2025版新教材高中数学第四章概率与统计4.2随机变量4.2.4随机变量的数字特征课时作业新人教B版选择性必修第二册

4．2.4随机变量的数字特征必备学问基础练进阶训练第一层1．若离散型随机变量X，X～B(5，p)，且E(X)＝eq\f(10,3)，则P(X≤2)＝()A．eq\f(1,9)B．eq\f(4,27)C．eq\f(17,81)D．eq\f(192,243)2．甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中目标的概率为eq\f(2,3)，乙命中目标的概率为eq\f(4,5)，设命中目标的人数为X，则Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X))＝()A．eq\f(86,225)B．eq\f(259,675)C．eq\f(22,15)D．eq\f(15,22)3．已知随机变量X满意E(2X＋3)＝7，D(2X＋3)＝16，则下列选项正确的是()A．E(X)＝eq\f(7,2)，D(X)＝eq\f(13,2)B．E(X)＝2,D(X)＝4C．E(X)＝2,D(X)＝8D．E(X)＝eq\f(7,4)，D(X)＝84．甲、乙两人进行乒乓球竞赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，竞赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为eq\f(2,3)，乙在每局中获胜的概率为eq\f(1,3)，且各局输赢相互独立，则竞赛停止时已打局数X的期望E(X)为()A．eq\f(17,2)B．eq\f(266,81)C．eq\f(256,81)D．eq\f(670,243)5．从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝()A．2B．1C．3D．46．已知随机变量X～B(4，p)，且E(X)＝3，则D(3X－1)＝()A．3B．6C．eq\f(27,4)D．eq\f(23,4)关键实力综合练进阶训练其次层7．一个口袋中有4个白球，2个黑球，每次从袋中取出一个球．(1)若有放回地取2次球，求其次次取出的是黑球的概率；(2)若不放回地取2次球，求在第一次取出白球的条件下，其次次取出的是黑球的概率；(3)若有放回地取3次球，求取出黑球次数X的分布列及E(X).8．电子科技公司研制无人机，每架无人机组装后每周要进行1次试飞试验，共进行3次．每次试飞后，科研人员要检验其有否不良表现．若在这3次试飞中，有不良表现不超过1次，则该架无人机得6分，否则得2分．假设每架无人机3次检验中，每次是否有不良表现相互独立，且每次有不良表现的概率均为eq\f(1,2).(1)求某架无人机在3次试飞后有不良表现的次数X的分布列和方差；(2)若参与试验的该型无人机有m架，在3次试飞试验中获得的总分不低于4m分，即可认为该型无人机通过平安认证．现有6架无人机参与试飞试验，求该型无人机通过平安认证的概率是多少？9．第24届冬奥会于2024年2月4日至2月20日在北京和张家口实行，组委会须要招募翻译人员做志愿者，某外语学院的一个社团中有7名同学，其中有5人能胜任法语翻译工作；5人能胜任英语翻译工作(其中有3人两项工作都能胜任)，现从中选3人做翻译工作．试求：(1)在选中的3人中恰有2人胜任法语翻译工作的概率；(2)在选中的3人中既能胜任法语翻译工作又能胜任英语翻译工作的人数X的分布列和数学期望．10．冬奥会志愿者有6名男同学，4名女同学．在这10名志愿者中，三名同学来自北京高校，其余7名同学来自北京邮电高校，北京交通高校等其他互不相同的7所高校．现从这10名志愿者中随机选取3名同学，到机场参与活动．(每位同学被选中的可能性相等).(1)求选出的3名同学是来自互不相同的高校的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的期望和方差．11．某数学老师组织学生进行线上说题沟通活动，规定从8道备选题中随机抽取题目作答，假设在8道备选题中，学生甲能答对每道题的概率都是eq\f(2,3)，且每道题答对与否互不影响，学生乙、丙都只能答对其中的6道题．(1)若甲、乙两人分别从8道备选题中随机抽取1道作答，求至少有1人能答对的概率；(2)若学生丙从8道备选题中随机抽取2道作答，以X表示其中丙能答对的题数，求X的分布列及数学期望E(X).12．某企业的某产品在出厂前必需进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知该产品第一轮检测不合格的概率为eq\f(1,6)，其次轮检测不合格的概率为eq\f(1,10)，两轮检测是否合格相互没有影响．(1)求该产品不能销售的概率；(2)假如该产品可以销售，则每件产品可获利40元；假如该产品不能销售，则每件产品亏损20元，已知一箱中有该产品4件，记一箱该产品获利X元，求X的分布列和期望．核心素养升级练进阶训练第三层13．近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2024年12月至2024年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下(单位：万辆)：12月1月2月3月4月5月轿车28.421.315.426.016.721.0MPV0.80.20.20.30.40.4SUV18.113.711.718.111.314.5(1)从2024年12月至2024年5月中任选1个月份，求该月MPV零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率；(2)从2024年1月至2024年5月中任选3个月份，将其中SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X，求X的分布列和数学期望E(X)；(3)记2024年12月至2024年5月轿车月度零售销量数据的方差为seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))，同期各月轿车与对应的MPV月度零售销量分别相加得到6个数据的方差为seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))，写出seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))与seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))的大小关系．