第11讲 轴对称的性质及坐标系中的轴对称（解析版）-初中数学暑假自学课讲义（8年级人教版）

第11讲轴对称的性质及坐标系中的轴对称【人教版】·模块一画轴对称图形·模块二用坐标表示轴对称·模块三课后作业模块一模块一画轴对称图形轴对称图形和轴对称轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.【考点1轴对称变换的性质】【例1.1】一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是()A．B．C． D．【答案】D【分析】轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．【详解】解：A、图象关于对角线所在的直线对称，两条对角线都是其对称轴；故符合要求；B、图象关于对角线所在的直线对称，两条对角线都是其对称轴；故符合要求；C、图象关于对角线所在的直线对称，有一条对称轴；故符合要求；D、图象关于对角线所在的直线不对称；故不符合要求；故选D．【点睛】考核知识点：轴对称图形.【例1.2】如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是（

）A．4:00 B．8:00 C．12:20 D．12:40【答案】B【分析】镜子中的时间和实际时间关于钟表上过6和12的直线对称，作出相应图形，即可得到准确时间．【详解】解：由图中可以看出，此时的时间为8:00．故选：B．【点睛】本题考查了镜面对称的知识，解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形．【例1.3】如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据第三个图形是三角形的特点及折叠的性质即可判断.【详解】∵第三个图形是三角形，∴将第三个图形展开，可得，即可排除答案A，∵再展开可知两个短边正对着，∴选择答案D，排除B与C．故选D．【点晴】此题主要考查矩形的折叠，解题的关键是熟知折叠的特点.【变式1.1】下列所示的四个银行的行标图案中，不是利用轴对称设计的图案是【

】A．A B．B C．C D．D【答案】A【详解】试题解析：图案中，只有第一个图形沿某条直线折叠后直线两旁的部分不能够完全重合，故选A．【变式1.2】如图，镜子中号码的实际号码是（

）A．2653 B．3562 C．3265 D．5623【答案】C【分析】注意镜面对称的特点与实际问题的结合．【详解】解：根据镜面对称的性质，在镜子中的真实数字应该是：3265．故选：C．【点睛】本题考查了图形的对称变换，在解题时，可以在卷子的反面看出结果．【变式1.3】下列图形中，直线l为该图形的对称轴的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称．【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意；B、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意；C、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意；D、该图形是轴对称图形，直线l为该图形的对称轴，本选项不符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了轴对称的性质和轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，直线两旁两部分折叠后可重合．【考点2画轴对称图形】【例2.1】△ABC在网格中的位置如图所示，若以网格线所在直线为对称轴，作与△ABC成轴对称的图形△A'B'C'，那么此网格中可以A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据轴对称图形的定义求解即可．【详解】解：根据题意可作如下图：根据上图可得，此网格中可以作出的△A'B故选C．【点睛】本题考查了轴对称图形的定义（平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形），正确的画出图形是解决本题的关键．【例2.2】如图所示，淇淇用一个正方形田字格设计了一个图案，其中部分小三角形已经涂上了灰色，她想再将图案中的①②③④中的一个小三角形涂灰，使得整个图案构成轴对称图形，则应该涂灰的小三角形是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】根据轴对称图形的性质进行分析【详解】如解图可知，当给④铺灰之后，可以构成轴对称图形，故选：D．【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键．【例2.3】如图，由小正方形组成的网格中，请分别在三个网格中涂黑两个方格，使整个网络中的黑色方格构成的图案为轴对称图形．

【答案】见解析【分析】根据轴对称的性质得出符合题意的图案．【详解】如图所示：

【点睛】本题考查了利用轴对称图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题的关键．【变式2.1】如图是3×3的正方形网格，其中已有2个小方格涂成了黑色，现在要从编号为①－④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．【详解】解：要从编号为①－④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是④，故选：D．【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．【变式2.2】如图，以直线l为对称轴画出图形的另一半．【答案】见解析【分析】根据轴对称的性质作出图形即可．【详解】解：画出图形的另一半如图所示，

【点睛】本题考查作图—轴对称变换．解题的关键是要明确轴对称的性质：①如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②在轴对称图形中，对称轴把图形分成完全相等的两份．【变式2.3】如图（1）所示的两种瓷砖．请从这两种瓷砖中各选2块，拼成一个新的正方形地板图案，使拼铺的图案成轴对称图形（如示例图（2））．（要求：分别在图（3）、图（4）中各设计一种与示例不同的拼法的轴对称图形）【答案】见解析【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，进行设计图案即可．【详解】解：如图所示，即为所求．【点睛】本题主要考查轴对称图形的设计，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．模块二模块二用坐标表示轴对称用坐标表示轴对称点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y）.【考点1关于坐标轴对称的点的坐标】【例1.1】平面直角坐标系中点P-1,2关于x轴的对称点在（

