第二讲 探索轴对称的性质(提升训练)(解析版)

第二讲探索轴对称的性质

一、单选题

1.如图，在四边形A8C。中，请在所给的图形中进行操作：□作点”关于8。的对称点P：□作射线PC交

BD于点。；口连接AQ.试用所作图形进行判断，下列选项中正确的是()

A.NPCB=ZAQBB.ZPCB<ZAQB

C.ZPCB>ZAQBD.以上三种情况都有可能

【答案】C

【分析】

利用轴对称的性质以及三角形的外角的性质证明即可.

【详解】

解：如图，

匚4,P关于8。对称，

AQBEPQB,

OLPCB>UPQB,

PCB>「AQB,

故选：C.

【点睛】

本题考查作图-轴对■称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

2.如图，长方形纸片A8C。，将NCBD沿对角线3。折叠得NC'8。，C'B和A。相交于点E,将NABE

沿5E折叠得NA'BO,若NA'6O=a,则NC8O度数为()

c

。+

A.45°+aB.605C.300+f>15。+?

【答案】C

【分析】

设CBD=p,根据折叠可得C'BD=p,A'BE=p-a,依据ABC=ABE+EBD+CBD=90°,即可得

到!C8£）的度数.

【详解】

解：设UCBD=d则C'BD=p,

NA'6O=a,

□匚A'BE=8-a,

由折叠可得，

ABC=ABE+EBD+「CBD=90°,

£-a+£+产=90。,

£=30°+。,

故选C.

【点睛】

本题主要考查了折叠问题，折叠是•种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置

变化，对应边和对应角相等.

3.2021年1月1日起，三明市全面铺开市区生活垃圾分类工作，分门别类打造适合三明实际的生活垃圾分

类处置体系.将垃圾分为可回收物、厨余垃圾（含餐厨垃圾）、有害垃圾、其他垃圾.以下图标是几类垃圾

的标志，其中轴对称图形的是（）

OOc图d

【答案】A

【分析】

根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【详解】

解：A、是轴对称图形说法正确，符合题意；

B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；

C'不是轴对称图形，故本选项不合题意；

D、不是轴对称图形，故本选项不合题意.

故选：A.

【点睛】

本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

4.如图「是长方形纸带，口。茗=58。，将纸带沿E尸折叠成图1,再沿GE折叠成图二，则图口中口。后尸的度

数是（）

A.4°B.6°C.10°D.12°

【答案】B

【分析】

根据两条直线平行，内错角相等，贝州/所=口6£=58。，根据平角定义，则图口中的DEG=64°,进一步求

得图口中HGEO=64。，进而求得图中的OEF的度数.

【详解】

解：口/£>BC,nCFE=5S°,

QQAEF=JCFE=5S°,JDEF=[22°,

□图匚中的E1GEF=58°,□£)£G=180°-2x58°=64°,

图匚中□GEF=58°,

图中D£T=64°-58O=6°.

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了根据折叠发现相等的角，同时运用了平行线的性质和平角定义.

5.下列图案中是轴对称图形的有（）

尊雄e⑥

【答案】D

【分析】

根据轴对称图形的定义判断即可；

【详解】

A是中心对称图形，不符合题意，

B不是轴对称，不符合题意；

C不是轴对称图形，不符合题意；

D是轴对称图形，符合题意；

故答案选D.

【点睛】

本题主要考查了轴对称图形的判定，准确分析判断是解题的关键.

6.若经过点（2,1）的直线机与y轴平行，则点4（4,3）关于直线机对称的点的坐标为（）

A.（0,3）B.（4,-3）C.（-4,3）D.（-2,3）

【答案】A

【分析】

根据点A关于直线尸2对称的点与点A的连线平行于x轴，因而纵坐标相同，横坐标的平均数是2,继而

求解.

【详解】

解：过（2,1）作y轴的平行线加，即直线机为直线尸2,

点,4（4,3）,关于直线尸2对称的点与点/的连线平行于x轴，因而纵坐标相同，横坐标的平均数是2,

对称点坐标是（0,3）.

故选:A.

【点睛】

本题考查了直线对称点的坐标性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律，进行解题.

7.在下列四个图案的设计中，没有运用轴对称知识的是（）

A.

【答案】C

【分析】

直接利用轴对称图形的定义得出符合题意的答案.

故此选项错误;

故此选项错误;

【点睛】

本题考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题的关键.

8.下列四个图案中，不是轴对称图形的是（）

A.©

【答案】c

【分析】

根据轴对称的概念对各选项分析判断即可求解.

