初中数学圆的教案及练习

第二十四章圆

单元要点分析

教学内容

1.本单元数学的主要内容.

(1)圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角.

(2)与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆和圆的位置

关系.

(3)正多边形和圆.

(4)弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积.

2.本单元在教材中的地位与作用.

学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形

的性质，积累了大量的空间与图形的经验.本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基

础上，进一步来探索一种特殊的曲线——圆的有关性质.通过本章的学习，对学生今后继续

学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用.本

章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程.

教学目标

1.知识与技能

(1)了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间的相

等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理.

(2)探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，探索切

线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画圆的切线.

(3)进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算.

(4)熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；理解圆锥的侧面展开图并熟练掌

握圆锥的侧面积和全面积的计算.

2.过程与方法

(1)积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动.了解概念，理解

等量关系，掌握定理及公式.

(2)在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流.

(3)在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，让学生形成分类讨论的数学思想和

归纳的数学思想.

(4)通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在

运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力.

(5)探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、

理解算法的意义.

3.情感、态度与价值观

经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生

有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性

的情景，激发学生求知、探索的欲望.

教学重点

1.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其运用.

2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等及其运用.

3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一

半及其运用.

4.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其运用.

5.不在同一直线上的三个点确定一个圆.

6.直线L和。O相交Od<r；直线L和圆相切Od=r；直线L和。O相离Od>i■及

其运用.

7.圆的切线垂直于过切点的半径及其运用.

8.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问

题.

9.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两

条切线的夹角及其运用.

10.两圆的位置关系：d与n和2之间的关系：外离Od>ri+r2；外切Od=n+r2；相

交OIr2-ri|<d<ri+r2;内切Od=|ri-r2|;内含od<|r2-ri|.

11.正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角。之间的等量关系并应用这个等量关

系解决具体题目.

V17TRYI7TR

12.n°的圆心角所对的弧长为1=——，n°的圆心角的扇形面积是S蒯=，一及其

180360

运用这两个公式进行计算.

13.圆锥的侧面积和全面积的计算.

教学难点

1.垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题.

2.弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导，并运用它解决一些实际问题.

3.有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用.

4.点与圆的位置关系的应用.

5.三点确定一个圆的探索及应用.

6.直线和圆的位置关系的判定及其应用.

7.切线的判定定理与性质定理的运用.

8.切线长定理的探索与运用.

9.圆和圆的位置关系的判定及其运用.

10.正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角0的关系的应用.

rjjrRri7rR

11.n的圆心角所对的弧长L=——及S扇形=——的公式的应用.

180360

12.圆锥侧面展开图的理解.

教学关键

1.积极引导学生通过观察、测量、折叠、平移、旋转等数学活动探索定理、性质、”三

个”位置关系并推理证明等活动.

2.关注学生思考方式的多样化，注重学生计算能力的培养与提高.

3.在观察、操作和推导活动中，使学生有意识地反思其中的数学思想方法，发展学生

有条理的思考能力及语言表达能力.

24.1圆

课题

第一课时

了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决

一些实际问题.

目标

从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概

（三维目

念.利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的

标）

对称轴.通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加

予理解.

1.重点：垂径定理及其运用.

重点2.难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问

难点题.

教法讲授法演示法

学法示范指导法启迪思维法

讨论

教学过程：（详案）

修改

一、复习引入

（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学）

1.举出生活中的圆三、四个.

2.你能讲出形成圆的方法有多少种？

老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等.（2）圆规：固定一个定点，

固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆.

二、探索新知

从以上圆的形成过程，我们可以得出：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所

形成的图形叫做圆.固定的端点。叫做圆心，线段0A叫做半径.

以点0为圆心的圆，记作“。0”，读作“圆0”.

学生四人一组讨论下面的两个问题：

问题1：图上各点到定点（圆心0）的距离有什么规律？

问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？

老师提问几名学生并点评总结.

（1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；

（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.

因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有

到定点0的距离等于定长r的点组成的图形.

同时，我们又把

①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC,AB:

②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB；

③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作

AC",读作“圆弧AC”或“弧AC”.大于半圆的弧（如图所示A8C叫做优

弧，小于半圆的弧（如图所示）AC或叫做劣弧.

④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.

（学生活动）请同学们回答下面两个问题.