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据点P-1,2关于x【详解】∵P∴点P关于x轴的对称点为：-1,-2∴点P-1,2关于x轴的对称点-1,-2故选：C．【点睛】本题考查了判断点所在的象限和点关于坐标轴的对称点，熟悉各个象限的点的特征是解决问题的关键．【例1.2】若点Aa,3与点B2,3关于y轴对称，则a的值是（A．2 B．-3 C．3 D．-2【答案】D【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可．【详解】解：∵点Aa,3与点B2,3关于∴a=-2，故选：D【点睛】本题考查了关于y轴对称的点坐标的关系，解题的关键在于明确关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数．【例1.3】小红同学误将点A的横纵坐标次序颠倒，写成A(a,b)，另一学生误将点B的坐标写成关于y轴对称的点的坐标，写成B(-b,-a)，则A，B两点原来的位置关系是（

）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．A和B重合 D．以上都不对【答案】A【分析】根据坐标的对称性求出A,B，故可求解．【详解】解：∵小红同学误将点A的横纵坐标次序颠倒，写成A(a,b)，∴点A的正确坐标为(b,a)．∵另一学生误将点B的坐标写成关于y轴对称的点的坐标，写成B-b,-a∴点B的正确坐标为b,-a，∴A，B两点原来的位置关系是关于x轴对称．故选A．【点睛】此题主要考查坐标的对称，解题的关键是熟知坐标对称性的特点．【变式1.1】点P3,2关于y轴对称点的坐标是（

A．3,-2 B．-3,2 C．3,2 D．-3,-2【答案】B【分析】利用关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点Px,y关于y轴的对称点P'的坐标是-x,y【详解】解：点P3,2关于y轴对称点的坐标是：-3,2故选：B．【点睛】本题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确把握横纵坐标关系是解题关键．【变式1.2】已知点M3，m与点Nn，4【答案】-1【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征即可解答.【详解】解：∵点M3，m与点N∴n=3，m=-4，∴m+n=-4+3=-1，故答案为-1；【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，熟记关于x轴对称的点坐标特征是解题的关键．【变式1.3】点P在第四象限内，点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P关于y轴的对称点的坐标为______________．【答案】（-3，-2）．【分析】首先根据P点的位置确定出P点坐标，再根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【详解】解：∵点P在第四象限，到x轴与y轴距离分别为2和3，∴P（3，-2），∴点P关于y轴的对称点的坐标是（-3，-2），故答案为（-3，-2）．【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．【考点2坐标与图形变化】【例2.1】如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：_____．【答案】平移，轴对称【详解】分析：根据平移的性质和轴对称的性质即可得到由△OCD得到△AOB的过程．详解：△ABC向上平移5个单位，再沿y轴对折，得到△DEF，故答案为平移，轴对称．点睛：考查了坐标与图形变化-旋转，平移，轴对称，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．【例2.2】如图，在边长为1个单位长度的网格中，△ABC的顶点均在格点上，l为经过网格线的一条直线．

(1)作出△ABC关于直线l对称的△A(2)将△ABC向右平移3个单位，再向下平移__________个单位，使A,C两点的对应点落在直线l的两侧，请画出图形．【答案】(1)见解析(2)3或4，图见解析【分析】（1）根据对称的定义和性质即可求解；（2）根据平移的性质即可求解．【详解】（1）解：根据题意，对称的性质，如图所示，

∴△A（2）解：点C到l的距离为2个单位长度，点A到l的距离为5个单位长度，∴当向下移动的单位长度大于2，小于5，则点A,C与去对应点A',C∴使A,C两点的对应点落在直线l的两侧，①如图所示，将△ABC向右平移3个单位，再向下平移3单位，