【详解】

解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；

B、是轴对称图形，故本选项不合题意：

C'不是轴对称图形，故本选项符合题意；

D、是轴对称图形，故本选项不合题意.

故选：C.

【点睛】

本题考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

9.如图，口43。，点O,E在8c边上，点尸在AC边上.将口/18。沿AD折叠，恰好与DAEO重合,

将ACEF沿EF折叠，恰好与A4EF重合.下列结论：

匚ZB=60°DAB=ECUAD=AF口DE=EF□ZB=2ZC

正确的个数有（）

A

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】A

【分析】

将ABD沿着AD翻折，可得AB=AE,B=UAEB,将UCEF沿着EF翻折，可得AE=CE,C=LCAE,

可得口B=2nC.

【详解】

解：□将DABD沿着AD翻折，使点B和点E重合，

AB=AE,B=AEB,

将CEF沿着EF翻折，点C恰与点A重合,

匚AE=CE,EC=nCAE,

匚AB=EC,UU正确；

AEB=DC+CAE=2EIC,

□CB=2aC,

故正确；其余的都无法推导得出，

故选：A.

【点睛】

本题考查翻折变换，三角形外角性质等知识，掌握旋转的性质是本题的关键.

10.下列命题正确的是（）

A.全等三角形的对应边相等B.面积相等的两个三角形全等

C.两个全等三角形一定成轴对称D,所有等腰三角形都只有一条对称轴

【答案】A

【分析】

分别利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质判断得出即可.

【详解】

解：A、全等三角形的对应边相等，是真命题；

B、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；

C、两个全等三角形不一定成轴对称，原命题是假命题；

D、所有等腰三角形不一定都只有一条对称轴，如等边三角形有三条对称轴，原命题是假命题；

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了命题与定理，熟练掌握几何性质与判定是解题的关键.

11.如图，长方形ABCO沿直线EF、EG折叠后，点A和点D分别落在直线1上的点A'和点处，若

Nl=30°,贝UN2的度数为（）

//

AEjD

•..................f

BD'ig……C

A.30°B.60°C.50°D.55°

【答案】B

【分析】

根据折叠的性质得到：AEF=Z1=3O°,ND，EG=N2,根据乙4七/+/1+/。'石6+/2=180°得到

2(N1+N2)=18O。，即可求出答案.

【详解】

解：由折叠得：AEF=N1=3()。，ZD'EG=Z2,

ZAEF+Z1+ZD'EG+N2=180°,

2(Z1+Z2)=18O°,

Z2=60°

故选:B.

【点睛】

此题考查折叠的性质，平角有关的计算，正确理解折叠性质得到口AEF=Nl=30°，NO'EG=N2是解题

的关键.

12.如图，在SJABC纸片中，AB=9cm,BC=5cm,AC=7cm,沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落

在AB边上的点E处，折痕为BD,则匚ADE的周长为是()

A.9cmB.11cmC.12cmD.14cm

【答案】B

【分析】

根据折叠的性质得到：DE=CD,BE=BC=5cm,求出AE=4cm,根据ADE的周长为AD+DE+AE=AC+AE

代入数值计算即可得解.

【详解】

由折叠得：DE=CD,BE=BC=5cm,

AB=9cm,

AE=AB-BE=9cm-5cm=4cm,

ADE的周长为AD+DE+AE=AC+AE=7cm+4cm=11cm,

故选：B.

【点睛】

此题考查折叠的性质：折叠前后对应边相等，iE确理解折叠的性质是解题的关键.

13.北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】

根据轴对称图形的概念对各图案逐•进行判断即可得答案.

【详解】

第一个图案是轴对称图形，

第二个图案不是轴对称图形，

第三个图案是轴对称图形，

第四个图案不是轴对称图形，

综上所述：是轴对称图形的图案有2个，

故选：B.

【点睛】

本题考查轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠，对称轴两边的图形能够

完全重合；熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键.

14.下列图案是轴对称图形的是有（）

【答案】C

【分析】

根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【详解】

解：□是轴对称图形，不是轴对称图形，不是轴对称图形，是轴对称图形.

故选：C.

【点睛】

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

15.如图，口人⑶。与4G关于直线对称，点P为MN上任一点，下列结论中错误的是（）

A.口44,「是等腰三角形B.垂直平分A4,

C.DABC与△A3C面积相等D.直线A8,A片的交点不一定在上

【答案】D

【分析】

据对称轴的定义，ABC与△A4G关丁,直线MN对称，P为MN上任意一点，可以判断出图中各点或线

段之间的关系.

