统考版2025届高考数学全程一轮复习课时作业50直线与圆圆与圆的位置关系理

课时作业50直线与圆、圆与圆的位置关系[基础落实练]一、选择题1．[2024·广州市一般中学测试]若直线kx－y＋1＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0有公共点，则实数k的取值范围是()A．[－3，＋∞)B．(－∞，－3]C．(0，＋∞)D．(－∞，＋∞)2．[2024·菏泽模拟]已知圆(x－1)2＋y2＝1被直线x－eq\r(3)y＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为()A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶53．[2024·山西太原模拟]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝()A．21B．19C．9D．－114．[2024·河北九校联考]圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为()A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2－4x＝0D．x2＋y2＋2x－3＝05．[2024·山东济宁检测]已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝9，过点M(1，1)的直线l与圆C交于A，B两点，当弦长AB最短时，直线l的方程为()A．2x－y－1＝0B．x＋2y－8＝0C．2x－y＋1＝0D．x＋2y－3＝0二、填空题6．[2024·广东省七校联合体高三联考]设直线l：3x＋4y＋10＝0，与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25交于A，B两点，则|AB|为________．7．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2eq\r(3)，则a＝________．8．[2024·浙江卷]已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________．三、解答题9．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切？(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2eq\r(2)时，求直线l的方程．10．设O为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P，Q，满意关于直线x＋my＋4＝0对称，且eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0.(1)求m的值；(2)求直线PQ的方程．[素养提升练]11．[2024·河南省名校第一次联考]已知圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋2eq\r(2)－2＝0相切，则圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为()A．1B．eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)12．[2024·安徽省名校试验班大联考]过直线y＝x上的一点P作圆(x－5)2＋(y－1)2＝2的两条切线I1，I2，点A和B为切点，当直线I1，I2关于直线y＝x对称时，∠APB＝()A．30°B．45°C．60°D．90°13．[2024·郑州模拟]过动点M作圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝1的切线，N为切点．若|MN|＝|MO|(O为坐标原点)，则|MN|的最小值为________.14．已知点P(eq\r(2)＋1，2－eq\r(2))，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过点P的圆C的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．15．已知圆C经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C在直线x－y＋1＝0上，过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C相交于M，N两点．(1)求圆C的方程；(2)①请问eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；②若eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝12(O为坐标原点)，求直线l的方程．[培优创新练]16．瑞士闻名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同始终线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”，在平面直角坐标系中作△ABC，△ABC中，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆(x－3)2＋y2＝r2相切，则该圆的直径为()A．1B．eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)17．[2024·贵阳市贵阳一中高三月考]若直线mx－ny＋3＝0(m>0，n>0)截圆C：x2＋y2＋6x－4y＋5＝0所得的弦长为4eq\r(2)，则eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)的最小值为()A．eq\f(8－4\r(3),3)B．eq\f(8＋4\r(3),3)C．8－4eq\r(3)D．8＋4eq\r(3)课时作业50直线与圆、圆与圆的位置关系1．解析：方法一由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kx－y＋1＝0，,x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，))消去y并化简得（1＋k2）x2＋（2－2k）x－2＝0，判别式Δ＝（2－2k）2＋8（1＋k2）＞0，所以直线与圆必有公共点，所以k的取值范围是（－∞，＋∞）.方法二直线kx－y＋1＝0过定点（0，1），由于02＋12＋2×0－4×1＋1＝－2＜0，所以点（0，1）在圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0内，所以直线与圆必有公共点，所以k的取值范围是（－∞，＋∞）.答案：D2．解析：（x－1）2＋y2＝1的圆心为（1，0），半径为1.圆心到直线的距离d＝eq\f(1,\r(1＋3))＝eq\f(1,2)，所以较短弧所对的圆心角为eq\f(2π,3)，较长弧所对的圆心角为eq\f(4π,3)，故两弧长之比为1∶2.选A.答案：A3．解析：圆C1的圆心为C1（0，0），半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为（x－3）2＋（y－4）2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2（3，4），半径r2＝eq\r(25－m)（m<25）.从而|C1C2|＝eq\r(32＋42)＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋eq\r(25－m)＝5，解得m＝9.答案：C4．解析：由题意设所求圆的方程为（x－m）2＋y2＝4（m>0），则eq\f(|3m＋4|,\r(32＋42))＝2，解得m＝2或m＝－eq\f(14,3)（舍去），故所求圆的方程为（x－2）2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.答案：C5．解析：依据题意，圆C的圆心C（2，3），半径r＝3.当CM与AB垂直时，即M为AB的中点时，弦长AB最短，此时CM的斜率kCM＝eq\f(3－1,2－1)＝2，则AB的斜率kAB＝－eq\f(1,2)，所以直线AB的方程为y－1＝－eq\f(1,2)（x－1），即x＋2y－3＝0.