(结论不要求证明)14．某夜市街上有“十元套圈”小嬉戏，嬉戏规则为每个顾客支付十元便可获得3个套圈，顾客运用套圈所套得的奖品，即归顾客全部．奖品分别摆放在1，2，3三个相互间隔的区域中，且1，2，3三个区域的奖品价值分别为5元，15元，20元，每个套圈只能运用一次，每次至多能套中一个．小张付十元参与这个嬉戏，假设他每次在1，2，3三个区域套中奖品的概率分别为0.6，0.2，0.1，且每次的结果互不影响．(1)求小张分别在1，2，3三个区域各套一次后，所获奖品不超过1件的概率；(2)若分别在1，2，3三个区域各套一次为方案甲，所获奖品的总价值为X元；在2区域连套三次为方案乙，所获奖品的总价值为Y元．以三次所套奖品总价值的数学期望为依据，小张应当选择方案甲还是方案乙？4．2.4随机变量的数字特征必备学问基础练1．答案：C解析：因为X～B(5，p)，所以E(X)＝np＝eq\f(10,3)，得p＝eq\f(2,3)，所以P(X≤2)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＋P(X＝0)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))(eq\f(2,3))2(eq\f(1,3))3＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))(eq\f(2,3))1(eq\f(1,3))4＋Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(5))(eq\f(2,3))0(eq\f(1,3))5＝eq\f(51,243)＝eq\f(17,81).故选C.2．答案：A解析：由题意，随机变量X的取值为0，1，2，可得P(X＝0)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,15)，P(X＝1)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(4,5)＝eq\f(2,5)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(4,5)＝eq\f(8,15)，所以E(X)＝0×eq\f(1,15)＋1×eq\f(2,5)＋2×eq\f(8,15)＝eq\f(22,15)，则D(X)＝(0－eq\f(22,15))2×eq\f(1,15)＋(1－eq\f(22,15))2×eq\f(2,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(22,15)))2×eq\f(8,15)＝eq\f(86,225).故选A.3．答案：B解析：E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝7，得E(X)＝2，D(2X＋3)＝4D(X)＝16，得D(X)＝4.故选B.4．答案：B解析：由题意，随机变量X的可能取值是2，4，6，设每两局竞赛为一轮，则该轮竞赛停止的概率为(eq\f(2,3))2＋(eq\f(1,3))2＝eq\f(5,9)，若该轮结束时竞赛还要接着，则甲、乙在该轮中必是各得1分，此时该轮竞赛结果对下一轮竞赛是否停止没有影响，所以P(X＝2)＝eq\f(5,9)，P(X＝4)＝eq\f(4,9)×eq\f(5,9)＝eq\f(20,81)，P(X＝6)＝(eq\f(4,9))2＝eq\f(16,81)，所以期望为E(X)＝2×eq\f(5,9)＋4×eq\f(20,81)＋6×eq\f(16,81)＝eq\f(266,81).故选B.5．答案：C解析：ξ的可能取值为0，1，2.P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(13)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15)))＝eq\f(22,35)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(13)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15)))＝eq\f(12,35)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(13)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15)))＝eq\f(1,35).∴ξ的分布列为ξ012Peq\f(22,35)eq\f(12,35)eq\f(1,35)于是E(ξ)＝0×eq\f(22,35)＋1×eq\f(12,35)＋2×eq\f(1,35)＝eq\f(2,5)，故E(5ξ＋1)＝5E(ξ)＋1＝5×eq\f(2,5)＋1＝3.故选C.6．