1.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称

2.你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流.

（老师点评）1.圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条

直径.

3.我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的.

因此，我们可以得到：

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.

（学生活动）请同学按下面要求完成下题：

如图，AB是。。的一条弦，作直径CD,使CD_LAB,垂足为M.

（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由.

（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD.

（2）AM=BM,AC=BC,AD=BD,即直径CD平分弦AB,并且平

分AB及ADB.

这样，我们就得到下面的定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

下面我们用逻辑思维给它证明一下：

已知：直径CD、弦AB且CD_LAB垂足为M

求证：AM=BM,AC=BC,AD=BD.卜/弋

分析：要证AM=BM,只要证AM、BM构成的两个三[XP）

角形全等.因此，只要连结OA、0B或AC、BC即可.\|1

证明：如图，连结OA、0B,则OA=OBK/

在RtAOAM和RtAOBM中

OA=OB

OM=OM

.'.RtAOAM^RtAOBM

.\AM=BM

.•.点A和点B关于CD对称

,/OO关于直径CD对称

，当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，AC与重合，AD与BD

重合.

AAC=BC,AD=BD

进一步，我们还可以得到结论：

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

(本题的证明作为课后练习)

例1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弦(即图中CD,点O是CD的圆

心，其中CD=600m,E为CD上一点，且OEJ_CD,垂足为F,EF=90m,求这

段弯路的半径.

分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代

数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握.

解：如图，连接0C

设弯路的半径为R,则0F=(R-90)m_Q

VOE±CD

11\E

ACF=-CD=-X600=300(m)/\

22F\

根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2_______\D

即R2=30()2+(R-90)2解得R=5450，

这段弯路的半径为545m.

三、巩固练习I

教材P86练习P88练习.

四、应用拓展

例2.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽

AB=60m,水面到拱顶距离CD=18m,当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否

需要采取紧急措施？请说明理由.

分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施，只

要求出DE的长，因此只要求半径R,然后运用几何代数解求R.

解：不需要采取紧急措施

设OA=R,在Rt^AOC中，AC=30,CD=18D

R2=302+(R-18)2R2=900+R2-36R+324MX

解得R=34(m)/

c

连接OM,设DE=x,在Rt/XMOE中，ME=16A1-------------B

0

342=162+（34-X）2

162+342-68X+X2=342X2-68X+256=0

解得XI=4,X2=64（不合设）

ADEM

不需采取紧急措施.

五、归纳小结（学生归纳，老师点评）

本节课应掌握：

1.圆的有关概念；

2.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.

3.垂径定理及其推论以及它们的应用.

第一课时作业设计

一、选择题.

1.如图1,如果AB为。。的直径，弦CD_LAB,垂足为E,那么下列结论中,

错误的是（）.

A.CE=DEB.BC=BDC.ZBAC=ZBADD.AOAD

（1）（2）（3）

2.如图2,00的直径为10,圆心0到弦AB的距离0M的长为3,则弦AB

的长是（）

A.4B.6C.7D.8

3.如图3,在。。中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中

不正确的是（）

A.AB±CDB.ZAOB=4ZACDC.AD=BDD.PO=PD

二、填空题

1.如图4,AB为。0直径，E是中点，0E交BC于点D,BD=3,AB=10,

贝UAC=.

(4)(5)

2.P为。0内一点,0P=3cm,OO半径为5cm,则经过P点的最短弦长为；

最长弦长为.

3.如图5,OE、OF分别为。0的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF,那么

（只需写一个正确的结论）

三、综合提高题

1.如图24-11,AB为。0的直径，CD为弦，过C、D分别作CN±CD,DM

XCD,分别交AB于N、M,请问图中的AN与BM是否相等，说明理由.

2.如图，。。直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,ZDEB=30°,求

弦CD长.

3.（开放题）AB是。。的直径，AC、AD是。0的两弦，己知AB=16,AC=8,

AD=8,求NDAC的度数.

答案:

一、1.D2.D3.D

二、1.82.8103.AB=CD

三、1.AN=BM理由：过点。作OE_LCD于点E,贝!JCE=DE,且CN〃OE〃

DM.

.\0N=0M,，OA-ON=OB-OM,

.\AN=BM.

