高考数一轮复习 7.5 直线、平面垂直的判定与性质限时集训 理

限时集训(四十三)直线、平面垂直的判定与性质(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．若直线a与平面α内无数条直线垂直，则直线a与平面α的位置关系是()A．垂直 B．平行C．相交 D．不能确定2．(·深圳模拟)已知直线m、n与平面α、β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是()A．m∥n B．n⊥mC．n∥α D．n⊥α3．已知a、b为直线，α、β为平面．在下列四个命题中：①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若b∥α，b∥β，则α∥β.正确命题的个数是()A．1 B．3C．2 D．04．(·浙江高考)设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5．如图所示，b，c在平面α内，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，E在线段AB上(C，D，E均异于A，B)，则△ACD是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形6．(·鞍山模拟)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α⊥β，其中正确的是()A．①②③ B．②③④C．②④ D．①③7．在一个45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45°，则此直线与二面角的另一个面所成的角为()A．30° B．45°C．60° D．90°8．给出命题：(1)在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；(2)设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；(3)已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；(4)a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．则其中正确命题的个数是 ()A．0 B．1C．2 D．3二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．10．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题①若l⊥α，则l与α相交②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n其中正确命题的序号为________．11．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个．12．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)13．如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：eq\a\vs4\al(①AE)⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是________．14．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M、N分别是AD、BE的中点，将三角形ADE沿AE折起．下列说法正确的是________．(填上所有正确的序号)①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB.三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．(·山东高考)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.(1)求证：BD⊥平面AED；(2)求二面角F－BD－C的余弦值．16.(·郑州模拟)如图，直角三角形BCD所在的平面垂直于正三角形ABC所在的平面，其中DC⊥CB，PA⊥平面ABC，DC＝BC＝2PA，E、F分别为DB、CB的中点．(1)证明：AE⊥BC；(2)求直线PF与平面BCD所成的角．17．如图①，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝eq\f(π,2)，点M、N分别在AB，CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC＝2，MB＝4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直(如图②)．(1)求证：AB∥平面DNC；(2)当DN＝eq\f(3,2)时，求二面角D－BC－N的大小．答案[限时集训(四十三)]1．D2.B3.C4.B5.B6.D7.A8.B9．解析：过A作AO⊥BD于O点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD.则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.答案：45°10．解析：①显然正确；对②，只有当m，n相交时，才能l⊥α，故②错误；对③，由l∥m，m∥n⇒l∥n，由l⊥α得n⊥α，故③正确；对④，由l∥m，m⊥α⇒l⊥α，再由n⊥α⇒l∥n.故④正确．答案：①③④11．解析：①将α，β换作直线a，b，命题为“a∥b且a⊥γ⇒b⊥γ”，显然这是一个真命题；②将α，γ换作直线a，c，命题为“a∥β，且a⊥c⇒c⊥β”，这是一个假命题；③将β，γ换成直线b，c，命题为“α∥b，且α⊥c⇒b⊥c”，这是一个真命题，故填2.答案：212．解析：DM⊥PC(或BM⊥PC等)由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)13．解析：①AE⊂平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA⇒AE⊥BC，故①正确；②AE⊥PB，AF⊥PB⇒EF⊥PB，故②正确；③若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误；由①可知④正确．答案：①②④14.解析：将△ADE沿AE折起后所得图形如图，取DE中点P，EC中点Q，连PM、PQ、QN.则PM綊eq\f(1,2)AE，NQ綊eq\f(1,2)BC，∴PM綊NQ，∴四边形PMNQ为平行四边形，∴MN∥PQ，又MN⃘平面DEC，PQ平面DEC，∴MN∥平面DEC，故①正确．又AE⊥ED，AE⊥EC，DE∩CE＝E，∴AE⊥平面DEC，∴AE⊥PQ，∴AE⊥MN，故②正确．由MN∥PQ，PQ与EC相交知MN与EC不平行，从而MN与AB不会平行．答案：①②15．解：(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，因此∠ADB＝90°，AD⊥BD，又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面AED，所以BD⊥平面AED.(2)取BD的中点G，连接CG，FG，由于CB＝CD，因此CG⊥BD，又FC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以FC⊥BD.由于FC∩CG＝C，FC，CG⊂平面FCG，所以BD⊥平面FCG，故BD⊥FG，所以∠FGC为二面角F－BD－C的平面角．在等腰三角形BCD中，由于∠BCD＝120°，因此CG＝eq\f(1,2)CB，又CB＝CF，所以GF＝eq\r(CG2＋CF2)＝eq\r(5)CG，故cos∠FGC＝eq\f(\r(5),5)，因此二面角F－BD－C的余弦值为eq\f(\r(5),5).16．解：(1)证明：连接EF，AF.因为E、F分别是BD、BC的中点，所以EF∥DC.又DC⊥BC，所以EF⊥BC.因为△ABC为等边三角形，所以BC⊥AF.EF∩AF＝F所以BC⊥平面AEF，又AE⊂平面AEF，故BC⊥AE.(2)连接PE.因为平面BCD⊥平面ABC，DC⊥BC，AF⊥BC，所以DC⊥平面ABC，AF⊥平面BCD.因为PA⊥平面ABC，PA＝eq\f(1,2)DC，所以PA綊eq\f(1,2)DC.又因为EF綊eq\f(1,2)DC，所以EF綊PA，故四边形APEF为矩形．所以PE綊AF.所以PE⊥平面BCD.则∠PFE即为直线PF与平面BCD所成的角．在Rt△PEF中，因为PE＝AF＝eq\f(\r(3),2)BC，EF＝eq\f(1,2)DC＝eq\f(1,2)BC，所以tan∠PFE＝eq\f(PE,EF)＝eq\r(3)，故∠PFE＝60°，即直线PF与平面BCD所成的角为60°.17．解：(1)证明：MB∥NC，MB⊄平面DNC，NC⊂平面DNC，∴MB∥平面DNC.同理MA∥平面DNC，又MA∩MB＝M，且MA、MB⊂平面MAB.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(∴平面MAB∥平面NCD,AB⊂平面MAB))⇒AB∥平面DNC.(2)过N作