高中数学-圆教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计

1.问题情境

问题1.一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮

船正西70km处,受影响的范围是半径长为50km的圆形区域.己知港口位于台风中心正北70km

处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

设计意图：让学生感受台风这个实际问题中所蕴含的直线与圆的位置关系，思考解决问

题的方案.通过实际问题引入，让学生体会生活中的数学，突出研究直线与圆的位置关系

的重要意义.

师生活动：让学生进行讨论、交流，启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直

观认知，引入新课.B

师：你怎么判断轮船受不受影响？

生：台风所在的圆与轮船航线所在直线是否相交./\

师：（板书标题）这个问题，其实可以归结为直线与圆的位置关系.IO一TA

学生解决方法一：设0为台风中心，A为轮船开始位置，B为港口

70

位置，在RTAOAB中，0至UAB的距离d?2<5（），因此受影响.

2.揭示课题一一直线与圆的位置关系

问题2.前面问题可以转化为直线圆的位置关系问题.请问，直线与圆的位置关系有几

种？在平面几何中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？

设计意图：从已有的知识经验出发，建立新旧知识之间的联系，构建学生学习的最近发

展区，不断加深对问题的理解.

师生活动：引导学生回忆义务教育阶段判断直线与圆的位置关系的思想过程.可以展示

下面的表格，使问题直观形象.

直线与圆的位置

公共点个数与r的关系图形

关系d

相交两个d<rQ

相切一个d-ro

相离没有d>ra

3.直线与圆位置关系的判断

问题3：方法一是用平面几何知识判断直线与圆的位置关系，你能根据直线与圆的方程

判断它们之间的位置关系吗？

设计意图：引导学生用直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系，体验坐标法的思想方

法.

师生活动：通过教师追问，引起学生思考.

师：要求圆与直线的方程，首先要建立坐标？那如何建立

坐标？

生：以台风中心为原点°,以东西方向为X轴，建立直角坐标系.

师：(追问)坐标系还可以有其他建法吗？

生：以港口所在位置为原点，……以轮船所在位置为原点.(选择一种，师生共同完成)

方法二：如图，以台风中心为原点°,以东西方向为X轴，建立直角坐标系，其中，

取10km为单位长度.

则台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为,+丁2=25,

圆心0(0,0),半径5,

轮船航线所在的直线’的方程为\+丁一7=°,直线与圆相交.

问题4：这是利用圆心到直线的距离d与半径y的大小关系判别直线与圆的位置关系(称

此法为“办法”).请问用“dr法”的一般步骤如何？

设计意图：对判断直线与圆的位置关系步骤进行小结，对知识进行梳理，使学生有“操

作规范”，培养归纳能力，同时也渗透了算法思想.

师生活动：教师引导学生分析归纳：

(1)建立平面直角坐标系；

(2)求出直线方程，圆心坐标与圆的半径厂；

(3)求出圆心到直线的距离d

(4)比较d与厂的大小，确定直线与圆的位置关系.

①当时，直线？与圆°相离；

②当d=，时，直线？与圆。相切；

③当d〈丫时，直线？与圆°相交.

问题5：对于平面直角坐标系中的直线

:4x+B^y+g=。和22:4芯+82y+Q=°,

4x+8/+C\=0

联立方程组〔4入+^^+弓=0,我们有如下一些结论：

①’1与‘2相交，=方程组有唯一解；

②与’2平行，。方程组无；

③,1与’2平行，=方程组有无穷组解.

你能用类比的思想，研究直线与圆的位置关系吗？

设计意图：让学生通过对两条直线的位置关系的研究过程，回顾坐标法思想的重要作

用.并通过类比，使学生获得用坐标法研究直线与圆的位置关系的想法与结论.抽象判断直

线与圆的位置关系的思路与方法.

