辽宁省朝阳市2019年中考数学试卷

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辽宁省朝阳市2021年中考数学试卷

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

题号—二三总分

得分

考前须知：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人得分

1.3的相反数是（）

11

A.3B.-3C.-D.——

33

【答案】B

【解析】

试题解析：根据相反数的定义知：3的相反数是-3,应选B.

考点：相反数.

2.如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（）

S□“小

【解析】

【分析】

左视图就是从几何体的左边看到的平面图形，据此观察判断即可.

【详解】

解：从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：2,1.左视图如下:

应选：C.

【点睛】

此题考查的是简单组合体的三视图，属于根底题型，明确左视图就是从几何体的左边看

到的平面图形是正确判断的关键.

3.一元二次方程x2+x-1=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法判断

【答案】A

【解析】

试题解析：a=1,b=\,c=—1,

.•.△=从-4改=12-4xlx（—l）=5>0,

.♦•方程有两个不相等的实数根.

应选A.

4.以下调查中，调查方式最适合普查（全面调查）的是（）

A.对全国初中学生视力情况的调查

B.对2021年央视春节联欢晚会收视率的调查

C.对一批飞机零部件的合格情况的调查

D.对我市居民节水意识的调查

【答案】C

【解析】

【分析】

根据普查和抽样调查的特点解答即可.

【详解】

解：A.对全国初中学生视力情况的调查，适合用抽样调查，不合题意；

B.对2021年央视春节联欢晚会收视率的调查，适合用抽样调查，不合题意；

C.对一批飞机零部件的合格情况的调查，适合全面调查，符合题意；

D.对我市居民节水意识的调查，适合用抽样调查，不合题意；

应选：C.

【点睛】

此题考查r抽样调查和全面调查的知识，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象

的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价

值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.

Q

5.假设点3（-2,%），。（3,f）在反比例函数y=——的图象上，那么

X

73的大小关系是（）

A.x<y2<%B,3cx<y3<%D・2VM

【答案】D

【解析】

【分析】

由于反比例函数的系数是一8,故把点/、B、C的坐标依次代入反比例函数的解析式,

求出X，%，%的值即可进行比拟.

【详解】

Q

解：•.•点A(TyJ、8(—2,%)、C(3,yJ在反比例函数y=的图象上，

X

8c8〃8

..%=一1=8,y2=--=4,%=-§，

Q

又,:——<4<8,

3

%<%<M•

应选：D.

【点睛】

此题考查的是反比例函数的图象和性质，难度不大，理解点的坐标与函数图象的关系是

解题的关键.

mx+y=n(x=0

6.关于x,y的二元一次方程组•.的解是c，那么机+〃的值为()

x-ny=2m(y=2

A.4B.2C.ID.0

【答案】D

【解析】

【分析】

x=0

根据二元一次方程组的解的概念，把《c代入方程组中即可求出用、〃的值，进一

卜=2

步即得答案.

【详解】

x=0n=2m=-2

解:把《代入得:,解得:"2+〃=0,

[y=2—2〃=2mn=2

应选：D.

【点睛】

此题考查的二元一次方程组的解及其解法，熟练掌握二元一次方程组的解的概念是求解

的关键.

7.把RtZ\ABC与RtVCDE放在同一水平桌面上，摆放成如下图的形状，使两个直角

顶点重合，两条斜边平行，假设NB=25°,NO=58°，那么/BCE的度数是（）

A.83°B.57°C.54'D.33°

【答案】B

【解析】

【分析】

过点C作CF//AB,那么CF//DE,再根据平行线的性质和直角三角形的性质即可

求出结果.

【详解】

解：过点C作C尸〃二NBCF=NB=25°.

又AB〃DE，：.CF"DE.

二ZFCE=NE=90°-ZD=90°-58°=32°.

二NBCE=NBCF+ZFCE=250+32°=57°.

应选:B.

【点睛】

此题考查了直角三角形的性质和平行线的性质，属于根底题型，过点C作C尸〃A3是

解题的关键.

