2025版新教材高中数学第二章直线和圆的方程2.5直线与圆圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系1课时作业新人教A版选择性必修第一册

第1课时直线与圆的位置关系(1)必备学问基础练进阶训练第一层1．直线kx＋y－2－3k＝0与圆x2＋y2－4x－5＝0的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．相交或相切2．[2024·江苏南通高二测试]直线3x＋4y＋5＝0与圆x2＋y2＝10相交于A，B两点，则AB的长等于()A．3B．4C．6D．13．从圆(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2，3)向圆引切线，则此切线的长是()A．eq\r(5)B．2C．eq\r(6)D．eq\r(13)4．[2024·江苏连云港高二测试]设a，b为实数，若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系是()A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．不能确定5．[2024·山东烟台高二检测]若直线ax＋by－1＝0与圆C：x2＋y2＝1相离，则过点P(a，b)的直线与圆C的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．不确定6．(多选)过点(1，4)且与圆(x＋1)2＋y2＝4相切的直线的方程为()A．x－1＝0B．y－4＝0C．3x－4y＋13＝0D．4x－3y＋8＝07．过点(3，2)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程是________________(用一般式表示).8．直线l与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相交于A，B两点，且A(0，1).若|AB|＝eq\r(2)，则直线l的斜率为________．关键实力综合练进阶训练其次层1．若圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5与直线l相切，且直线l与直线x－2y＝0垂直，则直线l的方程是()A．x＋2y＋2＝0或x＋2y－8＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x＋y＋1＝0或2x＋y－9＝0D．2x－y－5＝0或2x－y－5＝02．[2024·福建龙岩高二检测]已知直线y＝2x关于直线y＝x对称的直线l被圆x2＋y2－mx＋3＝0截得的弦长为eq\f(2\r(5),5)，则实数m的值为()A．4B．±4C．8D．±83．[2024·山东青岛二中高二检测]直线l：kx－y－1－2k＝0(k∈R)与圆C：x2＋y2＝5的公共点个数为()A．0个B．1个C．2个D．1个或2个4．已知直线l：x－y＋2＝0与圆C：x2＋y2－2y－2m＝0相离，则实数m的取值范围是()A．[－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)]B．(－∞，－eq\f(1,4))C．(－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4))D．(－eq\f(1,2)，＋∞)5．[2024·山东泰安高二检测]已知圆M：(x－2)2＋y2＝4内有点P(3，1)，则以点P为中点的圆M的弦所在直线方程为()A．x＋y－2＝0B．x－y－2＝0C．x＋y－4＝0D．x－y＋2＝06．[2024·新高考Ⅱ卷](多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是()A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切7．[2024·新高考Ⅱ卷]已知点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a的对称直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1存在公共点，则实数a的取值范围为________．8．[2024·山东青岛高二检测]若圆x2＋y2＝4上恰有三个点到直线l：y＝x＋a的距离为1，则实数a的值为________．9．[2024·河北邢台高二检测]已知圆C经过原点且与直线x－y－4＝0相切，圆心C在直线x＋y＝0上．(1)求圆C的方程；(2)已知直线l经过点(2，1)，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．10．在平面直角坐标系中，已知圆C的圆心是(0，1)，半径是1，直线l的方程为x－2y＋m＝0，点A(－1，0).