师生活动：教师提出问题，引导学生得出:

Ax+By+C^0

联立方程组《我们有如下一些结论:

222

(x-x0)+(y-y0)=r

①圆与直线相切，=方程组有唯一解；

②圆与直线相交，=方程组有两组解；

③圆与直线相离，=方程组有无解.

方法三：联立方程组1>，消去y,

x+y-7=0

因为A=49—4xl2=l>0.

所以，方程组有两组解，直线与圆相交.

问题6：根据方程组是否有解来判断直线与圆的位置关系的步骤如何?

设计意图：根据方程组是否有解来判断直线与圆位置关系的步骤进行小结，对知识进行

梳理，使学生有“操作规范”，培养归纳能力，同时也渗透了算法思想.

师生活动：教师引导学生分析、归纳：

(1)将直线方程与圆方程联立成方程组：

(2)通过消元，得到一个一元二次方程；

(3)求出其判别式△的值；

(4)判断△的符号：

若△>(),则直线与圆相交；

若△=(),则直线与圆相切；

若△<(),则直线与圆相离.

问题7：我们研究了判断直线与圆的位置关系的方法，可以用平面几何知识定性刻画，

也可以用解析几何的知识，根据直线与圆的方程来刻画.如果要求轮船在哪个具体位置开始

受到台风影响，如何刻画？

设计意图：体验平面几何与解析几何的各自解法.平面几何可以定性刻画，解析几何可

以精确刻画，体验坐标法的优越性.

师生活动：教师引导，师生共同解决.

生：求出交点，就是开始受影响的位置.

解出：x=3,y=4或x=4,y=3.

即，在台风中心的东30,偏北40处，开始受到影响.

师：一般来说，平面几何可以定性的刻画直线与圆的位置关系，但在精确刻画它们位置

关系时，解析几何就显得“得心应手”，显示出它的优越性.

4.例题示范

例1如图，已知直线/:3x+y-6=0和圆心为C的

圆J+,2_2y_4=0,

(1)判断直线,与圆的位置关系；

(2)如果相交，求它们交点的坐标.

设计意图：通过例题巩固判断直线与圆的位置关系方法，关注量与量之间的关系.使学

生体验用坐标法研究直线与圆的位置关系的想法与结论.

师生活动：教师引导学生分析解答.

分析：方法一，判断直线,与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实

数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径大小的关系，判断直线与圆的位置关系.

问题8在判断直线与圆的位置关系的不同方法中，你选择哪一种？

设计意图：两种方法的选择，体验各自的优越性和其中蕴含的思想方法.

师生活动：学生讨论选择.

5.弦长问题

例1变式：求弦AB的长度.

设计意图：直线与圆的位置关系，当他们相交时，学习弦长的求法.

师生活动：学生思考解决，可能有两种方法：方法一：因为两个交点坐标分别是

6(1,3),所以用两点距离公式.方法二：构造直角三角形，先求弦心距，再求弦长.

例题2：已知过点M(—3,—3)的直线/被圆x?+yZ+4y—21=0所截得的弦长为4石，

求直线1的方程.

生：先独立解决，然后看课本，规范解题.

师：设直线方程为丁+3=可为+3),它的前提是斜率存在.对于斜率不存在的情况用

几何画板演示.(答案为：x+2y+9=0,或2x—y+3=0)

6.课堂小结

问题9判断直线与圆的位置关系有哪些方法？

问题10当直线与圆相交时,如何求弦长？

设计意图：巩固所学知识，培养学生归纳概括能力.

师生活动：学生思考，教师引导时应涉及到“如何求弦长”以及判断直线与圆的位置关

系有几种方法？它们的步骤是什么？

学情分析

对于直线和圆，学生已经非常熟悉，并且知道直线与圆有三种位置关系：相离，相切和

相交。从直线与圆的直观感受上，学生懂得从圆心到直线的距离与圆的半径相比较来研究直

线与圆的位置关系。本节课，学生将进一步挖掘直线与圆的位置关系中的“数”的关系，学

会从不同角度分析思考问题，为后续学习打下基础。另外学生在探究问题的能力，合作交流

的意识及反思总结等方面有待加强。

效果分析

学生在初中平面几何中己经接触过直线与圆的位置关系，学习了直线方程、圆的方程、

两直线的位置关系以及点到直线的距离之后，具备利用方程研究两条直线的位置关系的基本

能力.