8.李老师为了了解本班学生每周课外阅读文章的数量，抽取了7名同学进行调查，调

查结果如下（单位：篇/周）：4,4,255,4,3,其中有一个数据不小心被墨迹污损.这

组数据的平均数为4,那么这组数据的众数与中位数分别为（）

A.5,4B.3,5C.4,4D.4,5

【答案】A

【解析】

【分析】

设被污损的数据为x,先根据平均数的定义列出关于x的方程，求出方程的解后再根据

中位数和众数的定义进行判断即可.

【详解】

解：设被污损的数据为x.

那么4+x+2+5+5+4+3=4x7,解得x=5,

.•.这组数据中出现次数最多的是5,即众数为5篇，

将这7个数据从小到大排列为2、3、4、4、5、5、5,

这组数据的中位数为4篇.

应选：A.

【点睛】

此题考查了平均数、中位数和众数的概念，根据平均数的定义求出被污损的数据是解题

的关键.

9.如图,在矩形ABCO中对角线AC与8。相交于点O,CE工BD,垂足为点E,CE=5,

且EO=2DE,那么AO的长为()

A.576B.6A/5C.10D.6G

【答案】A

【解析】

【分析】

设DE=x,根据矩形对角线相等且互相平分的性质和E0=2OE的条件可得OC、OE

与x的关系，再在RtVOCE中根据勾股定理列出方程即可求出x的值，进一步即可求

出/C与OC的长，然后在RtAZ。。中再次运用勾股定理即可求出结果.

【详解】

解：；四边形ABCO是矩形，

AADC=90°.BD=AC,OD^-BD,OC^-AC,

22

OC=OD,

•：EO=IDE,

...设r>E=x,那么OE=2x,

OD—OC—3x,AC—6x，

■:CELBD,：.ZDEC=ZOEC=90\

在RtVOCE中，炉+C£2=OC2,；.(2X)2+52=(3X)2,

：x>0,=6，即OE=逐，那么AC=66，

•••CD=VBF+cF=J(6y+52=同，

；•AD=y/AC2-CD2=J(6@_(病)2=5指，

应选:A.

【点睛】

此题以矩形为载体，重点考查了矩形的性质和勾股定理以及运用方程解决问题的数学思

想方法，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键.

10.二次函数y=ac2+加+c(a/0)的图象如下图，现给出以下结论：①。历>0；

②9a+3/?+c=0；③。2-4ac<8a;④5a+h+c>().其中正确结论的个数是()

A.IB.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

根据图象可直接判断a、c的符号，再结合对称轴的位置可判断6的符号，进而可判断

①；

抛物线的图象过点(3,0),代入抛物线的解析式可判断②；

根据抛物线顶点的位置可知：顶点的纵坐标小于一2,整理后可判断③；

根据图象可知顶点的横坐标大于1,整理后再结合③的结论即可判断④.

【详解】

b

解：①由图象可知：a>0,c<0,由于对称轴---->0>b<0,cibc>0,故

2a

①正确；

②；抛物线过(3,0),；.%=3时，y=9a+3b+c=Q,故②正确；

'b4cic—b°、4/7,_

③顶点坐标为：一丁,「——.由图象可知：—<-2,Va>0,A

I2a4aJ4a

4ac-b2<-Sa)b2-4ac>8a>故③错误；

h

④由图象可知：---->1,tz>0,勿+h<0,

2a

:9a+3〃+c=0,c=-9a-3b,

，5。+b+c=5a+Z?-9a-3〃=-4a-2h=-2(2a+Z?)>0,故④正确；

应选：C.

【点睛】

此题考查了抛物线的图象与性质和抛物线的图象与其系数的关系，熟练掌握抛物线的图

象与性质、灵活运用数形结合的思想方法是解题的关键.

第II卷(非选择题)

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评卷人得分

二、填空题

11.2021年5月20日，第15届中国国际文化产业博览交易会落下帷幕.短短5天时间,

有7800000人次参观数据7800000用科学记数法表示为

【答案】7.8xl06.

【解析】

【分析】

根据科学记数法的表示方法写出即可.

【详解】

解：数据7800000用科学记数法表示为7.8x106.故答案为：7.8xl()6.

【点睛】

此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为。义10"的形式，其中lW|a|

<10,〃为整数，表示时关键要正确确定”的值以及〃的值.