(1)若l与圆C相切，求m的值；(2)若l经过点A，求直线l与圆的交点的坐标；(3)若过点A的直线l′截得圆C的弦长|MN|≥eq\r(3)，求l′的斜率的取值范围．核心素养升级练进阶训练第三层1．若直线l：x＋m(y－4)＝0与曲线x＝eq\r(4－y2)有两个交点，则实数m的取值范围是()A．0<m<eq\f(\r(3),3)B．0≤m<eq\f(\r(3),3)C．0<m≤eq\r(3)D．0≤m≤eq\r(3)2．[2024·山东烟台高二检测]在平面直角坐标系中，M，N分别是x轴和y轴上的动点，若以MN为直径的圆C与直线x＋2y－5＝0相切，则圆C面积的最小值为________．3．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R).(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程．第1课时直线与圆的位置关系(1)必备学问基础练1．答案：C解析：直线kx＋y－2－3k＝0即k(x－3)＋(y－2)＝0，过定点(3，2)，因为圆的方程为x2＋y2－4x－5＝0，则32＋22－4×3－5＝－4<0，所以点(3，2)在圆内，则直线与圆相交．故选C.2．答案：C解析：因为圆心(0，0)到直线3x＋4y＋5＝0的距离为d＝eq\f(5,\r(32＋42))＝1，所以|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(10－1)＝6.故选C.3．答案：B解析：设切点为Q，圆心为C，连接PQ，PC，CQ，则CQ⊥PQ，而|PQ|＝eq\r(|PC|2－1)＝eq\r(（2－1）2＋（3－1）2－1)＝2.故选B.4．答案：B解析：依据题意eq\f(1,\r(a2＋b2))<1，即a2＋b2>1，故点P(a，b)在圆外．故选B.5．答案：C解析：因为直线ax＋by－1＝0与圆C：x2＋y2＝1相离，所以圆心(0，0)到直线ax＋by－1＝0的距离大于半径，即eq\f(1,\r(a2＋b2))>1，所以a2＋b2<1，故点P(a，b)在圆内，所以过点P(a，b)的直线与圆C相交．故选C.6．答案：AC解析：设切线为l，圆心到切线的距离为d，圆的半径为r＝2.若l的斜率不存在，则直线方程为x＝1，圆心到直线的距离为d＝1－(－1)＝2＝r，满意题意；若l的斜率存在，设直线方程为y－4＝k(x－1)，即kx－y＋4－k＝0，因为直线与圆相切，所以d＝eq\f(|4－2k|,\r(k2＋1))＝r＝2，解得k＝eq\f(3,4)，所以切线方程为3x－4y＋13＝0.故选AC.7．答案：x＋y－5＝0解析：设切线方程为y－2＝k(x－3)，因为过点(3，2)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则(3，2)在圆上，切点与圆心连线的斜率k1＝eq\f(2,3－1)＝1，所以切线的斜率为k＝－1，则切线方程为y－2＝－1×(x－3)，化简得x＋y－5＝0.8．答案：±1解析：设直线l的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，圆心到直线l的距离为d，圆的半径r＝1，因为|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝eq\r(2)，所以d＝eq\f(\r(2),2)，由d＝eq\f(|k|,\r(k2＋1))＝eq\f(\r(2),2)，解得k＝±1.关键实力综合练1．答案：B解析：因为直线l与直线x－2y＝0垂直，所以设直线l的方程为2x＋y＋C＝0，又因为直线l与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，所以eq\f(|2×（－1）＋2＋C|,\r(22＋12))＝eq\r(5)，解得C＝5或C＝－5，所以直线l的方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.故选B.2．答案：B解析：因为直线y＝2x与直线y＝x的交点为(0，0)，所以直线l经过点(0，0)，取直线y＝2x上一点(1，2)关于y＝x对称的点为(2，1)在直线l上，所以kl＝eq\f(1,2)，所以l的直线方程为x－2y＝0，圆心(eq\f(m,2)，0)到直线x－2y＝0的距离为d＝eq\f(|m|,2\r(5))，圆的半径r＝eq\f(\r(m2－12),2)，所以(eq\f(|m|,2\r(5)))2＋(eq\f(\r(5),5))2＝(eq\f(\r(m2－12),2))2，解得m＝±4.故选B.3．答案：D解析：l：kx－y－1－2k＝0(k∈R)为k(x－2)－y－1＝0，故l过定点(2，－1)，在圆x2＋y2＝5上，故直线l与圆相切或相交，公共点个数为1个或2个．故选D.4．答案：C解析：由C：x2＋y2－2y－2m＝0⇒x2＋(y－1)2＝2m＋1>0，则m>－eq\f(1,2)，所以圆心为(0，1)，半径为eq\r(2m＋1)，由直线与圆相离，故eq\f(1,\r(2))>eq\r(2m＋1)，可得m<－eq\f(1,4)，综上，－eq\f(1,2)<m<－eq\f(1,4).