【详解】

解：ABC与/XAgG关于直线MN对称，P为MN上任意一点，

AAP是等腰三角形，MN垂直平分AA，CC,,这两个三角形的面积相等，故A、B、C选项正确,

直线AB,A4关于直线MN对称，因此交点一定在MN上，故D错误，

故选：D.

【点睛】

本题考查了轴对称的性质与运用，掌握对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个

对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等是解题的关键.

16.如图，口ABC与口A'B'C'关于直线MN对称，P为MN上任一点（A,P,A'不共线），下列结论

中不正确的是（)

A.AP=A'PB.MN垂直平分线段AA'

C.[JABC与口A'B'C'面积相等D.直线AB,A'B'的交点不一定在直线MN上

【答案】D

【分析】

利用轴对称的性质解答.

【详解】

解：•.•□ABC与VA0C关于直线MN对称，P为MN匕任意一点，

MN垂直平分A4',

AP=A'PEABC与V4*C面积相等，故A，B.C选项不符合题意；

直线AB，45'关于直线MN时称，因此交点一定在MN匕故D选项符合题意，

故选：D.

【点睛】

此题考查轴对称的性质：轴对称图形的时应角相等，对应边相等，轴对称的三角形全等由此面积相等.

17.如图，在DAbC中，AB>AC,AD平分N8AC,交BC于点D.若BC=7,DC=2,则AB-AC

的值可能是（）

A.7B.721C.3D.6

【答案】B

【分析】

将4OC沿4Q翻折，使点C落在48边上E点，根据三角形三边关系可确定AB-AC的取值范围，然后判

断即可.

【详解】

解：将UZOC沿/。翻折，使点C落在ZB边上E点,

由翻折可知，AB-AC=BE,

BC=1,DC=2,

BD=5,DE=2,

3<BE<7,

四个选项中，只有旧满足条件，

故选：B.

【点睛】

本题考查了轴对称的性质和三角形三边关系，解题关键是通过翻折，转换已知条件，利用三角形三边关系

求解.

18.将长为2、宽为a（a大于1且小于2）的长方形纸片按如图□所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等

于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图」所示的方式折叠并压平，剪下个边长等

于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第n次操作后，剩下的长方形恰

为正方形，则操作终止.当n=3时，a的值为（）

【答案】B

【分析】

经过第一次操作可知剩下的长方形•边长为a,另边长为2-a；若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正

方形，则所以剩下的长方形的两边分别为2-a、a-（2-a）=2a-2；根据第2次剩下的长方形分两种情

况讨论，若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，由此可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出

结论.

【详解】

解：第1次操作，剪下的正方形边长为a,剩下的长方形的长宽分别为a、2-a,由lVa<2,得a>2-a；

第2次操作，剪下的正方形边长为2-a,所以剩下的长方形的两边分别为2-a、a-(2-a)=2a-2,

4

匚当2a-2<2-a,即a<—时，

3

则第3次操作时，剪下的正方形边长为2a-2,剩下的长方形的两边分别为2a-2、(2-a)-(2a-2)=4

-3a,则2a-2=4-3a,解得a=1.2；

4

2a-2>2-a,即a>一时

3

则第3次操作时，剪下的正方形边长为2-a,剩下的长方形的两边分别为2-a、(2a-2)-(2-a)=3a

-4,贝ij2-a=3a-4,解得a=1.5.

故选：B.

【点睛】

本题考查数式规律、图形规律、一元一次方程等知识，其中涉及分类讨论法思想，综合性较强，有点难度，

认真审题寻找规律，掌握相关知识是解题的关键.

19.如图，在锐角UZ8C中，LJACB=50°；边力8上有一定点P,M、N分别是ZC和8c边上的动点，当L1EVW

的周长最小时，口的度数是()

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】D

【分析】

根据轴对称的性质作PDAC于点E,PGBC于点F,连接DG交AC、BC丁点M、N,连接MP、NP,

得到UPMN,由此解答.

【详解】

解：过点P作PDLAC于点E,PGBC于点F,连接DG交AC、BC于点M、N,连接MP、NP,

PDAC,PGBC,

□UPEC=PFC=90°,

□□C+L£PF=180°,

rc=50°,

□C£>+DG4-a£PF=180o,

£H-QG=50°,

由对称可知：HG=1GPMD=\DPM,

□□GPN+□。尸M=50。，

□UMPN=130。-50。=80°,

故选：D.