∴△A②如图所示，将△ABC向右平移3个单位，再向下平移4单位，

∴△A综上所述，下移3或4个单位A,C两点的对应点落在直线l的两侧，故答案为：3或4【点睛】本题主要考查三角形的变换，掌握轴对称，平移的性质是解题的关键．【例2.3】如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是1,2，则经过第2022次变换后点A的对应点的坐标为______．【答案】-1,-2【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组，依次循环，用2022除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，解答即可．【详解】解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限，点A第二次关于x轴对称后在第三象限，点A第三次关于y轴对称后在第四象限，点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2022÷4=505余2，∴经过第2022次变换后所得的A点与第二次变换的位置相同，在第三象限，坐标为-1,-2．故答案为：-1,-2．【点睛】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．【变式2.1】如图：△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,2)，B(-4,1)，C(-2,-2)(1)请在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，写出(2)如果△ABC关于x轴对称的图形是△A2B2C2，写出【答案】(1)作图见解析，A1(1,2)，B(2)A2(-1,-2)，B【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次来连接可得△A1B（2）根据关于x轴的对称的点的特点写出坐标即可；【详解】（1）解：如图所示，△A关于x轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得：A1(1,2)，B1（2）关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得：A2(-1,-2)，B2【点睛】本题主要考查作图——轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．【变式2.2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A0,-1，B-3,-2，(1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B(2)作出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2，若点Px,y【答案】(1)作图见解析；B(2)作图见解析；-x+4,y【分析】（1）根据轴对称变换的性质作图，再由点的坐标关于x对称可写出点B1（2）利用轴对称变换的性质作图，再根据△ABC与△A2B【详解】（1）解：如图，△A∵与点B关于x轴对称的对称点B1∴点B1的坐标为-3,2（2）解；如图，△A∵△ABC与△A2B∴△ABC与△A2B∴△ABC内点Px,y与点Q到直线x=2∵△ABC在第三象限，∴x<0，y<0，∴点P和点Q到直线直线x=2的距离是-x+2，∴点Q的坐标为-x+4,y．【变式2.3】观察图形由（1）→（2）的变化过程，写出A、B对应点的坐标分别为_________________________．【答案】（2，-3），（4-1）．【详解】试题分析：观察图形，找出图中图形坐标的变化情况，总结出规律．试题解析：根据图形和坐标的变化规律可知图形由（1）→（2），关于x轴作轴对称图形⇒向下平移1个单位长度．所以A、B对应点的坐标分别为（2，-3），（4-1）．考点：1．坐标与图形变化-旋转；2．坐标与图形变化-平移．【考点3对称点与其他知识的综合】【例3.1】已知点P3a-3,1-2a关于y轴的对称点在第三象限，则aA． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意得出3a-3>0①【详解】解：∵点P3a-3,1-2a关于y∴3a-3>0解不等式①得：a>1解不等式②得：a>a的取值范围在数轴上表示为：，故选：C．【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，解一元一次不等式组，然后在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握以上知识是解题的关键．【例3.2】如图所示，在平而直角坐标系中，已知A0,1，B2,0，

(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1(2)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标.【答案】(1)作图见解析，A1(0,1)，B(2)P(10,0)或P(-6,0)【分析】（1）根据描点，连线，画出△ABC即可，找到A(0,1)、B(2,0)、C(4,3)关于y轴对称的对应点，连线得到△A1B（2）根据△ABP的面积等于12【详解】（1）解：如图所示：

∴△A1B1C1即为所求，由图可知（2）解：∵P为x轴上一点，A(0,1)、B(2,0)∴OA=1，S△ABP∴BP=8，∵B(2,0)，∴P点的横坐标为2+8=10或2-8=-6；∴P(10,0)或P(-6,0)．【点睛】本题主要考查了作图-轴对称变换、坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键．【变式3.1】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A1,1、B4,2、(1)在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A(2)△A1B(3)在y轴上确定一点P，使△APB的周长最小，并直接写出P点坐标．（注：不写作法，只保留作图痕迹）【答案】(1)见解析(2)4(3)图见解析，P【分析】（1）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数确定出A、B、C对应点A1、B（2）利用割补法求解即可；（3）作点A关于y轴的对称点A'，连接BA'交y轴于点P，点P即为所求；设AA'交y轴于Q，取D4【详解】（1）解：如图，△A（2）解：△A1B故答案为：4；（3）解：作点A关于y轴的对称点A'，连接BA'交y轴于点P，点P即为所求；设AA'交y轴于Q∴A'-1，∴BD=1，A'∵S△∴12∴12∴PQ=1∴OP=6∴P0【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，轴对称最短路径问题，三角形面积，灵活运用所学知识是解题的关键．模块三模块三课后作业1．点m,-1和点2,n关于x轴对称，则mn等于（

