4.6利用相似三角形测高（培优版）（含答案）-北师大版数学九年级上册

4.6利用相似三角形测高（培优版）夯实基夯实基础黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。一、选择题1．如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于G，BG延长交CD于点F，CG延长交BD于点H，交AB于N.下列结论：①DE=CN；②BHDH=12；③S△DEC=3SA．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（）A．30厘米、45厘米； B．40厘米、80厘米；C．80厘米、120厘米； D．90厘米、120厘米3．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件：（1）∠B＋∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）CDAD＝ACAB；（4）AB2＝BD·BC其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个4．“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法，如图，点A为左眼，点B为右眼，点O为右手大拇指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物(CD∥AB)，已知大多数人的眼距长约为6.4厘米左右，而手臂长约为64厘米左右．若CD的估测长度为50米，那么CO的大致距离为（）米．A．250 B．320 C．500 D．7505．如图，小红利用小孔成像原理制作了一个成像装置，他在距离纸筒50cm处准备了一支蜡烛，其中纸筒长为10cm，蜡烛长为15cm，则这支蜡烛所成像CD的高度为（）A．2.5cm B．3cm C．3.6．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为3cm，AC被分为6等份．若小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE的长为（）A．1cm B．95cm C．2cm D．127．如图，小红利用小孔成像原理制作了一个成像装置，他在距离纸筒50cm处准备了一支蜡烛，蜡烛长为15cm，纸筒的长度为10cm，则这支蜡烛所成像的高度为（）A．2.5cm B．3cm C．3.75cm 8．如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD＝9.6米，留在墙上的影长CD＝2米，则旗杆的高度（）A．9米 B．9.6米 C．10米 D．10.2米9．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，在AC、BC上分别找点M，N，使得AM=2CM，BN=2CN，测量出MN的长为12m，由此可知A、B间的距离为（）A．18m B．24m C．36m D．48m10．如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（）A．2m B．4m C．6m D．8m巩固积巩固积厚宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。二、填空题11．如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高DO=4m，树影AC=2m，树AB与路灯O的水平距离AD=3m，则树的高度AB长是m.12．测量附中国旗杆的高度，小宇的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板△DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.6米，到旗杆的水平距离DC＝18米．按此方法，可计算出旗杆的高度为米．13．如图，小亮测得学校门口栏杆的短臂OA长1米，长臂OB长4米，当短臂外端A下降0.6米时，长臂外端B升高米．14．墙壁CD上D处有一盏灯（如图），小明站在A站测得他的影长与身长相等都为1.5m，他向墙壁走1m到B处时发现影子刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD=m.15．如图1是液体沙漏的立体图形，图2，图3分别是液体沙漏某一时刻沙漏上半部分液体长度与液面距离水平面高度的平面示意图，则图3中AB＝cm．优尖拔优尖拔高书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。三、解答题16．杭州市西湖风景区的雷峰塔又名“皇妃塔”，某校社会实践小组为了测量雷峰塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，雷峰塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC=3米，将标杆CD向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，雷峰塔的塔尖点B正好又在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG=5米，GC=60米，请你根据以上数据，计算雷峰塔的高度AB.17．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP＝6m，PD＝12m，求该古城墙CD的高度是多少m？18．5月10日上午，庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在北京人民大会堂隆重举行，习近平总书记重要讲话引发各界青年热烈反响．某校为庆祝共青团成立100周年升起了共青团旗帜，李优和贺基旭想用所学知识测量该旗帜的宽度MN，他们进行了如下操作：如图，首先，李优在C处竖立一根标杆BC，地面上的点A、标杆顶端B和点N在一条直线上，BC=1.5米，AC=1米，AG=8米；然后，贺基旭手持自制直角三角纸板DEF，使长直角边DF与水平地面平行，调整位置，恰好在P点时点D、E、M在一条直线上，DP=1.5米，PG=23.6米，DF=2EF，已知DP⊥PA，MG⊥PA，19．如图，某数学学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上，同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别BC＝9.6m，EF＝2.4m.已知B，C，E，F点在同一直线上，且AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝3.1m，求旗杆AB的高度.20．用一个大小形状固定的不等边锐角三角形纸，剪出一个最大的正方形纸备用.甲同学说：“当正方形的一边在最长边时，剪出的内接正方形最大”；乙同学说：“当正方形的一边在最短边上时，剪出的内接正方形最大”；丙同学说：“不确定，剪不出这样的正方形纸.”你认为谁说的有道理，请证明.（假设图中△ABC的三边a，b，c，且a＞b＞c，三边上的高分别记为ha，hb，hc）