【点睛】

此题考查最短路径问题，根据题意首先作出对称点，连接对称点得到符合题意的三角形，再根据轴对称的

性质解答，正确掌握最短路径问题的解答思路是解题的关键.

20.如图，等边AA3C的边A8=8,。是A3上一点，BD=3,P是AC边上一动点，将AAQP沿直

线OP折叠，A的对应点为4,则CA的长度最小值是（）

A.4追一6B.2C.473-276D.3

【答案】B

【分析】

作C"_LAB于〃，再由等边三角形性质，利用勾股定理计算出CP=7,再根据在口C4'。中,

A'D+CA'>DC,得到当点4在PC上时，CA'的值最小即可解答.

【详解】

解：作SLAB于"，如图，

BH=4,

CH=^BC'+BH-=V82-42=4有,

BD=3,

HD=1，AO=5,

在RfAC"。中，CD=«4回=7,

•/将AADP沿直线DP折叠，A的对应点为A'，,

A'D=AD=5,

一在口CA'。中，A'D+CA'>DC,即5+CA后7,

CA'>2,即当点A'在PC上时，CA的值最小，值为2.

故选：B.

【点睛】

本题考查了线段最小值的问题，涉及了等边三角形性质、勾股定理、折叠的性质.解决本题的关键是利用

三角形两边之和大于第三.边，从而确定A在PC上时C4'的长度最小.

21.如图，直线EF分别交平行四边形/8CZ)边/8、CQ于直E、F,将图形沿直线EF对折，点4。分别

落在点4、。处.若山1=60。，AD=4,AB=S,当点⑷落在8c边上任意点时，设点尸为直线E尸上的动点,

请直接写出尸C+RI'的最小值()

【答案】D

【分析】

连接AC交EF于P',连接PA,作CHAB交AB的延长线于H.因为A、A，关于直线EF对称，推出PA，=P，A,

推出P，A，+P，C=PA+PC=AC,推出当点P与产重合时，PA4PC的值最小，最小值=AC的长；

【详解】

如图，连接AC交EF于P，，连接PA，，作CHDAB交AB的延长线于H.

A、A，关于直线EF对称，

「P'A'=P'A,

匚PA，+P，C=P，A+P，C=AC,

L当点P与P，重合时，PA-+PC的值最小，最小值=AC的长.

在RtBCH中，BC=4,JCBH=60°,

BH=2,CH=2yfj,

AH=AB+BH=10,

在RtACH中，AC=y/AH2+CH2=7102+(273)2=477.

PC+PA'的最小值为4。

故选：D.

【点睛】

本题考查解直角三角形、轴对称最短路径问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角

形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题.

22.如图，将图一中的等腰直角三角形纸片/8C,依次沿着折痕翻折,得到图二中的五边形/OEGF.若

图二中，OEGEG,点。，9恰好都是线段Z）尸的三等分点，GC交EB旺点、0,EG=4j，-2,则等腰直角

三角形N8C的斜边8c的长为（）

A.472+6B.4&-6C.80+4D.8-4夜

【答案】A

【分析】

由题意根据折叠得FC=FC,DB=DB\C=1FC,G=45°,进而得出四边形CFCG是菱形，设DC=x,

表示其它的边长，在等腰直角三角形中，利用边角关系，表示边长，然后在等腰直角三角形ABC中，依据

边角关系，距离方程求出未知数，进而求出斜边BC的长.

【详解】

CCFCG=DC,GE=OC=45°,

CGUAC,

四边形CFCG是菱形，

匚CF=FC=CG=GC,

同理：BE=BD=DBf=EB',

设DC'=x,则DF=3x,BE=CG=2x,

在等腰直角三角形ADF中，AF=AD=Y2DF=£2X，

22

ACAK-L-C^3V2o3A/2+4

AC=AF+FC=----x+2x=-------x，

22

在在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=、WBC,

2

^^x二旦（4X+40-2）,

22

解得:x=2,

BC=4x+4y/2-2=40+6.

故选：A.

【点睛】

本题考查折叠对称的性质、等腰直角三角形的性质、菱形的性质和判定等，设未知数，依据等腰直角三角

形的特殊的边角关系，表示边角，建立方程求出结果，并设置参数，继续列出方程是解题的关键.

