高中数学人教A版 （2019）必修第一册第二章一2.1等式性质与不等式性质A

高中数学人教A版（2019）必修第一册第二章一2.1等式

性质与不等式性质A

未命名

一、单选题

1.已知实数〃，b,c,若a>b,则下列不等式成立的是（）

A.—<7B.ac2>be2C.a-c>b-cD.\a+c\>\b+c\

ab

2.已知关于%的方程/+如；+相=o有两个实数根，则加的取值范围为（）

A.B."z〉4或"2<0

C.加24或加工0D.0<m<4

3.若cwR,且，>>，则下列不等式中一定成立的是（）

2

A.a+b>b—cB.ac>bcC.——>0D.（a—b）c2>0

a-b

4.实数x、y、z满足Y=4x+z—y—4且x+/+2=0,则下列关系成立的是

()

A.y>x>zB.z">y

C.y>z>xD.z>y>x

5.下列不等式中成立的是（）

A.若.>6>0,贝I］产丁

B.若。V》V。,则a?<必<〃

C.若。>。>0,则/

D.若"6<0,则

ab

6.关于尤的不等式（x-a）（x-3）>。成立的一个充分不必要条件是贝。。的取

值范围是（）

A.a<—lB.a<0C.a>2D.a>l

二、多选题

7.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为符号使用，

后来英国数学家哈利奥特首次使用“〈”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引

入对不等式的发展影响深远.若。，b,ceR,则下列命题正确的是（)

A.若〃>々>0,贝!B.若则

ab

C.若a>b,c>d,则a+c>Z?+dD.ac1>be2,则

8.若〃>b>0,则下列不等式成立的是（）

A.y[a>yfbB.—r>-y

ab

C.ac1>be1D.a—>b——

ab

三、填空题

9.给出下列命题：①ac2>be1;②网，a2>b2;③a>b,a3>b3；④

\a\>b,/>火其中正确的命题序号是.

10.已知实数x、y满足-2<x+2y<3,-2<2x-y<0,则3x-4y的取值范围为

11.用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来

越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的：(ZeN*),已知一个铁钉受击

4

3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的：，请从这

个实例中提炼出一个不等式组：.

12.请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个不等式：(设糖水为。克，含糖

为b克，加入的糖为相克).

四、解答题

cd

13.已知三个不等式：ab>0be—ad>0,---->0(其中〃，b,c,d均为实数)，

fab

用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，请写出可组

成正确命题的两个命题.

14.(1)比较31一%+1与2炉+工一1的大小;

db

(2)已矢口求证：---->----.

c-ac-b

15.对于实数判断下列命题的真假.

(1)若。>人，则ac<Z?c.

(2)若ac?>be?,则a”.

(3)若avbvO,贝！]/>">/.

(4)若avbvO,贝!]1。卜1".

ah

(5)若c>a>Z?>0,贝!J------>-------.

c-ac-b

(6)若,则a>O,〃vO.

ab

16.已知14a+bW5,-l<a-b<3,求3a—2Z?的取值范围.

参考答案:

1.c

【解析】

直接利用不等式的基本性质即可.

【详解】

由0=1/=—2可判断A错误，

由a=-L》=-2,c=0可判断BD错误，

由不等式的性质易知C正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键，属于基础题.

2.C

【解析】

由一元二次方程存在两个实根，有判别式A20即可求机的取值范围.

【详解】

由题意知：A=zn2-4/77>0,解之得或机VO,

故选：C

3.D

【解析】

【分析】

根据不等式的性质判断各选项.

【详解】

人显然错误，例如"=3,6=2,。=-10,a+b<b-c；

c<0时，由得ac<bc,B错；

a>b=^>a-b>0,但c=0时，----=0,C错；

a-b

a>b=>a-b>0,Xc2>0,所以D正确.

故选：D.

4.D

【解析】

答案第1页，共8页

【分析】

分别把两个等式转化，写成z-y=f-4关+4=(尤-2)220及x=-(V+2)的形式，从而比较

数的大小.

【详解】

由Y=4x+z-y-4知，

z-y=x2-4x+4=(x-2)2>0,即z2y；

由x+y2+2=0知,x=—(y~+2),

i7

贝°y_x=y2+2+y=(y+1)2+彳>0,即y>x；

综上，z2y>x

故选：D

5.C

【解析】

【分析】

根据不等式的性质对各选项判断即可.

【详解】

对于A,若贝！1/-2。6+/>0,所以2/+2加>/+2。6+从，所以

a~+b~a~+2ab+匕匚zi<72+b"a+b4f..、口

------>-----------,所以J---------->-------,故1lA错误；

24V22

对于B,若。<6<0,则/>仍，ab>b2,所以a?〉"〉/?"故B错误；

对于C,若。>6>0,则a?〉。)，ab>b2,所以a?〉/??,故C正确；

对于D,若。<6<0,则工>:,故D错误.

ab

故选：C

6.D

【解析】

【分析】

由题意可知，(-1,1)是不等式(N-。)(3-3)>0解集的一个真子集，然后对4与3的大小关

系进行分类讨论，求得不等式的解集，利用集合的包含关系可求得实数。的取值范围.

答案第2页，共8页

【详解】

由题可知(-1,1)是不等式(X-a)(x-3)>0的解集的一个真子集.