答案：C解析：因为随机变量X～B(4，p)，且E(X)＝3，所以E(X)＝4p＝3，解得p＝eq\f(3,4)，所以D(X)＝4×eq\f(3,4)×(1－eq\f(3,4))＝eq\f(3,4)，所以D(3X－1)＝9D(X)＝9×eq\f(3,4)＝eq\f(27,4).故选C.关键实力综合练7．解析：设Ai＝“第i次取到白球”，Bi＝“第i次取到黑球”，(1)每次均从6个球中取球，每次取球的结果互不影响，所以P(B2)＝eq\f(1,3).(2)问题相当于“从3个白球，2个黑球中取一次球，求取到黑球的概率”，所以所求概率P＝eq\f(2,5).(3)有放回地依次取出3个球，则取到黑球次数X的可能取值为0，1，2，3.三次取球互不影响，由(1)知每次取出黑球的概率均为eq\f(1,3)，所以P(X＝0)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))(eq\f(2,3))3＝eq\f(8,27)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))(eq\f(1,3))·(eq\f(2,3))2＝eq\f(4,9)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))(eq\f(1,3))2·(eq\f(2,3))1＝eq\f(2,9)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))(eq\f(1,3))3＝eq\f(1,27).X0123Peq\f(8,27)eq\f(4,9)eq\f(2,9)eq\f(1,27)这个试验为3次独立重复事务，X听从二项分布，即X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,3)))，E(X)＝1.8．解析：(1)由题意得X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,2)))，则P(X＝0)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))·(eq\f(1,2))0·(eq\f(1,2))3＝eq\f(1,8)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))·eq\f(1,2)·(eq\f(1,2))2＝eq\f(3,8)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))·(eq\f(1,2))2·eq\f(1,2)＝eq\f(3,8)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))·(eq\f(1,2))3·(eq\f(1,2))0＝eq\f(1,8)，所以随机变量X的分布列如下表所示：X0123Peq\f(1,8)eq\f(3,8)eq\f(3,8)eq\f(1,8)所以D(X)＝3×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4).(2)当m＝6时，4m＝24.设该型6架无人机获得6分的架数为x，则获得2分的架数为(6－x)，由题意可得6x＋2(6－x)＝4x＋12≥24，解得x≥3，x∈N，则x的取值有3，4，5，6，记“某架无人机获得6分”为事务A，则P(A)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))·(eq\f(1,2))0(eq\f(1,2))3＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))·eq\f(1,2)(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,2)，记“6架无人机参与试飞试验，该型无人机通过平安认证”为事务B，则P(B)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))(eq\f(1,2))3(eq\f(1,2))3＋Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6))(eq\f(1,2))4(eq\f(1,2))2＋Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(6))(eq\f(1,2))5(eq\f(1,2))＋Ceq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))(eq\f(1,2))6＝eq\f(21,32).9．解析：(1)依题意可知：有2人只胜任英语翻译，有2人只胜任法语翻译，有3人两项工作都能胜任，所以从中选3人做翻译工作，在选中的3人中恰有2人胜任法语翻译工作的概率为eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))＝eq\f(20,35)＝eq\f(4,7).(2)X的可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))＝eq\f(4,35)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))＝eq\f(18,35)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))＝eq\f(12,35)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))＝eq\f(1,35)，分布列如下：X0123Peq\f(4,35)eq\f(18,35)eq\f(12,35)eq\f(1,35)数学期望为E(X)＝0×eq\f(4,35)＋1×eq\f(18,35)＋2×eq\f(12,35)＋3×eq\f(1,35)＝eq\f(9,7).10．