新教材苏教版高中数学 选择性必修第二册 同步试题 7

7.3组合

一、单选题

1.下列问题中是组合问题的个数是（）

①从全班50人中选出5名组成班委会；

②从全班50人中选出5名分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员；

③从1,2,3,…，9中任取出两个数求积；

④从1,2,3,…，9中任取出两个数求差或商.

A.1B.2

C.3D.4

【答案】B

【分析】根据组合及排列的定义即得.

【解析】根据组合定义可知①③是组合，②④与顺序有关是排列.

故选：B

2.从10名学生中挑选出3名学生参加数学竞赛，不同的选法有（）

A.4种B.3!C.种D.以上均不对

【答案】C

【解析】根据组合数的概念可知C选项正确.

故选：C.

3.C；+C：+C；H-+C：o+C：=（）

A.&B.C,2C.C]D./

【答案】B

【分析】根据组合数公式即可求得答案.

【解析】由题意，

C；+C：+C；+-+C：o+C：|=C：+C：+C；+-+C：o+C;

=C+C；…+C-：+c：+…+c；。+c：尸…=c[+c；=/.

故选：B.

4.某高三年级在安排自习辅导时，将6位不同学科的老师分配到5个不同班级进行学科辅

导，每个班级至少一位老师，则所有不同的分配方案的种数为（）

A.3600B.1800C.720D.600

【答案】B

【分析】应用分步计数法，结合排列组合数求不同的分配方案的种数.

【解析】依题意，其中有一个班级有两位老师辅导，则C；£=1800.

故选：B.

5.某学校为了迎接市春季运动会，从由5名男生和4名女生组成的田径训练队中选出4人

参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的选法种数为（）

A.85B.86C.9D.90

【答案】B

【分析】由加法原理分类计算：第一类，男生甲入选，女生乙不入选；第二类，男生甲不入

选，女生乙入选；第三类，男生甲、女生乙均入选，由此计算可得，其中第一类和第二类里

计算时还需要再按男女生人数分类.

【解析】由题意，可分三类考虑：

第一类，男生甲入选，女生乙不入选，选法种数为C；C；+C；C：+C；=31；

第二类，男生甲不入选，女生乙入选，选法种数为C；C；+C；C；+C：=34；

第三类，男生甲、女生乙均入选，选法种数为C；=21.

所以男生甲与女生乙至少有1人入选的选法种数为31+34+21=86.

故选：B.

6.开学伊始，甲、乙、丙、丁四名防疫专家分别前往/,B,C三所中学开展防疫知识宣传,

若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到/中学，则不同的安排方式有（）

A.6种B.12种C.15种D.18种

【答案】B

【分析】由题意被安排到“中学的防疫专家有2种情况，结合分步乘法原理及分类加法原

理即可.

【解析】①若甲单独安排到/中学，则剩下的3名防疫专家分成两组到8,C两个中学，

共有：C；A；=6种方式，

②若甲和另一名防疫专家被安排到/中学，则有：C；=3种方式，

则剩下的2名防疫专家分到到民C两个中学，有：A；=2种方式，

由分步乘法原理有：C；A；=6种方式，

又由分类加法原理可得：若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到/中学，则不同

的安排方式有：6+6=12种方式，

故选：B.

7.将2个红球、2个白球、1个绿球放入编号分别为①②③的三个盒子中，其中，两个盒子

各放1个球，另外一个盒子放3个球，这5个球除颜色外其他都一样，则不同的放法有（）

A.24种B.30种C.62和1D.41种

【答案】A

【分析】根据题意结合分类加法计数原理运算求解.

【解析】当两个盒子各放1个球的颜色相同时，则不同的放法有C；C；=6种；

当两个盒子各放1个球的颜色不相同时，则不同的放法有=18种；

综上所述：不同的放法有24种.

故选：A.

8.如图，一圆形信号灯分成4B,C,。四块灯带区域，现有4种不同的颜色供灯带使用，

要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为

【答案】B

【分析】按照使用了多少种颜色分类计数，再根据分类加法计数原理可得结果.