2.过O作OF_LCD于F,如右图所示

VAE=2,EB=6,：.OE=2,

；.EF=J5,OF=1,连结OD,

在Rt^ODF中，42=12+DF2,DF=A/15,.,.CD=2^/15.

3.（1）AC、AD在AB的同旁，如右图所示:

VAB=16,AC=8,AD=8A/3,

A-AC=-(-AB),AZCAB=60°,

222

同理可得NDAB=30°,

；./DAC=30°.

(2)AC、AD在AB的异旁，同理可得：ZDAC=60°+30°=90°.

上课时间:

圆（第课时）

课题24.12

了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的

两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解

目标题中的应用.

（三维目通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知

标）识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相

等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体

问题.

1.重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦

重点也相等及其两个推论和它们的应用.

难点2.难点与关键：探索定理和推导及其应用.

教法讲授法演示法读书指导法

学法特征联系法点拨指导法

讨论

教学过程：（详案）

修改

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下题.

已知AOAB,如图所示，作出绕0点旋转30°、45°、60°的图形.

A

A

0

老师点评：绕。点旋转，。点就是固定点，旋转30°,就是旋转角/BOB'

=30°.

二、探索新知

如图所示，NAOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角.

「

（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：

如图所示的。。中，分别作相等的圆心角NAOB和NA'0B'将圆心角

NAOB绕圆心0旋转到NA'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？

AB=A'B',AB=A'B'

理由：：半径OA与O'A'重合，且NAOB=NA'OB'

半径OB与OB'重合

:点A与点A'重合，点B与点B'重合

A3与43'重合，弦AB与弦A'B'重合

AB=A'B',AB=A,B'

因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.

在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？请同

学们现在动手作一作.

(学生活动)老师点评：如图1,在。0和。0'中，分别作相等的圆心角

NAOB和NA'O'B'得到如图2,滚动一个圆，使。与0'重合，固定圆心,

将其中的一个圆旋转一个角度，使得0A与0,N重合.

(1)(2)

你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？

我能发现：AB=A'B',AB=A/B/.

现在它的证明方法就转化为前面的说明了，这就是又回到了我们的数学思

想上去呢——化归思想，化未知为己知，因此，我们可以得到下面的定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相事-

同样，还可以得到：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的

弦也相等.

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的

弧也相等.

(学生活动)请同学们现在给予说明一下.

请三位同学到黑板板书，老师点评.

例1.如图，在。0中，AB、CD是两条弦，OE_LAB,OFXCD,垂足分

别为EF.

(1)如果NAOB=NCOD,那么0E与OF的大小有什么关系？为什么？

(2)如果OE=OF,那么A3与CD的大小有什么关系？AB与CD的大小

有什么关系？为什么？NAOB与NCOD呢？

分析：(1)要说明OE=OF,只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中

说明AE=CF,即说明AB=CD,因此，只要运用前面所讲的定理即可.

(2)\,OE=OF,.•.在Rt^AOE和RtZ\COF中，

又有AO=CO是半径，ARtAAOE^RtACOF,

.•.AE=CF,，AB=CD,又可运用上面的定理得到A3=CD

解：(1)如果NAOB=NCOD,那么OE=OF

理由是：VZAOB=ZCOD

；.AB=CD

VOEXAB,OF±CD

22

；.AE=CF

又；OA=OC

.'.RtAOAE^RtAOCF

；.OE=OF

(2)如果OE=OF,那么AB=CD,AB=CD,ZAOB=ZCOD

理由是：

VOA=OC,OE=OF

.'.RtAOAE^RtAOCF

；.AE=CF

XVOEXAB,OF±CD

11

；.AE=-AB,CF=-CD

22

；.AB=2AE,CD=2CF

；.AB=CD

:.AB=CD,ZAOB=ZCOD

三、巩固练习

教材P89练习1教材P90练习2.

四、应用拓展

例2.如图3和图4,MN是。O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一

点P,ZAPM=ZCPM.

(1)由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由.

(2)若交点P在。。的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若

不成立，请说明理由.

(3)(4)

分析：(1)要说明AB=CD,只要证明AB、CD所对的圆心角相等，只要

说明它们的一半相等.

上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的.