23.如图，AA3E与ACOE是两个全等的等边三角形，EA1ED,下列结论不正确的是（）

A.ZEBC=25°B.直线E8垂直平分CO

C.AD//BCD.四边形ABC。是轴对称图形

【答案】A

【分析】

根据\ABE与NCDE是两个集等的等边三角形，可得到AE=ED,BE=CE,

ZBAE=ABE=ZAEB=NEDC=ZDCE=ZDEC=60°，然后结合EA，EO，先计算出NEBC的大

小，便可计算出NEBC的大小，从而判定出AD与BC的位置关系及BE与DC的关系，同时也由于口人七。

与△5EC是等腰三角形，也容易确定四边形ABCD的对称性.

【详解】

（1）A48E与ACOE是两个全等的等边三角形

AE=ED,BE=CE,NBAE=/ABE=ZAEB=NEDC=ZDCE=/DEC=60°

NEBC=ECB

EAVED

ZAED=90°

ZBEC=360°—90°-60°x2=150°，ZEAD=NEDA=45°

ZEBC=ZECB=((180"—NBEC)=15。,所以选项A错误；

(2)由(1)得：ZABC=ZABE+ZEBC=6C)+15°=75°

ABAD=ZBAE+ZDAE=600+45°=105°

ZABC+ZBAD=75°+105°=180°

AD//BC,所以选项C正确；

(3)延长BE交CD于点F,连接BD.

ZEBC=NECB=15°,ZECD=60°

NBC。=75°

ZBFC=180°-75°-15°=90°

BFLCD

即BE1CD

ABED=180°-ZCED-NBEC=360°—60°-150°=150°=NBEC

在［JEBC与△E3O中

BE=BE

<NBEC=/BED

CE=DE

GEBC^EBD

BC=BD

DF=CF,综上，BE垂直平分CD,所以答案B正确；

(4)过E作MN_LAO,由AD//8C得MNLBC

而AADE和A8EC是等腰三角形，则MN垂直平分AD、BC,所以四边形ABCD是釉对称图形，所以选

项B正确.

故选：A

【点睛】

本题考查的知识点主要是等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定及其轴对称图

形的定义，添加辅助线构造全等三角形是本题的难点.

24.如图所示，NMON=45。，点、p为NMON内一点、，点P关于OM、ON对称的对称点分别为点片、P2,

连接OP、OP].PR、PP?、P}P2,片£分别与OM、ON交于点AB,连接AP、BP,则NAPS的度数

为（）

A.45°B.90°C.135°D.150°

【答案】B

【分析】

由NMON=45。，根据三角形的内角和定理可得到NOAB+NOBA的值，再根据对顶角相等u]■以求出

NqAM+N^BN的值，然后由点P与点q、鸟对称的特点，求出NM4P+NN8P,进而可以求出

NPAB+NPB4的值，最后利用三角形的内角和定理即可求出NAPB.

【详解】

AMON=45°

ZOAB+ZOBA=180'一ZMON=180'—45°=135°

ZF^AM=ZOAB,4PlBN=4OBA

4AM+N£BN=135°

又点P关于。用、ON对称的对称点分别为点6、R,

ZMAP=ZF^AM.ANBP=^P2BN

NM4P+NgP=135°

ZPAB+ZPBA=360°—135°x2=90°

NAPB=180°-(ZPAB+NPBA)=180°-90°=90°

故选：B

【点睛】

本题考查的知识点有三角形的内角和、轴对称的性质，运用这些性质找到相等的角进行角的和差的转化是

解题的关键.

25.如图，在ABC中，AB=AC,DBAC=54O,C1BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将“沿

EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则DOEC的度数为（）

A

A.1200B.108°C.110°D.102°

【答案】B

【分析】

连接OB、OC,根据角平分线的定义求出BAO,根据等腰三角形两底角相等求出ABC,再根据线段垂直

平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB,根据等边对等角可得ABO=：1BAO,再求出OBC,

然后判断出点O是；ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC,再根据等边对等角求出

OCB=OBC,根据翻折的性质可得OE=CE,然后根据等边对等角求出DCOE,再利用三角形的内角和定

理列式计算即可得解.

【详解】

解：如图，连接OB、OC,

匚匚BAC=54。，AO为EJBAC的平分线，

11

BAO=-BAC=-x54°=27°,

22

又LAB=AC,

ABC=-(1800-BAC)=-(180°-54°)=63°,

22

DO是AB的垂宜平分线，

OA=OB,

□LABO=aBAO=27°,

OBC=ABC-LABO=63°-27°=36°,

AO为BAC的平分线，AB=AC,

AOBAOC(SAS),

匚OB=OC,

点O在BC的垂直平分线上，

又匚DO是AB的垂直平分线，

匚点O是ABC的外心，

OCB=OBC=36°,

匚将匚ACB沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点。恰好重合，

匚OE=CE,

COE=OCB=36°,

在OCE中，OEC=180°-COE-OCB=180°-36°-36°=108°；

故选：B.