12.因式分解：-,*2+2=.

2

【答案】—：(x+2)(x-2).

2

【解析】

【分析】

先提取公因式，再根据平方差公式分解.

【详解】

解：-gx2+2=_g(x2_4)=_；(x+2)(x_2).

故答案为：—5(x+2)(x—2).

【点睛】

此题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键.

13.从点例(—1,6),E(2,-3),F(-3,-2)中任取一点，所取的点恰好在

反比例函数y=2的图象上的概率为.

X

【答案二.

【解析】

【分析】

先依次判断例、N、£尸的坐标是否满足反比例函数的解析式，再根据概率公式求解

即可.

【详解】

解：,:k=6,—1x6=—6w6,—x12=6,2x(—3)=-6w6,—3x(—2)=6,

2

・・・N、/两个点在反比例函数y=£的图象上，故所取的点在反比例函数y=9的图象

xx

21

上的概率是一=一.

42

故答案为一.

2

【点睛】

此题考查了反比例函数图象上点的坐标特点和简单概率事件的求解，属于根底题型，熟

知反比例函数图象上点的坐标特点是解题的关键.

14.不等式组\,，、的解集是.

【答案】-2＜凡,3.

【解析】

【分析】

根据解一元一次不等式组的方法求解即可.

【详解】

,6-2x20①

解：〈,

|2x+4〉0②

由不等式①，得用,3,

由不等式②，得了＞-2,

故原不等式组的解集是-2＜x,3,

故答案为：-2＜内,3.

【点睛】

此题考查了一元一次不等式组的解法，属于根底题目，熟练掌握一元一次不等式组的解

法是解题的关键.

15.如图，把三角形纸片折叠，使点4、点C都与点B重合，折痕分别为EF,DG,

得到NBDE=60"，NBED=90°，假设OE=2,那么FG的长为.

【答案】3+V3.

【解析】

【分析】

根据折叠的性质可得：尸G是的中位线，/C的长即为的周长.在RW8OF

中，根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理可分别求出8。与命的长，从而可得

20的长，再根据三角形的中位线定理即得答案.

【详解】

解：•.•把三角形纸片折叠，使点A、点C都与点B重合，

:.AF=BF,AE=BE，BG=CG,DC=DB,

：.FG=-AC,

2

ZBDE=60°>NBED=9«，

NEBD=30°，

；•DB=2DE=4,

BE=yjDB2-DE2=y/4-*=-

:.AE=BE=ZBDC=DB=4,

：.AC=AE+DE+DC^2y/3+2+4=6+2s/3，

FG=-AC=3+y/3,

2

故答案为：3+也.

【点睛】

此题考查了折叠的性质、三角形中位线定理、30°角的直角三角形的性质和勾股定理等

知识，根据折叠的性质得出柘是的中位线，/C的长即为△位?£的周长是解此题

的关键.

16.如图，直线y=gx+l与X轴交于点M,与y轴交于点A,过点A作AB_LAM,

交x轴于点B,以48为边在48的右侧作正方形ABC4,延长4c交x轴于点为，以

4%为边在AxBx的右侧作正方形48cM2…按照此规律继续作下去，再将每个正方形

分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个小正方形的每条边都与其中的一条

坐标轴平行，正方形A3C4”A1C1A2,…，A一纥-4中的阴影局部的面积分别

为Si,S2,…，Sn,那么Sn可表示为.

【解析】

【分析】

因为所有的正方形都相似，所以只要求出第一个阴影正方形的面积和第二个阴影正方形

与第一个阴影正方形的相似比即可依此规律求解.根据题意和正方形的性质可得

nA1

ZOAB=ZAMO,所以它们的正切相等，等于——=一，据此可求出08的长，再

0M3

用。4一。8即为第一个阴影正方形的边长，于是S可得；同理可求得与力6的关

系，进而可求得邑与5的关系；以此规律类推可求得S”与S的关系，整理即得答案.

【详解】

解：在直线y=；x+l中，当％=0时，y=l；当y=0时，x=-3；

二04=1,OM=3,tanZAMO=-

3

,/ZOAB+NOAM=90°，ZAMO+NOAM=90°，

ZOAB^ZAMO,

tanNOAB==—,OB=—.

