2025版新教材高考数学全程一轮总复习第五章平面向量与复数第三节平面向量的数量积学生用书

第三节平面对量的数量积【课标标准】1.理解平面对量数量积的概念及其物理意义，会计算平面对量的数量积.2.了解平面对量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积推断两个平面对量的垂直关系，能用坐标表示平面对量垂直的条件.4.能用坐标表示平面对量的数量积，会表示两个平面的夹角.5.会用向量方法解决简洁的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用．必备学问·夯实双基学问梳理1．数量积的有关概念(1)向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的随意一点，作OA＝a，OB＝b，则________＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．假如a与b的夹角是π2，我们说a与b(2)数量积的定义已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝________．(3)投影向量：如图，在平面内任取一点O，作OM＝a，ON＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量a在向量b2．平面对量数量积的性质已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.a·b＝|a||b|cosθ＝____________，|a|＝a2＝____________，cosθ＝a·bab＝________，a⊥b⇔a3．平面对量数量积的运算律已知向量a，b，c和实数λ.(1)交换律：a·b＝________；(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝________(λ∈R)；(3)安排律：(a＋b)·c＝________．[常用结论](1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(3)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立(因为a与b的夹角为0时不成立)．(4)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立(因为a与b的夹角为π时不成立)．(5)若AP＝λ(ABAB+ACAC)，则夯实双基1.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两向量的数量积是一个向量．()(2)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．()(3)(a·b)·c＝a·(b·c)．()(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.()2．(教材改编)已知|a|＝5，|b|＝2，a·b＝5，则a与b的夹角θ＝()A．45°B．135°C．－45°D．30°3．(教材改编)已知平面对量a＝(2，－1)，b＝(m，2)，且a⊥b，则|a＋b|＝________．4．(易错)已知在△ABC中，BA·AC>0，则△ABC的形态是________三角形．5．(易错)设向量a＝(x，－4)，b＝(1，－x)，向量a与b的夹角为锐角，则x的取值范围为________．关键实力·题型突破题型一平面对量数量积的运算例1(1)已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上投影向量是4e，则a·b为()A．12B．8C．－8D．2(2)[2024·河南南阳模拟]如图，在正六边形ABCDEF中，若|AB|＝2，G为CD的中点，则AB·AG＝()A．7B．5C．3D．1(3)[2024·广东广州模拟]如图放置的边长为2的正方形ABCD顶点A，D分别在x轴，y轴正半轴(含原点)上滑动，则OB·OC的最大值是________．题后师说平面对量数量积运算的3种策略巩固训练1(1)已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，x)，若a∥b，则(a＋b)·b＝()A．5B．15C．－5D．－15(2)[2024·山东枣庄模拟]在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝2，点M满意AM＝MC，点N满意NC＝2DN，则MN·AC＝()A．1B．0.5C．3D．1.5(3)[2024·辽宁东北育才学校模拟]在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝2，AB＝4，∠ABC＝π3，P是BC的中点，则AB·AP题型二平面对量数量积的模与夹角例2(1)[2024·河南平顶山模拟]已知向量a，b满意a＝(1，1)，|b|＝2，(a－b)·a＝1，则|a－b|＝()A．2B．5C．6D．23(2)[2024·辽宁锦州模拟]若3|a＋b|＝3|a－b|＝2|a|，则向量a－b与a的夹角为()A．π6B．π3C．2题后师说(1)求平面对量的模的方法利用公式|a|2＝a2＝a·a，|a|＝a·a或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b(2)求平面对量的夹角的方法一般是利用夹角公式：cosθ＝a·巩固训练2(1)已知向量a，b满意a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a＋b|＝()A．22B．4C．6D．8(2)[2024·河北保定模拟]已知向量a＝(1，－7)，|b|＝3，a·b＝36，则a与b的夹角为________．题型三平面对量的垂直例3(1)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是()A．a＋2bB.2a＋bC.a－2bD.2a－b(2)已知向量a，b满意|a|＝3，|b|＝2，a·b＝1，(ka＋2b)⊥(a－kb)，则实数k的值为________．题后师说解决向量垂直问题，一般利用向量垂直的充要条件a·b＝0求解．巩固训练3(1)[2024·河南安阳模拟]已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，3－m)，若a⊥b，则m＝()A．－3B．－2C．1D．2(2)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________．1.[2024·全国乙卷]已知向量a，b满意|a|＝1，|b|＝3，|a－2b|＝3，则a·b＝()A．－2B．－1C．1D．22．