函数概念的综合应用（教学设计） (人教A版2019 必修第一册)

《3.1.1函数的概念》教学设计

第2课时

■教材缱

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版(2019)第三章《函数的概

念与性质》的第一节《函数的概念及其表示》(第二课时)。

教材通过具体的例子介绍了区间的概念，通过同一函数的概念加深学生对函数的理

解，会求函数的定义域、值域.

借助第一课时的理论依据得到同一函数的概念，通过例子让学生掌握函数定义域，

函数值的求法，强化学生的数学运算、数学抽象、数据分析的核心素养.

情

学生在第一课时已经学习过函数的概念，并对函数的概念有了深刻的理解。在此基

础上让学生理解函数的三要素、判断两个函数相等，求函数的定义域及值域相对好理解，但

是抽象函数的定义域对学生是一个考验。

习目

1.理解区间的概念，并会用区间表示集合。

2.函数的三要素：定义域、对应法则及值域。

3.掌握判定函数和函数相等的方法。

4.学会求函数的定义域与函数值。

,四、教学重又/

重点：理解函数的三要素：定义域、对应法则及值域，会求函数的定义域与函数值，在

此过程中培养学生的数学抽象、数据分析、数学运算的素养。

难点：进一步理解函数的对应关系/体会函数相等的概念。

五、教学过程

（一）新知导入

1.创设情境，生成问题

设计运行时速高达350公里的京津城际列车呈现出超越世界的

“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200公里/时与350

公里/时之间.

【想一想】1.如何表示列车的运行速度的范围？

【提示】我们已学习不等式、集合知识，所以用不等式可表示为200＜。＜350,

用集合可表示为{研200＜。＜350}.

2.还可以用其他形式表示列车的运行速度的范围吗？

【提示】还可以用区间表示为（200,350）,这是表示范围的另一种方法.

2.探索交流，解决问题

【问题1】燃放烟火市元宵佳节的传统风俗，此起彼伏的烟花在天空中绽

放，绚丽多姿，争奇斗艳，蔚为壮观.你听，烟火嗖嗖向空中窜去,

在空中砰砰炸开；你看，五颜六色的烟花绽放了，美极了.已知

①烟花炸开的时间是10到26秒;

②烟花炸开的高度是30到40米之间。

③

【思考1】（1）烟花炸开的时间和炸开的高度都是一个大致范围，我们能否有其他的表示

方法呢？

(2)区间能表示单独的实数吗？

(3)区间表示实数有什么要求吗?

【提示】(1)可以用区间来表示。

(2)不能。

(3)实数必须连续。

【设计意图】

通过实例让学生理解区间的概念。让学生自己总结用区间表示范围的条件，使学生在看

到符号时就能够联想起符号所代表的本质特征，从而可以提高学生的抽象能力、概括能力。

(二)区间的概念

L区间：设。，匕是两个实数，且a<b,我们规定

定义名称符号数轴表示

闭区间[a,b]abx

{x\a<x<b}开区间(a,b)aix

{x|aWxVb}半开半闭区间[a,b)aix

{xlaVxW)}半开半闭区间(a,b]abx

2.对概念的深度剖析:

(1)区间只能表示连续的实数.如{3}不能用区间表示.

(2)其他区间的表示方法。

定R{x\x^a}{x|xWa}

义

符

(―0°,+0°))(—8,a)

号[af+8(a,+0°)(­°°,a]

(3)注意端点的取舍，端点能取到是闭区间，端点取不到是开区间：-8和+8处一定是开

区间。

【做一做】用区间表示下列范围。

已知集合人=依|5-*20},集合B={x||x|-3N0},则用区间表示集合A、B、API

B.

【解析】•.,A={x|5-x>0},.，.A={x|xW5}..，.A=(-8,5]；

•；B={x||x|-3#0},；.B={x|x#±3}.，B=(-8,-3)U(-3,3)u(3,+°°)

.,.AAB=(-co,5]n(-00,-3)U(-3,3)U(3,+00)=(-00,-3)u(-3,3)U(3,5].

【设计意图】

根据具体实例结合数形结合让学生加深对区间的理解,使实例成为理解概念的一种

思维载体。

【探究1】用区间表示范围的时候应该注意什么？

【提示】注意端点的取舍，端点能取到是闭区间，端点取不到是开区间；-8和+8处一定

是开区间。

【探究2】当范围中有独立的实数时该怎么表示呢？

【提示】独立的实数只能用集合来表示，也就是说区间的左端点一定小于右端点。

【做一做】若集合A=[2aT,a+2],则实数a的取值范围用区间表示为.

[解析]由区间的定义知，区间(。力)(或[a,6])成立的条件是

,”=[2小/,。+2],，24-1<“+2.；.水3,，实数4的取值范围是(-8,3).