OA33

•.•正方形A8C4中的四个小正方形都与△AOB全等,

1?

,第一个阴影正方形的边长为：1-一=二，

33

/2\24

£--|=-

1379

D01

同理：tanZ.CBB.——■—=tan/OAB——,

1BC3

BC=-BC=-AC=-AB,

')33"3

4

:.y4jBj——AB,

4\E="，

S—

23

同理可得为星=图「用工

s3=sS4=^s.=

故答案为：一一.

32"

【点睛】

此题是一次函数与正方形的规律探求综合题，主要考查了一次函数与坐标轴的交点、正

方形的性质、锐角三角函数和相似多边形的性质，难度较大，解答时需充分理解题意、

注意知识的前后联系,解答的关键是找出解题的规律，正确得出5n与S的关系.

评卷人得分

三、解答题

…工"包aa+32a+6"(1Y1

17.先化简，再求值：—；-------,其中a=|-6]——.

a+2«2_42a2_84+8⑴

21

【答案】-原式=

(7+23

【解析】

【分析】

先根据分式的混合运算法那么进行化简，再把化简后的a的值代入计算即可.

【详解】

a。+32(。-2)~

解：原式=------------------2-------

〃+2(〃+2)(。一2)2(〃+3)

2

。+2

\-1

当a=|_6|一(g

=6—2=4时,

7

2

原式=

4+23

【点睛】

此题考查了分式的混合运算与求值，熟练掌握分式的混合运算法那么是解题的关键.

18.佳佳文具店购进4,8两种款式的笔袋，其中4种笔袋的单价比8种袋的单价低

10%.店主购进A种笔袋用了810元，购进3种笔袋用了600元，且所购进的A种笔袋

的数量比3种笔袋多20个.请问：文具店购进4,8两种款式的笔袋各多少个？

【答案】文具店购进4种款式的笔袋60个，B种款式的笔袋40个.

【解析】

【分析】

设文具店购进8种款式的笔袋x个，那么购进4种款式的笔袋(x+20)个，根据题意分

别表示出A种笔袋的单价和B种笔袋的单价，再根据“4种笔袋的单价比B种笔袋的单

价低10%"即可列出方程，解方程即得结果.

【详解】

解：设文具店购进B种款式的笔袋x个，那么购进4种款式的笔袋(x+20)个，

依题意，得：-^-=—(1-10%),

x+20x

解得：x=4(),

经检验，x=40是所列分式方程的解，且符合题意，

二x+20=60.

答：文具店购进A种款式的笔袋60个，8种款式的笔袋40个.

【点睛】

此题考查的是分式方程的应用，正确理解题意列出分式方程是解题的关键.

19.某校组织学生开展为贫困山区孩子捐书活动，要求捐赠的书籍类别为科普类、文学

类、漫画类、哲学故事类、环保类，学校图书管理员对所捐赠的书籍随机抽查了局部进

行统计，并对获取的数据进行了整理，根据整理结果，绘制了如下图的两幅不完整的统

计图.所统计的数据中，捐赠的哲学故事类书籍和文学类书籍的数量相同.请根据以上

信息，解答以下问题：

(1)本次被抽查的书籍有_____册.

(2)补全条形统计图.

(3)假设此次捐赠的书籍共1200册，请你估计所捐赠的科普类书籍有多少册.

【答案】(1)60；(2)见解析；［3)所捐赠的科普类书籍有180册.

【解析】

【分析】

(1)根据“捐赠的哲学故事类书籍和文学类书籍的数量相同〃列出算式求解即可;

(2)分别求出文学类书籍和哲学故事类书籍的数量即可补全条形统计图；

(3)用科普类书籍的数量除以书籍的总册数再乘以1200即得结果.

【详解】

解：(1)•.•捐赠的哲学故事类书籍和文学类书籍的数量相同，

二本次被抽查的书籍有：(3+9+12)-(1-30%-30%)=60(册),

故答案为：60；

(2)文学类有60x30%=18(册)，那么哲学故事类18册，补全的条形统计图如下

图；

9

⑶1200x—=1801册),

60

答：所捐赠的科普类书籍有180册.