[2024·新高考Ⅰ卷]在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA＝m，CD＝n，则CB＝()A．3m－2nB．－2m＋3nC．3m＋2nD．2m＋3n3．[2024·新高考Ⅱ卷]已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝()A．－6B．－5C．5D．64．[2024·新高考Ⅰ卷]已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP·AB的取值范围是()A.(－2，6)B．(－6，2)C．(－2，4)D．(－4，6)5．[2024·新高考Ⅰ卷](多选)已知O为坐标原点，点P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，－sinβ)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则()A.|OP1B.|AP1C.OA·D.OA·6．[2024·全国甲卷]已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m＋1)，若a⊥b，则m＝________．7．[2024·新高考Ⅱ卷]已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________．第三节平面对量的数量积必备学问·夯实双基学问梳理1．(1)∠AOBa⊥b(2)|a||b|cosθ|a||b|cosθ2．x1x2＋y1y2x12+y12x1x23．b·aa·(λb)a·c＋b·c夯实双基1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．解析：∵cosθ＝a·bab＝∴θ＝45°.故选A.答案：A3．解析：因为a⊥b，故2m－2＝0，m＝1，故a＋b＝(3，1)，故|a＋b|＝10.答案：104．解析：由BA·AC>0，得角A的补角为锐角，所以角A为钝角，所以△ABC为钝角三角形．答案：钝角5．解析：由向量a＝(x，－4)，b＝(1，－x)，因为向量a与b的夹角为锐角，则x×1＋(－4)×(－x)>0且x1≠-4-x，解得x>0且x答案：(0，2)∪关键实力·题型突破例1解析：(1)a在b方向上投影向量为|a|cosθ·e＝4e，∴|a|cosθ＝4，∴a·b＝|a||b|cosθ＝4×3＝12.故选A.(2)如图，延长AB，DC交于点H，则∠ABC＝120°，∠BHC＝60°，所以AB·AG＝AB·(AB+BC+CG)＝|AB|2＋AB＝4＋2×2cos60°＋2×1cos120°＝5.故选B.(3)设A(x，0)，D(0，y)，则x2＋y2＝4，所以B(x＋y，x)，C(y，x＋y)，于是OB·OC＝(x＋y，x)·(y，x＋y)＝x2＋2xy＋y2≤2(x2＋y2)＝8.当且仅当x＝y＝2时，等号成立．答案：(1)A(2)B(3)8巩固训练1解析：(1)若a∥b，则2x＋4＝0，解得x＝－2.所以b＝(－1，－2)，所以a＋b＝(1，2)，所以(a＋b)·b＝－1－4＝－5.故选C.(2)如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(6，0)，C(6，2)，D(0，2)，由AM＝MC知M(62由NC＝2DN知N(63，2)，则MN＝(－66，1)，AC＝(6，2)，故MN·AC＝－故选A.(3)因为P是BC的中点，所以AP＝BP-BA＝因为AD＝BC＝2，AB＝4，∠ABC＝π3所以AB·AP＝－BA·(12＝BA2－12BC＝16－12×2×4×1答案：(1)C(2)A(3)14例2解析：(1)由(a－b)·a＝1得a2－a·b＝1，因为a＝(1，1)，所以a2＝1＋1＝2，故a·b＝1.|a－b|＝a2-2故选A.(2)由条件可知|a＋b|＝|a－b|，两边平方后得a·b＝0，并且|a－b|＝233|cos〈a－b，a〉＝a-b·aa因为向量夹角的范围是[0，π]，所以向量a－b与a的夹角为π6故选A.答案：(1)A(2)A巩固训练2解析：(1)因为向量a，b满意a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，所以|2a＋b|2＝(2a＋b)2＝4|a|2＋4a·b＋|b|2＝4＋0＋4＝8，则|2a＋b|＝22.故选A.(2)因为a＝(1，－7)，所以|a|＝12+-设向量a与b的夹角为θ，因为cosθ＝a·bab＝3622×3＝3答案：(1)A(2)π例3解析：(1)由已知可得a·b＝|a|·|b|·cos60°＝1×1×12＝1因为(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝12＋2×1＝5因为(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×12因为(a－2b)·b＝a·b－2b2＝12－2×1＝－3因为(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×12故选D.(2)由题意可得(ka＋2b)·(a－kb)＝0，即ka2＋(2－k2)a·b－2kb2＝0，∴9k＋(2－k2)×1－2k×4＝0，解得k＝－1或2，所以实数k的值是－1或2.答案：(1)D(2)－1或2巩固训练3解析：(1)由a⊥b，得m－6＋2m＝0，则m＝2.故选D.(2)由题意可得a·b＝1×1×cos45°＝22由向量垂直的充要条件可得(ka－b)·a＝0，即k×a2－a·b＝k－22＝0，解得k＝2答案：(1)D(2)2真题展台——知道高考考什么？1．解析：将|a－2b|＝3两边平方，得a2－4a·b＋4b2＝9.因为|a|＝1，|b|＝3，所以1－4a·b＋12＝9，解得a·b＝1.故选C.答案：C2．解析：因为BD＝2DA，所以CB＝CA+AB＝CA＋3AD＝CA＋3(CD-CA)＝－2CA＋3CD＝－2答案：B3．解析：因为a＝(3，4)，b＝(1，0)，所以c＝a＋tb＝(3＋t，4)．由题意，得cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即9+3t+16c·5＝3+t答案：C4．解析：AP·AB＝|AP|·|AB|·cos∠PAB＝2|AP|·cos∠PAB，又|AP|cos∠PAB表示AP在AB方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又AC·AB＝23×2×cos30°＝6，AF·AB＝2×2×cos120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，AP·AB∈(－2，6)，故选A.答案：A5．解析：A：OP1＝cosα，sin所以|OP1|OP2|＝cos2βB：AP1＝cosα-1，sinα，A＝21-cosα＝同理|AP2|＝