【点睛】

本题考查了翻折变换的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合

一的性质，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键.

26.如图，AOB=30°,OC为UAOB内部一条射线，点P为射线OC上一点，OP=6,点M、N分别为

OA、OB边上动点，则DMNP周长的最小值为（）

A.3B.6C.30D.6邪）

【答案】B

【分析】

作点P关于OA的对称点Pi,点P关于OB的对称点P2,连结P1P2,与OA的交点即为点M,与OB的交点

即为点N,则此时M、N符合题意，求出线段P1P2的长即可.

【详解】

解：作点P关于OA的对称点Pi,点P关于OB的对称点P2,连结P1P2,与0A的交点即为点M,与OB的

匚MNP的最小周长为P.

M+MN+PN=PIM+MN+P2N=P1P2,即为线段P1P2的长，

连结OPi、OP2,则OPI=OP2=6,

又PIOP2=2LAOB=60,

OP1P2是等边三角形，

PIP2=OPI=6,

即［MNP的周长的最小值是6.

故选：B.

【点睛】

本题考查等边三角形的性质和的判定以及轴对称-最短路线问题的应用，解题的关键是确定M、N的位置.

27.如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别是边AC、BC上两点.将匚ABC沿DE翻折，点C正好落在

线段AB上的点F处，使得AF:BF=2:3.若BE=16,则点F到BC边的距离是（）

BE

A.8上B.12A/3c.D.

22

【答案】D

【分析】

作EMAB于M,作FGBC于G,由等边三角形的性质和直角三角形的性质求出BM=：BE=8,ME=^

3

BM=8g，由折叠的性质得出FE=CE,设FE=CE=x,贝AB=BC=16+x,得出BF=g(16+x)，求出

3

FM=BF-BM=-(16+x)-8,在RtDEFM中，由勾股定理得出方程，求出CE,进而得到BF的长，然后利

用面积相等，即可求出FG的长.

【详解】

解：作EMAB于M,作FGBC于G,如图所示：

/

BGEC

匚匚ABC是等边三角形，

CBC=AB,EB=60°,

EMAB,

BEM=30。，

BM=；BE=8,ME=75BM=86，

由折叠的性质得：FE=CE,设FE=CE=x,

则AB=BC=16+x,

AF：BF=2：3,

3

BF=-(16+x),

338

FM=BF-BM=-(16+X)-8=-X+-,

在RtEFM中，由勾股定理得：(86)2+(y3X+81)2=x2,

解得：x=得,或x=-16(舍去)，

33

CE=19,BF=-(16+X)=-X(16+19)=21；

在LBEF中，有

=LBF・ME=>BE・FG,

22

“21X8>/3216

162

即点F到BC的距离为空1：

2

故选择：D.

【点睛】

本题考查了翻折变换的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变

换和等边三角形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键.

28.如图，在DABC中，06=32°,将DABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则口1-口2的度数是()

【答案】B

【分析】

此题涉及的知识点是三角形的翻折问题，根据翻折后的图形相等关系，利用三角形全等的性质得到角的关

系，然后利用等量代换思想就可以得到答案

【详解】

如图，在DABC中，口3=32。，将iABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置

・・・B=D=32°BEH=EDEH

・・・1=180°-BEH-DEH=180°-2DEH

・・・2=180°-D-DEH-EHF

=180°-B-DEH-(B+LBEH)

=180°-B-DEH-(B+DEH)

=180。-32。-DEH-320-DEH

=180°-64°-2DEH

A1-2=180°-2DEH-(180°-64°-2DEH)

=180°-2DEH-180o+64o+2DEH

=64°

故选B

【点睛】

此题重点考察学生对图形翻折问题的实际应用能力，等量代换是解本题的关键

29.如图，一张长方形纸沿力8对折，以48中点。为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿C。

剪开，使展开后为正五角星(正五边形对角线所构成的图形).则OC。等于(

【答案】C

【分析】

按照如图所示的方法折叠，剪开，把相关字母标上，易得JOQC和OOC的度数，利用三角形的内角和定理可得

oc。的度数.