解：(1)AB=CD

理由：过。作OE、OF分别垂直于AB、CD,垂足分别为E、F

VZAPM=ZCPM

.\Z1=Z2

OE=OF

连结OD、0B且OB=OD

.•.RtAOFD^RtAOEB

；.DF=BE

根据垂径定理可得：AB=CD

(2)作OE_LAB,OF±CD,垂足为E、F

ZAPM=ZCPN且OP=OP,ZPEO=ZPFO=90°

.'.RtAOPE^RtAOPF

.•.OE=OF

连接OA、OB、OC、OD

易证RtAOBE^RtAODF,RtAOAE^RtAOCF

.\Z1+Z2=Z3+Z4

；.AB=CD

五、归纳总结(学生归纳，老师点评)

本节课应掌握：

1.圆心角概念.

2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，

那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用.

第二课时作业设计

一、选择题.

1.如果两个圆心角相等，那么（）

A.这两个圆心角所对的弦相等;B.这两个圆心角所对的弧相等

C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D.以上说法都不对

2.在同圆中，圆心角NA0B=2NC0D,则两条弧AB与CD关系是（）

A.AB=2CDB.AB>CDC.AB<2CDD.不能确定

3.如图5,。。中，如果AB=2AC,那么（）.

A.AB=ACB.AB=ACC.AB<2ACD.AB>2AC

二、填空题

1.交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的.

2.一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的.

3.如图6,AB和DE是。0的直径，弦AC〃DE,若弦BE=3,则弦

CE=.

三、解答题

1.如图，在。0中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD,MC±AB,ND

±AB,M、N在。O上.

(1)求证：AM=BN；

（2）若C、D分别为OA、OB中点，则==成立吗？

2.如图，以，ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD

于E、F,若ND=50°,求BE的度数和ER的度数.

3.如图，ZAOB=90°,C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点

E、F,求证：AE=BF=CD.

答案：

一、1.D2.A3.C

二、1.圆的旋转不变形2.［或23.3

33

三、1.(1)连结OM、ON,在RtAOCM和RtAODN中OM=ON,OA=OB,

VAC=DB,，OC=OD,RtAOCM^RtAODN,

ZAOM=ZBON,；.AM=NB

(2)AM=MN=NB

2.BE的度数为80°,EF的度数为50°.

3.连结AC、BD,：C、D是A3三等分点，

；.AC=CD=DB,MZAOC=-X90°=30°，

3

VOA=OC,.,.ZOAC=ZOCA=75°,

又NAEC=/OAE+NAOE=45°+30°=75°,

；.AE=AC,

同理可证BF=BD,/.AE=BF=CD

上课时间:

课题24.1圆（第3课时）

1.了解圆周角的概念.

2.理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相

等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

目标3.理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°

（三维目的圆周角所对的弦是直径.

标）4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用.

设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用

数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的

正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题.

1.重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题.

重点2.难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理.

难点3.关键：探究圆周角的定理的存在.

教法讲授法演示法读书指导法

学法理解记忆法理清思路法

讨论

教学过程：（详案）

修改

一、复习引入

（学生活动）请同学们口答下面两个问题.

1.什么叫圆心角？

2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？

老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角.

（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,

那么它们所对的其余各组量都分别相等.

刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，

它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天

要探讨，要研究，要解决的问题.

二、探索新知

问题：如图所示的。0,我们在射门游戏中，设E、F是球门，设球员们只

能在ER所在的00其它位置射门，如图所示的A、B、C点.通过观察，我们可

以发现像NEAF、NEBF、ZECF这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与

圆相交的角叫做圆周角.

现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题.

1.一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？上一~7

2.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？/I-

3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？A[]。.）

（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言.\7

老师点评：

i.一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个.ij

2.通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的.

3.通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半.

下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并

且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.”

（1）设圆周角NABC的一边BC是。。的直径，如图所示

NA0C是AABO的夕卜角

AZAOC=ZABO+ZBAO卜

,.,OA=OB

AZABO=ZBAO（/V/\

AZAOC=ZABO\//0/

B

1

・•・NABC二一ZAOC

2

(2)如图，圆周角NABC的两边AB、AC在一条直径

OD的两侧，那么NABC=L/AOC吗？请同学们独立完成这

2

道题的说明过程.