【解析】按照使用了多少种颜色分三类计数：

第一类：使用4种颜色，有A：=24种；

第二类：使用3种颜色，必有2块区域同色，有C：C；C；A；=48种；

第三类：使用2种颜色，必然是A与C同色，且B与。同色，有C；A；=12种，

所以不同的信号总数为24+48+12=84种.

故选：B

9.没有一个冬天不可逾越，没有一个春天不会来临.某街道疫情防控小组选派7名工作人

员到4B,C三个小区进行调研活动，每个小区至少去1人，恰有两个小区所派人数相同,

则不同的安排方式共有（）

A.1176B.2352C.1722D.1302

【答案】A

【分析】根据题意可以先把7人按照3,3,1或者2,2,3或者1,1,5三种情况分为三组,

然后把三组成员分配到/,B,C三个小区

【解析】根据题意可以先把7人按照3,3,1或者2,2,3或者1,1,5三种情况分为三组,

然后把三组成员分配到B,C三个小区；

r3.r3

当按照3,3,1的方法分配则有4'=70；

C2.C2

当按照2,2,3的方法分配则有三券=105；

cc

当按照1,1,5的方法分配则有二7T上=21；

A]

把三组成员分配到4B,C三个小区的方法为A；=6

所以根据分步计数原理可得一共有：（号g+^汽-A；=1176种不同的安排方

式.

故选：A

10.某次足球赛共8支球队参加，分三个阶段进行.

（1）小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组4队进行单循环比赛，以积分和净胜球数取前两

名；

（2）半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名进行主、客场交叉淘汰赛

（每两队主、客场各赛1场），决出胜者；

（3）决赛：两个胜队参加，比赛1场，决出胜负.

则全部赛程共需比赛的场数为（）

A.15B.16C.17D.18

【答案】C

【分析】首先理解题意，分别计算小组赛，半决赛和决赛的比赛场数，再求和.

【解析】2C^+2x2+l=17.

故选：C.

11.某校为统筹推进以德智体美劳“五育并举+教师教育”为特色的第二课堂养成体系，引导

学生们崇尚劳动、尊重劳动者、提高劳动素养，设置以劳动周的形式开展劳育工作的创新实

践.学生可以参加“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“音乐欣赏”“蔬菜种植”“3。打印”这六门

劳动课中的一门.则甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选劳动课全不相同的方法

共有（）

A.135种B.720种C.1080种D.1800种

【答案】C

【分析】分两种情况讨论，算出当4名学生选的课目全不同时和只有2名学生选的课目相同

时的种数，相加即可得出答案.

【解析】分两种情况讨论：如果4名学生选的课目全不同，有C〉A：=360种方法；

如果只有2名学生选的课目相同，有C：=720种方法，

共有360+720=1080种方法，

故选：C.

12.“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各

数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,13,L,

则下列选项不正确的是（）

士

・L二）

“1X二2.一二-*

十一一3""一3—”*

工一二4一二41

1""二二51""101051

[615201561

A.在第9条斜线上，各数之和为55

B.在第八〃25）条斜线上，各数自左往右先增大后减小

C.在第〃条斜线上，共有2"+1-（-1）”个数

4

D.在第11条斜线上，最大的数是C；

【答案】A

【分析】根据从上往下每条线上各数之和依次为：1,1,2,3,5,8,13,…，得到数列规

律为%+。,川=q,+2判断A选项，再根据杨辉三角得到第〃条斜线上的数为：

*，』。3，《卬4，•・•，之《蜀川…，进而判断BCD.