【详解】

解:展开如图，五角星的每个角的度数是,

180

——=36°.

5

LLCO£>=360°-10=36°,ODC=36°+2=18°,

OC£>=180°-36°-18°=126°,故选CD

【点睛】

本题主要考查轴对称性质,解决本题的关键是能够理解所求的角是五角星的哪个角，解题时可以结合正五边

形的性质解决.

30.如图，□408=30。，DAOB内有一定点P,且。尸=12,在OA上有一动点Q,OB上有一动点R.若

DPQR周长最小，则最小周长是（）

A.6B.12C.16D.20

【答案】B

【详解】

作点P关于的对称点点E,点P关于OB的对称点点F,连接EF分别交OA于点Q,交OB于点R,连

=接OEQOF

PE关于0/对称，OE=OP=\2\UEOA=UAOPQE=QP

同理.可证O尸=0F=12BOP=BOFRP=RF

OE=OF=\2V\EOF=EOP+FOP=2J05=60°

□LOE尸是等边三角形，

匚EF=12匚

CPQR=PQ+PR+QR=EQ+QR+RF=EF=12.

故选B.

点睛：本题关键在于利用轴对称的性质确定尸。火周长最小时点。R的位置，再结合等边三角形的判定求

出匚PQR的周长.

31.如图，EiAOB=60。，点P是口AOB内的定点且OP=JL若点MEIN分别是射线OA匚0B上异于点。的

动点,则DPMN周长的最小值是（）

A.B.C.6D.3

22

【答案】D

【解析】

分析：作P点分别关于OAOB的对称点C」D,连接CD分别交OAOB于MN,如图，利用轴对称的

性质得MP=MCNP=NDOP=OD=OC=gBOP=BODAOP=AOC,所以COD=2AOB=120°,

利用两点之间线段最短判断此时PMN周长最小，作OHDCD『H,则CH=DH,然后利用含30度的直角

三角形三边的关系计算出CD即可.

详解：作P点分别关于OAOB的对称点CD,连接CD分别交OAOB于MN,如图，

则MP=MCNP=ND0P=0D=0C=6BOP-BODAOP=AOC

PN+PM+MN=ND+MN+MC=DCCOD=BOP+BOD+AOP+AOC=2：AOB=120°L

匚此时IZPMN周长最小，

作OHCCD于H,则CH=DHJ

OCH=30°

OH」OC法

22

CH=V30H=|,

CD=2CH=3

点睛：本题考查了轴对•称-最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最

短问题.

二、填空题

32.如图1是长方形纸带，ZDEF=19°,将纸带沿EF折叠成图2,再沿8尸折叠成图3,则图3中的NCbE

的度数是度.

图1图2图3

【答案】123

【分析】

由题意根据折叠的性质可得EFB=19°,图2中根据平行线的性质可得GA>142。，图3中根据角

的和差关系可得CFE=GFC-QEFG.

【详解】

解：ADHBC,

DEF=EFB=\90,

在图2中，UGFC=180°-UFG£>=180°-2UEFG=142°,

在图3中，nCfE=GFC-EFG=123°.

故答案为：123.

【点睛】

本题考查平行线的性质，图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是•种对称变换，它属于轴对称，根据

轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变.

33.如图，把一张长方形的纸条按图那样折叠后，B.C两点落在5',C'点处，若得NB'OG=56。，则

□AOB'余角的度数为°,

【分析】

根据折叠的性质计算即可：

【详解】

由折叠的性质可知：Z.B'OG=乙BOG=56°,

2A0B'+AB'OG+NBOG=180°,

AAOB'=180°-AB'OG-ABOG=68°,

AOB'余角的度数=90°-68°=22°；

故答案是22.

【点睛】

本题主要考查了折叠的性质应用，结合余角的性质求解是解题的关键.

34.如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点/落在尸处，折痕为8c.作□尸8。的平分线8E,贝IJDCBE

的度数为现将口必。沿8F折叠使8E、8。落在的内部，且折叠后的8E交CF于点BD交CF

于点N,若BN平分UCBM,则；N8C的度数为.

【答案】90°67.5°

【分析】

由折叠知/8C=FBC=；ABF,由8E平分FBD知FBE=gFBD,由ABF+阳£)=180°可得答

案；设DBE=EBF=x.根据折叠的性质构建方程求出x,即可解决问题.

【详解】

解：由折叠知N8C=匚ABF,

8E平分□尸

FBE=—FBD,

2

口匚48尸+必0=180。，

—ABF+—FBD=90°,即FBC+FBE=90°,

22

QCCBE=90°,

如图,TS.DDBE=[EBF=X.