当。=3时,不等式(x-a)(x-3)>0的解集为｛琲-3｝,此时(-1,1)｛小彳3｝；

当a>3时，不等式(x-o)(x-3)>0的解集为(-00,3)5。，+°°)，

•••(-1,1)(-8,3),合乎题意;

当a<3时，不等式(%—4(％-3)>0的解集为(-OO,4)53,+°0)，

由题意可得(-1,1)(—oo,a),此时14a<3.

综上所述，a>l.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能

力，属于中等题.

7.ACD

【解析】

【分析】

分别由不等式的同加同乘性质可得，注意选项B中c为0的情况.

【详解】

选项A：r.ab)。.在不等式两边同除以必得,〉工，A正确；

ab

选项B：当c=0时，ac-bc,B错误；

选项C：同向不等式相加，不等号方向不变，C正确；

选项D：二。2>0,两边同除以c2得，a>b,D正确.

故选：ACD.

8.AD

【解析】

【分析】

利用不等式的性质逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.

【详解】

答案第3页，共8页

对于A：由可得,故选项A正确；

对于B：由4>/?>0可得/>/?2>0，所以—故选项B不正确；

ab

对于C：当c=0时，由Q>b>0可得a。?=庆2,故选项C不正确；

对于D：由a>b>0可得一<不，所以-所以。—>b——,故选项D正确；

ababab

故选：AD.

9.(2X3)

【解析】

【分析】

利用不等式的性质或取特殊值代入逐个判断即可.

【详解】

①当c2=0时不成立；②一定成立；③当)时，a3-b3=(<2-Z?)(6Z2+ab+b2^

=("b),+j+，2>0成立；④当b<0时，不一定成立，如：但2?<(-3>

故答案为：②③.

【点睛】

本题主要考查与不等式的性质有关的命题真假的判断，属常规考题.

10.L-7,2]

【解析】

【分析】

设3尤-4产皿尤+2y)+〃(2元-了)，利用待定系数法求出牡〃的值，然后根据不等式的性质

即可求解.

【详解】

fm+2n=3[m=—l

解：设3x-4y=皿x+2y)+〃(2x-y),贝1乂_,解得<、,

[2m-n=-4[n=2

所以3x-4y=-(x+2y)+2(2x-y),

因为—2Vx+2y43,—2M2x—yW0,

所以-34—(x+2y)42,-4<2(2x-y)<0,

所以-7V3x-4yM2,

答案第4页，共8页

故答案为：[-7,2].

【解析】

【分析】

由第二次敲击铁钉没有全部进入木板，第三次敲击铁钉全部进入木板可得.

【详解】

解：依题意，知第二次敲击铁钉没有全部进入木板，第三次敲击铁钉全部进入木板，所以

[44]

—+——<1,

<77k

<444-

----1--------1—]•

[77k7k之

故答案为：

3三+工发

[77k1k2

…bb+m7八八、

12.—<-------(za>b>0,m>0)

aa+m

【解析】

【分析】

a克糖水中有6克糖若再添加克糖(旭>0),浓度发生了变化，只要分别计算出

添糖前后的浓度进行比较即得.

【详解】

克糖水中有6克糖，

b

糖水的浓度为：

a

a克糖水中有6克糖(a>b>0),若再添m克糖(m>0),

则糖水的浓度为"竺，

a+m

又糖水变甜了，说明浓度变大了，

工」f-bb+m.，八八、

故答案为：一<-----,(a>b>0,m>0)

aa+m

13.答案见解析

答案第5页，共8页

【解析】

【分析】

先任意选择两个不等式，看能否推出剩下的不等式，再判断得解.

【详解】

cd

解：若次?>0,/一加>0成立，不等式。c一或Z>0两边同除以必可得---->0,

ab

cd

即命题1：cib>0,be—ad>0=>------->0.

ab

cdcd

若ab>0,—7>0成立，不等式---^>0两边同乘。人，可得6。一々7>0,

abab

cd

即命题2：cib>0,------->0=>be—ad>0.

ab

什cd△,,eq—.icdbe-ad八

右---->0,be—ad>0则n-----=------>0.

ababab

又be—ad,贝UaZ?>0,

cd

即命题3：------>0,be—ad>0=ab>0.

ab

(以上三个命题中可以任意选择两个命题都可以)

14.(1)3X2-X+1>2X2+X-1;(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)求差法进行大小比较即可；

(2)求差法去证明即可解决.

【详解】

(1)由(3/—x+1)—(2丁+%—=x2—2x+2=(%—I)?+1>0,

3x?-x+1>2*+x-1.

aba^c—b^—b^c—a)(a-b)c

一c—ac—b(c—«)(c—Z?)(c—(2)(c—Z?)'

c>tz>Z?>0,a—b>Q,>0,c-b>0,

.(a-b)c.a、b

••—6)，••仁>口・

15.(1)假命题；(2)真命题；(3)真命题；(4)真命题；(5)真命题；(6)真命题.

【解析】

答案第6页，共8页

【分析】

利用不等式的性质即可判断这6个小题的真假.

【详解】

(1)由于c的符号未知，因而不能判断就与儿的大小，故该命题是假命题.

(2)\*ac1>bc19c2>0,:.a>b,故该命题为真命题.

[a<b,fa<b,

2221

(3)/.a>ab.又〈，八ab>bJ