高中数学讲义微43 线性规划

微专题43线性规划----作图与求解

一、基础知识

1、相关术语：

（1）线性约束条件：关于变量的一次不等式（或方程）组

（2）可行解：满足线性约束条件的解（x,y）

（3）可行域：所有可行解组成的集合

（4）目标函数：关于的函数解析式

（5）最优解：是目标函数取得最大值或最小值的可行解

2、如何在直角坐标系中作出可行域：

（1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点

（比如坐标轴上的点），以便快速做出直线

（2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区

域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊点

判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下

三种情况：

①竖直线x=a或水平线y可通过点的横（纵）坐标直接进行判断

②一般直线y=丘+。（奶00）：可代入（0,0）点进行判断，若符合不等式，则原点所在区域

即为不等式表示区域，否则则为另一半区域。例如：不等式x-2y+3〈0,代入（0,0）符合

不等式，则x-2y+3«0所表示区域为直线x—2y+3=0的右下方

③过原点的直线y=^（%#0）：无法代入（0,0）,可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者

利用象限进行判断。例如：yWx：直线y=x穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧。

考虑第四象限的点x>0,y<0,所以必有所以第四象限所在区域含在表示的区

域之中。

（3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件6（x,y）>0（或/（x,y）<0）

边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件E（x,y）20（或产（x,y）W0）

边界能取值时，在图像中边界用实线表示

3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤

(1)根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域

(2)确定目标函数z在式子中的几何意义，常见的几何意义有：(设。力为常数)

a7

①线性表达式一一与纵截距相关：例如Z=GT+勿，则有y=——X+—，从而Z的取值与

bb

动直线的纵截距相关，要注意力的符号，若。>0,则z的最大值与纵截距最大值相关；若

b<0,则z的最大值与纵截距最小值相关。

②分式一一与斜率相关(分式)：例如z=?二可理解为Z是可行域中的点(x,y)与定点

(a,b)连线的斜率。

③含平方和一一与距离相关：例如z=(x—。丫+(丁—bp：可理解为z是可行域中的点

(x,y)与定点(a,b)距离的平方。

(3)根据z的意义寻找最优解，以及z的范围(或最值)

4、线性目标函数影响最优解选取的要素：当目标函数直线斜率与约束条件直线斜率符号相同

时，目标函数直线斜率与约束条件直线斜率的大小会影响最优解的选取。

x>0

y>0

例如：若变量满足约束条件4，则z=3x+4y的最大值等于_____

3x+2y<12

x+2y<S

31

作出可行域如图所示，直线3x+2y=12的斜率占二一万，直线x+2y=8的斜率女2=-万，

目标函数的斜率左=-1,所以网<陶<网，所以在平移直线时，目标函数直线的倾斜程

度要介于两直线之间，从而可得到在A(2,3)取得最优解。但在作图中如果没有考虑斜率间的

联系，平移的直线比x+2y=8还要平，则会发现最优解在

5(0,4)处取得，以及若平移的直线比3x+2y=12还要陡，

则会发现最优解在C(4,0)处取得，都会造成错误。所以在

处理目标函数与约束条件的关系时、要观察斜率的大小，并

确定直线间“陡峭”程度的不同。

(1)在斜率符号相同的情况下：岗越大，则直线越“陡”

(2)在作图和平移直线的过程中，图像不必过于精确，但斜率符号相同的直线之间，陡峭程

度要与斜率绝对值大小关系一致，这样才能保证最优解选取的准确

(3)当目标函数的斜率与约束条件中的某条直线斜率相同时，有可能达到最值的最优解有无

数多个(位于可行域的边界上)

(4)当目标函数的斜率含参时，涉及到最优解选取的分类讨论，讨论通常以约束条件中同符

号的斜率作为分界点。

二、典型例题:

x+2y>0

例1：若变量满足约束条件<x-yWO，则z=2x—y的最小值等于()

x-2y+2>0

5c3

A.--B.-2C.--D.2

22

思路：按照约束条件作出可行域，可得图形为一个封

闭的三角形区域，目标函数化为：y=2x-z,则z的

最小值即为动直线纵截距的最大值。目标函数的斜率

大于约束条件的斜率，所以动直线斜向上且更陡。通

过平移可发现在A点处，纵截距最大。且

x+2y=0(

A:《解得I，所以z=2x-y

x-2y+2=0(2)-

的最小值ZmM=2-(—1)=——

min''22

答案：A

x+y—220

例2：设变量满足约束条件<x-y-240,则目标函数z=x+2y的最小值为()

A.2B.3C.4D.5

思路：作出目标函数的可行域，得到一个开放的区域，

数y=—x-\—,通过平移可得最优

22

x+y—2=0/、

A：｛■所以Zmin=3

y=l

答案：B

X<1

例3：若变量满足<，则z=f+y2的最大

x+y+2>0

为()