【解析】从上往下每条线上各数之和依次为：1,1,2,3,5,8,13,L,

其规律是+%+1=a„+2>

所以第9条斜线上各数之和为13+21=34,故A错误：

第1条斜线上的数：C；,

第2条斜线上的数：C：；

第3条斜线上的数：C»,C,',

第4条斜线上的数：c：，G，

第5条斜线上的数：

第6条斜线的数：c；,c：C，

...,

依此规律，第〃条斜线上的数为：以4c，，…,c£,c"山…，

在第11条斜线上的数为cL，C，c\c；,c：,c；,最大的数是C；,

由上面的规律可知：〃为奇数时，第〃条斜线上共有等=罕个数；

n为偶数时，第n条斜线上共有共有］=半个数，

所以第〃条斜线上共2"+1-㈠）”,故c正确；

4

由上述每条斜线的变化规律可知：在第〃（九.5）条斜线上，各数自左往右先增大后减小，故B

正确.

故选：A.

二、多选题

13.若a=C；：-+C1“,下列结论正确的是（）

A.«=10B.n=llC.a=466D.a=233

【答案】AC

【分析】根据组合数的性质和公式进行求解即可.

【解析】由〃=。;广+穹2,可知:

3w>38-/7>0

=>9.5</?<10.5,VA/GN\\n=\0,

21+〃23〃20

因此a=C；：+C；；=C；0++31=466,

故选：AC

14.现有3个男生4个女生，若从中选取3个学生，则（）

A.选取的3个学生都是女生的不同选法共有4种

B.选取的3个学生恰有1个女生的不同选法共有24种

C.选取的3个学生至少有1个女生的不同选法共有34种

D.选取的3个学生至多有1个男生的不同选法共有18种

【答案】AC

【分析】根据组合的定义和分步计数原理即可求出.

【解析】解：选取的3个学生都是女生的不同选法共有优=4种,

恰有1个女生的不同选法共有C；C：=12种，

至少有1个女生的不同选法共有C；-C；=34种，

选取的3个学生至多有I个男生的不同选法共有C；C：+C：=22种.

故选：AC

15.新高考按照“3+1+2”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考

生必考：“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可结

合自身特长兴趣在化学、生物、政治、地理四科中选择两科.下列说法正确的是（）

A.若任意选科，选法总数为C；C；

B.若化学必选，选法总数为C；C；

C.若政治和地理至多选一门，选法总数为C；C；C；+C；

D.若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为C；C；+C；

【答案】ABC

【分析】依次判断每个选项得到ABC正确，D选项的正确答案是C；C；+1,错误，得到答

案.

【解析】对选项A：若任意选科，选法总数为C；C：,正确；

对选项B：若化学必选，选法总数为C；C；,正确；

对选项C：若政治和地理至多选一门，选政治或地理有C；C；C；种方法，政治地理都不选有

C；xC；种方法，故共有选法总数为C；C；C；+C；,正确；

对选项D：若物理必选，化学、生物选一门有C；C；种，化学、生物都选有1种方法，故共

有选法总数为C；C；+1,D错误.

故选：ABC

16.某工程队有6辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个工地至少分1辆工

程车，则下列结论正确的有（）

A.分给甲、乙、丙三地每地各2辆，有120种分配方式

B.分给甲、乙两地每地各2辆，分给丙、丁两地每地各1辆，有180种分配方式

C.分给甲、乙、丙三地，其中一地分4辆，另两地各分1辆，有60种分配方式

D.分给甲、乙、丙、丁四地，其中两地各分2辆，另两地各分1辆，有1080种分配方式

【答案】BD

【分析】对A,工地不同，工程车不同，可分步，甲先选2辆，然后乙选2辆，剩下2辆给

丙；

对B,同A相同方法可得；

对C,由于不知哪个工地是4辆车，因此可把6辆车按4,1,1分组，再全排列可得；

对D,与C相同方法，先分组再分配.

计算后判断各选项.