【点睛】

此题考查的是条形统计图和扇形统计图以及用样本估计总体的相关知识，正确理解题意、

读懂两个统计图所提供的信息、列出相应的算式是解题的关键.

20.有5张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同.将这5张卡片反面向

上洗匀后放在桌面上.

(1)从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为.

(2)假设从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的

方法，求两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率.

【答案】(1)-；(2)两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率为弓.

【解析】

【分析】

(1)先判断其中的中心对称图形，再根据概率公式求解即得答案；

(2)先画出树状图得到所有可能的情况，再判断两次都是轴对称图形的情况，然后根

据概率公式计算即可.

【详解】

解：(1)中心对称图形的卡片是A和D,所以从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是

22

中心对称图形的概率为二，故答案为：二；

(2)轴对称图形的卡片是B、C、E.

画树状图如下：

由树状图知，共有20种等可能结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有

6种结果,分别是(B,C)、(B,E)、(C,B)、(C,E)、(E,B)、(E,C),

Aa

二两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率=F=F.

2010

【点睛】

此题考查了用画树状图或列表法求两次事件的概率、中心对称图形和轴对称图形的定义

等知识，熟知中心对称图形和轴对称图形的定义以及用画树状图或列表法求概率的方法

是解题的关键.

21.小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量.如图，他在山坡坡脚P

处测得古塔顶端M的仰角为60°,沿山坡向上走25m到达。处，测得古塔顶端M的仰

3

角为30°.山坡坡度，=3:4,即tan6==,请你帮助小明计算古塔的高度ME.(结果

精确到0.1m,参考数据：^3»1.732)

【答案】古塔的高度ME约为39.8m.

【解析】

【分析】

作。CLEP交EP的延长线于点C,作于点F,作PH工DF于点H,先

在Rt^QCP中利用条件利用勾股定理求出OC和PC的长，从而可得OH和EF的长，

设叱=y,分别在RtZSMPE和RtZ\MF£>中根据60°和30°的三角函数用y的代数

式表示出PE和。F,再根据PE、。尸和的关系列出方程，解方程后即可求出结果.

【详解】

解：作DCJ_EP交EP的延长线于点C,作DF_LME于点F，作PH±DF于点H,

那么DC=PH=FE,DH=CP,HF=PE,

3

设DC=3x,Ytan6CP=4x,

4

由勾股定理得，PD2=DC2+CP\即252=(3x)2+(4x)2,解得，工=5,

那么。C=3x=15,CP=4x=20,

二£>"=CP=20,FE=DC=\5,

设=那么ME=y+15,

MFMFr

在RtVMDE中，tanZMDF=——，那么。E=------=6y,

DFtan30°

在RtVMPE中，tanNMPE=必,那么PE=U=虫(y+15)，

PEtan60°3

,/DH=DF—HF，

•••Gy—^-(y+15)=20,解得，y=7.5+10百，

ME^MF+FE=7.5+10^+15«39.8.

答：古塔的高度ME约为39.8m.

【点睛】

此题考查了解直角三角形的实际应用和仰角、坡度等概念，熟练掌握锐角三角函数的定

义、灵活运用数形结合和方程的思想是解题的关键.

22.如图，四边形A8C。为菱形，以4。为直径作e。交A8于点尸，连接03交e。

于点"，E是8c上的一点，且BE=BF,连接OE.

(1)求证：OE是eO的切线.

(2)假设8尸=2,DH=逐,求eO的半径.

【答案】(1)见解析；(2)。。的半径为

2

【解析】

【分析】

(1)如图1,连接。凡先根据菱形的性质和SAS证明走△OCE得

/DFA=/DEC,再由，。是圆的直径得//田=90°,于是/。£△=90°,然后利用

AO〃8C可得/ZZ?F=90°,问题即得证明；

(2)如图2,连接AH,先根据等腰三角形三线合一的性质得出OB=2。/=26，

再由。门是RtVA。尸和RtZXBO尸的公共的直角边，根据勾股定理列出关于/。的方

程，解方程即可求出力。的长，进一步即可求出圆的半径.