A.V10B.7C.9D.10

思路：目标函数z=*2+V可视为点到原点距离的平方，所

只需求出可行域里距离原点最远的点即可，作出可行域，观察

得最远的点为A(l,-3),所以Za=10

答案：D

2x-y-2<Q

例4：设变量满足约束条件<x-2y+2N0,则

x+y-l>0

$=2里的取值范围是()

X+1

A.6B.—,1C.[1,2]

思路：所求s=可视为点(x,y)与定点(一1,-1)连线

的斜率。从而在可行域中寻找斜率的取值范围即可，可得

在(1,0)处的斜率最小，即女,而在(0,1)

1—(—1)y+11

处的斜率最大，为—「4=2,结合图像可得s=2—的范围为:2

0-(-1)X+1|_2

答案：D

x+y>0

例5：若实数满足条件<x—y+lNO,则|x—3引的最大值为

04x41

()

A.6B.5C.4D.3

思路：设z=x-3y,则可先计算出z的范围，即可求出忖的最大值：y=：x-；z,则最

优解为4（1,—1）1（1,2）,所以ze[—5,4],则|目皿=5

答案：B

x-4j+3<0

例6：设。为坐标原点，点M的坐标为（2,1）,若点N（x,y）满足不等式组，2x+y-12<0,

x>l

则使。河二0月取得最大值的点N的个数有（）

A.1B.2C.3D,无数个

思路：设z=0杯•丽=2x+y,作出可行域，通过平移可发现达到最大值时，目标函数与

直线2x+y-12=0重合，所以有无数多个点均能使

丽八丽取得最大值

答案：D

例7：（2015,福建）变量满足约束条件

x+y>0

x-2y+2>0,若z=2x-y的最大值为2,则实数

nix-y<0

机等于（）

A.-2B.-1C.1D.2

思路：本题约束条件含参，考虑先处理常系数不等式，

作出图像，直线y=为绕原点旋转的直线，从图像

可观察出可行域为一个封闭三角形，目标函数y=2x-z,若z最大则动直线的纵截距最小，

可观察到A为最优解。A:《'=>A-----,------,则有

y=mx\2m-12机一1:

22m

z=2--------------=2,解得：m—1

2m-12m-1

答案：C

小炼有话说：当线性约束条件含参数时，一方面可先处理常系数不等式，作出可行域的大致

范围，寻找参数变化时，可行域的共同特征；另一方面对含参数的直线确定是否过定点，在

变化中寻找区域的规律。找到共同的最优解所满足的方程，便可根据最值求出参数

x<\

例8：在约束条件，x—>+加220下，若目标函数z=—2x+y的最大值不超过4,则实数加

x+y-l>0

的取值范围是()

A.(-V3,V3)B.[o,G]C,[-V3,o]D,[-73,Vs]

思路：先做出常系数直线，动直线x-y+m?=0时注意到

nr>0,斜率为常数1,且发现围成的区域恒为一个三角形。

目标函数y=2x+z,通过图像可得最优解为

X+y-]=0|I-/??21+m2

-y+m2-012'2所以

一1一机21+m23,1,31「/rr-~\

Z=-2------1-----——ITT—,则一IYV2—<4解仔：171€—\/3,5/3

max222222L」

答案：D

x-y>0

例9：若变量满足约束条件,x+yV2,若z=ox+y的最大值为4,则。=()

A.3B.2C.-2D.-3

思路：如图作出可行域，目标函数为y=-ax+z,由于a决定直线的方向，且约束条件中的

直线斜率有正有负。所以先考虑a的符号：

当一a>0=a<0时，此时与y=x的斜率进行比较：

若一aNl=aW-l,则z的最大值为0,不符题意；

若0<—a<l=-l<a<0,则最优解为A(l,l),代入解得

。=3与初始范围矛盾，故舍去；当一a<0=a>0时，直线与

x+y=2斜率进行比较：

若一。<一1=。>1,则最优解为3(2,0),代入解得a=2,符合题意

若a=l,可得z的最大值为2,不符题意，舍去

若0>—a>—1=0<a<1,则最优解为代入解得a=3与初始范围矛盾，舍去

综上所述：a=2

答案：B

小炼有话说：（1）目标函数的直线陡峭程度不同，会导致最优解不同，所以当斜率含参时，

可在约束条件中寻找斜率与目标函数斜率同号的直线，则这些直线的斜率通常是分类讨论的

分界点。

（2）本题也可分别假设可行域3个顶点为最优解，求出。的值，再带入验证。

3x-y-240

例10：设满足约束条件<x—yNO，若目标函

x>0,y>0

数z=ax+hy[a>O,b>0）的最大值为2,则一+[的最

小值是（）

258

A.—B.-C.2D.4

63

思路：先做出可行域，目标函数

（17

z=ax+by=>y=——x+—,由。>0,力>0可得直线的斜率为负，所以由图像可得最大值

bb

,c2111(11\,xba\n

在（1,1）处取得，即z=a+b=2,所以—i—=——i—\(a+b}=—2H--1—>2

1mxab21abP'2(ab)