）A．-2 B．2 C．12 D．-12【答案】B【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．【详解】解：点m,-1和点2,n关于x轴对称，则m=2,n=1，∴mn=2×1=2．故选：B．【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（﹣5，12），它关于y轴的对称点为B，则△ABO的周长为（）A．24 B．34 C．35 D．36【答案】D【分析】平面直角坐标系中点关于y轴的对称点B的坐标为（5，12），到坐标轴的距离分别为5和12，利用勾股定理算出OA和OB的长度，最后加上AB，即可得到△ABO的周长．【详解】解：∵点A与点B关于y轴对称，A（﹣5，12），∴B（5，12），∴AB＝10，∵A（﹣5，12），∴OA＝13，∴OB＝13，∴△AOB的周长＝OA+OB+AB＝26+10＝36，故选D．【点睛】本题考查了关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，本题还考查了勾股定理的运用．明确点到坐标轴的距离是本题的关键．3．已知点M2a-b,5+a，N2b-1,-a+b，若点M、N关于y轴对称，则A．0 B．1 C．-1 D．-2【答案】B【分析】关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．据此可得关于a，b的方程组，进而得出代数式的值．【详解】解：∵点M2a-b,5+a，N2b-1,-a+b关于∴2a-b+2b-1=05+a=-a+b解得：a=-1b=3∴(b+2a)2021故选：B．【点睛】关于y轴的对称点的坐标特点，横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于x轴的对称点的坐标特点，纵坐标互为相反数，横坐标不变；关于原点的对称点的坐标特点，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.4．如图是某天下午小明在镜中看到身后墙上的时钟情况，则实际时间大约是_____．【答案】8：05．【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称.【详解】解：根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，故此时的实际时刻是8：05，故答案为8：05.【点睛】此题考查了镜面对称，这是一道开放性试题，解决此类题注意技巧；注意镜面反射的原理与性质.5．下图是小明在平面镜里看到的电子钟示数，这时的实际时间是________．【答案】15：01或10：51．【详解】解：∵没说明平面镜在电子钟的相对位置，∴有两种可能，当平面镜是在电子钟的下方，则原来的实际时间是15：01；当平面镜是在电子钟的左侧，则原来的实际时间是10：51，故答案为：15：01或10：51．【点睛】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是分平面镜与电子钟在不同位置时的情况进行讨论．6．某公路急转弯处设立了一面大镜子，从镜子中看到汽车的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是_______．【答案】B46E58【详解】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．题中所显示的图片中的数字与“B46E58”成轴对称，则该汽车的号码是B46E58．故答案为B46E58.点睛：本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．7．如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有______条．【答案】4【分析】结合题意，根据轴对称的性质分析，即可得到答案．【详解】如图，此图形的对称轴有4条故答案为：4．【点睛】本题考查了轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，从而完成求解．8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A-2,3，B-4,-1，C-1,-3．在图中作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'（A，B，C的对应点分别为A'，B'【答案】作图见解析；B'【分析】利用关于y轴对称的点的坐标特征得到点A'、B'、【详解】解：如图，△A'B'C'为所作，B'4,-1，【点睛】本题考查了作图形的轴对称图形，准确作出三个点的对称点是解题关键．9．如图：在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)，请回答下列问题：(1)方格纸中画出△ABC关于x轴的对称图形△A(2)直接写出A1,B1,C1的坐标．A1（）、B1（(3)若点M(m-1,3)与点N(-2,n+1)关于x轴对称，直接写出m=、n=．(4)若y轴上一点P的坐标为(0,a)，当2≤a≤4时，S△PAB=4，求点【答案】(1)作图见详解(2)1,-4；；4,-2；3,-5(3)-1；-4(4)点P的坐标为(0,2)【分析】（1）△ABC关于x轴的对称，则点A,B,C到x轴的距离等于对应点A1,B（2）点关于x轴的对称，则点的横坐标不变，从坐标变为原来的相反数，由此即可求解；（3）根据点关于x轴的对称，则点的横坐标不变，从坐标变为原来的相反数，即可求解；（4）如图所示（见详解），运用“割补法”补成一个梯形ADEB，根据S△PAB【详解】（1）解：△ABC关于x轴的对称，则点A,B,C到x轴的距离等于对应点A1,B∴△A（2）解：∵点关于x轴对称，则点的横坐标不变，从坐标变为原来的相反数，且A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)，∴