【答案】(-8,3)

(三)函数的相等

【思考2】1.根据函数的定义，决定一个函数需要几个要素？函数的三要素是哪些？

【提示】由函数的概念可知是2个，定义域和对应关系；

函数的三要素是：定义域、对应关系、值域。

2.函数的值域由哪些因素确定？

【提示】根据函数的定义，函数值由自变量和对应关系唯一确定，

所以函数的值域由定义域和对应关系唯一确定。

【设计意图】

通过函数的定义，学生自主归纳出两个函数是同一个函数的概念，培养学生数学抽

象的核心素养。

1.函数的相等：一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域.如果两个函数的定义

域相同，并且对

应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数.

2.对概念的深度剖析：

①两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同.

②定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？

【提示】不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数.

【做一做】判断下列函数是否为相同的函数？

(1)f(x)=(Vx),g(x)=Vx2；

(2)y=x"与y=l(xWO)；

(3)y=2x+l(xGZ)与y=2xT(xGZ).

【提示】⑴因为函数f(x)=(«)2的定义域为{x|x》o},而g(x)=/的定义域为{x|x

WR},它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数.

000

(2)因为y=x要求xWO,且当x#0时,y=x=1,故y=x与y=l(xWO)的定义域和

对应关系都相

同，所以它们表示同一函数.

y=2x+l(xGZ)与y=2x-l(xGZ)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,

故它们不裳乐

同一函数.

【设计意图】

通过具体的例子，使学生掌握函数相等的判断方法.

(四)函数的定义域

【思考3】1.函数的定义域是函数定义中的哪个集合？

【提示】A

2.已知函数的解析式，函数的定义域是指使解析式各部分都有意义的未知数的取

值集合.如果函数的解析式未知呢？

【提示】

函数的定义域是指解析式中x的取值范围，所以地位相同，范围相同。

抽象函数的定义域：函数的解析式未知，求函数的定义域时应该遵循“地位相同，范围相同”

的原则求自变量的取值范围。

【做一做】如已知函数f(x)的定义域为[-1,5],求f(2x-l)的定义域。

【提示】已知f(x)的定义域是[-1,5],即TWxW4.

故对于f(2xT)应有T〈2xTW5,

，0W2xW6,

.•.0WxW3.

■函数f(2x+l)的定义域是[0,3]

【设计意图】

通过具体的例子，使学生掌握求抽象函数定义域的求法，提过学生整理数据、数学运

算的核心素养。

(五)函数的函数值、值域

2008年北京夏季奥运会中中国队获得51枚金牌，列金牌榜首位.让每个中国人都为之自

豪!比赛进行天数与金牌总数如下表所示：

天数12345678

金牌总数2691317222627

天数910111213141516

金牌总数3539434546474951

【思考4】(1)设金牌总数是y,比赛天数为x,则该对应关系可用y=f(x)来表示，则x取哪些

值,y取哪些值？

(2)f(2)等于多少?f(10)呢?f(a)呢？

(3)f(x)与f(a)是否相同?为什么？

(4)定义域与值域是多少？

【提示】(1)x的取值为l,2,3,-,15,16;y的取值为

2,6,9,13,17,22,26,27,35,39,43,45,46,47,49,51.

(2)f(2)=6,f(10)=39.若lWaW16,则f(a)对应y的一个值，否则无法表示.

(3)不同.f(x)表示y是x的函数，其中f为对应关系;而f(a)表示函数f(x)当自变量

x取a时的一个

函数值f(a).

(4)定义域：｛1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16｝,

值域：｛2,6,9,13,17,22,26,27,35,39,43,45,46,47,49,51).

函数的值域：

函数的定义中，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛/(幻］尤e4｝叫

做函数的值域；值域是集合8的子集。并且函数值由定义域和对应关系唯一确定。

【做一做】已知f(x)=W(xeR,且xW—1),g(x)=X2+2(X£R),则f(2)=,

f(g(2))=.

【提示】|I

【设计意图】

通过具体的例子，使学生充分理解函数的函数值，掌握由自变量的值求对应的函数值,

提高学生数学运算的核心素养，为求函数的值域打好基础。

(六)函数的综合应用

1.区间

例1用区间的方法表示下列集合：

A=｛x|0<x<5｝表示为;A=卜|xV-1或xN3｝为

【答案】[0,5)y,-l]53，+8)

[解析]4=30"<5｝表示为区间：[0,5)

A=｛x|x4-1或XW3｝表示为区间：(YO,-1]53,+8)

【延伸拓展】若集合A=[2a+1,a-2],则实数a的取值范围用区间表示为.

【提示】由区间的定义知，区间(a力)(或[“力])成立的条件是a<b.

•徵=[2。+1,小2],二2。+1〈。-2.，水-3,，实数。的取值范围是(-8,-3).

【答案】(y,-3)

【类题通法】如何用区间表示集合

1.正确利用区间表示集合，要特别注意区间的端点值能否取到，即“小括

号"和''中括号"的区别.

2.用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时，应先求出相应集合，再用区

间表示.

特别提醒：1.-8和+8处一定是开区间；

2.独立的实数只能用集合来表示，也就是说区间的左端点一定小于右端点。

3.区间和区间之间的连接和几何相同，也用“U”和“D”来连接。

【巩固练习1】集合｛x|0<x〈l或2WxWll｝用区间表示为.