答案：C

小炼有话说：本题判断出斜率为负是解题的关键，从而能迅速通过平移直线得到最优解，而

后与均值不等式结合求出最值

三、历年好题精选

x+y-2>0

1、（2016,衡阳联考）如果实数满足条件—140,则z=—匚的最小值为L,

[y--2Ko-x+a2

则正数a的值为

y<x-1

2、（2014,温州中学三月考）已知实数满足xW3,则上的最小值是

v

x+5^>4'

m-njc+y>Q

3、若点（1,1）在不等式组<2〃ix-〃y—4WO所表示的平面区域内，则/??+"的取值范围是

ivc>3y-3m

x-”0

（尤+y）+y2

4、（2016,南昌二中四月考）已知实数满足,x+y-5<0,则'）的取值范

x2+2y2

、1，1

y>—x+—

44

围是________

x-y-2<0

X

5、设实数x,y满足•x+2y-5>0，则-土的取值范围为（）

Xy

y-2<0

工2「c「831r「c3一

A.-,2B.C.---,—D.0,一

l_3J"3'_L32jL2_

'2x+jp>4

6、设实数满足《x-yN—1,则z=x+y为（）

x-2i

A.有最小彳直2,最大值3B.有最小值2,无最大值

C.有最大彳直3,无最小值D.既无最小值，也无最大值

\x>0

匕的最小值是（）

7、设满足约束条件：<y>x，则上

X+1

4x+3y<12

A.2B.3C.4D.5

x+y-2>0

8、（2016,湖南师大附中月考）若实数满足•y-x-\<0,设〃=x+2y,u=2x+y

X<1

则2的最大值为（）

V

57

A.1B.-C.-D.2

45

x-y<0

9、（2015,北京）若满足，x+y<1,则z=x+2）的最大值为（）

x>0

3

A.0B.1D.2

2

4x+5y>8

10、（2015,广东）若变量满足约束条件<14x43，则z=3x+2y的最小值为（）

0<y<2

.31,23

A.—B.6匚---D.4

55

x-l>0

11、（2015,新课标1）若满足约束条件，x-y<0,则上的最大值为________

X

x+y-4<0

答案：3

\x-y+l>0

12、（2015,新课标II）若满足约束条件<x—2y«0,则2=%+y的最大值为一

x+2y-240

x-y>0

13、（2015,山东）已知羽y满足约束条件<x+y42,若z=分+y的最大值为4,则〃=

y>0

（）

A.3B.2C.—2D.—3

x+y-2>0

14、（2014,北京）若满足约束条件,依->+220,且z=y-尤的最小值为-4,则女

y>0

的值为（）

A.2B.—2C.—D.

22

习题答案：

1、答案：1

X-1'|I

解析：根据约束条件画出可行域，可知4—时，2遍=一即——=-=>0=1

7=121+a2

2、答案：4

解析：设2=上，则有f=zy,则可知抛物线与不等式可行域有公共点，作出可行域，如图

y

可知当y=x-l与抛物线相切时，此时z取得最小值，联立方程

•2_,

■"=z)'+z=o,所以判别式A=z2—4z=0nz=4

)=xT

9

3、答案：—,61

10

m-nx+y>0m-n+l>0

作出可行域，加2+〃2可视为

解析：将（1,1）代入一〃y—4W0可得:<2m-H-4<0,

nx>3y-3m3m+-3>0

点(〃?,〃)到原点距离的平方。结合图像可知：(5,6)到原点距离最大，即(>+”2)心=61原

点到直线3机+〃-3=0的距离为所以(机2+〃2)=2

10''min1Q

135

4、答案:

~9,3

22.2

（x++yX

解析：z=（，力/1+——7,其中％=2可视为(x,y)与(0,0)

x2+2y21+高

1+2用

连线的斜率，作出可行域，数形结合可得：直线y=依与

)在第一象限相切时，上取得最大值，解得：

z=l+%i9135

,+,而ke[l,2]时，2%+一63,-,所以ze

1+2公^1k22

k

5、答案：C

解析：令，=）,

作出可行域，可知f可视为（x,y）,（0,0）连线的斜率，fe2

XT

1I।1X3

且〃=r——为EW-,2关于，的增函数，所以,

t3332

6、答案：B

解析：作出可行域（为开放区域），再平移直线y=-X+Z即可得到Z在（2,0）处达到最小值,

即Zmm=2,但没有最大值

7、答案：B

x+2y+3,y+1,y+1

解析：u=-------:------=1+2---------,则n4l=--------可视为可行域中的点（X,），）与（-1,-1）连

X+1X+1X+1

线的斜率，作出可行域可得：Ze[1,5],所以〃的最小值为3

8、答案：C

13

解析：方法一：幺=2=上二131Y

=—I—,，其中j为可行域中的点（x,y）

v2x4-y2x+y22

2-----F1

y

X

与原点（0,0）连线斜率上的倒数，作出可行域可知：所以;e-,1,从而可计算

3

,u

出一£

V

2v-u

x---------

u—x+2y3

方法二：由＜可得：，代入到