答案：D6．解析：因为圆C：（x－2）2＋（y－1）2＝25，圆心为（2，1），半径r＝5，所以圆心到直线l的距离d＝eq\f(|6＋4＋10|,\r(32＋42))＝4，|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝6.答案：67．解析：方程x2＋y2＋2ay－6＝0与x2＋y2＝4.两式相减得：2ay＝2，则y＝eq\f(1,a).由已知条件eq\r(22－（\r(3)）2)＝eq\f(1,a)，即a＝1.答案：18．解析：方法一设过点A（－2，－1）且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，则r＝eq\r(（－2－0）2＋（－1＋2）2)＝eq\r(5).方法二因为直线2x－y＋3＝0与以点（0，m）为圆心的圆相切，且切点为A（－2，－1），所以eq\f(m＋1,0－（－2）)×2＝－1，所以m＝－2，r＝eq\r(（－2－0）2＋（－1＋2）2)＝eq\r(5).答案：－2eq\r(5)9．解析：（1）依据题意，圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，则圆C的标准方程为x2＋（y－4）2＝4，其圆心为（0，4），半径r＝2，若直线l与圆C相切，则有eq\f(|4＋2a|,\r(1＋a2))＝2，解得a＝－eq\f(3,4).（2）设圆心C到直线l的距离为d，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))eq\s\up12(2)＋d2＝r2，即2＋d2＝4，解得d＝eq\r(2)，则有d＝eq\f(|4＋2a|,\r(1＋a2))＝eq\r(2)，解得a＝－1或－7，则直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0.10．解析：（1）x2＋y2＋2x－6y＋1＝0的坐标方程为（x＋1）2＋（y－3）2＝9，所以曲线是以（－1，3）为圆心，3为半径的圆．由已知得直线过圆心，所以－1＋3m＋4＝0，解得m＝－1.（2）设直线PQ：y＝－x＋b，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，,y＝－x＋b))，得2x2＋2（4－b）x＋b2－6b＋1＝0.设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有x1＋x2＝b－4，x1x2＝eq\f(b2－6b＋1,2).又eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，即2x1x2－b（x1＋x2）＋b2＝0，将x1＋x2＝b－4，x1x2＝eq\f(b2－6b＋1,2)代入上式得b2－2b＋1＝0，所以b＝1，所以直线PQ的方程式为y＝－x＋1.11．解析：圆心（a，0）到直线x－y＋2eq\r(2)－2＝0的距离为d1＝eq\f(|a＋2\r(2)－2|,\r(2))，因为圆C：（x－a）2＋y2＝4（a≥2）与直线x－y＋2eq\r(2)－2＝0相切，所以d1＝eq\f(|a＋2\r(2)－2|,\r(2))＝2，解得a＝2或a＝2－4eq\r(2).因为a≥2，所以a＝2，（x－2）2＋y2＝4的圆心（2，0）到直线x－y－4＝0的距离为d2＝eq\f(|2－4|,\r(2))＝eq\r(2)，所以圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为2eq\r(22－deq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝2eq\r(2).答案：D12．解析：由题意作出图形如图所示，因为直线I1，I2关于直线y＝x对称，故由题意知∠APO＋∠BPO＝180°，则P与圆心C的连线与直线y＝x垂直．连接PC，AC，因为圆心到直线y＝x的距离为2eq\r(2)，所以sineq\f(∠APB,2)＝sin∠APC＝eq\f(\r(2),2\r(2))＝eq\f(1,2)，所以∠APC＝30°，则∠APB＝60°.答案：C13．解析：设M（x，y），因为|MN|＝|MO|，所以（x－2）2＋（y－2）2－1＝x2＋y2，整理得4x＋4y－7＝0，即动点M在直线4x＋4y－7＝0上，所以|MN|的最小值就是|MO|的最小值，为eq\f(7,\r(42＋42))＝eq\f(7\r(2),8).答案：eq\f(7\r(2),8)14．解析：由题意得圆心C（1，2），半径r＝2.（1）∵（eq\r(2)＋1－1）2＋（2－eq\r(2)－2）2＝4，∴点P在圆C上．又kPC＝eq\f(2－\r(2)－2,\r(2)＋1－1)＝－1，∴切线的斜率k＝－eq\f(1,kPC)＝1.∴过点P的圆C的切线方程是y－（2－eq\r(2)）＝x－（eq\r(2)＋1），即x－y＋1－2eq\r(2)＝0.（2）∵（3－1）2＋（1－2）2＝5＞4，∴点M在圆C外部，当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C（1，2）到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满意题意，所以直线x＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k（x－3），即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝eq\f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋1))＝r＝2，解得k＝eq\f(3,4).∴切线方程为y－1＝eq\f(3,4)（x－3），即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.∵|MC|＝eq\r(（3－1）2＋（1－2）2)＝eq\r(5).∴过点M的圆C的切线长为eq\r(|MC|2－r2)＝eq\r(5－4)＝1.15．解析：（1）设圆C的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，依题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2－a）2＋（4－b）2＝r2，,（1－a）2＋（3－b）2＝r2，,a－b＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝3，,r＝1，))∴圆C的方程为（x－2）2＋（y－3）2＝1.（2）①eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))为定值．过点A（0，1）作直线AT与圆C相切，切点为T，如图．易得|AT|2＝7，∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝|eq\o(AM,\s\up6(→))|·|eq\o(AN,\s\up6(→))|cos0°＝|AT|2＝7.∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l的方程为y＝kx＋1，设M（x1，y1），N（x2，y2），将y＝kx＋1代入（x－2）2＋（y－3）2＝1.并整理，得（1＋k2）x2－4（1＋k）x＋7＝0，∴x1＋x2＝eq\f(4（1＋k）,1＋k2)，x1x2＝eq\f(7,1＋k2)，∴eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝（1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2）＋1＝eq\f(4k（1＋k）,1＋k2)＋8＝12，即eq\f(4k（1＋k）,1＋k2)＝4，解得k＝1.又当k＝1时，Δ＞0，∴k＝1，∴直线l的方程为y＝x＋1.16．解析：因为在△ABC中，AB＝AC＝4，所以BC边上的高线、垂直平分线和中线合一，则△ABC的“欧拉线”为边BC的垂直平分线，因为点B（－1，3），点C（4，－2），所以BC的中点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))，因为直线B