故选C.5．答案：C解析：由圆M的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，可知圆心M(2，0)，半径r＝2，如图，连接MP，作MP的垂线，交圆M于A，B两点，以点P为中点的圆M的弦即为AB，∵kMP＝eq\f(1－0,3－2)＝1，MP⊥AB，∴kAB＝－eq\f(1,kMP)＝－1，所以直线AB的方程为y－1＝－1(x－3)，整理得x＋y－4＝0.故选C.6．答案：ABD解析：圆心C(0，0)到直线l的距离d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))，若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，直线l与圆C相切，故D正确．故选ABD.7．答案：[eq\f(1,3)，eq\f(3,2)]解析：A(－2，3)关于y＝a对称的点的坐标为A′(－2，2a－3)，B(0，a)在直线y＝a上，所以A′B所在直线即为直线l，所以直线l为y＝eq\f(a－3,－2)x＋a，即(a－3)x＋2y－2a＝0；圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝1，圆心C(－3，－2)，半径r＝1，依题意圆心到直线l的距离d＝eq\f(|－3（a－3）－4－2a|,\r(（a－3）2＋22))≤1，即(5－5a)2≤(a－3)2＋22，解得eq\f(1,3)≤a≤eq\f(3,2)，即a∈[eq\f(1,3)，eq\f(3,2)].8．答案：±eq\r(2)解析：由圆x2＋y2＝4可知圆心为(0，0)，半径为2，要使圆x2＋y2＝4上恰有三个点到直线l：y＝x＋a的距离为1，则圆心(0，0)到直线l：y＝x＋a的距离为1，所以eq\f(|0－0＋a|,\r(12＋（－1）2))＝1，解得a＝±eq\r(2).9．解析：(1)因为圆心C在直线x＋y＝0上，可设圆心为Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，－a))，则点C到直线x－y－4＝0的距离d＝eq\f(|2a－4|,\r(2))，|OC|＝eq\r(（－a）2＋a2).据题意，d＝|OC|，则eq\f(|2a－4|,\r(2))＝eq\r(（－a）2＋a2)，解得a＝1，所以圆心为C(1，－1)，半径r＝d＝eq\r(2)，则所求圆的方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2.(2)当弦长为2，则圆心到直线的距离为eq\r(r2－1)＝1.当k不存在时，直线x＝2符合题意；当k存在时，设直线方程为kx－y－2k＋1＝0，圆心到直线的距离为eq\f(|2－k|,\r(k2＋1))＝1，∴k＝eq\f(3,4)，∴直线方程为3x－4y－2＝0.综上所述，直线方程为x＝2或3x－4y－2＝0.10．解析：(1)圆C的方程为x2＋(y－1)2＝1.由题意知，圆心C到直线l的距离为d＝eq\f(|0－2×1＋m|,\r(12＋（－2）2))＝eq\f(|m－2|,\r(5))＝1，解得m＝2＋eq\r(5)或2－eq\r(5).(2)若直线l过点A，则m＝1，直线l的方程为x－2y＋1＝0，联立直线l与圆C的方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1＝0,x2＋（y－1）2＝1))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,5),y＝\f(1,5)))，即交点坐标分别为(1，1)，(－eq\f(3,5)，eq\f(1,5)).(3)设直线l′斜率为k，则直线l′的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.设圆心C到直线l′的距离为d′，有(d′)2＋(eq\f(|MN|,2))2＝1，因为|MN|≥eq\r(3)，所以d′≤eq\f(1,2)，即d′＝eq\f(|0－1＋k|,\r(12＋k2))＝eq\f(|k－1|,\r(k2＋1))≤eq\f(1,2)，解得eq\f(4－\r(7),3)≤k≤eq\f(4＋\r(7),3)，故l′的斜率的取值范围为[eq\f(4－\r(7),3)，eq\f(4＋\r(7),3)].核心素养升级练1．答案：B解析：x＝eq\r(4－y2)表示的曲线是圆心为(0，0)，半径为2的圆在y轴以及右侧的部分，如图所示：直线l：x＋m(y－4)＝0必过定点(0，4)，当直线l与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，即eq\f(|－4m|,\r(1＋m2))＝2，结合直线与半圆相切可得m＝eq\f(\r(3),3)，当直线l