【解析】对A,先从6辆工程车中分给甲地2辆，有C；种方法，再从剩余的4辆工程车中

分给乙地2辆，有C：种方法，最后的2辆分给丙地，有C；种方法，所以不同的分配方式有

gC；=90（种），故A错误;

对B,6辆工程车先分给甲、乙两地每地各2辆，有种方法，剩余2辆分给丙、丁两地每

地各1辆，有A；种方法，所以不同的分配方式有C：C：A；=180（种），故B正确；

对C,先把6辆工程车分成3组：4辆、1辆、1辆，有C：种方法，再分给甲、乙、丙三地，所

以不同的分配方式有C：A；=90（种），故C错误；

C2c2C'C'

对D,先把6辆工程车分成4组：2辆、2辆、1辆、1辆，有十种方法，再分给甲、

A2A；

乙、丙、丁四地，所以不同的分配方式有零■•娶・A：=1080（种），故D正确.

A2A；

故选：BD.

三、填空题

17.设xdN,则C；L+C：「=.

【答案】4或7或11

【分析】先由组合数的意义判断出x=2或x=3或x=4,分别代入求解.

f2x-3>x-l

【解析】由组合数的意义可知：解得：2<X<4.

[x+l>2x-3

又xeN,所以X=2或X=3或X=4.

当x=2时，c，+C：/=c+c；=4；

当X=3时，C，+C：r=C+C=3+4=7；

当X=4时，+C：：；3=c；+C；=10+1=11.

故答案为：4或7或11.

18.从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要I人，第三天

需要2人，则有种不同的安排方法.

【答案】180

【分析】依次选取1人，1人，2人分别值班第一天，第二天，第三天即可.

【解析】解：由题，先从6人中挑选1人值第一天的班，有C；种，

再从剩下的5人中挑选1人值第二天的班，有C1种，

最后再从剩下的4人中挑选2人值第三天的班，有C；种，

所以，共有C；C；C；=6x5x6=180种不同的安排方法.

故答案为：180

19.近年来，“剧本杀”门店遍地开花.放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉

浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中48角色各1人，C

角色2人.已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人

参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且48角色不可同时为

女生.则店主共有种选择方式.

【答案】348

【分析】根据题意，按照选出的女生人数进行分类，分别求出每一类的选择种数，然后相加

即可求解.

【解析】由题意，根据选出的女生人数进行分类，

第一类：选出1名女生，先从3名女生中选1人，再从四名男生中选3人，然后安排角色，

两名男生扮演48角色有A；种，剩余的1名男生和女生扮演C角色，或/,8角色1名男

生1名女生，女生先选有C；,剩下的一个角色从3名男生中选1人，则C；种，所以共有

C；C：（A；+C；C；）=144种，

第二类：选出2名女生，先从3名女生中选2人，再从四名男生中选2人，然后安排角色，

两名男生扮演4,8角色有A；种，剩余的2名女生扮演C角色，或48角色1名男生1

名女生，选出1名女生先选角色有C；C；,剩下的一个角色从2名男生中选1人，则C；种，

所以共有C：C“A；+C；C；C；）=180种，

第三类：选出3名女生，从先从3名女生中选3人，再从四名男生中选1人，然后安排角色,

48角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有C；C；,剩下的一个角色让男生扮演,

余下的2名女生扮演角色C,所以共有C；C；C；C；=24种，

由分类计数原理可得：店主共有144+180+24=348种选择方式，

故答案为：348.

20.我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：从装有编号为

1,2,3,+1的〃+1个球的口袋中取出m个球（0<m<WeN）,共有C：'+1种取法.在C：+1种

取法中，不取1号球有c7种取法；取1号球有C：-'种取法.所以c:+c：-'=C；tl.试运用此方法,

写出如下等式的结果：Cj+C；♦C3+C；•C£+…+C、©+C3=.

【答案】c3

【分析】将等式看作是从编号为1,2,3,…,”+3个球中，取出6个球，其中第3个球的编号依次

为3,4,,...,〃的情况，利用分类加法计数原理得到的结果：再由从编号为1,2,3,...,〃+3个球中，

取出6个球，有C3种取法，即可得到结果.