【详解】

(1)证明：如图1,连接。F,

：四边形ABC。为菱形，

/.AB=BC=CD^DA,AD//BC,ZDAB=ZC,

•:BF=BE,：.AB—BF=BC—BE,即AF=C£,

/.ADAF丝7DCE(SAS)，:.ZDFA=/DEC.

：A。是。。的直径，/.ZDFA=90°.•••ZDEC=90°.

•：AD//BC,ZADE=ZDEC=90°>IODIDE.

♦.•0。是0。的半径，，。£是0。的切线；

(2)解：如图2,连接AH,

是。。的直径，ZAHD=ZDFA=90°>ZDFB=90°.

VAD=AB,DH=亚，:•DB=2DH=2出,

在RtVADF和RtABDF中，

DF2=AD2-AF2，DF2=BD1-BF2，

AD2-AF2DB2-BF2>

：.AD2-(AD-BF)2=DB--BF2,

222

AD-{AD-2)=(2⑹2_2,

：.AD=5.

。。的半径为

2

【点睛】

此题以菱形为载体，综合考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、圆的切线的判

定、等腰三角形的性质、平行线的性质和勾股定理等知识，知识点多、综合性强，解答

时需注意知识的前后联系，灵活运用方程思想.

23.网络销售是一种重要的销售方式.某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农

产品.其中一种当地特产在网上试销售，其本钱为每千克10元.公司在试销售期间，

调查发现，每天销售量y(kg)与销售单价H元)满足如下图的函数关系(其中0<X,30).

(1)直接写出y与X之间的函数关系式及自变量的取值范围.

(2)假设农贸公司每天销售该特产的利润要到达3100元，那么销售单价x应定为多少

元？

(3)设每天销售该特产的利润为W元，假设14<%,30,求：销售单价x为多少元时，

每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

640(10<^,14)

【答案Hi)y=~、“、；(2)销售单价x应定为15元；(3)当X=28

-20x+920(14<x,30)

时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元.

【解析】

【分析】

(1)当10<%，14时，可直接根据图象写出；当14<%,30时，y与X成一次函数关系,

用待定系数法求解即可;

(2)根据销售利润=每千克的利润(x-10)X销售量y,列出方程，解方程即得结果;

(3)根据销售利润此每千克的利润5—10)X销售量y,可得w与x的二次函数，再

根据二次函数求最值的方法即可求出结果.

【详解】

解：(1)由图象知，当10<%,14时，y=640；

14k+8=640

当14<三30时，^y=kx+b,将(14,640),(30,320)代入得〈，解得

30%+万=320

%=-20

。=920

与x之间的函数关系式为y=-20x+920；

640(10<%,14)

综上所述，y=<

—20x+920(14<%,30)

(2)(14一10)x640=2560,

V2560<3100,二x>14,

(x-10)(-20x+920)=3100,

解得：玉=41(不合题意舍去)，々=15,

答：销售单价x应定为15元;

(3)当14<%,30时，W=(x-10)(—20x+920)=-20(》一28)2+6480,

V-20<0,14<x,30,

，当x=28时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元.

【点睛】

此题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的实际应用，正确理解题意求出函数关

系式、熟练掌握一元二次方程的解法和求二次函数的最值的方法是解题的关键.

24.如图，四边形ABCD是正方形,连接4C,将AABC绕点A逆时针旋转a得4AEF，

连接CF,。为C尸的中点，连接OE,OD.

(1)如图1,当a=45°时，请直接写出OE与0。的关系(不用证明).

(2)如图2,当45°<a<90°时，(1)中的结论是否成立？请说明理由.

(3)当a=360°时，假设48=40，请直接写出点。经过的路径长.

【答案】⑴OE=OD,OELOD,理由见解析；⑵当45°<a<90°时，⑴中

的结论成立，理由见解析；(3)点。经过的路径长为8〃.

