曲线C2的直角坐标方程为/+y2=4.

・・•点A的极坐标为(21),.•.点A的直角坐标为(