解析：(1)设A为选出的3名同学是来自互不相同的高校，则P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))＋Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(49,60).(2)由题可知随机变量X的全部可能值为0，1，2，3.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,6)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(3,10)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,30)，∴X的分布列为X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)∴E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝eq\f(6,5)，D(X)＝(0－eq\f(6,5))2×eq\f(1,6)＋(1－eq\f(6,5))2×eq\f(1,2)＋(2－eq\f(6,5))2×eq\f(3,10)＋(3－eq\f(6,5))2×eq\f(1,30)＝eq\f(14,25).11．解析：(1)由题意可知：乙能答对一道题的概率为eq\f(3,4)，若两人都不能答对的概率P＝(1－eq\f(3,4))(1－eq\f(2,3))＝eq\f(1,12)，则至少有1人能答对的概率为1－P＝eq\f(11,12).(2)X的取值为0，1，2，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8)))＝eq\f(1,28)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8)))＝eq\f(12,28)＝eq\f(3,7)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8)))＝eq\f(15,28)，X的分布列为X012Peq\f(1,28)eq\f(3,7)eq\f(15,28)E(X)＝0×eq\f(1,28)＋1×eq\f(3,7)＋2×eq\f(15,28)＝eq\f(3,2).12．解析：(1)设“该产品不能销售”为事务A，因为两轮检测是否合格相互没有影响，则P(A)＝1－(1－eq\f(1,6))(1－eq\f(1,10))＝eq\f(1,4).∴该产品不能销售的概率为eq\f(1,4).(2)由(1)知，该产品可以销售的概率为eq\f(3,4)，易知X的可能取值为－80，－20，40，100，160，P(X＝－80)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(4))(eq\f(1,4))4×(eq\f(3,4))0＝eq\f(1,256)，P(X＝－20)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))×(eq\f(1,4))3×(eq\f(3,4))1＝eq\f(12,256)＝eq\f(3,64)，P(X＝40)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))×(eq\f(1,4))2×(eq\f(3,4))2＝eq\f(54,256)＝eq\f(27,128)，P(X＝100)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))×eq\f(1,4)×(eq\f(3,4))3＝eq\f(108,256)＝eq\f(27,64)，P(X＝160)＝Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))(eq\f(3,4))4×(eq\f(1,4))0＝eq\f(81,256).∴X的分布列为X－80－2040100160Peq\f(1,256)eq\f(3,64)eq\f(27,128)eq\f(27,64)eq\f(81,256)则E(X)＝(－80)×eq\f(1,256)＋(－20)×eq\f(3,64)＋40×eq\f(27,128)＋100×eq\f(27,64)＋160×eq\f(81,256)＝100.核心素养升级练13．解析：(1)这6个月MPV车型月度零售销量平均值为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(0.8＋0.2＋0.2＋0.3＋0.4＋0.4)≈0.38.故MPV月度零售销量超过eq\o(x,\s\up6(－))的月份为12月，4月，5月．所以从2024年12月至2024年5月中任选1个月份，该月MPV零售销量超过eq\o(x,\s\up6(－))的概率为eq\f(3,6)＝0.5.(2)从2024年1月至2024年5月，SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份有2个：3月和5月．所以X的全部可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)))＝eq\f(1,10)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)))＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)))＝eq\f(3,10).所以X的分布列为X012Peq\f(1,10)eq\f(3,5)eq\f(3,10)故X的数学期望E(