【解析】从编号为1,2,3,…,〃+3个球中，取出6个球，记所选取的六个小球的编号分别为

a},a2,...,a6,fia,<a2<---<a6,

当用=3时，分三步完成本次选取：

第一步，从编号为L2的球中选取2个；第二步，选取编号为3的球；第三步，从剩下的〃个

球中任选3个，故选取的方法数为C；C「C：=C：；

当的=4时，分三步完成本次选取：

第一步，从编号为1,2,3的球中选取2个；第二步，选取编号为4的球；第三步，从剩下的

个球中任选3个，故选取的方法数为C；•C；•=C；-Ct；

当生=〃时，分三步完成本次选取：

第一步，从编号为1,2,3,的球中选取2个；第二步，选取编号为〃的球；第三步，从剩

下的3个球中选3个，故选取的方法数为C3.C；=C"；

至此，完成了从编号为1,2,3,...,〃+3个球中，选取6个球，第3个球的编号确定时的全部情况,

另外，从编号为1,2,3,...,"+3个球中，取出6个球，有C3种取法，

所以c：+c；♦+C：♦C；L+…+C3•C：+C3=C3.

故答案为：C3.

四、解答题

21.计算：

⑴C；

⑵C；

⑶C：-C；

(4)3C；-2C：；

⑸端.

【答案】⑴3；

⑵10:

(3)-1；

⑷1；

(5)4950

【分析】(1)(2)(3)(4)(5)根据给定条件利用组合数公式及性质直接计算作答.

【解析】(1)C；=C；=3.

(2)C；=C；=织=10.

2x1

(3)C：Y=C；_C；=4_5=_1.

(4)3C"2c：=3C；-2c；=3x3-2x4=l.

⑸制=%=写单=4950.

2x1

22.空间有10个点，其中任意4点不共面.

(1)过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？

(2)以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？

【答案】(1)120个

(2)210个

【分析】(1)(2)根据组合数的计算即可求解.

【解析】(1)3个点确定一个平面，且任意4点不共面，所以从10个点中任选3个点即可

构成一个平面，因此所有的平面个数为C；°=120(个)；

(2)任意4点不共面，所以从10个点中任选4个点即可构成一个四面体，因此所有的四面

体个数为C；0=210(个)；

23.某校准备参加高中数学联赛，把16个选手名额分配到高三年级的1〜4班，每班至少一

个名额.

(1)不同的分配方案共有多少种？

(2)若每班名额不少于该班的序号数，则不同的分配方案共有多少种？

【答案】(1)455；

⑵84.

【分析】(1)问题转化为将16个小球分成4份，结合隔板法、组合数求不同的分配方案数.

(2)问题转化为将10个小球分成4份，结合隔板法、组合数求不同的分配方案数.

(1)

问题等价于将16个小球串成一串，插入3块隔板，截为4段，16个小球间有15个空隙，

从中选3个插入隔板，插法种数为。点=悬=455.

故不同的分配方案共有455种.

(2)

问题等价于先给2班1个小球，3班2个小球，4班3个小球，

再把余下的10个相同的小球放入4个盒子里，求每个盒子至少有1个小球的分配方法数.

将10个小球串成一串，截成4段，截法种数为C；=84,

因此不同的分配方案共有84种.

24.现有10名教师，其中6名男教师，4名女教师.

(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？

(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？

【答案】⑴45；

(2)90.

【分析】（1）在10名教师任选2名，利用组合数求不同的选法数.

（2）从男、女老师各选2名，利用组合数及分步乘法求不同的选法数.

（1）

从10名教师中选2名去参加会议的选法数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,

即有比）=譬=45（种）.

2x1

（2）

从6名男教师中选2名的选法有C，种，从4名女教师中选2名的选法有C；种.

根据分步乘法原理，共有不同的选法C：・C：=:；X4；=9（）（种）.

2x12x1

25.学校组织甲、乙、丙、丁4名同学去4B,C,3个工厂进行社会实践活动，每名同学

只能去1个工厂.