【解析】

【分^1?】

(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质可得与的数量关系；

根据旋转的性质和正方形的性质可得4C=2尸以及各内角的度数，进一步即可求

出NCCE与下的度数，进而可得与。F的位置关系；

(2)延长EO到点M,使OM=EO,连接DM.CM.DE,如图2所示，先根据SAS

证明VCOM丝NFOE,得AMCF=NEFC,CM=EF,再根据正方形的性质和旋

转的性质推得ZFCD=ZCFE=Z.MCF,进一步在^ACF中根据三角形内角和定理

和正方形的性质得出ZDAE=ZDCM,再一次运用SAS推出^ADE会NCDM,于

是DE=DM，进一步即可得出0瓜。。的位置关系，然后再运用SAS推出VCOM丝

△COD,即可得与OE的数量关系；

(3)连接A0,如图3所示，先根据等腰三角形三线合一的性质得出NAOC=90°，

即可判断点。的运动路径，由a=360°可得点。经过的路径长，进一步即可求得结果.

【详解】

解：(1)OE=OD,OELOD；理由如下：

由旋转的性质得：AF=AC，?AFE2ACB,

四边形ABCD是正方形，NACB=ZACD=ZFAC=45°，

，ZACF=NAFC=1(180°-45)=67.5°,

•••ZDCF=ZEFC=22.5°，

,：NFEC=9d，。为C尸的中点，OEnJc/nOC：。/7,

2

同理：OD==CF,：,OE=OD=OC=OF,

2

，ZEOC=2ZEFO=45°,ZDOF=2ZDCO=45°，

NDOE=180°—45°-45°=90°，,OE上OD；

(2)当45°＜a＜90°时，(I)中的结论成立，理由如下：

延长EO到点M,使QM=EO，连接OM、CM、DE,如图2所示：

•.•。为CF的中点，OC=O尸，

OM=OE

在7coM和7FOE中，＜NCOM=NFOE,

OC=OF

：.NCOM^NFOE[SAS),；.ZMCF=NEFC,CM=EF.

•.•四边形A8C£)是正方形，AB=3C=Cr),N84C=NBC4=45°，

•/A4BC绕点A逆时针旋转a得A4EF，

AAB=AE=EF=CD,AC=AF,

：.CD=CM,ZACF=ZAFC,

•：ZACF=ZACD+ZFCD,ZAFC=ZAFE+ZCFE,ZACO=ZAFE=45°，

ZFCD=ZCFE=NMCF,

VZEAC+ZDAE=45°＞NBW+ND4E=45°，；•NE4C=NE4£＞，

在AACF中，：NACF+NAEC+NOV7=180°，

NDAE+2ZFAD+ZDCM+90°=180°，

ZFAD+ZDAE=45\ZFAD+ZDCM=4^，：.ZDAE^ZDCM,

AE=CM

在AADE和7CDM中，＜CAE=ZDCM,

AD=CD

^ADE丝NCDM(SAS),；.DE=DM,

•：0E=0M,：.OELOD,

CM=CD

在NCOM和△CO。中，＜NMCF=ZFCD,

OC=OC

：.NCOM/\COD(SAS),：.OM=OD.

AOE=OD,：.OE=OD,OE1OD；

(3)连接AO,如图3所示：

VAC^AF,CO=OF,AOLCF,：.ZAOC=90°.

.•.点。在以AC为直径的圆上运动，

Va=360°，，点。经过的路径长等于以AC为直径的圆的周长，

;AC=JL4B=0X4AQ=8，二点。经过的路径长为：乃d=8».

【点睛】

此题是正方形的综合题，综合考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与

性质、等腰三角形的性质和判断动点运动路径等知识，考查的知识点多、综合性强，倍

长中线构造全等三角形、熟知正方形的性质、灵活应用旋转的性质和全等三角形的判定

与性质是解(2)题的关键.

25.如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+6与x轴交于点A,与y轴交点C,抛

物线y=-2犬+法+c过A,C两点，与x轴交于另一点8.

(1)求抛物线的解析式.

(2)在直线AC上方的抛物线上有一动点E,连接8E,与直线4C相交于点F,当

EEMJBF时，求sinZEBA的值.

2

(3)点N是抛物线对称轴上一点，在(2)的条件下，假设点E位于对称轴左侧，在

抛物线上是否存在一点M,使以"，N,E,B为顶点的四边形是平行四边形？假设存

在，直接写出点M的坐标；假设不存在，请说明理由.

【答案】(1)y=—2/—4x+6；(2)sin/EBA的值为亚或生叵；(3)存在，