全国新高考1卷地区高三数学数列解答题分类完整版编完整版析（原卷版）

2024届高三数学数列解答题分类精编精析【题型目录】题型一：等差等比数列的基本运算题型二：数列中的存在性问题题型三：数列通项分析构造新数列题型四：数列中的裂项相消求和问题题型五：数列中的错位相减求和问题题型六：数列中的分段数列求和问题题型七：数列与不等关系、函数等的综合问题题型八：新定义背景下的数列问题【题型分类精编精析】：题型一：等差等比数列的基本运算1.已知数列满足为常数，若为等差数列，且．（1）求的值及的通项公式；（2）求的前项和．2.（河北省沧衡名校联盟高三年级模拟考试）在数列中，，都有成立.（1）证明：数列是等差数列；（2）若数列是首项为1的等差数列，求实数的值及数列的前项和.题型二：数列中的存在性问题1.（湖南省2024届高三九校联盟第二次联考）已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中.（1）求数列的通项公式；（2）对于给定的正整数，在和之间插入个数，使，成等差数列.（i）求；（ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.题型三：数列通项分析构造新数列1．（广东省新南方联盟2024届高三4月联考）数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.2.(2024年江西省南昌市高考数学二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1(1)当k=2时，求S10(2)若k=52，设bn=题型四：数列中的裂项相消求和问题1.(湘豫名校联考2024年下学期高三第一次模拟考试)已知数列,若.(1)求证:数列是等比数列;(2)若数列的前项和为,不等式对任意的正整数恒成立,求实数的取值范围.2．（2023学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测）已知等差数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，令，求证：．题型五：数列中的错位相减求和问题1.（山东省“齐鲁名校联盟”2023—2024学年高三年级第七次联考）已知等差数列的前项和为，且，数列满足，设．（1）求的通项公式，并证明：；（2）设，求数列的前项和．题型六：数列中的分段数列求和问题1.（2024届湖北省高中毕业生四月模拟考试）数列中，，，且，（1）求数列的通项公式；（2）数列的前n项和为，且满足，，求.2.（华娇教育2024年广东省普通高中毕业班综合能力检测）已知数列的前n项和，且的最大值为．(1)确定常数，并求；(2)求数列的前15项和．题型七：数列与不等关系、函数等的综合问题1.（湖南省2024届新高考教学教研联盟高三第二次联考）已知是各项都为正数的等比数列，数列满足：，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若对任意的都有，求实数的取值范围.2.（湖北省十一校20232024学年高三下学期第二次联考）我们知道通过牛顿莱布尼兹公式，可以求曲线梯形（如图1所示阴影部分）的面积，其中，．如果平面图形由两条曲线围成（如图2所示阴影部分），曲线可以表示为，曲线可以表示为，那么阴影区域的面积，其中．（1）如图，连续函数在区间与的图形分别为直径为1的上、下半圆周，在区间与的图形分别为直径为2的下、上半圆周，设．求的值；（2）在曲线上某一个点处作切线，便之与曲线和x轴所围成的面积为，求切线方程；（3）正项数列是以公差为d（d为常数，）的等差数列，，两条抛物线，记它们交点的横坐标的绝对值为，两条抛物线围成的封闭图形的面积为，求证：．3.（辽宁省鞍山市普通高中2023—2024学年度高三第二次质量监测）设数列的前项和为，已知，且．（1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设，数列的前项和为，求除以16的余数．题型八：新定义背景下的数列问题1.（湖南省益阳市2024届高三下学期4月教学质量检测）我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组表示；三维空间向盘可用三元有序数组表示．一般地，维空间向量用元有序数组表示，其中称为空间向量的第个分量，为这个分量的下标．对于维空间向量，定义集合．记的元素的个数为（约定空集的元素个数为0）．（1）若空间向量，求及；（2）对于空间向量．若，求证：，若，则；（3）若空间向量的坐标满足，当时，求证：．2.（湖南省邵阳市2024届高三第二次联考）给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集，并定义的理数为其中所有元素的绝对值之和.（1）分别判断集合是不是理想数集；（结论不要求说明理由）（2）任取一个5元理想数集，求证：；（3）当取遍所有2024元理想数集时，求理数的最小值.注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数.3.（安徽省A10联盟2024届高三4月质量检测）在不大于的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的个数记为.（1）求，的值；（2）对于，，是否存在m，n，p，使得?若存在，求出m，n，p的值；若不存在，请说明理由；（3）记表示不超过的最大整数，且，求的值.4.（2024年大连市高三第一次模拟考试）对于数列，定义“T变换”：T将数列A变换成数列，其中，且．这种“T变换”记作，继续对数列B进行“T变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（1）写出数列A：3，6，5经过5次“T变换”后得到数列：（2）若不全相等，判断数列不断的“T变换”是否会结束，并说明理由；（3）设数列A：2020，2，2024经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值．10.（江西省上饶市2024届第二次高考模拟考试）对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且．这种“变换”记作，继