专题17 导数与函数的极值、最值-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）原卷版

2/2专题17导数与函数的极值、最值（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 2【考点突破】 4【考点1】根据函数图象判断极值 4【考点2】求已知函数的极值 5【考点3】由函数的极值求参数 6【考点4】利用导数求函数的最值 7【分层检测】 9【基础篇】 9【能力篇】 11【培优篇】 11考试要求：1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.知识梳理知识梳理1.函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.2.函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.真题自测真题自测一、单选题1．（2022·全国·高考真题）当时，函数取得最大值，则（

）A． B． C． D．12．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2021·全国·高考真题）设，若为函数的极大值点，则（

）A． B． C． D．二、多选题4．（2023·全国·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（

）．A． B． C． D．5．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（

）．A． B．C．是偶函数 D．为的极小值点6．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（

）A．有两个极值点 B．有三个零点C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线三、填空题7．（2022·全国·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是．8．（2021·全国·高考真题）函数的最小值为.考点突破考点突破【考点1】根据函数图象判断极值一、单选题1．（21-22高三·北京西城·开学考试）如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（

）A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点2．（21-22高二下·北京西城·期末）设函数的极小值为－8，其导函数的图象过点（－2，0），如图所示，则＝（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2022·山东临沂·模拟预测）设函数，其中R，则（

）A．当时，有2个极值点B．当时有1个极值点C．当时，有0个极值点．D．若，成立，则4．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知函数和的图像都是上连续不断的曲线，如果，当且仅当时，那么下列情形可能出现的是（

）A．1是的极大值，也是的极大值 B．1是的极大值，也是的极小值C．1是的极小值，也是的极小值 D．1是的极小值，也是的极大值三、填空题5．（2021·四川成都·模拟预测）已知函数的定义域为，其部分自变量与函数值的对应情况如表：x0245312.513的导函数的图象如图所示．给出下列四个结论：①在区间上单调递增；②有2个极大值点；③的值域为；④如果时，的最小值是1，那么t的最大值为4．其中，所有正确结论的序号是．6．（2023·陕西宝鸡·二模）若函数无极值点，则实数a的取值范围是.反思提升：由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.【考点2】求已知函数的极值一、单选题1．（2024·宁夏银川·一模）若函数在处取得极大值，则的极小值为（

）A． B． C． D．2．（2024·四川成都·二模）函数，下列说法不正确的是（

）A．当时，恒成立B．当时，存在唯一极小值点C．对任意在上均存在零点D．存在在上有且只有一个零点二、多选题3．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知，，则（

）A．函数在上的最大值为3 B．，C．函数在上没有零点 D．函数的极值点有2个4．（2024·全国·模拟预测）已知则方程可能有（

）个解.A．3 B．4 C．5 D．6三、填空题5．（2023·全国·模拟预测）已知定义在R上的奇函数满足当时，（为的导函数），且，则的极大值为．6．（2023·西藏拉萨·一模）已知函数，函数的图象与轴的交点关于轴对称，当时，函数；当函数有三个零点时，函数的极大值为．反思提升：运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值.【考点3】由函数的极值求参数一、单选题1．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在上无极值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2024·全国·模拟预测）已知函数在上恰有两个极值点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2024·全国·模拟预测）已知函数．若过原点可作函数的三条切线，则（

）A．恰有2个异号极值点 B．若，则C．恰有2个异号零点 D．若，则4．（2024·江苏徐州·一模）已知函数，，则下列说法正确的是（

）A．当时，有唯一零点B．当时，是减函数C．若只有一个极值点，则或D．当时，对任意实数，总存在实数，使得三、填空题5．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知函数，函数的两相邻对称中心之间的距离为1，且为函数的一个极大值点.若方程在上的所有根之和等于2024，则满足条件中整数的值构成的集合为6．（2024·陕西铜川·三模）若函数有两个极值点，则实数的取值范围为.反思提升：1.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.【考点4】利用导数求函数的最值一、单选题1．（2022·福建福州·三模）已知函数，以下结论中错误的是（

）A．是偶函数 B．有无数个零点C．的最小值为 D．的最大值为2．（2024·浙江金华·三模）若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2024·河南南阳·模拟预测）已知函数，则（

）A．若曲线在处的切线方程为，则B．若，则函数的单调递增区间为C．若，则函数在区间上的最小值为D．若，则的取值范围为4．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．当时，函数当且仅当在时取极小值B．当时，函数有无数个零点C．，D．若在区间上的最小值是0，则三、填空题5．（2024·广东广州·模拟预测）若，关于的不等式恒成立，则正实数的最大值为.6．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知函数.设k为正数，对于任意x，若，二者中至少有一个大于2，则的取值范围是.反思提升：1.利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.分层检测分层检测【基础篇】一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）设为函数（其中）的两个不同的极值点，若不等式成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2024·江西鹰潭·二模）已知函数，，则下列命题不正确的是（

）A．有且只有一个极值点 B．在上单调递增C．存在实数，使得 D．有最小值3．（2024·四川雅安·三模）已知函数，则下列说法中正确的个数是（

）①当时，函数有且只有一个零点；②当时，函数为奇函数，则正数的最小值为；③若函数在上单调递增，则的最小值为；④若函数在上恰有两个极值点，则的取值范围为.A．1 B．2 C．3 D．44．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）若函数的导数的最小值为0，则函数的零点为（

）A．0 B． C． D．二、多选题5．（2024·全国·模拟预测）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（

）A． B． C． D．6．（2024·全国·模拟预测）已知函数在定义域内既存在极大值点又存在极小值点，则（

）A． B．C． D．对于任意非零实数，总存在实数满足题意7．（2024·江西·二模）若恒成立，则实数的取值可以是（

）A．0 B． C． D．三、填空题8．（2024·广东·模拟预测）在的极值点个数为个．9．（2022·北京海淀·一模）已知函数，给出下列四个结论：①是偶函数；②有无数个零点；③的最小值为；④的最大值为1.其中，所有正确结论的序号为.10．（2024·四川成都·三模）已知函数，若存在最小值，且最小值为，则实数的值为四、解答题11．（2024·全国·模拟预测）已知函数的单调递增区间为．(1)求函数的图象在点处的切线方程；(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围．12．（2024·陕西咸阳·三模）已知函数.(1)当时，求函数极值；(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围.【能力篇】一、单选题1．（2024·四川绵阳·三模）若函数有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是（

）A．a>0，b<0B．a<0，b>0C．二、多选题2．（2024·山东枣庄·模拟预测）若函数，则（

）A．的图象关于对称 B．在上单调递增C．的极小值点为 D．有两个零点三、填空题3．（2024·全国·模拟预测）函数在定义域内为增函数，则实数k的取值范围为．四、解答题4．（2024·河南·二模）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程