FBD'是由FBD沿BF翻折得到,

匚\JMBF=-MBN=x,

□BN平分DCBM,

CBN=>MBN=x,

□□CSF=3x,

口C8尸是由3C8/翻折得到,

□□N8C=UC"=3x,

ABF+尸8。=180°,

□8x=180°,

LX=22.5°,

/8C=3x=67.5°,

故答案为：90°,67.5°.

【点睛】

本题考查了角的计算，理解角平分线的定义，折叠的意义，是解题关键.

35.如图，在RtaABC中，NC=90°,N8=60°,点。在BC边上，CD=3,将口ABC沿直线AD

翻折，使点。落在边上的点E处，若点尸是直线4。上的动点，则△P8E的周长的最小值是.

【答案】3+3陋

【分析】

根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时口8尸石的周长最小，最小值

是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE,先求出BC和长，代入求出即可.

【详解】

解：由题E,。关于AD对称，

出当P和D重合时，PE+8P的值最小，最小值为8C,

c-=(PE+PB*+BE=BE+CD+DB=BC+BE

翻折，

ED=CD=3,ZAED=ZACD=9Q0,

在区1/\8。5中/3=60。，

BE:ED:BD=T：6：2,

BE=£，80=26，

GpBEmin=BE+BD+CD=3+3y[i.

故答案为：3+36

【点睛】

本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称之最短路线问题，含30度角的直角三角形性质的应用，关

键是求出P点的位置.

36.如图，在长方形纸片ABCD中，点E在边AD上，点F,G分别在边AB,CD上，分别以EF,EG为

折痕进行折叠并压平，点A,D的对应点分别是点4,若E。'平分NFEG,且££）'在NA'ER内部,

设ZA'ED'=n°,则ZFEG的度数为__________.（用含n的代数式表示）

4ED

…,180°-n°

［答案］---

2

【分析】

结合图形，先表示出的度数，再根据FEG=\A'EF+\D'EG+/EO求解可得.

【详解】

解：口口力"，DED'-V\A'ED'=\W°,匚A，ED=t。,

AEA'+DED'=\^0°+n°,

U2CA'EF^QAEA',IQD'EG=QDED',

180。+〃。

AEF+D'EG=--------,

2

180°+〃°。180°—〃°

FEG=A'EF+D'EG-A'ED'=----------n°=

22

【点睛】

考查了翻折变换（折叠问题），解题的关键是掌握翻折变换的性质、角度的和差倍分运算等知识点.

37.如图，在DABC中，AB=AC,。是边的中点，E尸垂直平分AB边，动点P在直线EF上,

若3c=12,5AABC=84,则线段PB+PD的最小值为

【答案】14

【分析】

根据三角形的面积公式得到AD=14,由EF垂直平分AB,得到点A,B关于宜线EF对称，于是得到AD的

长度=PB+PD的最小值，即可得到结论.

【详解】

解：AB=AC,D是BC中点，

ADBC,

又BC=12,SABC=84,

—X12XAD=84,

2

CAD=14,

EF垂直平分AB,

PA=PB,

□PB+PD=PA+PD,

□当A,P,D在同一直线上时，PB+PD=PA+PD=AD,

即AD的长度=PB+PD的最小值，

PB+PD的最小值为14,

故答案为：14.

【点睛】

本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，凡是涉及最短距离的问

题，•般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.

38.如图，在RD/BC中，山1(78=90。，AB=5,BC=3.若点D是4B边上任意一点,且不与点工、8重

合，连接CD将JBCD沿着所在的直线翻折,使得点8落在点Q处，连接4夕,则月"的最小值为.

【答案】1

【分析】

根据题意可分析得出B'C的长度固定，要使得A5'的值最小，则使得A9+&C的值最小即可，然后根据“两

点之间，线段最短“可知当/、8'、C三点共线时，A3'最小，即可求解.

【详解】

在RtN8C中，根据勾股定理可得：AC7AB2-BC?=4,由对称性可知：BC=B'C=3,

B'C的长度固定，

当AB'+5'C的值最小时，A5'的值最小，根据“两点之间，线段最短“可知当"、B'、C三点共线时，AB'

最小，

AB'=AC-B'C=4-3=\.

【点睛】

本题考查三角形的翻折问题，能够根据题意准确分析并转换最短时所求线段的值是解题关键.

39.如