（1）问有多少种不同的分配方案？

（2）若每个工厂都有同学去，问有多少种不同的分配方案？

（3）若同学甲、乙不能去工厂4且每个工厂都有同学去，问有多少种不同的分配方案？（结

果全部用数字作答）

【答案】⑴81

⑵36

⑶14

【分析】（1）由分步乘法原理，可得答案；

（2）由分组分配的计数方法，可得答案；

（3）由分类加法原理结合分组分配，可得答案.

【解析】（1）每名同学都有3种分配方法，则不同的分配方案有3"=81（种）.

（2）先把4个同学分3组，有C；种方法；再把这3组同学分到儿B,C,3个工厂，有A；

种方法，则不同的分配方案有C：方=36（种）.

（3）同学甲、乙不能去工厂分配方案分两类：

①另外2名同学都去工厂工,甲、乙去工厂8,C,有A；=2（种）情况；

②另外2名同学中有一名去工厂4有C；C；G=12（种）情况.

所以不同的分配方案共有2+12=14（种）.

26.某班级甲组有5名男生，3名女生；乙组有6名男生，2名女生.

（1）若从甲、乙两组中各选1人担任组长，则有多少种不同的的选法？

（2）若从甲、乙两组中各选1人担任正副班长，则有多少种不同的的选法？

(3)若从甲、乙两组中各选2人参加核酸检测，则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共

有多少种？

【答案】⑴64；

(2)128；

(3)51.

【分析】(1)利用分步原理即得；

(2)利用先选后排可求；

(3)先分类再分步即得

(1)

利用分步原理可得从甲、乙两组中各选1人担任组长，共有C；C；=64种不同的的选法；

(2)

先选后排，可得从甲、乙两组中各选1人担任正副班长有C；C；用=128种不同的的选法；

(3)

先分类再分步：第一类：甲组1男生：C；C；C；=15,第二类：乙组1男生：C；C；C；=36,

则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有51种.

27.求证：rC；=〃C：,

【答案】证明见解析

【分析】利用组合数公式可证得等式成立.

("1)!

【解析】证明：，C；=rx—

r(“-/•)!(r-!)!"(

28.将四个小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，根据下列条件求不同放法的种数.

(1)四个小球不同，每个盒子各放一个；

(2)四个小球相同，每个盒子各放一个；

(3)四个小球不同，四个盒子恰有一个空着；

(4)四个小球相同，四个盒子恰有一个空着.

【答案］⑴24

(2)1

(3)144

⑷12

【分析】(1)全排列问题，利用全排列公式进行求解；

(2)四个小球相同，每个盒子各放一个，只有1种情况；

(3)先把四个小球分组3组，注意部分平均分组，要除以平均组数的全排列，选出空盒,

再进行全排列，计算出结果；

（4）先将小球分组，再选出空盒，选出放入2个小球的盒子，从而得到答案.

【解析】（1）四个小球不同，每个盒子各放一个，属于全排列问题，则不同的放法有A：=24

种；

（2）四个小球相同，每个盒子各放一个，每个小球放入任何一个盒子，都为同1种情况，

故不同的放法有1种；

（3）四个小球不同，四个盒子恰有一个空着，则有一个盒子放入了2个小球，

c1C1

先将四个不同的小球分为3组，有+C=6种情况，选出一个空盒，有C；=4种情况，

再将分好的3组小球，与对应的3个盒子进行全排列，共有A；=6种选择，

综上：四个小球不同，四个盒子恰有一个空着，选择方法有6x4x6=144种；

（4）四个小球相同，四个盒子恰有一个空着，则有一个盒子放入了2个小球，

先将四个不同的小球分为3组，则只有1种分法，即2,1,1,

选出一个空盒，有C；=4种情况，

将分好的3组小球，放入3个盒子中，选出放入2个小球的盒子，有C；=3种情况，

综上：四个小球相同，四个盒子恰有一个空着，一共有4x3=1