老师点评：连结B0交。0于D同理NA0D是AABO的

外角，/COD是ABOC的外角，那么就有/AOD=2/ABO,

ZDOC=2ZCBO,因此NA0C=2NABC.

(3)如图，圆周角NABC的两边AB、AC在一条直径

0D的同侧，那么/ABC=1/AOC吗？请同学们独立完成证

2

明.

老师点评：连结OA、0C,连结B0并延长交。。于D,

那么NAOD=2NABD,ZC0D=2ZCB0,而NABC=NABD-N

111

CBO=-ZA0D--ZCOD=-ZAOC

222

现在，我如果在画一个任意的圆周角NAB'C,同样可证得它等于同弧上圆

心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的.

从(1)、(2)、(3),我们可以总结归纳出圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心

角的一半.

进一步，我们还可以得到下面的推导：

半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目.

例1.如图，AB是。。的直径，BD是。0的弦，延长BD到C,使AC=AB,BD

与CD的大小有什么关系？为什么？

分析：BD=CD,因为AB=AC,所以这个AABC是等腰，要证明D是BC的中点，

只要连结AD证明AD是高或是NBAC的平分线即可.

解：BD=CD

理由是：如图24-30,连接AD

：AB是。0的直径

AZADB=90°即AD_LBC

又；AC=AB

.\BD=CD

三、巩固练习

1.教材P92思考题.

2.教材P93练习.

四、应用拓展

例2.如图，已知AABC内接于。0,NA、NB、NC的对边分别设为a,b,

ab

c,。。半径为R,求证:---------=--------=--------=2R.

sinAsinBsinC

分析：要证明一L=—也=—^=2R,只要证明一J=2R,'一=2R,

sinAsinBsinCsinAsinB

ccibc

-----=2R,即sinA=------，sinB=-------，sinC=-------，因此，十分明显要在直角三

sinC2R2R2R

角形中进行.

证明：连接CO并延长交。。于D,连接DB

VCD是直径

.•.ZDBC=90°

又：ZA=ZD

.,BCa

在Rt/XADBC中，sinD=——，即Hn2R=--------

DCsinA

hc

同理可证：-----=2R,--------=2R

sinBsinC

sinAsinBsinC

五、归纳小结（学生归纳，老师点评）

本节课应掌握：

1.圆周角的概念；

2.圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相

等这条弧所对的圆心角的一半；

3.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

4.应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题.

上课时间:

课题24.2与圆有关的位置关系（第1课时）

1.理解并掌握设。。的半径为r,点P到圆心的距离0P=d,则有：点P

在圆外Od>r；点P在圆上Od=r；点P在圆内Od<r及其运用.

2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用.

目标3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.

（三维目4.了解反证法的证明思想.

标）复习圆的两种定理和形成过程，并经历探究一个点、两个点、三个点

能作圆的结论及作图方法，给出不在同一直线上的三个点确定一个圆.接

下去从这三点到圆心的距离逐渐引入点P到圆心距离与点和圆位置关系的

结论并运用它们解决一些实际问题.

1.重点：点和圆的位置关系的结论：不在同一直线上的三个点确定一

个圆其它们的运用.

重点2.难点：讲授反证法的证明思路.

难点3.关键：由一点、二点、三点、四点作圆开始导出不在同一直线上

的三个点确定一个圆.

教法讲授法讨论法

学法讲授指导法

讨论修

教学过程：（详案）

改

一、复习引入

（学生活动）请同学们口答下面的问题.

1.圆的两种定义是什么？

2.你能至少举例两个说明圆是如何形成的？

3.圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？

4.如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想.

老师点评：（1）在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，

另一个端点A所形成的图形叫做圆；圆心为0,半径为r的圆可以看成是所

有到定点0的距离等于定长r的点组成的图形.

（2）圆规：一个定点，一个定长画圆.

（3）都等于半径.

（4）经过画图可知，圆外的点到圆心的距离大于半径；圆内的点到圆心

的距离小于半径.

二、探索新知

由上面的画图以及所学知识，我们可知：

设。0的半径为r,点P到圆心的距离为0P=d

则有：点P在圆外nd>r

点P在圆上=>d=r

点P在圆内=>d<r

反过来，也十分明显，如果d>r=>点P在圆外：如果d=r=>点P在圆上;

如果d<r=>点P在圆内.