1．答案:D解析：解：①∵在正方形ABCD中，∠NBC=∠ECD=90∘，∴∠NBC+∠GCD=∠ECD+∠GCD=即：∠NBC=∠ECD∴△NBC≅△ECD（ASA）∴CN=DE，故①符合题意；②∴在正方形ABCD中，AB//CD，答案与解析答案与解析∴△NBH∼△CDH，∴NBDC∵△NBC≅△EDC，E为BC的中点，四边形ABCD是正方形∴NB=1∴NBDC③如下图示，过H点作IJ//AD，∴根据△NBH∼△CDH，有HI=1则：HI=∴S△DECS即是：S△DEC④过B作BP⊥CN于P，BQ⊥DG，交DE的延长线于E，∴∠BPC=∠BQD=∠PGQ=90°，∴四边形PBQG是矩形，∴∠PBQ=90°，∵∠ABC=90°，∴∠NBP=∠QBE，由①得：△BNC≌△CED，∴EC=BN，∵E是BC的中点，∴BE=EC，∴BE=BN，∵∠BPN=∠BQE=90°，∴△BPN≌△BQE，∴BP=BQ，∴四边形PBQG是正方形，∴∠BGE=45°，故④符合题意；⑤如图示，连接N，E设BN=x，则BE=EC=x，BC=2x，∵CG⊥DE，∠NBC=∴CN=BEN=B由△ECN的面积可得：1化简得：GE=5∴GN=E则有：GN+GE=∴GC=CN−GN=5∵AB//CD，∴△NGB∼△CGF，∴BNFC∴BG=3则BG=3FC=2并∵BF=∴2∴GN+GE=2综上所述，故答案为：D．分析：根据题目已知证明△NBC≅△ECD可判断①符合题意；证明△NBH∼△CDH可判断②符合题意；过H点作IJ//AD，利用S△DEC=12EC·DC，S△BNH=12BN·HI求解即可判断③符合题意；添加辅助线过B作BP⊥CN于P，BQ⊥DG，交DE的延长线于E，利用△BNC≌△CED，证得△BPN≌△BQE，即可判断④符合题意；连接N，E，设2．答案:C解析：当60cm的木条与20cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为90cm与120cm；当60cm的木条与30cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为40cm与80cm；当60cm的木条与40cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为30cm与45cm；所以A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意，故答案为：C.分析：讨论：若20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为60厘米、x厘米、y厘米；若20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、60厘米、y厘米，；

若20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、y厘米、60厘米，然后利用比例的性质分别计算出各组对应值即可．3．答案:A解析：根据已知对各个条件进行分析，从而得到答案．

（1）不能，∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD=90°，∵∠B+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠DAC，∴无法证明△ABC是直角三角形；

（2）能，∵∠B=∠DAC，则∠BAD=∠C，∴∠B+∠BAD=∠C+∠DAC=180°÷2=90°；

（3）能，∵CD：AD=AC：AB，∠ADB=∠ADC=90°，

∴Rt△ABD∽Rt△CAD（直角三角形相似的判定定理），

∴∠ABD=∠CAD；∠BAD=∠ACD

∵∠ABD+∠BAD=90°

∴∠CAD+∠BAD=90°

∵∠BAC=∠CAD+∠BAD

∴∠BAC=90°；

（4）能，∵能说明△CBA∽△ABD，

∴△ABC一定是直角三角形．

共有3个．

故选A．4．答案:C解析：根据题意可知AB=6.4cm=0.064m，∵CD//∴△ABO∽△DCO，∴ABCD=OB解得：CO=500m．故答案为：C．

分析：先证明△ABO∽△DCO，可得ABCD=OBCO，即5．答案:B解析：解：如图，过点O作OF⊥DC，OE⊥AB，AB=15cm，OF=10cm，OE=50cm，∵AB//CD，∴EF⊥CD，∴△OAB∽△ODC，∴CDAB=OF解得：DC=3．答：这支蜡烛所成像的高度为3cm．故答案为：B．

分析：过点O作OF⊥DC，OE⊥AB，先证明△OAB∽△ODC，可得CDAB=OFOE，即6．答案:C解析：解：∵DE∥AB，

∴△CDE∽△CAB，

∴DE：AB＝CD：AC，

∵AB的长为3cm，AC被分为6等份，小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处，

∴CD=4，AC=6，

∴DE：3=4：6，

∴DE＝2cm，

∴小玻璃管口径DE是2cm．

故答案为：C．

分析：根据题意易证△CDE∽△CAB，可得DE：AB＝CD：AC，再由AB的长为3cm，AC被分为6等份，小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处，可得CD=4，AC=6，再将数据代入计算，即可求解.7．答案:B解析：解：如图，过点O作OF⊥DC，FO的延长线交AB于点E，∵AB∥CD，EF⊥CD，∴EF⊥AB，△OAB∽△ODC，∴CDAB∵AB=15cm，OF=10cm，OE=50cm，∴CD15解得：CD=3cm．答：这支蜡烛所成像的高度为3cm．故答案为：B．

分析：过点O作OF⊥DC，FO的延长线交AB于点E，先证明△OAB∽△ODC，可得CDAB=OFOE，再将数据代入可得8．答案:C解析：解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，可得四边形BDCE为矩形，∴CE=BD=9.6米，BE=CD=2米，由题意可得：AECE∴AE=8(米)，∴AB=AE+BE=8+2=10(米).故答案为：C.