为什么要对直线与圆的位置关系进行定量刻画？这是学生学习时可能遇到的第一个学

习障碍.这个问题可以结合“台风问题''进行说明：我们如何刻画轮船开始受台风影响的位置?

这是平面几何没有解决的问题，必需借助坐标系，才能精确刻画.

利用直线的方程与圆的方程进行直线与圆的位置关系的研究时，会遇上求方程组的解，求圆

心到直线的距离等大量的代数计算问题，由于有些问题（特别是像台风这样的实际问题）中

的数据较复杂，可能导致学生计算出错，这是第二个学习障碍，也是教学难点之一.教学时

不能因为这个问题而使教学偏离重点，必要时可使用信息技术工具解决这个问题.

教材分析

本节课的内容是平面解析几何的基础知识,是对前面所学直线与圆的方程的进一步应用o

而解决问题的主要方法是解析法。解析法不仅是定量判断直线与圆的位置关系的方法，更为

后续研究直线与圆锥曲线的位置关系奠定思想基础，具有承上启下的作用。

本节课的教学目的是使学生掌握直线与圆的位置关系的判定方法，教材处理问题的方法

主要是：用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d后与圆的半径r比较作出判断：类

比利用直线方法求两条直线交点的方法，联立直线与圆的方程，通过解方程组，根据方程组

解的个数判断直线与圆的位置关系。考虑到圆的性质的特殊性，以及渗透给学生解决问题尽

力选择简捷途径，以及学生的认知结构特征，课堂上师生着力用第一种方法来解决直线与圆

的位置关系，对于第二种方法主要留给学生自主探究，教师做适当的点拨总结。

根据本节课的教学内容和学生认知结构特征，重点确定为：用解析法研究直线与圆的位

置关系。难点确定为学生体会和理解解析法解决几何问题的数学思想。

评测练习

1.判断直线4x—3丁一5=0与圆f+y2=25的位置关系，如果有交点，求出交点坐

标.

2.求圆/+/=25被直线4x—3y—20=0所截得的弦长.

3.已知直线=和圆C:Y+y2=4,当实数。取何值时，直线与圆相交？相

切？相离？

课后反思

1、本节课考虑到学生在初中已接触过直线与圆的位置关系，因此采用开门见山的形式直接

让学生回顾三种位置关系，紧接着引导学生探索三种位置关系下圆心到直线的距离与圆半径

的大小关系，由小“练习”进行应用，最后通过“例题”“课堂检测”去解决实际问题。

2、在例题及练习之后我及时地进行总结归纳方法，让学生在以后解决实际问题过程中能一

下子找到切入点，培养学生解决实际问题的能力。

3、考虑到我们的学生基础较差，运算能力较弱，教学中注意了运算能力的加强。

4、学生观察得到直线和圆的三种位置关系后，是由我讲解的三个概念：相交、相切、相离。

讲得过多，学生被动的接受，思考得不够，对概念的理解不是很深刻。可以改为让学生类比

点与圆的位置关系下定义，师生共同讨论的形式给学生以思维想象的空间，充分调动学生的

积极性，使学生实现自主探究。

5、对于我们学生的情况，老师讲的太多，没有给予学生足够的探索、交流的时间，势必会

影响到部分学生的思维，限制了学生的发展。所以，我们也要学会该“放手时就放手”，大

胆地让学生去思考，也许会有意外的收获。

6、整节课还是比较赶，特别是例2及小结。

总之，在今后的数学教学中还有很多需要我学习和掌握的东西，希望能和学