适用于新教材2025版高中数学课时素养检测一平面向量的概念新人教A版必修第二册

PAGE一平面对量的概念(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)1．(2024·菏泽高一检测)给出下列物理量：①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移．下列说法正确的是()A．①②③是数量，④⑤⑥是向量B．②④⑥是数量，①③⑤是向量C．①④是数量，②③⑤⑥是向量D．①②④⑤是数量，③⑥是向量【解析】选D.由物理学问可知，密度，路程，质量，功只有大小，没有方向，因此是数量，而速度，位移既有大小又有方向，因此是向量．【补偿训练】下列说法正确的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))就是eq\o(AB,\s\up6(→))所在的直线平行于eq\o(CD,\s\up6(→))所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．零向量长度等于0D．共线向量是在一条直线上的向量【解析】选C.向量eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))包含eq\o(AB,\s\up6(→))所在的直线与eq\o(CD,\s\up6(→))所在的直线平行和重合两种状况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；按定义，零向量长度等于0，故C正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线相互平行的向量，故D错．2．(2024·菏泽高一检测)给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．②④【解析】选A.对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))等价于AB∥DC且AB＝DC，即等价于四边形ABCD为平行四边形，故②正确；对于③，若a＝b，b＝c，则a＝c；明显正确，故③正确；对于④，由a＝b可以推出|a|＝|b|且a∥b，但是由|a|＝|b|且a∥b可能推出a＝－b，故“|a|＝|b|且a∥b”是“a＝b”的必要不充分条件，故④不正确．【补偿训练】若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|且eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，则四边形ABCD的形态为()A．平行四边形 B．矩形C．菱形 D．等腰梯形【解析】选C.由eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，可知四边形ABCD为平行四边形，又因为|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|，所以四边形ABCD为菱形．3．(多选题)设O是等边三角形ABC的外心，则eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))是()A．有相同起点的向量 B．平行向量C．相等向量 D．模相等的向量【解析】选AD.因为O是等边三角形ABC的外心，起点都是O，外心为各边垂直平分线的交点，所以|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|.4．在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，关于四边及对角线所在的向量，以下说法错误的是()A．与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量只有一个(不含eq\o(AB,\s\up6(→)))B．与eq\o(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有9个(不含eq\o(AB,\s\up6(→)))C．eq\o(BD,\s\up6(→))的模恰为eq\o(DA,\s\up6(→))模的eq\r(3)倍D．eq\o(CB,\s\up6(→))与eq\o(DA,\s\up6(→))不共线【解析】选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D中eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))所在直线平行，向量方向相同，故共线．【补偿训练】数轴上点A，B分别对应－1，2，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度是()A．－1B．2C．1D．3【解析】选D.|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2－(－1)＝3.5．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝()A．1B．eq\r(3)C．2D．2eq\r(3)【解析】选D.易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝eq\f(1,2)AB＝1.在Rt△ABO中，易得|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，则|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).6．(多选题)(2024·衡水高一检测)已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，下列关系中正确的是()A．C⊆AB．A∩B＝{a}C．C⊆BD．(A∩B)⊇{a}【解析】选ACD.设b与a共线，因为a≠0，所以b＝λa，其中λ∈R，故A＝{b|b＝λa，λ∈R}，C＝{－a}，故C⊆A，A选项正确；C⊆B，C选项正确；因为与a共线，且长度相等的向量为a与－a，A∩B＝{a，－a}，故B选项错误，D选项正确．二、填空题(每小题5分，共10分)7．(2024·开封高一检测)如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和四边形AOBE均为平行四边形，则与向量eq\o(AD,\s\up6(→))相等的向量为________；与向量eq\o(OA,\s\up6(→))共线的向量为________；与向量eq\o(OA,\s\up6(→))的模相等的向量为________．(填图中所画出的向量)【解析】因为O是正三角形ABC的中心，因为OA＝OB＝OC，因为四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形，因为与eq\o(AD,\s\up6(→))相等的向量为eq\o(OC,\s\up6(→))；与eq\o(OA,\s\up6(→))共线的向量为eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))；与eq\o(OA,\s\up6(→))的模相等的向量为eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→)).答案：eq\o(OC,\s\up6(→))eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))【补偿训练】假如在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为eq\o(AD,\s\up6(→))(其中D在边BC上运动)，则向量eq\o(AD,\s\up6(→))长度的最小值为________．【解析】结合图形进行推断求解(图略)，依据题意，在正△ABC中，有向线段AD长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高，为eq\f(5\r(3),2).答案：eq\f(5\r(3),2)8.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．(1)与向量eq\o(ED,\s\up6(→))相等的向量有________；(2)若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，则|eq\o(EC,\s\up6(→))|＝________．【解析】(1)依据向量相等的定义以及四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，可知与向量eq\o(ED,\s\up6(→))相等的向量有eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→)).(2)因为|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(EC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up6(→))|，所以|eq\o(EC,\s\up6(→))|＝6.答案：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))(2)6三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000eq\r(2)km到达D地．画图表示向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，并指出向量eq\o(AD,\s\up6(→))的模和方向．【解析】以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系．由题意知B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限，向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))如图所示，由已知可得，△ABC为正三角形，因为AC＝2000km.又∠ACD＝45°，CD＝1000eq\r(2)km，因为△ADC为等腰直角三角形，因为AD＝1000eq\r(2)km，∠CAD＝45°.故向量eq\o(AD,\s\up6(→))的模为1000eq\r(2)km，方向为东南方向．【补偿训练】如图是4×3的矩形(每个小方格的边长都是1)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，与向量eq\o(AB,\s\up6(→))平行且模为eq\r(2)的向量共有几个？与向量eq\o(AB,\s\up6(→))方向相同且模为3eq\r(2)的向量共有几个？【解析】(1)依题意，每个小方格的两条对角线中，有一条对角线对应的向量及其相反向量都和eq\o(AB,\s\up6(→))平行且模为eq\r(2).因为共有12个小方格，所以满意条件的向量共有24个．(2)易知与向量eq\o(AB,\s\up6(→))方向相同且模为3eq\r(2)的向量共有2个．10．如图所示，在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，N，M分别是AD，BC上的点，且eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→)).求证：eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→)).【证明】因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形，所以|eq\o(DA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|