分析：过点C作CE⊥AB于点E，可得四边形BDCE为矩形，可得CE=BD=9.6米，BE=CD=2米，根据同一时刻物高：物影=杆高：杆影，求出AE的长，利用AB=AE+BE即可求解.9．答案:C解析：解：∵AM=2CM，BN=2CN，∴AMCM=2，BNCN=2∵∠ACB=∠MCN，∴△ACB∽△MCN，∴ABMN∵MN=12m，∴AB=36m．故答案为：C．

分析：先证明△ACB∽△MCN，根据相似三角形的性质可得ABMN10．答案:B解析：解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF=90°，ED=2m，FD=8m；∵∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°，∴∠ECD=∠F，又∠CDE=∠FDC∴△EDC∽△CDF，∴EDDC=DC解得CD=4m（负值舍去）．故答案为：B．

分析：如图，证明△EDC∽△CDF，利用相似三角形对应边成比例即可求解.11．答案:8解析：解：∵AB∥OD，∴△CAB∽△CDO，∴ABOD∴AB4∴AB=8答：树的高度AB长是85故答案为：85分析：易证△CAB∽△CDO，然后根据相似三角形对应边成比例进行计算.12．答案:10.6解析：解：∵CD⊥AB，∴∠DEF＝∠ACD，∵∠ADC＝∠FDE，∴△ACD∽△FED，∴DECD＝EF∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DC＝18米，∴0.518∴AC＝9米，∵DG＝1.6米，∴BC＝1.6米，∴AB＝10.6米，故答案为：10.6．

分析：先证明△ACD∽△FED，可得DECD＝EFAC，再将数据代入可得0.13．答案:2.4解析：解：如图所示，过C、D作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意知，OC=OA=1，OD=OB=4，∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴CE//∴∠C=∠D，∠CEO=∠DFO，∴△OCE∽△ODF∴OCOD=CE解得：DF=2.即长臂外端B升高2.4米．故答案为：2.4．

分析：过C、D作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F．证△OCE∽△ODF，可得OCOD14．答案:9解析：如图：根据题意得：BG=AF=AE=1.5m，AB=1m，∵BG∥AF∥CD∴△EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD，∴AE：EC=AF：CD，AB：AC=BG：CD，设BC=xm，CD=ym，则CE=（x+2.5）m，AC=（x+1）m，则1.5x+2.5=1.5解得：x=2，y=4.5，即CD=4.5米，故答案为：4.5.分析：首先抽象出数学图形，根据平行于三角形一边的直线截其他两边，所截得的三角形与原三角形系数得出△EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD，根据相似三角形对应边成比例得出AE：EC=AF：CD，AB：AC=BG：CD，设BC=xm，CD=ym，则CE=（x+2.5）m，AC=（x+1）m，根据比例式建立出方程组，求解即可得出答案。15．答案:8解析：解：过D作ED⊥EF交GH于G，如图所示：根据题意可知GE=12cm，∴根据对称性可知GD=ED=6cm，CE=12−10=2cm，∴DC=4cm，∵AB//∴∠DBC=∠F，∵∠CDB=∠CDB，∴ΔBCD∼ΔFED，∴BCEF=CDED∴AB=2BC=8故答案为：83

分析：过D作ED⊥EF交GH于G，根据对称性可知GD=ED=6cm，CE=12−10=2cm，可得CD=4cm，证明ΔBCD∼ΔFED，根据相似三角形的性质求出BC，即得AB的长。16．答案:解：根据题意得CD=GH=2米，EC=3米，FG=5米，GC=60米，∵CD∥AB，∴ΔEDC∽ΔEBA，∴DCAB=EC∵HG//∴ΔFHG∽ΔFBA，∴HGAB=FG由①②得33+CA=5把CA=90代入①得2AB=5答：雷峰塔的高度AB为62米.解析：根据题意得CD=GH=2米，EC=3米，FG=5米，GC=60米，易证△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，然后根据相似三角形的性质可求出CA、AB的值.17．答案:解：∵光线从点A出发经平面镜反射到点C，∴∠APB＝∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP＝∠CDP＝90°，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴ABCD=PBPD，即答：该古城墙CD的高度为8m．解析：由光线入射原理可以得到∠APB＝∠CPD，再结合∠ABP＝∠CDP＝90°，证明△ABP∽△CDP，根据相似三角形性质可得ABCD18．答案:解：