2025版新教材高中数学同步练习33直线与平面垂直的判定新人教A版必修第二册

同步练习33直线与平面垂直的判定必备学问基础练一、选择题(每小题5分，共45分)1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不行能()A．平行B．相交C．异面D．垂直2．在长方体ABCD­A1B1C1D1的六个面中，与直线BB1垂直的面的个数有()A．1B．2C．3D．43．直线l与平面α内的多数条直线垂直，则()A．l和α相互平行B．l和α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定4．已知直线l和平面α，则“l垂直于α内随意直线”是“l⊥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角为()A．20°B．70°C．90°D．110°6.如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的随意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是()A．1B．2C．3D．47．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或多数个D．不存在8．(多选)下列条件中能推出l⊥α的有()A．直线l与平面α内一个三角形的两边垂直B．直线l与平面α内一个梯形的两边垂直C．直线l与平面α内多数条直线垂直D．直线l与平面α内随意一条直线垂直9．(多选)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ垂直的是()二、填空题(每小题5分，共15分)10．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满意条件__________时，有m⊥β.(选填其中的两个条件)11．设三棱锥P­ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则PA，PB，PC的关系是________．12．已知正三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面BCC1B1所成角的正弦值是________．三、解答题(共20分)13.(10分)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AD＝2，PA＝2，PD＝2eq\r(2)，求证：AD⊥平面PAB.14.(10分)在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA＝AB＝2，求直线PB与平面PAC所成的角.关键实力提升练15.(5分)如图所示的正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合为点G，则有()A．SG⊥平面EFGB．EG⊥平面SEFC．GF⊥平面SEFD．SG⊥平面SEF16.(5分)如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，当底面ABCD满意条件________时，有A1C⊥B1D1.(只需填写一种正确条件即可)17．(10分)如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD.同步练习33直线与平面垂直的判定必备学问基础练1．答案：A解析：因为l⊥平面α，直线m⊂α，由线面垂直的性质可以知道l⊥m，故选A.2．答案：B解析：如图所示，仅有平面ABCD和平面A1B1C1D1与直线BB1垂直．故选B.3．答案：D解析：如图，直线l和平面α相互平行或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D.4．答案：C解析：若l垂直于α内随意直线，明显有l⊥α，故充分性成立；若l⊥α，则l垂直于平面α内随意直线，故必要性成立，故“l垂直于α内随意直线”是“l⊥α”的充要条件．故选C.5．答案：B解析：∵l∥m，∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角，又直线l与平面α所成的角为70°，∴m与α所成的角为70°.故选B.6．答案：D解析：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC.∴△ABC为直角三角形．又PA⊥⊙O所在平面，AC，AB，BC都在⊙O所在平面内，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∴△PAC、△PAB是直角三角形，又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC.∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC是直角三角形，从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC均为直角三角形．故选D.7．答案：B解析：若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在，∴若直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面至多一个．故选B.8．答案：AD解析：由线面垂直的判定定理知AD正确；对于B，当梯形的两边平行时，不能推出l⊥α；对于C，当多数条直线相互平行时，不能推出l⊥α.故选AD.9．答案：ABC解析：对于A，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于B，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于C，易证AB⊥NQ，AB⊥MQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于D，由图可得MN与直线AB相交且不垂直，故直线AB与平面MNQ不垂直．故选ABC.10．答案：②④解析：∵由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂直于另一个平面，结合所给的选项，故由②④可推出m⊥β.即②④是m⊥β的充分条件，∴满意条件②④时，有m⊥β.11．答案：PA＝PB＝PC解析：因为H为AC中点，∠ABC＝90°，所以AH＝BH＝CH，又PH⊥平面ABC，由勾股定理知PA＝PB＝PC.12．答案：eq\f(\r(6),4)解析：若E为BC中点，连接AE，B1E，因为正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，故AE⊥BC，且B1B⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，则B1B⊥AE，B1B∩BC＝B，B1B，BC⊂平面BCC1B1，所以AE⊥平面BCC1B1，故∠AB1E为AB1与侧面BCC1B1所成角平面角，所以sin∠AB1E＝eq\f(AE,AB1)＝eq\f(\f(\r(3),2)AB,\r(2)AB)＝eq\f(\r(6),4).13．证明：在△PAD中，由PA＝2，AD＝2，PD＝2eq\r(2)，可得PA2＋AD2＝PD2，即AD⊥PA.又AD⊥AB，PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB.14．解析：连接AC，交BD于点O，∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，∴BD⊥PA，BD⊥AC，∵AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC，即BO⊥平面PAC；连接OP，则∠BPO即是直线PB与平面PAC所成的角，又∵PA＝AB＝2，∴PB＝2eq\r(2)，BO＝eq\r(2)，∴sin∠BPO＝eq\f(BO,PB)＝eq\f(\r(2),2\r(2))＝eq\f(1,2)，∴∠BPO＝eq\f(π,6).关键实力提升练15．答案：A解析：由题意：SG⊥FG，SG⊥EG，FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG，所以SG⊥平面EFG正确，D不正确；又若EG⊥平面SEF，则EG⊥EF，由平面图形可知明显不成立；同理GF⊥平面SEF不正确．故选A.16．答案：AC⊥BD解析：依据直四棱柱ABCDA1B1C1D1可得：BB1∥DD1，且BB1＝DD1，所以四边形BB1D1D是矩形，所以BD∥B1D1，同理可证：AC∥A1C1，当AC⊥BD时，可得：A1C1⊥B1D1，且CC1⊥底面A1B1C1D1，而B1D1⊂底面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，而A1C1∩CC1＝C1，从而B1D1⊥平面A1CC1，因为A1C⊂平面A1CC1，所以A1C⊥B1D1，所以当AC⊥BD时满意题意．17．证明：(1)取PD的中点E，连接NE，AE，如图．又∵N是PC的中点，∴NE綉eq\f(1,2)DC.又∵DC綉AB，AM＝eq\f(1,2)AB，∴AM綉eq\f(1,2)CD，∴NE綉AM，∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.∵AE⊂平面PAD，M