2025届高三数学二轮专题复习对数函数幂函数讲义

对数与对数运算1.在指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)中，幂指数x，又叫做以a为底y的对数．2.一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数．3.对数恒等式alogaN＝N.4.对数与指数间的关系：ab＝N⇔b＝logaN(a>0，a≠1)．5.常用对数/自然对数以10为底的对数叫做常用对数，通常把log10N记作lgN.以e为底的对数叫做自然对数，通常把logeN记作lnN.6.对数运算性质(1)对数的运算法则假如a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(2)对数的性质①＝N；②logaaN＝N(a>0且a≠1)．(3)对数的换底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．对数函数1.一般地，我们把函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域为(0，＋∞)．2.对数函数的图象与性质y=logaxa>10<a<1图象定义域(1)(0，＋∞)值域(2)R性质(3)过定点(1,0)(4)当x>1时，y>0;当0<x<1时，y<0(5)当x>1时，y<0;当0<x<1时，y>0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数习题1.对数式lg(2x－1)中实数x的取值范围是________；2.对数式log(x－2)(x＋2)中实数x的取值范围是______．3.下列函数表达式中，是对数函数的个数有()①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝lnx；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．A．1个 B．2个C．3个 D．4个4.若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________.5.若函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________.6.函数f(x)＝log3(2x－1)的定义域为______．7.函数f(x)＝eq\f(1,\r(2－x))＋ln(x＋1)的定义域为______．8.函数y＝eq\r(log32x－1)的定义域为()A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))9.已知a＞0且a≠1，函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是()10.当0＜x≤eq\f(1,2)时，4x＜logax，则a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C．(1，eq\r(2))D．(eq\r(2)，2)11.函数的单调递增区间是（）A.B.C.D.12.若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为________.13.若实数a，b，c满意loga2<logb2<logc2，则下列关系中不行能成立的是()A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b14.设a=log36，b=log15.设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则()A．b<a<c B．c<a<bC．c<b<a D．a<c<b16.已知loga13>logbA.1<b<aB.1<a<bC.0<a<b<1D.0<b<a<117.函数y=1log A.34,1 C.1,+∞ D.318.函数y=logax+1幂函数1.一般地，函数y＝xα(α∈R)叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2.幂函数的图像3.幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减4.“对号”函数形如f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：习题1.在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为()A．0 B．1C．2 D．32.已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2,eq\r(2))，则f(9)＝________.3.若函数f(x)是幂函数，且满意f(4)＝3f(2)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值等于________.4.当x∈(1,+∞)时，下列函数中图象全在直线y=x下方的增函数是（）A.y=x12B.y=x5.若(2m＋1)>(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(－\r(5)－1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，＋∞))C．(－1,2) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，2))6.已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数的值域为R，且为奇函数的全部的值为()A.1，3 B.－1，1C.－1，3 D.－1，1，37.已知幂函数f(x)＝x(m∈N＋)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，eq\r(2))，试确定m的值，并求满意条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．8.已知f(x)＝x，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是 ()A．f(a)<f(b)<f(eq\f(1,a))<f(eq\f(1,b))B．f(eq\f(1,a))<f(eq\f(1,b))<f(