[答案](0,1)U[2,11].

2.函数相等

例2.(多选题)(2020•安徽淮北市树人高级中学高一期中)下列函数中与函数y=x

不相同的是()

A.y=x2B.y=疗'C.y=显D.y=—

X

【答案】ACD

【解析】函数y=x的定义域为R.

对于A,函数y=x和y=x?对应关系不同，故不是相同函数；

对于B,函数y=^=r，定义域为R,故与函数y=x是相同函数；

对于C,函数丫=>/7=凶，和函数y=x的对应关系不同，故不是相同函数；

„2

对于I),y=?的定义域为和函数y=x的定义域不同，故不是相同函数.

【类题通法】判断函数相等的方法

定义域优先原则

L先看定义域，若定义域不同，则函数不相等.

2.若定义域相同，则化简函数解析式，看对应关系是否相等.

【巩固练习2】试判断以下各组函数是否表示同一函数：①f(x)专,g(x)=x-l；

②f(x)1,g(x)炭；③f(x)=J(X+3)；g(X)=x+3;④f(x)=x+l,g(x)=x+x";

⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)=80t(0WtW5)与一次函数g(x)=80x(0

WxW5).

其中表示相等函数的是(填上所有正确的序号).

【答案】⑤

【解析】①f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；

②f(x)与晨X)的解析式不同，不是同一函数；

③f(x)=|x+3],与g(x)的解析式不同，不是同一函数；

④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；

⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数.

3.求函数的定义域

例3.求下列函数的定义域：⑴y卷9(2)f(x)看一际.

【解析】⑴要使函数有意义,自变量X的取值必须满足心+；言即｛*：解得x〈。,

且x*2.

故原函数的定义域为(-8,-2)U(-2,0).

(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足广泞，即『追，

(x-10,1xH1.

故原函数的定义域为(-8,1)u(1,4].

【答案】⑴(-8,-2)U(-2,0)(2)(-oo,l)U(l,4]

例4.已知函数f(x)的定义域是[T,4],求函数f(2x+l)的定义域.

【解析】已知f(x)的定义域是[-1,4],即TWxW4.故对于f(2x+l)应有TW2x的W4,

，2W2xW3,.•.TWxW|..,.函数f(2x+l)的定义域是卜1,|].

【答案】[-1,|]

【类题通法】1.常见函数的定义域：

函数类型整式函数分式函数根式函数0次函数

定义域R分母W0奇次根式：R底数W0

偶次根式：被开方数20

2.抽象函数的定义域：

“地位相同，范围相同”

【巩固练习3】求下列函数的定义域.

(l)y=^'?-A/1-X；(2)y=A/2?-3X-2+J——.

工+1v、4-x

Jx+1WO,卜#一1,

[解析]⑴由11—x20,得

1.

所以定义域为｛x|xWl且xW-1｝.

(2^-3元一220,

(2)由44—x^O,得nW—3或2<x<4,

1.4—

所以定义域为(一8,—|U[2,4).

4.求函数的值域

例5.(2021•江苏高一专题练习)已知〃X)=X2-6X+5.

(1)求/(-扬,/(“)+/(3)的值；(2)若xe[2,6],求/(x)的值域.

I解析I(1)因为/(x)=/-6x+5.

所以/(-扬=(-夜)2-6、(-夜)+5=2+6夜+5=7+6及.

/(a)+/(3)=(a2-6a+5)+(32-6x3+5)=a2-6«+l.

(2)因为/1(X)=X2-6X+5=(X-3)2-4,又因为xe[2,6],所以-啜上-33,所以

0g(x-3)29,

得T如-3）、45.所以当32,6]时,/（*）的值域是T,5].

例5.求下列函数的值域:

①y=x+l；(2)y=x,—2x+3,xG[0,3)；③y=^^；④y=2x—\/x—1.

I解析I①（观察法）因为xGR,所以x+lWR,即函数值域是R.

②（配方法）y=x2-2x+3=（x-11+2,

由x£[0,3），再结合函数的图象（如图），

可得函数的值域为⑵6）.

3x-13x+3-4

③(分离常数法心77rFT=3-

43x-1

，”3,十二产值域为{y|@且后3}.

④(换元法)设t=yjx-1,则t20且x=/+1,

所以y=2(t、l)-t=2(t+半，

由teO,再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为呈，+8)

【类题通法】1.求函数值的方法

(1)已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值.

(2)已知f(x)与g(x),求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.

2.求函数值域常用的4种方法

(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；

(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方

法或二次函数图像求其值域；

(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为

“反比例函数类”的形式，便于求值域；

(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数,从而求得原函

数的值域.对于f(X)=ax+b+Vcx+d(其中a,b,c,d为常数，且

a=0)型的函数常用换元法.

【巩固练习4】求下列函数的值域：⑴丫=底钉+1;(2)y=窸.

【解析】(1)因为百,所以百1+1^1,即所求函数的值域为[1,+8).

1-x22