因此，我们可以得到：

设。。的半径为r,点P到圆的距离为d,

则有：点P在圆外Od>r

点P在圆上。d=r

点P在圆内Oder

这个结论的出现，对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内

提供了依据.

下面，我们接下去研究确定圆的条件：

(学生活动)经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那

么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆.

(1)作圆，使该圆经过已知点A,你能作出几个这样的圆？

(2)作圆，使该圆经过已知点A、B,你是如何做的？你能作出几个这样

的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？

(3)作圆，使该圆经过已知点A、B、C三点(其中A、B、C三点不在

同一直线上)，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？

老师在黑板上演示：

(1)无数多个圆，如图1所示.

(2)连结A、B,作AB的垂直平分线，则垂直平分线上的点到A、B的

距离都相等，都满足条件，作出无数个.

其圆心分布在AB的中垂线上，与线段AB互相垂直，如图2所示.

(3)作法：①连接AB、BC；

②分别作线段AB、BC的中垂线DE和FG,DE与FG相交于点0；

③以。为圆心，以0A为半径作圆，。。就是所要求作的圆，如图3所示.

在上面的作图过程中，因为直线DE与FG只有一个交点0,并且点。到A、

B、C三个点的距离相等(中垂线上的任一点到两边的距离相等)，所以经过A、

B、C三点可以作一个圆，并且只能作一个圆.

即：|不在同一直线上的三个点确定一个圆.

也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接

外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外

心.

下面我们来证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆.

证明：如图，假设过同一直线L上的A、B、C三

点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P,那么点P既在P

线段AB的垂直平分线L”又在线段BC的垂直平分线

L2,即点P为L|与L2点，而Li，L,L2±L,这与我

们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂

直”矛盾.ABC

所以，过同一直线上的三点不能作圆.

上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题

的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设过同一直线上的三点可

以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得

到命题成立.这种证明方法叫做反证法.

在某些情景下，反证法是很有效的证明方法.

例1.某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示.为复制该瓷盘确定其圆

心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心.

分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残

缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心.

作法：（1）在残缺的圆盘上任取三点连结成两条线段；~、

（2）作两线段的中垂线，相交于一点./

则0就为所求的圆心.

二、巩固练习

教材P100练习1、2、3、4.

四、应用拓展

例2.如图，己知梯形ABCD中，AB〃CD,AD=BC,AB=48cm,CD=30cm,

高27cm,求作一个圆经过A、B、C、D四点，写出作法并求出这圆的半径（比

例尺1：10）

分析：要求作一个圆经过A、B、C、D四个点，应该先选三个点确定一

个圆，然后证明第四点也在圆上即可.要求半径就是求OC或OA或OB,因

此，要在直角三角形中进行，不妨设在RtZXEOC中，设OF=x,则OE=27-x

由OC=OB便可列出，这种方法是几何代数解.

作法分别作DC、AD的中垂线L、m,则交点0为所求4ADC的外接圆

圆心.

：ABCD为等腰梯形，L为其对称轴

VOB=OA,.,.点B也在。0上

OO为等腰梯形ABCD的外接圆

设0E=x,则0F=27-x,\,0C=0B

解得：x=20

.1.0C=A/152+202=25,即半径为25m.

五、归纳总结（学生总结，老师点评）

本节课应掌握：

1.点和圆的位置关系：设。。的半径为r,点P到圆心的距离为d,则

一点尸在圆外Od〉r；

〈点P在圆上Od=r；

点P在圆内u>d<兀

2.不在同一直线上的三个点确定一个圆.

3.三角形外接圆和三角形外心的概念.

4.反证法的证明思想.

5.以上内容的应用.

六、布置作业

1.教材P110复习巩固1、2、3.

2.选用课时作业设计.

第一课时作业设计

一、选择题.

1.下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③圆

有且只有一个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；

⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在

这个三角形内，其中正确的个数有（）

A.1B.2C.3D.4

2.如图，RtAABC,ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,则它的外心与顶点

C的距离为（）.

3.如图，Z\ABC内接于。O,AB是直径，BC=4,AC=3,CD平分NACB,

则弦AD长为（）

A.—\/2B.—C.sfl.D.3

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二、填空题.

1.经过一点P可以作个圆；经过两点P、Q可以作个

圆，圆心在__